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山東省日照市2024-2025學年高一下學期期末校際聯合考試數學試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列各角中，與角終邊相同的角為（ ）
A． B． C． D．
2．函數的最小正周期為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如圖，在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．已知為不同的平面，為不同的直線，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5．已知，為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
6．若，，則（ ）
A． B． C． D．
7．降水量是指降落在水平面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學中把24小時內的降水量叫做日降水量.某學生用上口直徑為20cm，底面直徑為12cm，母線長為的圓臺型水桶放置在水平地面上來測量日降水量.某次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水，雨水的高度是桶深的，則本次降雨的日降水量是（ ）
A．29.6mm B．46.3mm C．63.5mm D．82.2mm
8．如圖，把畫有函數部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，折疊后A，B兩點之間的距離為，則（ ）
A． B．1 C． D．
9．已知函數的部分圖像如圖所示，則（ ）
A．
B．的圖象關于點對稱
C．在上單調遞減
D．把的圖像向左平移個單位，所得圖像對應的函數為偶函數
二、多選題
10．在平面直角坐標系中，向量如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．存在實數，使得與共線
11．在棱長為4的正方體中，已知E，F分別為線段的中點，點滿足，則（ ）
A．當時，四棱錐外接球半徑為3
B．當時，三棱錐的體積為
C．若，則點的軌跡長為
D．周長的最小值為
三、填空題
12．已知向量，若，則的值為 .
13．在中，，，，若D為BC邊的中點，則 ．
14．關于的不等式在上恒成立，則 .
四、解答題
15．已知函數圖象的相鄰對稱軸之間的距離為.
(1)求的解析式和單調遞增區間；
(2)把圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，再把圖象上的所有點向左平移個單位，得到的圖象.若關于的方程在上有兩個解，求實數的取值范圍.
16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面底面，分別為側棱的中點，且.
(1)求證：平面；
(2)求四棱錐的體積.
17．已知的內解所對的邊分別為，滿足．
(1)求證：；
(2)若為上一點，且，求的面積的最大值．
18．如圖，在三棱柱中，底面邊長和側棱長均為4，D，E分別為棱的中點，且平面ABC.
(1)求證：平面BDE；
(2)設為棱上一點（不包含端點），
①若為棱的中點（如圖①），三棱柱被過G，B，D三點的平面所截，求截面的面積；
②求二面角的取值范圍.
19．已知，且，定義的“區間長度”為，函數的定義域為.
(1)當時，求關于的不等式解集的“區間長度”；
(2)已知，設關于的不等式解集的“區間長度”為.
（i）若，求的值；
（ii）求的最大值.
山東省日照市2024-2025學年高一下學期期末校際聯合考試數學試卷參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C B A A D AC BCD
題號 11
答案 ACD
1．B
【詳解】對于A，，所以與角終邊不相同，故A錯誤；
對于B，，所以與角終邊相同，故B正確；
對于C， ，所以與角終邊不相同，故C錯誤；
對于D，，所以與角終邊不相同，故D錯誤.
故選：B.
2．A
【詳解】函數的最小正周期為.
故選：A.
3．D
【詳解】由，可得，
所以.
故選：D.
4．C
【詳解】對A選項：如圖所示，
由圖可知，若，則還有可能相交，
故A選項不正確；
對B選項：如圖所示，
由圖可知，若，則還有可能
故B選項不正確；
由線面垂直的性質定理可知，若，則成立，
故C選項正確；
對D選項：如圖所示，
若，則還有可能，
故D選項不正確；
故選：C.
5．B
【詳解】因為，所以，所以，
又因為，為單位向量，所以，所以，
又因為，所以.
故選：B.
6．A
【詳解】因為，則，
所以，
因此
.
故選：A.
7．A
【詳解】如圖所示，cm，cm，，
過點作⊥于點，則，cm，
cm，
桶的深度為cm，
故雨水的高度為cm，由三角形相似知，cm，
故cm，
雨水的體積，
圓臺型水桶的上口直徑為20cm，面積為，
故本次降雨的日降水量是cm，故為29.6mm.
故選：A
8．D
【詳解】由函數的圖象過點，可得，所以，
又因為，所以，所以，
又因為折疊后A，B兩點之間的距離為，所以，
解得，所以，所以，所以，
所以.
故選：D.
9．AC
【詳解】由圖象可得，設函數的周小正周期為，
由圖象可得，所以，
由，
故A選項正確；
因為，
所以，即
又，所以當，
所以函數，
令，即
令，
故函數的圖象不關于點對稱，故B選項不正確；
因為，所以，
由在單調遞減，所以C選項正確；
的圖像向左平移個單位后得到：
，
由的定義域為關于原點對稱，
且，
所以的圖像向左平移個單位后得到的函數為奇函數，
故D選項不正確；
故選：AC.
10．BCD
【詳解】由題意可得：.
對于選項A：因為，所以不垂直，故A錯誤；
對于選項B：因為，所以，故B正確；
對于選項C：因為，故C正確；
對于選項D：因為，，
若與共線，則，解得，
所以當時，與共線，故D正確.
故選：BCD.
11．ACD
【詳解】對于A選項，當時，，
故，即，
所以點在線段的中點，連接相交于點，則為中點，
所以，由正方體性質可得平面，則平面，
設正四棱錐的外接球的球心為，則三點共線，
其中，所以球心在的延長線上，
設，則，
由勾股定理得，即，解得，故A正確；
對于B選項，當時，，
故，即，故點在線段上，
連接，與相交于點，則為的中點，連接，
因為為的中點，所以，又平面，平面，
所以平面，所以三棱錐的體積，
所以，又，
所以，故三棱三棱錐的體積為，故B錯誤；
對于C選項，因為，又點在矩形及其內部，
點的軌跡為點為球心，半徑長為的球面被平面截且在矩形及其內部的圖形，
又平面，且，故，
所以點的軌跡為以為圓心，半徑為4的圓的一部分，
如圖所示，其中，，
故，則，
則，則軌跡長為，故C正確.
對于D選項，點在矩形及其內部，取線段的中點，
由對稱性知，，
此時三點共線，
又，所以，故C正確；
故選：ACD
12．/
【詳解】因為，所以，解得.
故答案為：
13．/
【詳解】由D為BC邊的中點，則，
則
.
故答案為：
14．
【詳解】，故當，
即時，，
當，即時，，
當或，即或時，，
要想不等式在上恒成立，
與零點相同，
且在上，在時，，
所以，，故，
故或，解得，
故，，
經驗證，滿足上，在時，，
.
故答案為：
15．(1)的單調遞增區間為
(2)實數的取值范圍
【詳解】（1）
，，
因為圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，
所以，得，所以，
令，
則，
所以的單調遞增區間為；
（2）由（1）知，將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，
得到函數的圖象，
再向左平移個單位得的圖象.
令，，則，所以，
所以，與有兩個交點，
作出，的圖象如圖所示，所以，
所以實數的取值范圍.
16．(1)見詳解
(2)
【詳解】（1）證明：連接，交于點，連接，
在正方形中，為的中點，又為側棱的中點，
所以在中，為的中位線，所以，
因為平面，平面，
所以平面.
（2）因為分別為側棱的中點，所以為的中位線，
所以，且，
在是正方形中，，，
所以，且，
所以四邊形為梯形，
又平面平面，且平面平面，
在是正方形中，，且平面
所以平面，又平面，
所以，所以，所以梯形為直角梯形；
又，為側棱的中點，
所以，且，所以梯形的面積為:，
由平面，又平面，
所以，所以，
又，所以平面，即平面，
所以為四棱錐的高，且，
所以四棱錐的體積為：.
17．(1)證明見解析
(2)2
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，即，
因為，，所以，
所以，所以或．
若，則；
若，則，舍去；
所以成立．
（2）在中，因為，，所以，
由正弦定理得，即，所以．

在中，由正弦定理得，
因為，所以．因為，
又，所以，
所以的面積．
又，所以，所以，
所以當，即時，的面積最大值為2．
18．(1)證明見解析
(2)①；②二面角的取值范圍
【詳解】（1）如圖所示，連接，由題意可知平面，四邊形是菱形，
平面，所以，又因為D為棱的中點，是正三角形，
所以，又，不面，
所以平面，
又因為平面，所以，
在菱形中，有，
而D，E分別為棱的中點，則，所以，
因為，平面，所以平面；
（2）①取的中點，取的中點，連接，
則且，又且，
所以且，所以四邊形是平行四邊形，
所以且，因為分別為的中點，
所以且，所以，
所以過過G，B，D三點的截面即為四邊形，
因為平面，平面，所以，
故截面為直角梯形，又底面是邊長為4的等邊三角形且，
所以，，
所以截面面積為；
②過作交于，連接，則，
因為平面，平面，所以，
故二面角的平面角即為，
若為棱上一點，且，
因為，
所以，
，
所以，
令，
，
由雙勾函數的性質可得在上單調遞減，
所以，所以，
所以，
故二面角的取值范圍.
19．(1)解集的“區間長度”為；
(2)（i）或；（ii）的最大值為
【詳解】（1）當時，，
由，可得，故或，
又函數的定義域為，所以.或，
所以解集的“區間長度”為；
（2）（i），，其中，
故不等式解集為或，
設的兩個根為，其中，且，
同理，設的兩個根為，其中，且，
所以，又，所以，
其中，即，
由誘導公式得，即，
又，解得或，故或，
所以
，
或
，所以或，
（ii）由（i）可得，即，
即，
因為，所以，
當且僅當時，等號成立，
所以，
所以，所以或，
由于，故，所以，
所以舍去，故，
所以，
因為，，所以，
由，可得，
當且僅當，，即時，等號成立，
所以，故的最大值為.

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