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第27章 相似
27.2.2
相似三角形的性質(zhì)
授課：
時間：
問題思考
(1) 相似三角形有哪些判定定理
相似三角形的判定定理
三邊成比例
定義
兩邊成比例及其夾角相等
兩角相等
斜邊直角邊
平行相似
問題思考
(2) 相似三角形有哪些性質(zhì)
三個角分別相等, 三邊對應成比例.
相似三角形的性質(zhì)：
A
B
C
A’
B’
C’
如圖, ∵△ABC∽△A’B’C’,
∴∠A＝∠A’, ∠B＝∠B’,∠C＝∠C’,
.
問題思考
(3)三角形除了三個角,三條邊外,還有哪些幾何量
高線
中線
角平分線
(4)如果兩個三角形相似, 那么它們的這些幾何量之間有怎樣的關(guān)系呢
驗證發(fā)現(xiàn)
如圖, △ABC∽△A′B′C′,相似比為k.
A
B
C
C’
B’
A’
D
D’
它們的對應高的比是多少？
證明: ∵△ABC∽△A′B′C′,
∴∠B＝∠B’,
又∠ADB＝∠A′D′B′,
∴ △ABD∽△A′B′D′,
∴ ,
即對應高的比為k.
它們對應中線、對應角平分線的比是多少？
歸納總結(jié)
如圖, △ABC∽△A′B′C′,相似比為k.
A
B
C
C’
B’
A’
D
D’
A
B
C
C’
B’
A’
D
D’
A
B
C
C’
B’
A’
D
D’
對應高的比.
對應中線的比.
對應角平分線的比.
歸納總結(jié)
相似三角形對應線段的比等于相似比.
相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.
A
B
C
C’
B’
A’
D
D’
符號語言:
∵△ABC∽△A’B’C’(若相似比為k),
∴.
相似三角形的性質(zhì)：
典例精析
例1.如圖, △ABC∽△A’B’C’, AD,BE是△ABC的高, A’D’,B’E’是△A’B’C’的高.
探索 與 有怎樣的數(shù)量關(guān)系
證明: ∵△ABC∽△A′B′C′,設(shè)相似比為k,
則對應高, ,
∴ .
小試鋒芒
練習1.已知△ABC∽△DEF, 且相似比為4:3, 若△ABC中BC邊上的中線AM＝8, 則△DEF中EF邊上的中線DN的長為___.
6
練習2.如果兩個三角形相似且相似比為9:16, 那么這兩個三角形對應邊上的高的比是_____.
9:16
進一步探索
相似三角形的周長比、面積比與相似比怎樣的關(guān)系
A
B
C
C’
B’
A’
驗證發(fā)現(xiàn)
如圖, △ABC∽△A′B′C′,相似比為k.
A
B
C
C’
B’
A’
(1)它們的周長比是多少？
證明: ∵△ABC∽△A′B′C′,
∴ ,
∴
∴ AB＝k·A’B’, BC＝k·B’C’, AC＝k·A’C’,
＝k
即周長比為k.
驗證發(fā)現(xiàn)
如圖, △ABC∽△A′B′C′,相似比為k.
A
B
C
C’
B’
A’
(2)它們的面積比是多少？
證明: 作△ABC與△A′B′C′的高AD,A’D’,
∴ ,即BC＝k·B’C’,AD＝k·A’D’,
∴
∵△ABC∽△A′B′C′,
＝k2
即面積比為k2.
D
D’
歸納總結(jié)
相似三角形的周長比等于相似比, 面積比等于相似比的平方.
A
B
C
C’
B’
A’
符號語言:
∵△ABC∽△A’B’C’(若相似比為k),
∴ .
練習.若△ABC ∽△A’B’C’, AB＝2, A’B’＝5,
則它們的周長比為____,面積比為____.
典例精析
例2.如圖, 在△ABC與△DEF中, AB＝2DE,AC＝2DF,∠A＝∠D.
A
B
C
D
E
F
(1) △ABC與△DEF相似嗎
證明: ∵ , ∠A＝∠D,
∴△ABC∽△DEF.
(2) 若△ABC的邊BC上的高為6, 面積為, 求△DEF的邊EF上的高和面積.
解: 由(1)得△ABC與△DEF的相似比為2,
∴對應高的比為2, 則邊EF上的高為 ＝3,
面積比為4, 則△DEF的面積為.
小試鋒芒
練習3. 已知△ABC∽△DEF, 且對應角平分線之比為4:9, 則△ABC與△DEF的周長之比為_____,面積之比為_______.
4:9
練習4.已知兩個相似三角形的面積比為4:9, 則這兩個相似三角形的對應邊之比是____.
2:3
16:81
練習5.若將一個三角形邊長擴大為原來的5倍, 那么周長擴大為原來的____倍; 面積擴大為原來的_____倍.
25
5
小試鋒芒
練習6.如圖, 在△ABC中, EF//BC,AB＝3AE,若S四邊形BCFE＝16,則S△ABC＝( ).
A.16 B.18
C.20 D.24
B
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