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(共27張PPT)
人教版 八年級 數學（上）
14.3　角的平分線
第1課時　角的平分線的性質
新課導入
如圖是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線．你能說明它的道理嗎？
探究新知
角的平分線上的點的特性是由其與角的兩邊的關系體現的. 我們先來看角的平分線上的點與角兩邊上的點所連線段的數量關系.
探究
如圖，OC 是∠AOB 的平分線，P 是 OC 上的任意一點，M，N 分別是 OA，OB 上的點，我們研究 PM 與 PN 的關系.
C
A
B
O
M
N
P
研究幾何圖形的關系時，我們往往關注其中的一些特殊情況. 圖中當 OM 與 ON 滿足什么關系時，PM = PN？
C
A
B
O
M
N
P
OP = OP，∠POM =∠PON，
在△OPM 和△OPN 中，
如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)，
就有 PM = PN.
反過來，如圖，M，N 分別是∠AOB 的邊 OA，OB 上的點，OM = ON，點 P 在∠AOB 的內部，PM = PN. 連接 OP.
A
B
O
M
N
OP = OP，OM = ON，PM = PN，
在△OPM 和△OPN 中，
∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON.
P
即點 P 在∠AOB 的平分線上.
思 考
由上述結論，你能想到如何作一個角的平分線嗎？
1
先在角的兩邊上分別作出與角的頂點距離相等的兩點.
2
在角的內部作出與這兩點距離相等的點.
3
以角的頂點為端點，作過這個點的射線.
作法：如圖，已知∠AOB.
(1) 以點 O 為圓心，適當長為半徑作弧，交 OA 于點 M，交 OB 于點 N.
A
B
O
M
N
C
(3) 作射線 OC. 射線 OC 即為∠AOB 的平分線.
角的平分線的作法
(2) 分別以點 M，N 為圓心，大于 MN的長為半徑作?。ㄏ胍幌霝槭裁矗瑑苫≡凇螦OB 的內部相交于點 C.
A
B
O
M
N
為什么以大于 MN的長為半徑作?。?br/>以小于 MN的長為半徑，兩弧無交點；
以等于 MN的長為半徑，不易操作.
角的平分線的作法
已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分線.
A
B
O
【結論】作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.
練習
探究
如圖，OC 是∠AOB 的平分線，點 P1，P2，P3，···在 OC 上，過點 P1，P2，P3，···分別畫 OA 與 OB 的垂線，垂足分別為 D1 與 E1、D2 與 E2、D3 與 E3······.
分別比較 P1D1 與 P1E1、
P2D2 與 P2E2、P3D3 與 P3E3
······，你有什么發現？
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
探究新知
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
猜想：角平分線上的點到角兩邊的距離相等
已知：
一個點在一個角的平分線上.
求證：
驗證
這個點到這個角兩邊的距離相等.
角的平分線的性質
C
A
B
O
D
E
P
如圖，OC 是∠AOB 的平分線，點 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D，E.
求證 PD = PE.
可以通過證明△OPD≌△OPE得到 PD = PE.
角的平分線的性質的應用
C
A
B
O
D
E
P
證明：∵OC 是∠AOB 的平分線，∴∠AOC =∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∠AOC = ∠BOC ，
∠PDO = ∠PEO ，
OP = OP ，
∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）
∴PD = PE
證明幾何命題的一般步驟
1. 明確命題中的已知和求證；
2. 根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；
3. 經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.
必要時先將命題改寫成“如果···那么···”的形式
注意可能存在不同情形
如圖，∵OC 是∠AOB 的平分線，
P 是 OC 上一點，
PD⊥OA 于點 D，
PE⊥OB 于點 E，
∴PD = PE.
角平分線上的點到角兩邊的距離相等
角的平分線的性質
C
A
B
O
D
E
P
幾何語言：
歸納
角平分線上的點到角兩邊的距離相等
C
A
B
O
D
E
P
應用定理需具備的條件：
（1）角的平分線；
（2）點在該平分線上；
（3）垂直距離.
定理的作用：
證明線段相等
角的平分線的性質
知識歸納
1．作已知角的平分線的方法有很多，主要有折疊法和　 　.
2．角的平分線上的點到角兩邊的距離　 　.
3．一般情況下，要證明一個幾何命題時，可以按照以下的步驟進行：(1)明確命題中的　 　和
　 ?。?2)根據題意，畫出　 　，并用數學
　 　表示已知和求證；(3)經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出　 .
尺規作圖法
相等
已知
求證
圖形
符號
證明過程
例題與練習
例1　如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，
且BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.
求證：∠B＝∠C.
證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B＝∠C.
DB＝DC
DE＝DF
A
E
B
F
C
D
例2　如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB于點E，且CD＝CB， ∠ABC＋∠ADC＝180°.
證明：過點C作CF⊥AD，交AD的延長線于點F.
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF.
C
B
A
D
E
F
又∵CD＝CB，
求證：AE＝ (AB＋AD).
∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，
∴DF＝BE.
∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，
∴AF＝AE，
∴DF＝AF－AD＝AE－AD.
∵BE＝AB－AE，DF＝BE，
∴AE－AD＝AB－AE，
∴AE＝ (AB＋AD).
C
B
A
D
E
F
課堂小結
角平分線
尺規作圖
性質
添加
輔助線
依據：SSS
一個點：
二距離：
兩相等：
角平分線上的點
點到角兩邊的距離
兩條垂線段相等
過角平分線上一點向兩邊作垂線段
隨堂檢測
教材P50練習 第1題
1. 如圖，在直線 MN 上求作一點 P，使點 P 在∠AOB 的內部，且點 P 到射線 OA 和 OB 的距離相等.
解：如圖所示： 作∠AOB 的平分線與 MN 交于點 P，點 P 即為所求.
A
B
O
N
M
P
2. 如圖，OC 是∠AOB 的平分線，點 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D，E. 點 F，G 分別在 OA，O B上，DF = EG，連接 PF，PG. 求證 PF = PG.
C
A
B
O
G
F
D
E
P
教材P50練習 第2題
在 △DPF 和 △EPG 中，
證明：∵OC 是∠AOB 的平分線，點 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°.
PD = PE，
∠PDF = ∠PEG，
DF = EG，
∴△DPF≌△EPG（SAS）.
∴PF =PG.
C
A
B
O
G
F
D
E
P
教材P50練習 第2題
3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E，且AB＝6 cm，則△DEB的周長為 ( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
C
B
A
D
E
B
4．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P且與AB垂直．若AD＝8，則點P到BC的距離是 ( )
A．8 B．6 C．4 D．2
C
C
B
A
D
P
5．如圖，已知OD平分∠AOB，P是OD上一點，在OA，OB邊上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM＝PN.
證明：∵OD平分∠AOB，
∴∠1＝∠2.
又∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△AOD≌△BOD(SAS)，
∴∠3＝∠4，∴PD平分∠BDA.
∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.
M
A
B
O
N
D
P
1
2
3
4

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