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(共31張PPT)
第二章　直線和圓的方程
專題研究二　直線與圓的方程的綜合應用問題
（3）若曲線C與x軸的交點為E，F，直線l：x＝my－1與曲線C交于G，H兩 點，直線EG與直線FH交于點D，證明：點D在定直線上.
[解]　（2）如圖.
解題感悟
　　求三角形面積最大值問題，先確定三角形面積的表達式，再根據已知條件分析變 量的取值范圍，從而求出最大值.對于三點共線問題，利用直線斜率相等來建立等式 求解參數，是解決此類問題的常用方法.
（2）過點P（1，0）的直線l與C交于A，B兩個不同點，求△OAB面積的最大值.
（3）賦值法：基本思想是從特殊到一般，根據動點或動線的特殊情況探索出定 點，再證明該定點與變量無關.
（1）求圓M的標準方程；
①過點D作與直線l1垂直的直線l2，交圓M于E，F兩點，記四邊形EPFQ的面積為 S，求S的最大值；
②設直線OP，BQ相交于點N，討論點N是否在定直線上，若是，求出該直線方 程；若不是，說明理由.
題型一阿波羅尼斯圓
【典例1】
設A,B是平面上兩點，則滿足PA=k(其中k為常數，k>0且k≠1)
的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿波羅
尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知A(6,0),B(,0),
且k
(1)求點P所在圓M的方程
解]
(1)設P(x,y),由題意可得
P4=√2，即IPA=√2PB,
P
則-V⑥+=2(x-
整理得x2+y=3,即點P所在圓M的方程為x2+y=3
(2)·
證明：對于圓2，令y=0,得x=一1或x=一3，所以C(-3,
0
D(-1,0)
由題意可設直線1的方程為x=y一1，E(x1,y1),F(x2,y2)
x=ty一1，
=3,
消去x整理得(1+t2)y一2y一2=0，易知山>0，
則y
F Y2
12
所以kc
2
x1十3
X2+3
y12+3)y2(1+3)
(x1+3)(x2+3)
yty2+2)十y2z(y1+2)
(1+3)(x2+3)
=2X
ty1y2十y1十y2
(x1+3)(x2+3)
2t
2t
=2X
x1+3)(x2+3)
=0
則直線C與FC關于x軸對稱，所以∠CD=∠FCD,
解題感悟
阿氏圓模型問題核心解法圍繞幾何構造與代數計算展開，證明類問題側重軌跡圓
的形成依據，主要有以下兩種解決辦法
(1)構造角平分線的幾何證明
當需證明某動點軌跡為阿氏圓時，可優先考慮角平分線定理的應用.例如，若動
點P滿足
PA
飛（飛≠1），通過構造內角或外角平分線，結合角分線定理推導
PB
PA
的比值關系，可證明該比值與點到兩定點距離的比例對應，進而確定軌跡為
PB
圓.外角平分線定理在解決動點位于兩定點延長線外側的情況時尤其有效(共18張PPT)
第三章　圓錐曲線的方程
專題研究四　圓錐曲線中的定點、定值問題
（1）求橢圓的標準方程；
解題感悟
圓錐曲線中的定點問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點.解 決這個難點沒有常規的方法，但解決這個難點的基本思想是明確的，定點問題必然是 在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數量 積、比例關系等，而這些直線方程、數量積、比例關系中不受變量影響的某個點，就 是要求的定點，化解這類難題的關鍵就是引進變量表示直線方程、數量積、比例關系 等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受變量影響的量.
（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且OA⊥OB，求證：直線l 過定點.
解題感悟
圓錐曲線中的定值問題是圓錐曲線問題中的又一難點.解決這個難點的基本思想是函 數思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、 數量積、比例關系中不受變量影響的某個值，就是要求的定值.具體地說，就是將要 證明或要求解的量表示為某個合適變量的函數，化簡消去變量即得定值.
（2）求p的最小值；
[解]
(1)橢圓離心率為
2
b-
22
2
橢圓一頂點坐標為A(0,一2√2)，
2=8,
a2=16
橢圓的標準方程為蘭十
。
[解]
(2)當直線MW斜率不存在時，不合題意，
設直線W方程為y=】
y),N
聯立
2
x2十4mx十2
6=0
2一4(1十
2)
(2m2一16)=8(162+8
m2
4km
2m2
-16
1+22
1+2k2
=(x1
y+2V2)·(2 y2+2V2)
V2
(2十m+2V2)
(1十2)xx十k(m+2V2)（x1十2)十(m十2V2)2-3m2+w2m-
二0，
1+2k2
得m=一2V2或m=22
3
若N=一2√萬，滿足>0，則直線MW的方程為y=一2√2，則直線MW過定點
(0,一2√2)，即與點A重合，不合題意；
2W2
滿足>0，則直線W的方程為y
則直線W過定點(O,
3
3
2W2
符合題意。
3
綜上所述，直線W過定點(0，
解：
(1)拋物線的焦點F為(，0)，
雙曲線的近線方程為y=士x,即x士V3y=0,
72
=1,解得p=4,
12+(±3)
故拋物線C的方程為y=8x
(2)證明：若直線的斜客存在，不妨設為k(k≠0)，則1的方程為y=x十
與拋物線方程聯立得
h'
y-x+b,消去y得2x2+(2kb-8
2=0
=8x,
(2kb一8)2一42b2>0,即64一32kb>0,
設A(x1,y1),，
x2’y2
由OA⊥
OB可得x1x2
十(kx1十b)kx2十b)
=0,
即(1+k2)x1x2十kb(x1十x2)(共25張PPT)
第一章　空間向量與立體幾何
專題研究一　空間向量應用的綜合問題
題型一　空間角的綜合問題
【典例1】　（2023·新高考Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝ 2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝ DD2＝2，CC2＝3.
（1）證明：B2C2∥A2D2；
（2）點P在棱BB1上，當二面角P－A2C2－D2為150°時，求B2P.
解題感悟
　　（1）在建立空間直角坐標系的過程中，一定要依據題目所給幾何圖形的特征， 建立合理的空間直角坐標系，這樣才會容易求得解題時需要的坐標.
（2）直線和平面所成的角、兩個平面的夾角，此類問題有兩種思路：①轉化為 兩條直線所成的角求解；②利用平面的法向量求解.
【練習1】　（2024·天津卷）如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面 ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1.M，N分別為DD1， B1C1的中點.
（1）求證：D1N∥平面CB1M；
（2）求平面CB1M與平面BB1C1C夾角余弦值；
（3）求點B到平面CB1M的距離.
題型二　折疊問題
【典例2】　（2019·課標全國Ⅲ，理）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC 組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC 折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.
（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
[解]　（1）證明：由已知得AD∥BE， CG∥BE，
所以AD∥CG，
所以AD，CG確定一個平面，從而A，C，G， D四點共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，
所以AB⊥平面BCGE.
又因為AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面 BCGE.
（2）求圖2中的二面角B－CG－A的大小.
解題感悟
折疊問題解題策略
（1）確定折疊前后變與不變的關系
畫好折疊前、后的平面圖形與立體圖形，分清折疊前、后圖形的位置和數量關系 的變與不變.一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置關系不變，而位于 “折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發生變化；對于不變的關系應在平面圖 形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決.
（2）確定折疊后關鍵點的位置
所謂的關鍵點，是指折疊過程中運動變化的點.因為這些點的位置移動，會帶動 與其相關的點、線、面的關系變化.只有分析清楚關鍵點的準確位置，才能以此為參 照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關的證明與計算.
故EF⊥PD.
（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.
（1）取PC的中點N，求證：DN∥平面PAB；
（2）求直線AC與PD所成角的余弦值；
（3）在線段PD上，是否存在一點M，使得平面 MAC與平面ACD的夾角為45°？如 果存在，求出BM與平面MAC所成角的大小；如果不存在，請說明理由.
解題感悟
利用空間向量解決探索性問題的策略
探索性問題通常分為兩類：一類是已知點存在，求點的位置；一類是判斷點的 “存在性”問題.其中，在點的“存在性”問題中，先假設所求點存在，將其作為已 知條件，得出點的位置或與題設條件矛盾的結論，從而得到結果，在設參數求解點的 坐標時，若出現多解的情況，則應分析不同解的含義，判斷哪些解是符合題設條件 的，再做出取舍.求解點、平面是否存在等探索性問題時，常常先利用特殊的位置關 系或極端情形確定點或平面，再利用直線與平面的位置關系去證明結論.
（1）證明：AC1∥平面A1BM；
解：（1）證明：如圖，連接AB1與A1B交于點O，則O為AB1的中 點，連接OM.
因為M為B1C1的中點，所以OM∥AC1.
因為OM 平面A1BM，AC1 平面A1BM，
所以AC1∥平面A1BM.(共19張PPT)
第三章　圓錐曲線的方程
專題研究三　圓錐曲線中的最值與范圍問題
（1）求橢圓C的方程；
解題感悟
圓錐曲線最值問題的求解方法
圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一 是利用幾何法，即利用圓錐曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進 行求解；二是利用代數法，即把要求最值的幾何量或代數解析式表示為某個（些）參 數的函數（解析式），然后利用函數方法、不等式方法等進行求解.
（2）過E的右焦點作斜率不為0的直線l，交E于P，Q兩點，A1，A2是E的左、右 頂點，記直線A1P，A2Q的斜率分別為k1，k2.
題型二　范圍問題
（1）求橢圓C的方程；





解題感悟
圓錐曲線中的取值范圍問題的5種常用解法
（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取 值范圍.
（2）利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參 數之間的等量關系.
解題感悟
（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍.
（4）利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍.
（5）利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從 而確定參數的取值范圍.

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