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第十三章 三角形
小結與復習
要點梳理
教學目標
教學重點
腰和底不等的等腰三角形
1. 三角形的定義
2. 三角形的分類
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
不等邊三角形
等腰三角形
等邊三角形
直角三角形
銳角三角形
鈍角三角形
要點梳理
3. 三角形的三邊關系：
三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
按邊分
按邊分
5. 三角形的中線、角平分線、高
中線：頂點與對邊中點間的線段，三條中線相交于
一點（重心），如圖 .
角平分線：三條角平分線相交于一點，如圖 .
高：頂點與對邊垂足間的線段，三條高或其延長線
相交于一點，如圖 .
要點梳理



4. 三角形的性質：
三角形具有穩定性
6. 三角形的內角和與外角
(1)三角形的內角和等于180°；
(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內
角的和；
(3)三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一
個內角.
要點梳理
7. 直角三角形的性質和判定
(1)性質：直角三角形的兩個銳角互余;
(2)判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形.
考點精講
典例精講
歸納總結
考點一 三角形的三邊關系
已知兩條線段的長分別是3cm、8cm ，要想拼成一個三角形，且第三條線段a的長為奇數，問第三條線段應取多長？
解：由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊得 8-3又∵第三邊長為奇數,
∴ 第三條邊長為 7cm或9cm.
考點精講
例題1
三角形兩邊之和大于第三邊，可以用來判斷三條線段能否組成三角形，在運用中一定要注意檢查是否任意兩邊的和都大于第三邊，也可以直接檢查較小兩邊之和是否大于第三邊.三角形的三邊關系在求線段的取值范圍以及在證明線段的不等關系中有著重要的作用.
1
歸納
針對訓練
考點精講
等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，求另兩邊長.
解：由于題中沒有指明邊長為6的邊是底還是腰，
∴分兩種情況討論： 當6為底邊長時，腰長為(16-6)÷2=5，這時另兩邊長分別為5,5；
當6為腰長時，底邊長為16-6-6=4，這時另兩邊長分別為6,4.
綜上所述，另兩邊長為5,5或6,4.
考點精講
例題2
【變式題】 已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則這個等腰三角形的周長為 ( )
A.16 B.20或16 C.20 D.12
C
歸納
等腰三角形的底邊長不確定時，要分兩種情況討論，還要注意三邊是否構成三角形.
2.若(a-1)2+|b-2|=0,則以a,b為邊長的等腰三角形的周長為 .
5
針對訓練
考點精講
考點二 三角形中的重要線段
如圖，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC=8cm，求邊AC的長．
解：∵CD為△ABC的AB邊上的中線，
∴AD=BD，
∵△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，
∴BC-AC=3，
∵BC=8，
∴AC=5．
考點精講
例題3
【變式題】 在△ABC中，AB=AC，DB為△ABC的中線，且BD將△ABC周長分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長．
解：如圖，∵DB為△ABC的中線，
∴AD=CD，
設AD=CD=x，則AB=2x，
當x+2x=12，解得x=4.
BC+x=15，得BC=11.
此時△ABC的三邊長為AB=AC=8，BC=11；
當x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，
此時△ABC的三邊長為AB=AC=10，BC=7．
無圖時，注意分類討論
考點精講
如圖，D是△ABC的邊BC上任意一點，E、F分別是線段AD、CE的中點，且△ABC的面積為24，求△BEF的面積．
解：∵點E是AD的中點，
∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×24=12，
∴S△BCE= S△ABC= ×24=12，
∵點F是CE的中點，
∴S△BEF= S△BCE= ×12=6．
考點精講
例題4
3.下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（　　）
歸納
三角形的中線分該三角形為面積相等的兩部分.
針對訓練
C
考點精講
4.如圖，①AD是△ABC的角平分線，則∠_____=∠____= ∠_____，
②AE是△ABC的中線，則_____=_____= _____，
③AF是△ABC的高線，則∠_____=∠_____=90°．
BAD
CAD
CAB
CE
BE
BC
AFB
AFC
考點精講
考點三 有關三角形內、外角的計算
∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三個內角，且分別滿足下列條件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度數.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)設∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，
則2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，
∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
考點精講
例題5
若題中沒有給出任意角的度數，僅給出數量關系，常用方程思想設未知數列方程求解.
如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數．
解：設∠1=∠2=x，則∠4=∠3=2x．
因為∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°,
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
歸納
考點精講
例題6
5.在△ABC中,三個內角∠A,∠B,∠C滿足∠B-∠A=∠C-
∠B，則∠B= .
針對訓練
60°
6.如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，
若∠A=70°，∠BCE=30°，則∠EBF的度數
是 ，∠FBC的度數是 .
7.如圖，在△ABC中，兩條角平分線
BD和CE相交于點O，若∠BOC=132°，
那么∠A的度數是 .
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20°
40°
84°
考點精講
考點四 本章中的思想方法
方程思想
如圖，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等邊三角形，求∠C的度數.
A
B
C
E
D
解：設∠C=x °,則∠ABC=x°,
因為△BDE是等邊三角形，
所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.
在△BCE中，根據三角形內角和定理，
得90°+x°+x°-60°=180°,
解得x=75,所以∠C=75 °.
考點精講
例題9
在角的求值問題中，常常利用圖形關系或內角、外角之間的關系進行轉化，然后通過三角形內角和定理列方程求解.
【變式題】 如圖，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度數.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：設∠ 1=x,根據題意得∠2=x.因為∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x, ∠4=x，
又因為∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根據三角形內角和定理，
得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
歸納
考點精講
分類討論思想
已知等腰三角形的兩邊長分別為10 和6 ，則
三角形的周長是　　　　　．
【解析】 由于沒有指明等腰三角形的腰和底，所以要分兩種情況討論：第一種10為腰，則6為底，此時周長為26；第二種10為底，則6為腰，此時周長為22.
26或22
【易錯提示】別忘了用三邊關系檢驗能否組成三角形這一重要解題環節.
考點精講
例題10
化歸思想
A
B
C
D
O
如圖，△AOC與△BOD是有一組對頂角的三角形，其形狀像數字“8”，我們不難發現有一重要結論： ∠A+∠C=∠B+∠D.這一圖形也是常見的基本圖形模型，我們稱它為“8字型”圖.
考點精講
當堂練習
練習反饋
即學即用
當堂練習
D
D
32
當堂練習
當堂練習
當堂練習
當堂練習
當堂練習
當堂練習
課堂小結
歸納總結
構建脈絡
三角形
與三角形有關的線段
三角形內角和：180°
三角形外角和：360°
三角形的邊：三邊關系定理
高線
中線：把三角形面積平分
角平分線
與三角形有關的角
內角與外角關系
三角形的分類
課堂小結
Thanks
侵權必究

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