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人教版 八年級 數學（上）
14.3　角的平分線
第2課時　角的平分線的判定
新課導入
1．點到直線的距離，就是這一點到直線的______的長度．
2．角的平分線上的點到角兩邊的距離_____.
相等
垂線段
練習
3．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點．若PA＝2，則PQ的最小值為 (　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　
C．3　　　　　D．4
B
P
O
M
N
A
Q
我們知道，角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.反過來，交換這個性質的題設和結論，得到的命題還成立嗎 也就是說，到角兩邊距離相等的點一定在角的平分線上嗎
探究新知
探究新知
交換“角的平分線上的點到角兩邊的距離相等” 這個性質的題設和結論，得到的命題還成立嗎？
C
A
B
O
D
E
P
猜想：到角兩邊距離相等的點一定在角的平分線上
已知：
角的內部的一個點到這個角兩邊的距離相等.
求證：
驗證
這個點在這個角的平分線上.
如圖，P 為∠AOB 內部一點，PD⊥OA 于點 D，PE⊥OB 于點 E，且 PD = PE.
求證：點 P 在∠AOB 的平分線上.
可以通過添加輔助線，構造三角形來證明.
A
B
O
D
E
P
C
證明：如圖，經過點 P 作射線 OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，
OP = OP，
PD = PE，
∴ △OPD ≌ △OPE（HL）
∴∠AOC =∠BOC
A
B
O
D
E
P
C
∴點 P 在∠AOB 的平分線上.
如圖，∵P 為∠AOB 內部一點，PD⊥OA 于點 D，PE⊥OB 于點 E，且 PD = PE，∴點 P 在∠AOB 的平分線上，即 OP 平分∠AOB.
角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
角的平分線的判定定理
幾何語言：
A
B
O
D
E
P
C
位置關系
數量關系
所有到角兩邊距離相等的點組成這個角的平分線
1
角的平分線的性質及判定的關系
點在角的平分線上
角的內部，點到角兩邊距離相等
性質
判定
2
角的平分線（頂點除外）可以看成到角兩邊距離相等的所有點的集合.
歸納
練習
1. 如圖，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分別為 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于點 F，連接 DF. 求證：FD 平分∠BFE.
教材P51練習 第1題
C
A
B
D
E
F
教材P51練習 第1題
C
A
B
D
E
F
證明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°.
在△ABD 和△CED 中，
∠ADB =∠CDE，
∠ABD =∠CED，
AB = CE，
∴△ABD ≌△CED（AAS）
∴BD = ED.
又 AB⊥CD，CE⊥AD，
∴FD 平分∠BFE.
例 如圖，△ABC 的角平分線 BM，CN 相交于點 P. 求證：
點 P 到三邊 AB，BC，CA 的距離相等；
△ABC 的三條角平分線交于一點.
C
A
B
M
N
P
點 P 到邊 AB，BC 的距離相等，點 P 到邊AC，BC 的距離相等
要證△ABC 的三條角平分線交于一點，只要證點 P 也在∠A 的平分線上．
探究新知
C
A
B
M
N
P
教材P51 例題
證明：(1) 過點 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為 D，E，F.
∵BM 是△ABC 的角平分線，
點 P 在 BM 上，
∴PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等 .
E
F
D
C
A
B
M
N
P
教材P51 例題
(2) 由 (1) 得，點 P 到邊 AB，CA 的距離相等，
∴點 P 在∠A 的平分線上 .
∴△ABC 的三條角平分線交于一點 .
E
F
D
三角形三條角平分線的關系
三角形的三條角平分線相交于一點，并且這點到三條邊的距離相等.
三角形內部到三邊距離相等的點是
三條角平分線的交點.
到三角形三邊所在直線距離相等的點一共有幾個？
4個
P1
P4
P2
P3
三角形三個內角的平分線的交點 P1；
三角形一個內角與另外兩個角的外角的平分線的交點 P2，P3，P4.
拓展
教材P51練習 第2題
如圖，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分線，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分線，BF，CG 相交于點 P. 求證：
點 P 到三邊 AB，BC，CA 所在直線的距離相等；
點 P 在∠A 的平分線上.
C
A
B
D
E
F
G
P
練習
教材P51練習 第2題
C
A
B
D
E
F
G
P
J
I
H
證明：(1) 如圖，過點 P 分別作 PJ，PI，PH 垂直于三邊 AB，BC，AC 所在的直線，垂足分別為 J，I，H.
∵BF 是∠CBD 的平分線，點 P 在 BF 上，∴PI = PJ.
同理，PH = PI，
∴PJ = PI = PH，
即點 P 到三邊 AB，BC，CA 所在直線的距離相等.
教材P51練習 第2題
C
A
B
D
E
F
G
P
J
I
H
(2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ，
∴點 P 在∠A 的平分線上.
角平分線的性質 角平分線的判定
圖示
已知條件
結論
OP 平分∠AOB
PD⊥OA于點 D
PE⊥OB于點 E
PD = PE
PD⊥OA 于點D
PE⊥OB 于點E
PD = PE
OP 平分∠AOB
歸納
例題與練習
例1　如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F，BE，CF相交于點D，BD＝CD.
求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，
∴DF＝DE.
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴AD平分∠BAC.
B
F
D
E
A
C
例2　如圖，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACN的平分線相交于點D，連接AD.求證：AD是△ABC的外角∠CAH的平分線．
證明：過點D分別作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，G，F.
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG＝DF，
∴DE＝DG，
∴AD平分∠EAC，
即AD是△ABC的外角∠CAH的平分線．
H
D
A
C
B
N
F
E
G
例3　如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC.
(1)若連接AM，則AM是否平分∠BAD？
請證明你的結論；
B
A
C
D
M
E
解：(1)AM平分∠BAD.
證明如下：過點M作ME⊥AD于點E.
又∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，
∴ME＝MC.
∵M是BC的中點，
∴MC＝MB，∴ME＝MB.
又∵ME⊥AD，∠B＝90°，
∴AM平分∠BAD；
例3　如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC.
(2)求證：CD＋AB＝AD；
B
A
C
D
M
E
(2)易證Rt△MCD≌Rt△MED，Rt△MBA≌Rt△MEA，
∴DE＝CD，AB＝AE.
又∵AD＝AE＋DE，
∴CD＋AB＝AD；
例3　如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC.
(3)若BC＝12，AD＝13，求S梯形ABCD.
B
A
C
D
M
E
(3)由(2)易得CD＋AB＝AD＝13，
∴S梯形ABCD＝ (CD＋AB)·BC
＝ ×13×12
＝78.
課堂小結
角平分線的判定
內容
作用
結論
角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上
三角形的三條內角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等
判斷一個點是否在角的平分線上
隨堂檢測
1．如圖，點P是∠MON內一點，PA⊥ON于點A，PB⊥OM于點B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C為OA上一點且∠OPC＝30°，則∠PCA的度數為 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．50° B．55°
C．60° D．80°
B
P
B
A
C
O
N
M
2．在正方形網格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點應是 ( )
A．點M B．點N
C．點P D．點Q
A
O
P
B
Q
M
N
A
證明：過點B作BM⊥AC于點M，BN⊥AF于點N.
∵△BCD與△BEF的面積相等，
∴ DC·BM＝ EF·BN.
∵DC＝EF，
∴BM＝BN，
∴AB平分∠CAF.
3．如圖，B是∠CAF內一點，點D在AC上，點E在AF上，且DC＝EF，△BCD與△BEF的面積相等．
求證：AB平分∠CAF.
B
E
D
A
C
F
N
M

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