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2024-2025學年遼寧省重點中學協作校高一下學期期末考試
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.一個平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，是等腰直角三角形且，其中斜邊，則這個平面圖形的面積是( )
A. B. C. D.
2.若復數為純虛數，則的值為( )
A. B. C. 或 D. 且
3.設，，表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列結論正確的是( )
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，且滿足，則
4.已知，則( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若與垂直，則( )
A. B. C. D.
6.一個圓錐被平行于底面的平面所截，上下兩個幾何體的側面積之比為，則上下兩個幾何體的體積之比為( )
A. B. C. D.
7.海洋洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則、兩點的距離為( )
A. B. C. D.
8.祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高。這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等。利用祖暅原理可以將半球的體積轉化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差。如圖，是一“四腳帳篷”形狀的幾何體的示意圖，其中曲線和均是以為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于底面的平面截該幾何體，所得截面四邊形均為正方形，請利用祖暅原理試求該幾何體的體積是提示：可以構造一個與帳篷同底等高的正四棱柱
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，則下列結論正確的有( )
A. 復數的虛部為
B.
C.
D. 復數滿足，則的最小值為
10.已知，則下列選項正確的是( )
A. 函數的最小正周期為
B. 函數的對稱軸方程為
C. 函數在區間上單調遞減
D. 將函數的圖象向左平移個單位，所得函數為偶函數
11.如圖，在棱長為的正方體中，點，分別是棱，的中點，點是棱的中點，過線段作與平面平行的平面，截正方體所得的截面，下列選項正確的是( )
A. 截面圖形是梯形
B. 截面圖形是五邊形
C. 截面的面積為
D. 該截面所在平面截正方體的外接球所得截面的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，滿足，，且，則與夾角的余弦為 ．
13.如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為，，則此圓臺的內切球與圓臺的上、下底面及側面都相切的球叫圓臺的內切球的表面積為 ．
14.已知銳角的角，，所對邊分別為，，，，，是三角形的外心，若，則實數的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共44分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，四棱錐，底面，，，，，是的中點．
求證：平面
求證：平面平面
16.本小題分
已知函數的部分圖象如圖所示．
求的解析式
若函數在區間上恰好有二個零點，求實數的取值范圍．
17.本小題分
已知，，，
求的值域
在中，，，分別是角，，所對的邊，若，，，，求內切圓半徑的值．
18.本小題分
如圖，長方體中，，，點是棱的中點．
過三點作出長方體的截面不要求過程，作出即可
是否存在實數，使得直線與平面垂直并說明理由
設是線段上的一點不含端點，滿足，求的值，使得三棱錐與三棱錐的體積相等．
19.本小題分
是直線外一點，點在直線上點與點，任一點均不重合，我們稱如下操作為“由點對施以視角運算”若點在線段上，記若點在線段外，記在中，角，，的對邊分別是，，，點在射線上．
若三角形為等邊三角形，點在延長線上，滿足，則點對施以視角運算，求的值
若，，由點對施以視角運算，，求的最小值
若，，由點對施以視角運算，，求的最大值。
參考答案
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10.
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14.
15.證明：設的中點為，連接和，由是的中點，得，且，
因為，，所以為直角梯形，又，
則，，所以四邊形是平行四邊形，
于是，而平面，平面，
所以平面
由平面，平面，得，
而，，，平面，則平面，
又平面，因此，
又因為，點為中點，所以，
因為，，面，所以平面，
由知，所以平面，因為平面，所以平面平面．
16.由題知， ，所以，則，
故，
由，則，，即，，
又，當時，則，故
令，即，所以等價于在有兩個交點，
，則，
由在上單調遞增，對應值域為，
函數在區間上有且僅有兩個零點，
只需，所以時，函數在區間上恰好有二個零點．
17.解：因為，，
所以，
又，
令，
，
則，，
所以函數在是增函數，在是減函數，
所以函數的值域為
因為，
所以，，
又因為，所以．
且，所以．
因為，
由正弦定理，，得，
又，所以，即．
所以，，．
所以三角形為邊長的等邊三角形，
由，得，解得．
所以內切圓半徑的值為．
18.解：取的中點，連接，，四邊形即為過三點作長方體的截面；
存在實數，使得直線與平面垂直理由如下：
連接，如圖
當時，，
因為，所以，所以∽，則，
所以，即，
在長方體中，平面，
又平面，所以，
因為，、平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可證，又，、平面，
所以直線平面
設與平面的斜足為，
因為，
，
所以，則，
若，則，故，
所以在線段上取一點，要使三棱錐與三棱錐的體積相等，
則為的中點，即．

19.解：因為三角形為等邊三角形，點在延長線上，滿足，
所以，，又因為，
所以，
因為，所以，則，
因為，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，當且僅當，
即，時等號成立，
所以的最小值為；
如圖：因為，所以，
在三角形中，由正弦定理知，
所以，
同理在三角形中，，
又因為，所以，
因為，
因為在三角形中，由正弦定理知：，
所以，
在中，運用余弦定理，
可得，
化簡，可得，
，，，
當時，即時，取得最大值，
．
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