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《培優卷》——第三單元倍數與因數（單元測試）-2025-2026學年五年級上冊數學（北師大版）
一、單選題
1．下面四個數中，(　　)是質數
A．1 B．9 C．14 D．19
2．三個連續的自然數都是合數，它們可以是（　　）。
A．3，4，5 B．8，9，10 C．11，12，13
3．長方形的長和寬都是質數，那么它的周長一定是(　　)。
A．質數 B．合數
C．既不是質數，也不是合數 D．無法確定
4．有兩個不同的質數的和是14，它們的積是（　　）
A．33 B．24 C．13 D．45
5．兩個自然數，個位上的數字相同，它們的差一定是（　　）的倍數。
A．3 B．4 C．2和5
6．在4、6、7、9這四個數中，兩個數是互質數的有（　　）組。
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如果三位數□42是3的倍數，那么□里可能是（　　）。
A．3，6，9 B．2，5，8 C．1，4，7
8．某個七位數 1993□□□能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數字是(　　)
A．135 B．345 C．320 D．325
二、判斷題
9．2.5÷5=0.5，可以說2.5是5的倍數。（　　）
10．一個大于0的自然數，不是質數就是合數。（　　）
11．一個數的最大因數和最小倍數都是它本身．（　　）
12．任何自然數都至少有2個因數。（　　）
13．在自然數中，除了質數以外都是合數。（　　）
14．因為85>75，所以85的因數比75的因數多。（　　）
15．所有的合數都是偶數。（　　）
16．除了2以外，任何一個質數加上1所得的數一定是2的倍數。(　　)
三、填空題
17．□56□是一個四位數，它既是3的倍數，也是5的倍數。這個數最大是　 　，如果還是2的倍數，這個數最大是　 　。
18． 兩個質數的和是60，積是851，這兩個質數分別是　 　和　 　。
19．用3個10以內的不同質數組成一個三位數，使它既是3的倍數，又有因數2。這個數最大是　 　
20．從0、1、2、3這四張數字卡片中任選兩張能擺出　 　個質數。
21．（質數）兩個不同質數的積的約數有　 　個。
22．用0、4、5這三個數字，組成是5的倍數的三位數有　 　，組成是3的倍數的最小三位數是　 　。
23．在1﹣10各數中，質數有　 　，在11﹣20各數中，合數有　 　．
24．小新將數字1到6排列成三個兩位數，且三個數的和是93。其中只有一個數是3的倍數，也只有一個數是4的倍數，沒有5的倍數。既不是3的倍數又不是4的倍數的數是　 　。
25．在0、1、7、8中選出3個數字，組成一個能同時被3、5整除的最小三位數是 　 　。
四、操作題
26．小宇幫媽媽看商店，小玲去該店買了一些修正帶和水彩筆，付了100元，小宇說應找回37元。按照下面的價格，小宇說得對嗎？為什么？
五、解決問題
27．五(1)班同學分組做游戲，按3人一組或5人一組分，都正好分完。已知五(1)班同學的人數在40人至 50 人之間，五(1)班有多少名同學？
28．有48個同學排隊，要求每列的人數相同，請問有多少種排法
29．數學課上，李老師在筐里放了36個蘋果，讓靜文去拿。不許一次拿完，也不許一個一個地拿，要每次拿的個數相同，拿到最后正好一個不剩。共有多少種拿法 每種拿法各拿多少次？
30．學校會議室長15米，寬9米。現在準備重新換地磚，有兩種規格的正方形地磚(如圖所示)，選哪種地磚不用切割就能恰好鋪滿地面 這種方磚至少要買多少塊
31．有0、1、4、7、9五個數字，從中選出四個數字，組成不同的四位數，如果把其中能被3整除的四位數從小到大排列起來，第五個數是幾？（注意：90%的同學會做錯）
32．媽媽買了一些康乃馨和郁金香，店員找給媽媽的錢對嗎？請說明理由。
33．4只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油．每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數如下：8，9，10，11，12，13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數，求最重的兩瓶內有多少油？
34．一個兩位數有6個約數，且這個數最小的3個約數之和為10，那么此數為幾？
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A項：1既不是質數，也不是合數；
B項：9是合數；
C項：14是合數；
D項：19是質數。
故答案為：D。
【分析】一個數只有1和它本身兩個因數，這個數就是質數；一個數除了1和它本身兩個因數，還有別的因數，這個數就是合數。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A：3，5的質數，4是合數；
B：8，9，10都是合數；
C：11，13是質數，12是合數。
故答案為：B。
【分析】質數是只有1和本身兩個因數的數；合數是除了1和本身外還有其它因數的數。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：周長=(長+寬)×2，
所以周長一定為合數。
故答案為：B
【分析】 質數是指在大于 1 的自然數中，除了 1 和它自身外，不能被其他自然數整除的數；合數是指自然數中除了能被 1 和本身整除外，還能被其他數（0 除外）整除的數。再根據長方形周長公式，分析長和寬都是質數時周長的性質。
4．【答案】A
【解析】【解答】14=3+11，
3×11=33。
故答案為：A。
【分析】根據題意可知，先將14分成兩個質數的和，也就是14=3+11，然后用乘法求出這兩個質數的積，據此列式解答。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：兩個自然數，個位上的數字相同，它們的差一定是2和5的倍數。
故答案為：C。
【分析】兩個自然數，個位上的數字相同，說明它們的差的個位上的數字一定是0，個位上的數字是0的數一定是2和5的倍數。
6．【答案】C
【解析】【解答】在4、6、7、9這四個數中，兩個數是互質數的有4和7、
6和7、
7和9、
4和9.
故答案為：C
【分析】根據質數與互質數的定義，即可解答。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：4＋2=6
6＋3=9
6＋6=12
6＋9=15，這些數都是3的倍數，所以□里可能是3、6、9。
故答案為：A。
【分析】一個數各個數位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
8．【答案】C
【解析】【解答】解： 能被2和5整除個位為0，能被9整除所有數字之和可以被9整除，
故十位，百位上的數字之和為5或14，
故后三位可能形式為050，140，230，320，410，500，590，680，770，860，950，
能被4整除的后三位數也能被4整除，能被8整除的，后三位必能被8整除，
可排除其它，只剩下320，680，
在考慮能被7整除，驗證只有320滿足條件。
故答案為：C。
【分析】 本題是考查能被2、3、4、5、6、7、8、9整除的數的特征．關鍵是根據能被2、5的數據特征確定個位，再根據能被9整除的數的特征確定十位和百位上的數，再用排除法排除不符合條件的。
9．【答案】錯誤
【解析】【解答】解：因數和倍數都是在整數范圍內，原題說法錯誤。
故答案為：錯誤
【分析】整數a除以整數b(a、b都不為0)，如果能整除a就是b的倍數，b就是a的因數。
10．【答案】錯誤
【解析】【解答】解：1大于0，但它既不是質數也不是合數。原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
【分析】質數的意義：一個自然數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；
合數的意義：一個自然數，如果除了1和它本身還有其他的因數，這樣的數叫做合數。
11．【答案】正確
【解析】【解答】解：一個數的最大因數和最小倍數都是它本身。原題說法正確。
故答案為：正確。
【分析】一個數的最小因數是1，最大因數是它本身；一個數的最小倍數是它本身，沒有最大的倍數。
12．【答案】錯誤
【解析】【解答】解：自然數1只有1個因數。原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
【分析】大于1的自然數都至少有2個因數，1只有1個因數。
13．【答案】錯誤
【解析】【解答】解：在自然數中（0除外）中，除了質數以外還有合數和1。
故答案為：錯誤。
【分析】非0的自然數包括：質數、合數、1。
14．【答案】錯誤
【解析】【解答】85=1×85=5×17，有4個因數；
75=1×75=3×25=5×15，有 6個因數；
85的因數比75的因數少，原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
【分析】求一個數的因數的方法最簡單的就是用除法，用這個數連續除以1，2，3，……，除到它本身為止，能整除的就是它的因數，分別求出85和75的因數，再比較數量。
15．【答案】錯誤
【解析】【解答】解：例如9、15、25等這些奇數也是合數，原題說法錯誤.
故答案為：錯誤
【分析】合數是除了1和本身外還有其它因數的數，合數可能是偶數也可能是奇數.
16．【答案】正確
【解析】【解答】解：因為1是奇數，且除2外的質數也一定是奇數，奇數+奇數=偶數，偶數是2的倍數，所以原題干說法正確。
故答案為：正確。
【分析】質數：一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）；
奇偶數：整數中，是2的倍數的數叫作偶數（0也是偶數），不是2的倍數的數叫作奇數；奇數+奇數=偶數，據此可以判斷。
17．【答案】8565；7560
【解析】【解答】解：□56□是一個四位數，它既是3的倍數，也是5的倍數。個位撒花姑娘必須是0或5，8＋5＋6＋5=24，這個數最大是是8565；7＋5＋6=18，如果還是2的倍數，這個數最大是7560。
故答案為：8565；7560。
【分析】個位上是0或5，并且各個數位上的數的和是3的倍數，這個數同時是3和5的倍數；
個位上是0、2、4、6、8，并且各個數位上的數的和是3的倍數，這個數同時是2和3的倍數。
18．【答案】23；37
【解析】【解答】解：兩個質數的和是60， 60 以內的質數有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59， 其中和是60的有7和53， 13和47， 17和43， 19和41， 23和37， 29和31， 其中積是851的只有23和37，所以這兩個數分別是23和37。
故答案為：23；37。
【分析】質數的定義是在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數；由于要找的數在60以內，所以先列出60以內的所有質數，從列出的質數中找出兩兩相加等于60，且兩兩相乘積為851的組合，從而確定符合條件的兩個質數。
19．【答案】732
【解析】【解答】解：10以內的質數有2、3、5、7，
732既是3的倍數，又有因數2。是最大的三位數。
故答案為：732。
【分析】一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；同時是2、3的倍數的數的特征是這個數個位上的數字是偶數，所有數位上的數字之和是3的倍數。
20．【答案】3
【解析】【解答】解：從0、1、2、3這四張數字卡片中任選兩張能擺出的數有：10、12、13、20、21、23、30、31、32，質數有13、23、31，共3個。
故答案為：3。
【分析】一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數。
21．【答案】4
【解析】【解答】解：設這兩個質數為A，B，根據質數的定義可知它們積的因數有：A×B、A、B、1，共4個。
所以兩個不同質數的積的約數有4個。
故答案為：4。
【分析】兩個質數的積的最小因數是1，最大因數是這兩個數的積，還有這兩個質數也是積的因數。
22．【答案】405，450，540；405
【解析】【解答】解：組成是5的倍數的三位數有：540、450、405；
組成是3的倍數的最小三位數是：405。
故答案為：540、450、405；405。
【分析】個位上是0或者5的數是5的倍數；一個數各個數位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
23．【答案】2，3，5，7；12，14，15，16，18，20
【解析】【解答】解：在1﹣10各數中，質數有：2，3，5，7；在11﹣20各數中，質數有11，13，17，19，其余都為合數：12，14，15，16，18，20；
故答案為：2，3，5，7；12，14，15，16，18，20．
【分析】一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；一個數，如果除了1和它本身還有其它因數，這樣的數叫做合數；據此可以采用一一列舉再排除的方法解答．解答此題關鍵是理解質數和合數的含義，掌握判斷一個數是質數還是合數的方法．
24．【答案】23
【解析】【解答】解：首先，我們知道1+2+3+4+5+6=21，如果將這六個數組成三個兩位數，總和為93，那么每個兩位數的平均值約為31。根據題目條件，我們可以嘗試組合數來滿足題目要求。因為沒有一個數是5的倍數，所以個位數不可能為5或0。又因為只有一個數是3的倍數和只有一個數是4的倍數，我們可以開始排列組合這些數。
一個可能的組合是：12，36，和45。但是，45既是3的倍數也是5的倍數，因此不滿足條件。我們需要重新組合。
另一個可能的組合是：15，24，和36。15是3和5的倍數，所以不滿足條件。再次重新組合。
最后，我們找到一個滿足所有條件的組合：16，23，和54。其中16是4的倍數，54是3的倍數，23既不是3的倍數也不是4的倍數，且三個數相加等于93。
故答案為：23。
【分析】一個數各個數位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數；
一個整數末尾兩位數是4的倍數，這個數就是4的倍數；
本題的關鍵在于理解并應用3和4的倍數的特性，同時利用排列組合的思路，通過嘗試不同的組合來找到滿足題目所有條件的數。
25．【答案】180
【解析】【解答】解：3的倍數的特點：各位上的數的和是3的倍數。
5的倍數的特點：個位上是0、5
【分析】5的倍數，個位上只能是0、5，在幾個數字中，只能選擇個位是0的三位數，符合3的倍數，再從1、7、8中，選出兩個數字，加起來是3的倍數的，可以是1、8，頁可以是7、8，題目要求是最小的三位數，那么只能是180。
26．【答案】解：小宇說得不對，修正帶和水彩筆的單價是5的倍數，100也是5的倍數，所以找回的錢應該是5的倍數，而37不是5的倍數，所以小宇說得不對。
【解析】【分析】找回的錢應該是5的倍數，而37不是5的倍數，所以小宇說得不對。
27．【答案】解：40~50 之間是5的倍數的數有 40、45、50，其中只有 45是3的倍數，所以五(1)班有45 名同學。
【解析】【分析】先寫出40~50 之間是5的倍數的數，并且這個數還得是3的倍數，只有45符合，則五(1)班有45 名同學。
28．【答案】解：1×48、2×24、3×16、4×12、6×8、8×6、12×4、16×3、24×2、48×1一共10種排法答：一共有10種排法
【解析】【分析】找因數可以一對一對地找，從小到大按順序找
29．【答案】解：36=2×18=3×12=4×9=6×6
符合的36的因數有：2，3，4，6，9，12，18。
答：共有7種拿法， 每次拿2個拿18次， 每次拿3個拿12次， 每次拿4個拿9次， 每次拿6個拿6次， 每次拿18個拿2次， 每次拿12個拿3次， 每次拿9個拿4次。
【解析】【分析】找到能被26整除的數有多少個，即36的因數有多少，就是多少種拿法；注意1和36除外；據此解答。
30．【答案】解：15米=150分米，9米=90分米，
150不是8的倍數，所以要用邊長是6分米的地磚，
（150×90）÷（6×6）
=13500÷36
=375（塊）
答：選邊長6分米的地磚不用切割就能恰好鋪滿地面，這種方磚至少要買375塊。
【解析】【分析】因為不用切割，所以會議室的長和寬一定是地磚邊長的倍數，根據倍數的知識確定地磚的種類。用會議室的面積除以每塊地磚的面積即可求出需要地磚的塊數。
31．【答案】解：因為0+1+4+7+9=21，21能被3整除，所以從中去掉0或9選出的兩組四個數字組成的四位數能被3整除，即0，1，4，7或1，4，7，9兩種組合情況；
第一種情況：1047、1074、1407、1704、1470、1740、4017、4071……
第二種情況：1479、1497、1749、1794、1947、1974、……
其中最小的五個數字從小到大排列起來是1047<1074<1407<1470<1479。
答：第五個數是1479。
【解析】【分析】3的倍數的特征：如果一個數的各個數位上數字之和是3的倍數，則這個數也是3的倍數；
從小到大排列即要從最小的找起，第五個數即是找其中最小的五個數排列，因此根據組成的四位數中找出最小的五個數排列即可解答。
32．【答案】答：找的錢數不對。因為康乃馨10一枝，郁金香5元一枝，都是5的倍數，媽媽付的50元也是5的倍數，所以找回的錢也應該是5的倍數，而13不是5的倍數，所以找回的錢不對。
【解析】【分析】個位上是0或5的數是5的倍數，據此可以解答。
33．【答案】解：由于每只瓶都稱了三次，因此記錄數據之和是4瓶油（連瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（連瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3=21 （千克）
而油重之和及瓶重之和均為質數，所以它們必為一奇一偶，由于2是唯一的偶質數，只有兩種可能：
（1） 油重之和為19千克，瓶重之和為2千克，每只瓶重 千克，最重的兩瓶內的油為 （千克），
（2）油重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重 千克，最重的兩瓶內的油為 （千克），這與油重之和 2千克矛盾。
因此最重的兩瓶內共有 12 千克油。
【解析】【分析】因為每瓶油都稱3次，所以4瓶油的質量之和是3的倍數，經過計算，4瓶油（連瓶）計算得出的結果是合數，而且4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數，所以它們必為一奇一偶，由于2是唯一的偶質數，只有兩種可能：
第一種： 油重之和為19千克，瓶重之和為2千克；
第二種：油重之和為2千克，瓶重之和為19千克。
然后得到兩種情況下最重的兩瓶內油的重量。
34．【答案】解：最小的三個約數中必然包括約數1，除去1以外另外兩個約數之和為9，由于9是奇數，所以這兩個約數的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個是偶數，如果一個數包含偶約數，那么它一定是2的倍數，即2是它的約數。于是2是這個數第二小的約數，而第三小的約數是7，所以這個兩位數是14的倍數，由于這個兩位數的約數中不含3、4、5、6，所以這個數只能是14或98，其中有6個約數的是98。
答：此數是98。
【解析】【分析】一個數最小的約數是1，最大的約數是它本身。先確定這個兩位數最小的約數1，然后確定另外兩個較小的約數之和是9；根據“奇數+偶數=奇數”可以得到這兩個約數中一定有一個約數是2，那么另外一個較小的約數就是7。前三個約數的積是14，那么這個兩位數一定是14的倍數。然后從14的兩位數倍數中找出6個約數的數即可。
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