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2024-2025學年安徽省合肥市第一中學高二下學期期末考試
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知命題，方程有解，則為( )
A. ，方程無解 B. ，方程有解
C. ，方程無解 D. ，方程有解
2.若集合，，則( )
A. B. C. D.
3.若，，，則，，的大小關系為( )
A. B. C. D.
4.設且，“不等式”成立的一個充分不必要條件是( )
A. B. C. 且 D.
5.已知每門大炮擊中某目標的概率是，現在門大炮向此目標各射擊一次如果此目標至少被擊中一次的概率超過，至少需要大炮的門數是參考數據：，
A. B. C. D.
6.函數的定義域為，對任意的，，都有成立，且函數為偶函數，則( )
A. B.
C. D.
7.已知隨機事件，，，，，則等于( )
A. B. C. D.
8.若函數在區間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.若，則下列說法正確的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，，且，則下列說法正確的是( )
A. B.
C. 最小值為 D.
11.已知直線與曲線相交于不同兩點，，曲線在點處的切線與在點處的切線相交于點，則( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.對一個零件進行n次尺寸測量,以n次測量結果的平均值作為該零件尺寸的最后結果.記零件尺寸的最后結果的隨機變量為X,若X~N(50,),為使零件尺寸的最后結果在(49.6,50.4)內的概率不小于0.9545,則至少需要測量 次.(若X~N(,),則P(-2< X<+2)=0.9545)
13.從編號為，，，的四個元素中取出個元素，排在編號為，，的位置上每個位置只排一個元素則：元素的編號與所處位置的號碼不相同的排法 ．
14.若不等式對任意正數恒成立，則的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知集合，集合．
求
已知，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
16.本小題分
“十四五”是我國全面建成小康社會、實現第一個百年奮斗目標之后，乘勢而上開啟全面建設社會主現代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標進軍的第一個五年，實施時間為年到年某企業為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創新，準備加大研發資金投入，為了解年研發資金投入額單位：億元對年盈利額單位：億元的影響，通過對“十二五”和“十三五”規劃發展年期間年研發資金投入額和年盈利額數據進行分析，建立了如下函數模型：
，其中，均為常數，為自然對數的底數．
令，經計算得如下數據：，，，，，，，問：
建立關于的回歸方程系數精確到
若希望年盈利額為億元，請預測年的研發資金投入額約為多少億元結果精確到
附：回歸直線中：，
參考數據：，．
17.本小題分
月日某中學進行了以“數學對”為主題的知識競賽，分初賽和決賽兩個環節進行。初賽環節規則如下：每位選手從道題中隨機抽取道題作答，道題全部答對的選手晉級決賽。決賽環節進行三輪搶答，規則如下：每位選手每輪搶到題目且回答正確得分，搶到題目但回答錯誤扣分，該輪未參與搶答或未搶到題目不得分，每輪搶答情況相互獨立，最終按照決賽中三輪搶答的總得分進行排名并表彰．
若某選手對于初賽環節中的道題目，只有道能回答正確，求他在初賽環節中答對題目數量的分布列和期望
已知甲晉級決賽，甲在決賽中每輪搶到題目的概率為，能回答正確的概率為，求甲在決賽中總得分大于分的概率．
18.本小題分
已知函數．
當時，求函數的極值
討論函數的單調性．
19.本小題分
已知雙曲正弦函數，雙曲余弦函數．
求雙曲正弦函數在處的切線方程
證明：當時，
證明：
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.25
13.
14.
15.解：解不等式，得，得，即，
解不等式，得，得，即，
所以；
由 ，
當即時，，
由是的充分不必要條件，可得是的真子集，故不合題意，
當即時，，由是的充分不必要條件，可得是的真子集，故不合題意，
當即時，，
由是的充分不必要條件，可得是的真子集，故，解得，
綜上得，
所以實數的取值范圍是．

16.解：令，則．
因為，，所以，
而，，因此 ，
所以，即，
所以 關于的回歸方程為．
把代入回歸方程得：，
兩邊取自然對數得，即，
因此由參考數據得：，解得億元．
17.解：設初賽答對題目數量為隨機變量，則可能取值為，
，
，
，
，
因此的分布列為：
期望．
設每輪得分為，則可能取值為：，，，
則，，．
因為總得分，所以要求，則可能的得分組合為：
三次都得分：，
兩次得分，一次得分：，
兩次得分，一次得分：，
因此甲在決賽中總得分大于分的概率為：．
18.解：當時，函數，定義域為，
因此，
所以由得；由得，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，函數取得極小值，極小值為．
因為函數，定義域，
所以．
令，
一當，即時，，
因此，所以函數在上單調遞增；
二當，即時，
因為函數圖象開口向上，對稱軸為，
所以：當，即時，
函數只有一個零點，
因此當時，，；
當時，，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；
當，即時，
函數有兩個零點、，
因此當或時，，；
當時，，，
所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減．
綜上所述，當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減．
19.解：因為，所以，
因此，，
所以雙曲正弦函數在處的切線方程為：，即．
證明：令，
則當且僅當時取等號，
而，因此，所以函數是增函數，
所以，即，
因此當時，．
證明：由知：當時，，
因此當、時，．
因為當、時，，所以、，
因此由得：，即，
所以．
因為當時，，
所以當時，，
因此當、時，
，
所以
，
因此，
所以
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