資源簡介

(共25張PPT)
第1章 勾股定理
2 一定是直角三角形嗎
導入新課
在直角三角形中，三邊的長度之間有什么關系？
如果一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是不是直角三角形呢？
探究新知
探究1
下面有四組數，分別是一個三角形的三邊長a，b，c：
①5，12，13；②7，24，25；
③8，15，17；④ 5，6，7．
問題1：這三組數都滿足a2＋b2＝c2嗎？
分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？
5
6
7
①②③是
④不是
問題2 哪幾組數在數量關系上有什么相同點？
① 5，12，13 滿足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 滿足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 滿足 82 + 152 = 172.
a2 + b2 = c2
勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長 a ，b ，c 滿足
a2 + b2 = c2，
那么這個三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判定此三角形為直角三角形，最長邊所對的角為直角.
特別說明：
勾股數
如果三角形的三邊長 a，b，c 滿足
a2 + b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形.
滿足 a2 + b2 = c2 的三個正整數，稱為勾股數.
常見勾股數
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
勾股數拓展性質
一組勾股數，都乘相同倍數 k (k 為正整數)，得到一組新數，這組數同樣是勾股數. 如將 3，4，5 都乘 2 和 3，得到的 6，8，10 和 9，12，15 也是勾股數.
探究2
1，，是勾股數嗎？
不是，勾股數是正整數，
如3，4，5；6，8，10；5，12，13…
應用舉例
【例1】一個零件的形狀如圖 1-14 所示，按規定這個零件中∠A 和∠DBC 都應為直角. 工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖 1-15所示（單位：cm），這個零件符合要求嗎
在△BCD 中，
BD + BC = 5 + 12 = 169 = 13 = CD ，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.
因此，這個零件符合要求.
解：在△ABD 中，
AB + AD = 3 + 4 = 25 = 5 = BD ，
所以△ABD 是直角三角形，
∠A 是直角.
【例2】將一根30 m長的細繩折為3段，圍成一個三角形，其中一條邊比較短邊長7 m，比較長邊短1 m，請你判斷這個三角形的形狀．
【方法指導】判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長．
解：設中間長的邊為x m，則較長邊為(x＋1)m，較短邊為(x-7)m.
根據題意，得x＋x＋1＋x-7＝30，
解得x＝12，則x＋1＝13，x-7＝5.
∵52＋122＝132，
∴這個三角形的形狀是直角三角形．
隨堂練習
1．以下列各組數為三邊長的三角形中，是直角三角形的有 ( )
①3，4，5；②2，3，4；
③32，42，52；④6，8，10.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
B
2．三角形的三邊長分別是a，b，c，且滿足等式(a＋b)2-c2＝2ab，則此三角形是 ( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
A
3．將直角三角形的三邊擴大10倍后，得到的三角形是 ( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．不能確定
A
4．如圖，AB＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，CD＝13，AD＝12.求該圖形的面積．
解：連接AC.
∵在Rt△ACB中，AB＝3，CB＝4，
∴AC＝5.
在△ACD中，
∵AC2＋AD2＝52＋122＝132＝DC2，
∴△ADC為直角三角形，∠CAD＝90°，
∴該圖形的面積為
S△ADC-S△ACB＝×5×12-×3×4＝24.
5.判斷滿足下列條件的三角形是否是直角三角形.
(1) 在△ABC 中，∠A = 20°，∠B = 70°；
(2) 在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25；
(3) △ABC 的三邊長 a，b，c 滿足 (a＋b)(a－b) = c .
【方法指導】(1) 已知兩角可以求出另外一個角；
解：(1) 在△ABC 中，
∵∠A = 20°，∠B = 70°，
∴∠C = 180°－∠A－∠B = 90°，
即△ABC 是直角三角形.
(2) 在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25；
(2) ∵ AC + AB = 7 + 24 = 625，BC = 25 = 625，
∴ AC + AB = BC .
根據勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形.
【方法指導】(2) 使用勾股定理的逆定理驗證.
(3) △ABC 的三邊長 a，b，c 滿足 (a＋b)(a－b) = c .
【方法指導】(3) 將式子變形即可使用勾股定理的逆定理驗證.
(3) ∵ (a＋b)(a－b) = c ，
∴ a －b = c ，即 a = b ＋c .
根據勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形.
方法總結：在運用勾股定理的逆定理時，要特別注意找到最大邊，定理描述的最大邊的平方等于另外兩邊的平方和.
解：在△ABC中，
∵AB⊥BC，
∴根據勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
在△ACD中，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是以AD為斜邊的直角三角形，∠ACD＝90°.
∴AC⊥CD.
∵AC2＋CD2＝5＋4＝9，AD2＝9，
6. 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，
CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC. 試說明：AC⊥CD.
課堂小結
一定是直角三角形嗎
勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a，b，c 滿足a2 + b2 = c2，
那么這個三角形是直角三角形
勾股數：滿足 a2 + b2 = c2 的三個正整數 a，b，c
教材P11隨堂練習T1、T2，P11～12習題1.2中的T1、T3.
作業布置

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