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2025-2026學(xué)年七年級上冊數(shù)學(xué)單元考點培優(yōu)滬科版（2024）
第3章 一次方程與方程組 3.6 三元一次方程組及其解法
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．由方程組可得，x∶y∶z是（　　）
A．1∶2∶1 B．1∶（－2）∶（－1）
C．1∶（－2）∶1 D．1∶2∶（－1）
2．解三元一次方程組 ， 時， 最簡單的做法是（　　）
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常數(shù)
3．幻方是古老的數(shù)字問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的3個數(shù)之和相等．如圖為一個三階幻方的一部分，則圖中右上角空格中c的值為（　　）
a b c
10 d 　
e 　
A． B．0 C．2 D．4
4．解三元一次方程組，若先消去z，組成關(guān)于x、y的方程組，則應(yīng)對方程組進行的變形是（　　）
A． B．
C． D．
5．一賓館有二人間，三人間，四人間三種客房供游客居住，某旅行團24人準(zhǔn)備同時租用這三間客房共8間，且每個客房都住滿，那么租房方案有（　　）
A．4種 B．3種 C．2種 D．1種
6．已知是自然數(shù)，且滿足，則的取值不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為，，則下列關(guān)系式正確的是 （　　）
A． B． C． D．
8．若2a+5b+4c=0，3a+b-7c=0，則a+b-c的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．－1
9．若二元一次方程組 的解也是二元一次方程3x－4y=6的解，則k的值為（　　）
A．4 B．8 C．6 D．-6
10．若方程組的解中x的值比y的值的相反數(shù)大1，則k為（　　）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
二、填空題
11．中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則　 　，　 　，　 　．
12．有甲、乙、丙三種貨物，若購買甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若購買甲4件、乙10件、丙1件，共35元，現(xiàn)在購買甲、乙、丙各1件，共需　 　元．
13．已知（xyz≠0），則x：y：z的值　　 　
14．已知方程組的解也是方程3x﹣2y=0的解，則k=　 　 ．
15．冰墩墩和雪容融到校門外文具店買文件，冰墩墩購鉛筆2支，練習(xí)本2本，圓珠筆1支，共付9元錢；雪容融購?fù)瑯鱼U筆1支，練習(xí)本4本，圓珠筆2支，共付12元錢，若小明去購買與她們一樣的鉛筆1支、練習(xí)本2本、圓珠筆1支，他需付　 　元錢.
16．甲、乙、丙三人做游戲：有三張背面完全一樣，正面分別寫有正整數(shù)、、的卡片，且．洗勻卡片之后分發(fā)給三人，每人一張，并按每人所得卡片上的數(shù)字發(fā)相應(yīng)顆數(shù)的糖果，然后收回卡片再洗勻，所得的糖果由每人自己保存．這樣洗卡片、發(fā)卡片、發(fā)糖果的游戲至少進行兩次．已知游戲結(jié)束時甲、乙、丙三人分別獲得糖果17顆、9顆、7顆，且乙在最后一次游戲中得到顆糖果．則
（1）　 　．
（2）丙在第一次游戲中得到的糖果的準(zhǔn)確數(shù)量是　 　顆．
三、計算題
17．解方程組
（1） ；
（2）
四、解答題
18．小明去商店購買盒子，若 三種型號的盒子各買一個共需花費 9 元，若購買 3 個 型盒子、 2 個 型盒子和 1 個 型盒子共需花費 16 元，那么一個C型盒子比一個A型盒子貴多少元？
19．解方程組： ．
20．用如圖的方式測量桌子的高度，將兩塊完全一樣的木塊先按圖1放置，再按圖2放置，測得的數(shù)據(jù)如圖（單位：）．
（1）求出桌子的高度；
（2）如果兩次測量的數(shù)據(jù)分別是和，直接寫出桌子的高度．（用含、的式子表示）
21．根據(jù)已知條件解決下列問題
（1）在等式，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．求，，的值；
（2）已知是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分．
①求，的值；
②求的平方根．
22．三兄弟帶著西瓜到農(nóng)貿(mào)市場去賣：老大帶了個，老二帶了個，老三帶了個．上午他們按同一價格賣了若干個西瓜（西瓜按整個出售，均大于等于個，且均有剩余），過了中午，怕西瓜賣不完，他們降價把所有剩余的西瓜仍按同一價格全部賣掉了，回家后，他們清點賣瓜款后發(fā)現(xiàn)，三人賣瓜所得的錢數(shù)一樣多，每人都賣得元，問他們的西瓜到底上、下午各按什么價格賣出的？
23．閱讀材料：
我們知道方程組的解與方程組中每個方程的系數(shù)和常數(shù)項有聯(lián)系，系數(shù)和常數(shù)項經(jīng)過一系列變形、運算就可以求出方程組的解．因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高等代數(shù)學(xué)科將系數(shù)和常數(shù)項排成一個矩陣的形式，規(guī)定：關(guān)于x，y的二元一次方程組可以寫成矩陣的形式．例如：可以寫成矩陣的形式．
根據(jù)以上信息解決下列問題：
（1）請求出矩陣對應(yīng)的方程組的解；
（2）若矩陣所對應(yīng)的方程組的解為，求的值．
參考答案及試題解析
1．A
【解答】解：
由①得，③
將③代入②可得，，解得，
將代入③得，，
∴
故答案為：A
【分析】將方程組進行標(biāo)注，然后再由①，通過移項，得到x關(guān)于y和z的關(guān)系式：x=2y-3z，然后再將該式子代入2x-3y+4z=0，求出y和z的關(guān)系式，最后再將該式子代入x=2y-3z，求出x關(guān)于z的關(guān)系式，由此即可求出x：y：z的值
2．A
【解答】解：∵第一個方程只含有y，z，
∴對于方程組，
得到關(guān)于y，z的二元一次方程，聯(lián)立第一個方程得到方程組，
∴最簡單的做法是先消去x.
故答案為：A.
【分析】由題意可知第一個方程只含有y，z，利用第二、三個方程根據(jù)加減消元法消去x，即可得到關(guān)于y，z的二元一次方程，與第一個方程聯(lián)立組成方程組即可得到答案.
3．D
4．C
5．B
【解答】解：設(shè)賓館有客房：二人間x間、三人間y間、四人間z間，根據(jù)題意得：
，
解得：y+2z=8，
y=8﹣2z，
∵x，y，z是正整數(shù)，
當(dāng)z=1時，y=6，x=1；
當(dāng)z=2時，y=4，x=2；
當(dāng)z=3時，y=2，x=3；
當(dāng)z=4時，y=0，x=4；（不符合題意，舍去）
∴租房方案有3種．
故選：B．
【分析】首先設(shè)賓館有客房：二人間x間、三人間y間、四人間z間，根據(jù)題意可得方程組，解方程組可得y+2z=8，又由x，y，z是非負(fù)整數(shù)，即可求得答案．
6．D
【解答】解：原式=
∵式中有乘數(shù)3的倍數(shù)
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1個3
∴原式化為
∴
∴
∵是自然數(shù)
∴
解得
當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，，得；
故答案為：D．
【分析】將原方程化為，得出，再根據(jù)是自然數(shù)，求出a、c的值，進而求出答案。
7．C
【解答】解：設(shè)“ ▲ ”的質(zhì)量為z，
根據(jù)甲天平，得x+y=y+2z，整理得x=2z①，
根據(jù)乙天平，得x+z=x+2y，整理得z=2y②，
將②代入①得x=4y.
故答案為：C.
【分析】設(shè)“ ▲ ”的質(zhì)量為z，根據(jù)甲、乙兩個天平， 分別列等式x=2z①，z=2y②，再將②代入①即可得出答案.
8．A
【分析】首先把2a+5b+4c=0，3a+b-7c=0，建立關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出的解用c表示，進一步代入求得結(jié)果即可．
【解答】由2a+5b+4c=0，3a+b-7c=0得，，
解得，
代入a+b-c=3c-2c-c=0．
故選：A．
【點評】此題考查方程組的解法，注意把三元變?yōu)槎哑渲幸粋€未知數(shù)看作已知數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
9．B
【解答】已知 ，①＋②得：2x= ，∴x= ，代入①得：y=2k－ ，∴y= ．將x= ，y= ，代入3x－4y=6，得：3×－4× =6，解得：k=8．故選：B
【分析】理解清楚題意，運用三元一次方程組的知識，先用含k的代數(shù)式表示x，y，即解關(guān)于x，y的方程組，再代入3x－4y=6中可得解出k的數(shù)值．
10．A
【解析】解：由題意，
解得x=，y=，
∵x的值比y的值的相反數(shù)大1，
∴x+y=1，即+=1
解得k=3，
故選A．
【分析】所謂方程組的解，指的是該數(shù)值滿足方程組中的每一方程．解出方程組的解，在列出關(guān)于兩解的等式，求出k．
11．；；3
12．20
【解答】解：設(shè)甲x元，乙y元，丙z元，由題意可得
①×3-②×2，得x+y+z=30×3-35×2=90-70=20.
故答案為：20.
【分析】設(shè)甲x元，乙y元，丙z元，由題意可得，然后利用①×3-②×2就可求出x+y+z的值，據(jù)此解答.
13．1：2：3　
【解答】解方程組：，②×4﹣①得：21y=14z，即y=z，將y=z代入②得：x=z，則x：y：z=z：z：z=1：2：3．
故答案為：1：2：3
【分析】將z看做已知數(shù)表示出x與y，即可求出三字母之比．
14．-5
【解答】根據(jù)題意，聯(lián)立方程，
運用加減消元法解得，
再把解代入方程4x﹣3y+k=0，
得k=﹣5．
【分析】由題意，建立關(guān)于x，y的二元一次方程組，求得解后，再代入4x﹣3y+k=0的方程而求解的．
15．7
【解答】解：設(shè)鉛筆的單價為a元，練習(xí)本的單價為b元，圓珠筆的單價為c元，
∵冰墩墩購鉛筆2支，練習(xí)本2本，圓珠筆1支，共付9元錢，
∴2a+2b+c=9.
∵冰墩墩購鉛筆1支，練習(xí)本4本，圓珠筆2支，共付12元錢，
∴a+4b+2c=12，
∴3a+6b+3c=21，
∴a+2b+c=7，
∴小明去購買與她們一樣的鉛筆1支、練習(xí)本2本、圓珠筆1支，需付7元.
故答案為：7.
【分析】設(shè)鉛筆的單價為a元，練習(xí)本的單價為b元，圓珠筆的單價為c元，由題意可得2a+2b+c=9，a+4b+2c=12，兩式相加并化簡可得a+2b+c的值，據(jù)此解答.
16．11；3
17．（1）原方程組整理可得：
②-①，得：6y=6，
解得y=1，
將y=1代入①，得：3x-4=6，
解得x=
則方程組的解為
（2）①代入②，整理得：11x+2z=23 ④，
④×2+③，得25x=50，
解得x=2，
將x=2代入①，得y=-3，
將x=2代入③，得6-4z=4，
解得z=，
則方程組的解為
【分析】根據(jù)解方程組的加減消元法和代入消元法，求出方程組的解.
18．解：設(shè)A、B、C三個盒子的單價分別為a元，b元，c元，
根據(jù)題意得：，
由② ①×2得a c＝ 2，
∴c a＝2，
∴一個C型盒子比一個A型盒子貴2元，
答：一個C型盒子比一個A型盒子貴2元.
【分析】設(shè)A、B、C三個盒子的單價分別為a元，b元，c元，根據(jù)“ 若 三種型號的盒子各買一個共需花費 9 元 ”和“ 購買 3 個 型盒子、 2 個 型盒子和 1 個 型盒子共需花費 16 元 ”列出方程組，再求解即可.
19．解： ，
③×3+②得：11x+10z=35④，
①×5﹣④×2得：﹣7x=﹣35，
解得：x=5，
把x=5代入④得：z=﹣2，
把x=5，z=﹣2代入②得：y= ，
則方程組的解為 ．
【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．
20．（1）桌子的高度為
（2）桌子的高度為；
21．（1）
（2）①，；②
22．上午每個西瓜賣 元，下午每個西瓜賣 元
23．（1）解：由題意得：矩陣對應(yīng)的方程組為，
解得，，
∴矩陣對應(yīng)的方程組的解為；
（2）解：∵矩陣所對應(yīng)的方程組的解為，
∴將代入，得，
得，．
【分析】本題考查解二元一次方程組、三元一次方程組和新定義運算。根據(jù)方程組和矩陣的形式變化，可寫出矩陣 陣對應(yīng)的方程組為， 用代入法或加減法求出解即可。當(dāng)矩陣出現(xiàn)三行時，可類推為三元一次方程組，仔細(xì)觀察，會發(fā)現(xiàn)a+b+c的值，恰好是把三個三元一次方程求和，而不用分別求出a，b，c的值。當(dāng)然，如果沒發(fā)現(xiàn)簡便算法，也可以計算出a，b，c的值，再去求和。
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