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2025-2026學(xué)年七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)單元考點(diǎn)培優(yōu)滬科版（2024）
第3章 一次方程與方程組 3.5 二元一次方程組及其應(yīng)用
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、單選題
1．我國民間流傳著一道數(shù)學(xué)問題：只聞隔壁人分銀，不知多少銀和人：每人7兩多7兩，每人半斤少半斤（注；古代1斤＝16兩）．試問各位善算者，多少人分多少銀．設(shè)有人，分兩銀，根據(jù)題意列二元一次方程組正確的是（　　）
A． B．
C． D．
2．《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”意思是：一個(gè)籠中裝有雞和兔子，上面數(shù)共有35個(gè)頭，下面數(shù)共有九十四只腳，問雞兔各有幾只？如果設(shè)雞有x只、兔有y只，則列出正確的方程組是（　　）
A． B．
C． D．
3．《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作．在它的“方程”這一章里，二元一次方程組是由算籌（算籌是中國古代用來記數(shù)、列式和進(jìn)行演算的一種工具）來記錄的．在算籌記數(shù)法中，以“立”“臥”兩種排列方式來表示單位數(shù)目，表示兩位數(shù)時(shí)，個(gè)位用立式，十位用臥式．如圖（1），從左到右列出的算籌數(shù)分別表示、的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)圖（1）可列出方程組，則根據(jù)圖（2）列出的方程組是（　　）
A． B．
C． D．
4．閱讀下列詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，四只棲一樹，兩只沒去處：六只棲一樹，還閑一棵樹，請(qǐng)你仔細(xì)數(shù)，鴉樹各幾何？”若設(shè)鴉有x只，樹有y棵，則下列方程組中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，點(diǎn)E、F、G、H分別在已知矩形的四條邊上，且四邊形EFGH也是矩形，GF=2EF．若設(shè)AE=a，AF=b，則a與b滿足的關(guān)系為（　　）
A． B．
C． D．
6．某年級(jí)學(xué)生共有246人，其中男生人數(shù) 比女生人數(shù) 的2倍少2人，則下面所列的方
程組中符合題意的有（　　）
A． B．
C． D．
7．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問：人與車各幾何？”其大意是：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行，問：人與車各多少？設(shè)有 輛車，人數(shù)為 ，根據(jù)題意，可列二元一次方程組為（　　）
A． B．
C． D．
8．古代一歌謠：棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)：三個(gè)坐一棵，五個(gè)地上落；五個(gè)坐一棵，閑了一棵樹．請(qǐng)你動(dòng)腦筋，鴉樹各幾何？若設(shè)烏鴉有x只，樹有y棵，由題意可列方程組（　　）
A． B．
C． D．
9．《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在它的“方程”這一章里，二元一次方程組是由算籌（算籌是中國古代用來計(jì)數(shù)、列式和進(jìn)行演算的一種工具）來記錄的．在算籌計(jì)數(shù)法中，以“立”“臥”兩種排列方式來表示單位數(shù)目，表示兩位數(shù)時(shí)，個(gè)位用立式，十位用臥式，《九章算術(shù)》中的算籌圖是堅(jiān)排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1，圖2．圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)，的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，把圖1所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來，就是，在圖2所示的算籌圖中有一個(gè)圖形被墨水覆蓋了，如果圖2所表示的方程組中的值為3，則被墨水所覆蓋的圖形為（　　）
A． B． C． D．
10．有一塊矩形的牧場(chǎng)如圖1，它的周長(zhǎng)為700米.將它分隔為六塊完全相同的小矩形牧場(chǎng)，如圖2，每一塊小矩形牧場(chǎng)的周長(zhǎng)是（　　）
A．150米 B．200米 C．300米 D．400米
二、填空題
11．小亮、小紅和笑笑三個(gè)人玩飛鏢游戲，各投6支飛鏢，規(guī)定在同一圓環(huán)內(nèi)得分相同，三人中靶和得分情況如圖，則小紅得分為　 　分.
12．如圖（一）所示的這種拼圖（寬度設(shè)為acm）我們小時(shí)候可能都玩過，已知有若干片相同的拼圖，且拼圖依相同方向排列時(shí)可緊密拼成一行，如圖（二）所示，當(dāng)4片拼圖緊密拼成一行時(shí)長(zhǎng)度為19cm；如圖（三）所示，當(dāng)10片拼圖緊密拼成一行時(shí)長(zhǎng)度為46cm，則這樣一片拼圖的寬度a為　 　cm．
13．芳芳和元元一起玩用火柴棍擺圖形的游戲，三角形和正方形一共擺了10個(gè)（如圖，任意兩個(gè)圖形之間沒有公共邊）．如果她們一共用了36根火柴棍，那么她們擺了個(gè)　 　三角形，　 　正方形．
14．在兩河流域歷史上，古巴比倫文明發(fā)達(dá)程度最高.19世紀(jì)上半葉以來，考古學(xué)家對(duì)古巴比倫王國進(jìn)行系統(tǒng)發(fā)掘，發(fā)現(xiàn)了約50萬塊泥版，其中數(shù)學(xué)泥版約有300塊，其上載有各種數(shù)學(xué)圖表和數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)泥版YBC9856中載有如下財(cái)產(chǎn)分割問題：“五兄弟分銀1邁納（），按年齡從小到大的次序，每個(gè)哥哥均比相鄰的弟弟多得若干，老二至老五四人所得共占.”若設(shè)老五分得財(cái)產(chǎn)，每個(gè)哥哥均比相鄰的弟弟多得，根據(jù)題意可列方程組為　 　．
15．學(xué)校向同學(xué)們征集校園便道地磚鋪設(shè)的圖形設(shè)計(jì)，琳琳用學(xué)校提供的完全相同的小長(zhǎng)方形模具（如圖1）拼出一個(gè)大長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形（如圖2、圖3），其中所拼正方形中間留下一個(gè)小正方形的空白，如果所拼圖形中空白的小正方形邊長(zhǎng)等于3cm，依據(jù)題意，列出關(guān)于a、b的方程組為：　 　．
16．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書大約在一千五百年前．書中記載了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”其大意是：“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，繩子比長(zhǎng)木短1尺，問長(zhǎng)木多少尺？”設(shè)繩長(zhǎng)尺，木長(zhǎng)尺，可列方程組為　 　．
三、計(jì)算題
17．已知方程組 與方程組 有相同的解，求 、 的值．
四、解答題
18．夏季來臨，天氣逐漸炎熱起來，某商店將某種碳酸飲料每瓶的價(jià)格上調(diào)了，將某種果汁飲料每瓶的價(jià)格下調(diào)了，已知調(diào)價(jià)前買這兩種飲料各一瓶共花費(fèi)15元，調(diào)價(jià)后買上述碳酸飲料1瓶和果汁飲料2瓶共花費(fèi)24.5元，問這種碳酸飲料和果汁飲料在調(diào)價(jià)前每瓶各多少元？
19．端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買豆沙粽盒、肉粽盒，共需元；若購買豆沙棕盒、肉粽盒，共需元．
（1）豆沙粽和肉粽的單價(jià)分別是多少元？
（2）某商家準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種粽子共盒，若商家最多能夠提供元，則最多購進(jìn)多少盒肉粽？
20．某廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的產(chǎn)品，生產(chǎn)一個(gè)甲種產(chǎn)品需時(shí)間8s，銅8g；生產(chǎn)一個(gè)乙種產(chǎn)品需時(shí)間6s，銅16g．如果生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共用時(shí)1h，共用銅6.4kg，那么甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少個(gè)？
21．某校組織“大手拉小手，義賣獻(xiàn)愛心”活動(dòng)，計(jì)劃購買黑白兩種顏色的文化衫進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)后出售，并將所獲利潤全部捐給山區(qū)困難孩子．已知該學(xué)校從批發(fā)市場(chǎng)花3600元購買了黑白兩種顏色的文化衫200件．每件文化衫的批發(fā)價(jià)及手繪后的零售價(jià)如下表：
　 批發(fā)價(jià)（元） 零售價(jià)（元）
黑色文化衫 20 35
白色文化衫 15 25
假設(shè)通過手繪設(shè)計(jì)后全部售出，求該校這次義賣活動(dòng)所獲利潤．
22．國家發(fā)改委、工業(yè)和信息化部、財(cái)政部公布了“節(jié)能產(chǎn)品惠民工程”，某公交公司積極響應(yīng)將舊車換成節(jié)能環(huán)保公交車，已知購買A型和B型兩種環(huán)保型公交車每輛的價(jià)格及每輛預(yù)計(jì)在某線路的年載客量如表：
A型 B型
價(jià)格（萬元/臺(tái)） x y
年載客量/萬人次 60 100
若購買A型環(huán)保公交車2輛，B型環(huán)保公交車3輛，共需650萬元；若購買A型環(huán)保公交車3輛，B型環(huán)保公交車2輛，共需600萬元．
（1）求x、y的值；
（2）如果該公司計(jì)劃購買A型和B型環(huán)保公交車共10輛，且總費(fèi)用不超過1250萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年載客量總和不少于680萬人次，問有哪幾種購買方案？
（3）在（2）的條件下，哪種方案使得購車總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？
23．4月9日上午8時(shí)，2017 徐州國際馬拉松賽鳴槍開跑，一名 歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同參加了比賽，下面是兩個(gè)孩子與記者的對(duì)話：
根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，請(qǐng)你用方程的知識(shí)幫記者求出哥哥和妹妹的年齡.
參考答案及試題解析
1．D
2．B
【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，
根據(jù)題意，得，
故選：B．
【分析】設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)題意建立方程組即可求出答案.
3．C
4．A
5．B
【解答】∵四邊形ABCD和四邊形EFGH是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∠AFE=∠FGB=∠CHG，EF=GH，∴△BGF∽△AFE，△AEF≌△CGH，又∵GF=2EF，AE=a，AF=b，∴BG=2b，BF=2a，CG=a，∵AB=4，BC=5，∴．故選：B．
【分析】由題意可知：△BGF∽△AFE，△AEF≌△CGH，再由GF=2EF，得出BG=2b，BF=2a，CG=a，由此根據(jù)AB=4，BC=5，列出方程組即可．
6．B
【解答】題目中的相等關(guān)系是①男生人數(shù)+女生人數(shù)=年級(jí)總?cè)藬?shù)，②男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少2人則女生人數(shù)的2倍比男生人數(shù)多2，所以可以列出B．
【分析】列二元一次方程組的關(guān)鍵是找到題目中的相等關(guān)系．
7．A
【解答】解：設(shè)有 輛車，人數(shù)為
由“3人坐一輛車，則兩輛車是空的”可得：
由“2人坐一輛車，則9人需要步行”可得：
即
故答案為A．
【分析】設(shè)有 輛車，人數(shù)為 ，根據(jù)“ 若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行 ”列出方程組即可.
8．D
9．C
10．C
【解答】解：設(shè)每一塊小矩形牧場(chǎng)的長(zhǎng)為x米，寬為y米，
解得
每一塊小矩形牧場(chǎng)的周長(zhǎng)是：100+100+50+50=300（米），
故答案為：C.
【分析】設(shè)每一塊小矩形牧場(chǎng)的長(zhǎng)為x米，寬為y米，根據(jù)圖形可得x=2y；根據(jù)周長(zhǎng)為700米可得3x+y=700÷2，聯(lián)立可求出x、y的值，然后利用周長(zhǎng)的意義進(jìn)行解答.
11．33
【解答】解：設(shè)投中小圈得x分，投中大圈得y分，由題意得
，
得：，
∴小紅得分為33分．
故答案為：33
【分析】設(shè)投中小圈得x分，投中大圈得y分，進(jìn)而根據(jù)題意列出二元一次方程組，從而即可求解。
12．5.5
【解答】解：如圖，設(shè)拼圖的長(zhǎng)度（x+y） cm
根據(jù)圖二可知：3x+y=19
根據(jù)圖三可知：10x+y=46
∴
解得：
∴a=x+y=5.5 cm
故答案為：5.5
【分析】把圖一的拼圖看成x+y的兩個(gè)部分， 當(dāng)4片拼圖緊密拼成一行時(shí)長(zhǎng)度為19cm 和 當(dāng)10片拼圖緊密拼成一行時(shí)長(zhǎng)度為46cm ，即可以列出一個(gè)二元一次方程組，解出x和y的值，進(jìn)而可以求出a的值.
13．4；6
14．
【解答】老五分得xgin，每個(gè)哥哥均比相鄰的弟弟多得ygin，則老四分得(x+y)gin，老三分得(x+2y)gin，老二分得(x+3y)gin，老大分得(x+4y)gin，
根據(jù)題意則有：，
化簡(jiǎn)整理得：，
故答案為：．
【分析】老五分得xgin，每個(gè)哥哥均比相鄰的弟弟多得ygin，則老四分得(x+y)gin，老三分得(x+2y)gin，老二分得(x+3y)gin，老大分得(x+4y)gin，根據(jù)：老二至老五四人所得共占 ，而老大共占，列出方程組即可.
15．
【解答】由分析知方程組為 ．
故答案是： ．
【分析】根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可。
16．
【解答】由題意：繩長(zhǎng)比木長(zhǎng)多4.5尺，繩長(zhǎng)的一半比木長(zhǎng)少1尺，可列出方程組 {x y=4.5y x2=1
故填： {x y=4.5y x2=1
【分析】根據(jù)已設(shè)未知數(shù)的邏輯關(guān)系，按照題意列方程組。
17．解：∵方程組 與方程組 有相同的解，
∴
解得
將 分別代入 ，得
解得
【分析】先將兩個(gè)方程組中不含字母系數(shù)的方程組成新的方程組，從而求得x，y的值，再代入另兩個(gè)含字母系數(shù)的方程中，從而組成關(guān)于字母系數(shù)m，n的方程組，解該方程組即可求得m，n的值.
18．解：設(shè)碳酸飲料和果汁飲料在調(diào)價(jià)前每瓶分別為元，元，由題意，得：
，
解得：；
答：碳酸飲料和果汁飲料在調(diào)價(jià)前每瓶分別為元和元．
【分析】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)碳酸飲料和果汁飲料在調(diào)價(jià)前每瓶分別為元，元，結(jié)合調(diào)價(jià)前買這兩種飲料各一瓶共花費(fèi)15元，調(diào)價(jià)后碳酸飲料1瓶和果汁飲料2瓶共花費(fèi)24.5元，列出方程組，求得方程組的解，即可得到答案.
19．（1）解：設(shè)豆沙粽和肉粽的單價(jià)分別是元和元，
根據(jù)題意，有：，
解得：，
即豆沙粽和肉粽的單價(jià)分別是元和元
（2）解：設(shè)購買肉粽盒，則購買豆沙粽盒，
根據(jù)題意，有：，
解得：，
即最多購買肉粽盒．
【分析】（1）設(shè)豆沙粽和肉粽的單價(jià)分別是元和元，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可求出答案.
（2）設(shè)購買肉粽盒，則購買豆沙粽盒，根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可求求出答案.
20．解：設(shè)甲產(chǎn)品x個(gè)，乙產(chǎn)品y個(gè)，根據(jù)題意，
得： ，
解得： ．
答：生產(chǎn)甲產(chǎn)品240個(gè)，乙產(chǎn)品280個(gè)．
【分析】設(shè)甲產(chǎn)品x個(gè)、乙產(chǎn)品y個(gè)，根據(jù)甲產(chǎn)品時(shí)間+乙產(chǎn)品時(shí)間＝3600秒，甲產(chǎn)品銅質(zhì)量+乙產(chǎn)品銅質(zhì)量＝銅的總質(zhì)量6400g，列方程組，解方程組可得．
21．該校這次義賣活動(dòng)所獲利潤為2600元
22．（1）解：由題意，得，
解得；
（2）解：設(shè)購買A型環(huán)保公交車m輛，則購買B型環(huán)保公交車（10﹣m）輛，
由題意，得，
解得5≤m≤8，
∵m為整數(shù)，
∴有四種購車方案
方案一：購買A型公交車5輛，購買B型公交車5輛；
方案二：購買A型公交車6輛，購買B型公交車4輛；
方案三：購買A型公交車7輛，購買B型公交車3輛；
方案四：購買A型公交車8輛，購買B型公交車2輛．
（3）解：設(shè)購車總費(fèi)用為w萬元
則w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，
∵5≤m≤8且m為整數(shù)，
∴當(dāng)m＝5，6，7，8時(shí)，w分別1250，1200，1150，1100
∴m＝8時(shí)，w最小＝1100，
∴購車總費(fèi)用最少的方案是購買A型公交車8輛，購買B型公交車2輛，購車總費(fèi)用為1100萬元．
【分析】（1）基本關(guān)系：金額=價(jià)格×數(shù)量，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；
（2）設(shè)購買A型環(huán)保公交車m輛，則購買B型環(huán)保公交車（10-m)輛，根據(jù)題意列一元一次不等式組，即可求解；
（3）設(shè)購車總費(fèi)用為w萬元，根據(jù)總費(fèi)用的數(shù)量關(guān)系建立w關(guān)于m的函數(shù)，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
23．解：設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，
根據(jù)題意得：
解得： ．
答：今年妹妹6歲，哥哥10歲．
【分析】設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據(jù)題意可得等量關(guān)系式“妹妹的年齡+哥哥的年齡=16，3×（妹妹的年齡+2）+（哥哥的年齡+2）=34+2”，據(jù)此列方程組求解即可.
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