資源簡介

(共28張PPT)
第1章 勾股定理
3 勾股定理的應用
導入新課
1．如圖①，小華將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發現此時繩子末
端距離地面2 m，則旗桿的高度為多
少米？
2．如圖②是學校的旗桿示意圖，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出一段，現在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個辦法嗎？說出你的設計方案．
探究新知
【探究1】直角三角形的判定
裝修工人李叔叔想檢測某塊裝修用磚（如圖）的邊AD 和邊 BC 是否分別垂直于底邊 AB.
(1)如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務嗎？
(2)李叔叔量得邊AD長是30 cm，邊AB長是40 cm，點B，D之間的距離是50 cm.邊AD垂直于邊AB嗎？
(3)如果李叔叔隨身只帶了一個長度為20 cm的刻度尺，那么他能檢驗邊AD
是否垂直于邊AB嗎？
用卷尺分別測量 AD，DB，AB 的長，
若 AD2 + AB2＝DB2，
則 ∠A＝90°，即AD⊥AB.
(1)如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務嗎？
∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，DB2＝502＝2500
∴∠A＝90°，即AD⊥AB.
所以邊 AD 垂直于邊 AB
(2)李叔叔量得邊AD長是30 cm，邊AB長是40 cm，點B，D之間的距離是50 cm.邊AD垂直于邊AB嗎？
A
B
C
D
A
B
C
D
能檢驗.在 AD 上從 A 點量取 12 cm
得點 E，在 AB 上從 A 點量取 16 cm 得點 F.
因為 12 + 16 = 20 ，
用刻度尺測 EF 長度，若 EF = 20 cm，
根據勾股定理逆定理，AD⊥AB；
若 EF≠20 cm，則 AD 不垂直 AB.
(3) 如果李叔叔隨身只帶了一個長度為 20 cm 的刻度尺，那么他能檢驗邊 AD 是否垂直于邊 AB 嗎
E
F
案例分析
用一張直角三角形紙片折疊，你能發現折疊前后兩部分圖形有什么關系嗎？說明理由.
如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC = 5 cm，BC = 10 cm，將△ABC 折疊，使得 B 與 A 重合，折痕為 DE，你能求出 CD 的長嗎？
A
C
B
E
D
分析：
(1) 本題已知什么？求的是什么？
5
10
A
C
B
E
D
（3）觀察 CD 在哪一個三角形中？你能表示出這個三角形的每一條邊嗎？
（2）本題將△ABC 折疊，使得 B 與 A 重
合，折痕為 DE，可得到什么？依據是什么？
AD = BD；依據：折疊的性質.
5
CD 在Rt△ACD 中；
x
10-x
10-x
可設 CD = x，
則 AD = 10 - x.
10
A
C
B
E
D
5
x
10-x
10-x
10
解：設 CD = x cm，則 DB = (10 - x) cm，
由題意，根據折疊的性質，
可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5.
在Rt△ACD 中，
由勾股定理得，AD = AC + CD ，
(10 - x) = 5 + x ，
解得 x = .
則 CD = .
【探究2】勾股定理的應用
如圖，正方形紙片 ABCD 的邊長為 8 cm，點 E 是邊 AD 的中點，將這個正方形紙片翻折，使點 C 落到點 E 處，折痕交邊 AB 于點 G，
交邊 CD 于點 F. 你能求出 DF 的長嗎
解：設DF長x cm，則EF長為(8-x) cm，
∵正方形紙片ABCD的邊長為8 cm，點E為AD中點，
∴ED＝AD＝4 cm.
在Rt△DEF中，由勾股定理，
得DE2＋DF2＝EF2，
即42＋x2＝(8-x)2，
解得x＝3.
∴DF的長為3 cm.
你能利用以下折疊圖形，借助勾股定理，設計一個有關折疊的計算問題么？
試一試
1. 如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，將△ABC 折疊，使點 B 與點 A 重合，折痕為 DE，則 BE 的長為（ ）
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
B
練一練
總 結
利用勾股定理解決折疊問題的一般步驟：
①標已知，設未知；
②利用折疊，找相等；
③利用勾股定理，列方程；
④解方程，得解.
應用舉例
【例1】今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問:水深、葭長各幾何 (選自《九章算術》)題目大意:有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺(如圖)。如果
把這根蘆葦垂直拉向岸邊，那么它的
頂端恰好到達岸邊的水面。這個水池
的深度和這根蘆葦的長度各是多少
解：設水池的水深 OA 為 x 尺，則蘆葦的長度 OB 為 (x + 1) 尺.
由于蘆葦位于水池中央，所以 AC為 5 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.
12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，蘆葦的長度是 13 尺.
【例2】甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發，他以6 km/h的速度向正東行走，1 h后乙出發，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00甲、乙兩人相距多遠？
解：如圖，已知A是甲、乙的出發點，
10：00甲到達B點，乙到達C點，
則AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km).
在Rt△ABC中，
BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132.
∴BC＝13 km.
故甲、乙兩人相距13 km.
隨堂練習
1. 強大的臺風使得一根旗桿在離地面5m處折斷倒
下，旗桿頂部落在離旗桿12m處，旗桿折斷之前的
高度是(　D　)
A. 12m B. 13m
C. 17m D. 18m
D
2. 如圖，某同學在做物理實驗時，將一支細玻璃棒
斜放入一只盛滿水的燒杯中，已知燒杯高8cm，玻
璃棒被水淹沒部分長10cm，則這只燒杯的底面直徑
是(　D　)
A. 9cm B. 8cm
C. 7cm D. 6cm
D
3．小雨用竹竿扎了一個長40 cm、寬30 cm的長方形框架，由于四邊形容易變形，需要用一根竹竿作斜拉桿將四邊形定形，則斜拉桿最短需____cm.
50
4．如圖，有兩棵樹，一棵高13 m，另一棵高8 m，兩樹相距12 m，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，至少飛了____m.
13
5. 如圖，陰影部分是一個正方形，它的面積是
_____cm2.
64　
6. 如圖，要在兩幢樓房的房頂A，B間拉一根光纜線(按線段計算)，則至少需要光纜線____m.
10　
7．如圖，陰影部分的半圓的面積是多少？(π取3.14)
解：62＋82＝100＝102，
∴半圓的直徑為10.
π×≈39.25.
課堂小結
勾股定理的應用
立體圖形中兩點之間的最短路程問題
勾股定理的實際應用問題
教材P14～15習題1.3中的T1、T2、T3.
作業布置

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