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人教版 八年級 數學（上）
15.1.2　線段的垂直平分線
第1課時　
線段的垂直平分線的性質和判定
新課導入
1．經過線段　 　并且　 　于這條線段的
　 　，叫作這條線段的垂直平分線．
2．由軸對稱的性質可知，無論是成軸對稱的兩個圖形，還是軸對稱圖形，其　 　都是任意一對對稱點所連線段的垂直平分線．
中點
垂直
直線
對稱軸
如圖，直線 l 垂直平分線段 AB，點 P1，P2，P3，…在 l 上，分別比較點 P1，P2，P3，… 與點 A 的距離和這些點與點 B 的距離，你有什么發現？
探 究
A
B
l
P1
P2
P3
P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······
探究新知
如果把線段 AB 沿直線 l 對折，線段 P1A 與 P1B，P2A 與 P2B，P3A 與 P3B··· 都重合嗎？它們都分別相等嗎？
A
B
l
P1
P2
P3
都重合，都分別相等.
P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······
猜想：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
已知：
一個點在一條線段的垂直平分線上.
求證：
驗證
這個點到這條線段兩個端點的距離相等.
A
B
l
P1
P2
P3
如圖，直線 l ⊥ AB，垂足為 C，AC = BC，點 P 在 l 上. 求證：PA = PB.
A
B
l
P
C
證明：當點 P 與點 C 不重合時，
∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB .
又 AC = BC，PC = PC，
∴△PCA ≌△PCB (SAS).
∴ PA = PB.
當點P與點C重合時，顯然成立
幾何語言：
∵直線 l⊥AB，垂足為 C，AC = BC，點 P 在 l 上，
∴PA = PB.
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
線段的垂直平分線的性質
A
B
l
P
C
教材P67練習 第1題
1.如圖，AD⊥BC，BD = DC，點 C 在 AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關系？AB + BD 與 DE 有什么關系？
A
B
E
D
C
練習
教材P67練習 第1題
解：AB = AC = CE，AB + BD = DE. 理由：
∵AD⊥BC，BD = DC，
∴AD 是 BC 的垂直平分線. ∴AB = AC.
又點 C 在 AE 的垂直平分線上，
∴AC = CE.
∴AB = AC = CE.
又 BD = DC，
∴AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE.
A
B
E
D
C
練習
思 考
把上面線段的垂直平分線的性質的題設和結論反過來，得到的命題還成立嗎？即如果 PA = PB，那么點 P 是否在線段 AB 的垂直平分線上呢？
已知：如圖，在△ABP 中 PA = PB.
求證：點 P 在線段 AB 的垂直平分線上.
猜想：點 P 在線段 AB 的垂直平分線上
A
B
P
證明：過點 P 作線段 AB 的垂線 PC，垂足為 C．則∠PCA =∠PCB = 90°．
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
∵PA = PB，PC = PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)．
∴AC = BC．
又 PC⊥AB，
∴點 P 在線段 AB 的垂直平分線上．
A
B
P
C
A
B
P
C
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
線段的垂直平分線可以看成與這條線段兩個端點距離相等的所有點的集合.
幾何語言：
∵ PA = PB，
∴點 P 在 AB 的垂直平分線上.
線段垂直平分線的判定
2. 如圖，AB = AC，MB = MC. 直線 AM 是線段 BC 的垂直平分線嗎？為什么？
教材P67練習 第2題
A
B
M
C
解：直線 AM 是線段 BC 的垂直平分線.
理由：∵AB = AC，
∴點 A 在線段 BC 的垂直平分線上.
∵MB = MC，
∴點 M 也在線段 BC 的垂直平分線上，
∴直線 AM 是線段 BC 的垂直平分線.
練習
名稱 角平分線 線段垂直平分線
圖示
性質
判定
角的平分線與線段的垂直平分線
C
A
B
O
D
E
P
A
B
P
C
角平分線上的點到角兩邊的距離相等
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等
角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
思 考
分析上面關于線段的垂直平分線的兩個命題，它們的題設和結論有什么關系？你還學習過其他具有類似關系的命題嗎？
兩個命題的題設、結論正好相反.
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
互逆命題與互逆定理
我們把具有這種關系的兩個命題叫作互逆命題. 如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題.
線段的垂直平分線的性質與判定
“對頂角相等”與“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”
一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.
兩個命題的題設、結論正好相反.
如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理.
線段的垂直平分線的性質與判定
角的平分線的性質與判定
“兩直線平行，內錯角相等”與“內錯角相等，兩直線平行”
······
互逆命題與互逆定理
教材P67練習 第3題
3. 寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立.
(1) 兩直線平行，同位角相等；
(2) 如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；
(3) 全等三角形的對應角相等 .
同位角相等，兩直線平行.
如果兩個實數的絕對值相等，那么它們相等.
如果兩個三角形的對應角相等，那么這兩個三角形全等.
成立
不成立
不成立
練習
例題與練習
例1　如圖，AD⊥BC，BD＝CD，點C在AE的垂直平分線上，若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的長．
解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.
∵點C在AE的垂直平分線上，
∴AC＝CE.
∵AB＝5 cm，BD＝3 cm，
∴CE＝AC＝AB＝5 cm，CD＝BD＝3 cm，
∴BE＝BD＋DC＋CE＝3＋3＋5＝11(cm).
A
B
C
D
E
例2　如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度數；
解：(1)設∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z.
∵MP和NQ分別垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ.
由軸對稱的性質可知∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.
A
M
N
B
C
Q
P
∵∠BAC＝80°，
∴∠B＋∠C＝100°，
即x＋y＋z＝80°，
x＋z＋x＋y＝100°.
∴x＝20°.
∴∠PAQ＝20°；
A
M
N
B
C
Q
P
例2　如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度數；
(2)∵△APQ的周長為12，
∴AQ＋PQ＋AP＝12.
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ＋PQ＋PB＝12，
即CQ＋BQ＋2PQ＝12.
∴BC＋2PQ＝12.
A
M
N
B
C
Q
P
例2　如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC.
(2)若△APQ的周長為12，BC的長為8，求PQ的長．
又∵BC＝8，
∴PQ＝2.
例3　寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立．
(1)兩直線平行，內錯角相等；
(2)若a＝b，則a2＝b2；
(3)如果一個三角形是直角三角形，那么兩個銳角互余．
解：(1)如果內錯角相等，那么這兩條直線平行，真命題；
(2)如果a2＝b2，那么a＝b，假命題；
(3)如果在一個三角形中的兩銳角互余，那么這個三角形是直角三角形，真命題．
課堂小結
線段的垂直平分線
性質
互逆命題、互逆定理
判定
隨堂檢測
1．如圖，△ABC的周長為30 cm，把△ABC的邊AC對折，使頂點C和點A重合，折痕交邊BC于點D，交邊AC于點E.若△ABD的周長是22 cm，則AE的長為　 ( )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
C
A
B
C
E
D
2．如圖，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則△BCE的周長是　 　.．
16
A
B
C
E
D
3．如圖，點D在△ABC的邊BC上，且BC＝BD＋AD，則點D在　 　的垂直平分線上．
AC
A
B
C
D

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