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名校真題
2025 屆新高考數(shù)學名校真題經(jīng)典必刷卷
名校經(jīng)典真題匯編 (一) 2
名校經(jīng)典真題匯編 二 8
名校經(jīng)典真題匯編 (三) 15
名校經(jīng)典真題匯編 (四) 22
名校經(jīng)典真題匯編 (五) 28
名校經(jīng)典真題匯編 (六) 36
名校經(jīng)典真題匯編 (七) 42
名校經(jīng)典真題匯編 (八) 48
名校經(jīng)典真題匯編 (九) 54
名校經(jīng)典真題匯編 (十) 60
名校經(jīng)典真題匯編 (十一) 67
名校經(jīng)典真題匯編 (十二) 74
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寶劍鋒從磨礪出
名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (一)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中,只有一
項是符合題目要求的.)
1 已知集合 M={x ∣ 2x+ 1< 3},N={x ∣ x< a} ,若 M∩N=N ,則實數(shù) a的取值范圍為
( )
A. [1, +∞) B. [2, +∞) C. (-∞,1] D. -∞,1
2 若實數(shù) x,y滿足 x+ i 3+yi = 2+ 4i ,則 xy= ( )
A. - 1 B. 1 C. 3 D. - 3

3 設點 A,B,C 不共線,則“ AB 與 AC 的夾角是銳角”是“ AB+AC > BC ”的 ( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
4 函數(shù) f x = 2 -11+ex sinx的圖象大致形狀為 ( )
B.
C. D.
2
梅花香自苦寒來
名校真題

5 在圓的內(nèi)接四邊形 ABCD中, AD= 2,CD= 4,BD是圓的直徑, 則 AC BD等于 ( )
A. 12 B. - 12 C. 20 D. - 20
6 在三棱錐 P-ABC 中, PA⊥底面 ABC,PA= 2 ,底面 ABC 是邊長為 2 3 的正三角形, M 為
AC 的中點,球 O是三棱錐 P-ABM 的外接球, 若 D是球 O上一點,則三棱錐 D-PAC 的體積的最
大值是 ( )
2 2 3 7 3 8 3A. B. C. D.
3 3
7 古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性, 并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義,
只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明. 經(jīng)過了 500年, 到了 3世紀, 希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作
《數(shù)學匯篇》中, 完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統(tǒng)一定義, 并對這一定義進行了證明. 他指出,到定點的
距離與到定直線的距離的比是常數(shù) e的點的軌跡叫做圓錐曲線;當 0< e< 1時,軌跡為橢圓;當 e= 1
時,軌跡為拋物線;當 e> 1時,軌跡為雙曲線. 現(xiàn)有方程 m x2+y2+2y+1 = x-2y+3 2 表示的曲線
是雙曲線,則 m的取值范圍為 ( )
A. (0,1) B. 1,+∞ C. (0,5) D. 5,+∞
8 函數(shù) f x = sin ωx+φ ω>0, φ ≤ π ,已知 - π ,0 為 f x 圖象的一個對稱中心,直線 x=2 6
13π 為 f x 圖象的一條對稱軸,且 f x 在 13π , 19π 12 上單調(diào)遞減. 記滿足條件的所有 ω的值的和為12 12
S ,則 S的值為 ( )
12 8 16 18
A. B. C. D.
5 5 5 5
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
9 已知 a,b,c為正實數(shù),且 ab+ ac= 2 ,則 1 + 1 + 8 的取值不可能是 ( )
a b+c a+b+c
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
10 已知 1+2x n = a0+ a1x+ a x22 + +anxn ,下列結論正確的是 ( )
A. a + a + a + +a = 3n0 1 2 n
B. 當 n= 5,x= 3 時,設 1+2x n = a+ b 3 a,b∈N * ,則 a= b
C. 當 n= 12時, a0,a1,a2, ,an 中最大的是 a7
D. 當 n= a12時, 1 - a2 + a3 - a4 + + a11 - a12 = 1
2 22 23 24 211 212
11 已知定義在 R上的函數(shù) f x 滿足:當 x≥ 0時, f 1+x = 2f 1-x , 且當 x> 0時, f 1+x
+ f 1-x < 0 ,則下列說法正確的是 ( )
A. f 1 = 0
B. f x 在 (-∞,1]上單調(diào)遞減
C. 若 x1< x2,f x1 < f x2 ,則 x1+ x2< 2
f x
D. 若 x1,x2 是 g x = f x - cosπx
2
在區(qū)間 (0,2)內(nèi)的兩個零點,且 x1< x2 ,則 1< < 2
f x1
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
2 y2
12 已知 F1,F2 是雙曲線 x - = 1 a>0,b>0 的左、右焦點,若點 F2 關于雙曲線漸近線的對稱
a2 b2
點 A滿足 ∠F1AO=∠AOF1 O為坐標原點 , 則雙曲線的漸近線方程為 .

13 已知四面體 ABCD的各條棱長都為 2,其頂點都在球 O的表面上,點 E 滿足 BE= 1 BD ,過
3
點 E 作平面 α ,則平面 α截球 O所得截面面積的取值范圍是 .
14 已知 m,n為實數(shù), f x = ex-mx+n- 1 ,若 f x ≥ 0對 x∈R恒成立, 則 n 的最小值是
m
.
4
梅花香自苦寒來
名校真題
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.)
15 (本小題滿分 13分)
S
已知正項數(shù)列 an 的前 n項和為 S
n+1 n+2
n ,滿足 = ,a1= 1 .Sn n
(1)求數(shù)列 an 的通項公式；
( ) , = 2+a2 數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 數(shù)列 c nn 滿足 cn ,若 b2= 2 ,an an+1 bn+1
b b b b b = 2101 2 3 4 5 ,求證: c1+ c2+ +cn< 1 .
16 (本小題滿分 15分)
在直角梯形 AA1B1B 中, A1B1 AB , AA1⊥ AB,AB=AA1= 2A1B1= 6 ,直角梯形 AA1B1B 繞直角邊
AA1 旋轉一周得到如右圖的圓臺 A1A ,已知點 P , Q 分別在線段 CC1 , BC 上,二面角 B1-AA1-C1
的大小為 θ .

(1)若 θ= 120°,CP= 2 CC1,AQ⊥AB ,證明: PQ 平面 AA1B3 1B ；
(2)若 θ= 90° ,點 Q、N 分別為 BC 、AC 的中點, NP⊥CC1 ,求二面角 Q- AP-C 的余弦值.
5
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
17 (本小題滿分 15分)
已知 F 是拋物線 C :x2= 2py p>0 的焦點,以 F 為圓心, 2p 為半徑的圓 F 與拋物線 C 交于 A,B 兩
點,且 AB = 4 3 .
(1)求拋物線 C 和圓 F 的方程；
(2)若點 P 為圓 F 優(yōu)弧 AB 上任意一點,過點 P 作拋物線 C 的兩條切線 PM ,PN ,切點分別為 M ,N ,
請問 MF NF 是否為定值 若是, 求出該定值;若不是, 請說明理由.
18 (本小題滿分 17分)
某學校為了弘揚中華傳統(tǒng)文化,組織開展中華傳統(tǒng)文化活動周,活動周期間舉辦中華傳統(tǒng)文化知識競賽
活動, 以班級為單位參加比賽, 每班通過中華傳統(tǒng)文化知識競答活動, 擇優(yōu)選拔 5 人代表班級參加年級
比賽. 年級比賽分為預賽與決賽二階段進行, 預賽階段的賽制為:將兩組中華傳統(tǒng)文化的問答題放在甲、
乙兩個紙箱中, 甲箱有 5 個選擇題和 3 個填空題,乙箱中有 4 個選擇題和 3 個填空題,比賽中要求每個
班級代表隊在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答. 每個班級代表隊先抽取一題作答, 答完后試題不放
回紙箱中, 再抽取第二題作答, 兩題答題結束后, 再將這兩個試題放回原紙箱中.
(1)若 1 班代表隊從甲箱中抽取了 2 個試題,答題結束后錯將題目放入了乙箱中, 接著 2 班代表隊答題,
2 班代表隊抽取第一題時, 從乙箱中抽取試題. 已知 2 班代表隊從乙箱中取出的是選擇題, 求 1 班代表
隊從甲箱中取出的是 2個選擇題的概率;
(2)經(jīng)過預賽,成績最好的 6 班代表隊和 18 班代表隊進入決賽,決賽采用成語接龍的形式進行, 采用五
局三勝制, 即兩班代表隊中先勝三局的代表隊贏得這場比賽, 比賽結束. 已知第一局比賽 6 班代表隊獲
勝的概率為 3 ,18班代表隊勝的概率為 2 ,且每一局的勝者在接下來一局獲勝的概率為 2 ,每局必分
5 5 5
勝負. 記比賽結束時比賽局數(shù)為隨機變量 X ,求隨機變量 X 的數(shù)學期望 E X .
6
梅花香自苦寒來
名校真題
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = x+n lnx .
(1)若 n= 1 ,求函數(shù) g x = f x - k x-1 k>2 的零點個數(shù),并說明理由;
-3
(2)當 n= 0時,若方程 f x = b有兩個實根 x1,x2 ,且 x1< x2 ,求證:be+ 1< x2- x < e +2+3b1 .2
7
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 二
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 若以集合 A的四個元素 a,b,c,d為邊長構成一個四邊形,則這個四邊形可能是 ( )
A. 梯形 B. 平行四邊形 C. 菱形 D. 矩形

2 在復平面內(nèi),復數(shù) z所對應的點的坐標為 (1, - 1),則 z z= ( )
A. 2 B. - 2i C. 2 D. 2i
3 1947年, 生物學家 Max Kleiber發(fā)表了一篇題為《body size and metabolic rate》的論文, 在論
文中提出了一個克萊伯定律:對于哺乳動物,其基礎代謝率與體重的 3
3
次冪成正比,即 F= c M 40 ,其4
中 F 為基礎代謝率, M 為體重. 若某哺乳動物經(jīng)過一段時間生長,其體重為原來的 10倍,則基礎代謝率
為原來的 ( )
1 1 3
A. 10 4 倍 B. 10 2 倍 C. 10 4 倍 D. 10倍
8
梅花香自苦寒來
名校真題
4 已知函數(shù) f x = x + sin2x ,設 x1,x2∈R ,則 f x1 > f x2 成立的一個必要不充分條件是
( )
A. x1> x2 B. x2> x1 C. x1+ x2> 0 D. x1 > x2
5 如圖,圓 M : x-2 2 + y2= 1 ,點 P -1,t 為直線 l:x=-1上一動點,過點 P引圓 M 的兩條切
線,切點分別為 A,B . 若兩條切線 PA,PB 與 y軸分別交于 S、T 兩點,則 ST 的最小值為 ( )
1 2
A. B. C. 1 D. 2
2 2
6 某旅游景區(qū)有如圖所示 A至 H 共 8個停車位,現(xiàn)有 2輛不同的白色車和 2輛不同的黑色車, 要
求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列, 則不同的停車方法總數(shù)為 ( )
A B C D
E F G H
A. 288 B. 336 C. 576 D. 1680
7 在平面直角坐標系 xOy中,已知過拋物線 y2= 4x焦點 F 的直線與拋物線相交于 A,B 兩點,以
AF,BF 為直徑的圓分別與 x軸交于異于 F 的 P,Q兩點,若 PF = 2 FQ ,則線段 AB 的長為
( )
5 7 9 13
A. B. C. D.
2 2 2 2
9
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
8 若正實數(shù) a,b滿足 a> b ,且 lna lnb> 0 ,則下列不等式一定成立的是 ( )
log b< 0 a- 1 > b- 1A. a B. C. 2ab+1< 2a+b D. ab-1< ba-1b a
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
9 已知隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N 0,1 ,定義函數(shù) f x 為 X 取值不超過 x的概率,即 f x =
P X≤x . 若 x> 0 ,則下列說法正確的有 ( )
A. f -x = 1- f x B. f 2x = 2f x
C. f x 在 0,+∞ 上是增函數(shù) D. P X ≤x = 2f x - 1
10 在棱長為 a的正方體 ABCD-A1B1C1D1 中, B1D與平面 ACD1 相交于點 E,P為 △ACD1 內(nèi)一
點,且 S 1△PB D= S△ACD ,設直線 PD與 ( )1 3 1
A1C1 所成的角為 θ ,則下列結論正確的是
A. B1D⊥PE B. 點 P的軌跡是圓
C. 點 P的軌跡是橢圓 D. θ的取值范圍是 π , π 3 2
11 已知數(shù)列 an 滿足 a ean+1n = ean- 1 ,且 a1= 1, Sn 是數(shù)列 an 的前 n項和,則下列結論正確
的是 ( )
A. an> 0 B. an+1> an
C. a2021+ a2023> 2a2022 D. S2023> 2
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 設平面向量 a,b的夾角為 60° ,且 a = b = 2 ,則 a在 b上的投影向量是 .
10
梅花香自苦寒來
名校真題
13 如圖,在四棱錐 P-ABCD中,底面 ABCD為菱形, PD⊥底面 ABCD,O為對角線 AC 與
BD的交點,若 PD= 3,∠APD=∠BAD = π ,則三棱錐 P-AOD的外接球的體積為 .
3
14 若直線 l:y= kx+ b為曲線 f x = ex 與曲線 g x = e2 lnx的公切線 (其中 e為自然對數(shù)的底
數(shù), e≈ 2.71828 ),則實數(shù) b的值是
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.)
15 (本小題滿分 13分)
在 △ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c ,已知 (1+ sinB+ cosB) cosB -sinB = 7 cosB .2 2 6 2
(1)求 cosB ;
(2)若 a= 3,c= 2,D為邊 AC 上一點,且 BD=AC ,求 AD 的值.
DC
11
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
16 (本小題滿分 15分)
如圖,在四棱錐 P-ABCD中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA=AD= 2 ,
BD= 4,AB= 2 3 ,BD是 ∠ADC 的平分線,且 BD⊥BC .
(1)若點 E 為棱 PC 的中點,證明: BE 平面 PAD；
(2)已知二面角 P-AB-D的大小為 60° ,求平面 PBD和平面 PCD的夾角的余弦值.
17 (本小題滿分 15分)
為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果, 需要進行動物與人體試驗. 研究人員將疫苗注射到 200 只小白鼠
體內(nèi),一段時間后測量小白鼠的某項指標值,按 [0,20),[20,40),[40,60),[60,80) , 80,100 分組,繪制頻
率分布直方圖如圖所示. 試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有 160 只, 其中該項指標值不小于 60 的有
110只.
假設小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.
(1)填寫下面的 2× 2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表及 α= 0.05的獨立性檢驗, 判斷能否認為注射疫苗后小白鼠
12
梅花香自苦寒來
名校真題
產(chǎn)生抗體與指標值不小于 60有關;
單位:只
抗體 指標值 合計
小于 60 不小于 60
有抗體
沒有抗體
合計
(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性,對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的 40 只小白鼠進行第二次
注射疫苗,結果又有 20只小白鼠產(chǎn)生抗體.
( i )用頻率估計概率,求一只小白鼠注射 2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率 p；
(ii) 以 (i)中確定的概率 p 作為人體注射 2 次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率,進行人體接種試驗,記 n 個人注
射 2 次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量 X . 試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,當 X= 99 時, P X 取最大值,求
參加人體接種試驗的人數(shù) n及 E X .
n ad-bc 2
參考公式: χ2= (其中 n= a+ b+ c+ d為樣本容量).
a+b c+d a+c b+d
α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
xα 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3. 841 5.024
18 (本小題滿分 17分)
已知 A -2 2,0 ,B 2 2,0 ,直線 PA,PB 的斜率之積為 - 3 ,記動點 P的軌跡為曲線 C .
4
(1)求 C 的方程；
(2)直線 l 與曲線 C 交于 M ,N 兩點, O 為坐標原點,若直線 OM ,ON 的斜率之積為 - 3 ,證明:
4
△MON 的面積為定值.
13
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = 2x- sinx- alnx .
(1)當 a= 0時, x∈ 0, π ,f x ≤mx ,求實數(shù) m的取值范圍；2
(2)若 x1,x2∈ 0,+∞ ,x1≠ x2 ,使得 f x1 = f x2 ,求證:x1x2< a2.
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梅花香自苦寒來
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名校經(jīng)典真題匯編 (三)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中,只有一
項是符合題目要求的. )
1 已知集合 A= x∣x2-3x<0 ,B={1,2,3,4} ,則 RA ∩B= ( )
A. {3,4} B. {1,2} C. {2,3,4} D. {1,2,3}
2 一學習小組 10名學生的某次數(shù)學測試成績的名次由小到大分別是 2 , 4,5,x,11,14,15,39,41,50 ,
已知該小組數(shù)學測試成績名次的 40%分位數(shù)是 9.5,則 x的值是 ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

3 已知模為 2的復數(shù) z對應的向量為 OZ ( O為坐標原點),它對應的點位于第二象限, OZ 與實軸
正向的夾角為 150° ,則復數(shù) z為 ( )
A. 1+ 3 i B. 2 C. - 1- 3 i D. - 3+ i
4 如圖,一個裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi),容器與地面所成的角為 30° ,
液面呈橢圓形,橢圓長軸上的頂點 M ,N 到容器底部的距離分別是 10和 16 , 則容器內(nèi)液體的體積是
( )
A. 36π B. 39π C. 42π D. 45π
15
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
5 如圖甲所示, 古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界, 畫出相等的兩個陰陽魚, 陽魚的頭
部有眼, 陰魚的頭部有個陽殿, 表示萬物都在相互轉化, 互相滲透, 陰中有陽, 陽中有陰, 陰陽相合, 相生
相克, 蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律. 其平面圖形記為圖乙中的正八邊形 ABC-DEFGH ,其中
OA= 2 ,則以下結論錯誤的是 ( )
甲
乙

A. 2OB+OE+OG= 0 B. OA OD=-2 2

C. AG+EH = 4 D. AO在 OH 方向上的投影向量為 - 2 OH2
6 已知函數(shù) f x = cos ωx+φ ω>0,0<φ<π 的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心的
距離為 π ,將 f x π 的圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù) g x 的圖象. 若函數(shù) g x 的圖象在區(qū)間
4 6
π ,
3π
上是增函數(shù),則 φ的取值范圍為 ( )2 4
π , π π , 5π π , 2πA. B. C. π 3π 6 2 D. ,3 6 3 3 4 4
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梅花香自苦寒來
名校真題
7 設 a= cos π - π ,b= π - sin π ,c= tan π - π ,則 ( )
11 11 11 11 11 11
A. b< c< a B. c< b< a C. c< a< b D. a< b< c
8 截角八面體是由正四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟? 即截去正四面體的四個頂點處的小棱錐所得的八面
體. 如圖所示,有一個所有棱長均為 a的截角八面體石材, 現(xiàn)將此石材切削、打磨、加工成球, 則加工后球
的最大表面積為 ( )
πa2 3A. B. πa2 5C. πa2 8D. πa2
2 3 3
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
9 假設某市場供應的智能手機中,市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如表:在該市場中任意買一部手機,
用 A1,A2,A3 分別表示買到的智能手機為甲品牌、乙品牌,其他品牌, B 表示可買到的優(yōu)質(zhì)品,則 ( )
品牌 甲 乙 其他
市場占有率 50% 30% 20%
優(yōu)質(zhì)率 80% 90% 70%
A. P A1 = 0.50 B. P B∣A2 = 0.90 C. P BA3 = 0.70 D. P B = 0.81
10 已知函數(shù) f x = 2 sinx+cosx - sin2x ,則 ( )
π
A. 函數(shù) y= f x 的最小正周期為 2π B. x=- 為函數(shù) y= f x 的一條對稱軸
4
C. 函數(shù) f x 的最小值為 1 D. 函數(shù) f x 的最大值為 2
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寶劍鋒從磨礪出
名校真題
11 已知 F 是拋物線 C:y2= 4x的焦點, A,B 是拋物線 C 上的兩點, O為坐標原點, 則 ( )
A. 曲線 C 的準線方程為 x=-2
B. 若 AF = 4 ,則 △AOF 的面積為 3
C. 若 OA⊥OB ,則 OA OB ≥ 32
D. 若 ∠AFB= 60°,AB 的中點 M 在 C 的準線上的投影為 N ,則 MN ≤ AB
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 已知: A -2,0 ,B 2,0 ,C 0,2 ,E -1,0 ,F 1,0 ,一束光線從 F 點出發(fā)射到 BC 上的 D點經(jīng)
BC 反射后,再經(jīng) AC 反射,落到線段 AE 上 (不含端點). 則 FD斜率的取值范圍是 .
13 已知拋物線 C:x2=-8y的焦點為 F ,過 F 的直線 l與拋物線 C 相交于 A,B 兩點,分別過 A,B
兩點作 C 的切線 l1,l2 ,且 l1,l2 相交于點 P ,則 △PAB 面積的最小值為 .
14 已知函數(shù) f x = ex- aln ax-a + a a>0 ,若關于 x的不等式 f x > 0恒成立,則實數(shù) a的
取值范圍為 .
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15 (本小題滿分 13分)
如圖,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=BB1= 2,BC⊥BA1 .
(1)求證: BC⊥AB ；
(2)若 E 為 A1B 的中點,三棱錐 A-CEA1 的體積為 1 ,線段 CE 上是否存在點 P ,使得二面角 P-3
AB-E 的大小為 30° 若存在,求 EP 的值,若不存在,請說明理由.
EC
18
梅花香自苦寒來
名校真題
16 (本小題滿分 15分)
已知數(shù)列 an 各項都不為 0,a1= 2,a2= 4, an 的前 n項和為 Sn ,且滿足 anan+1= 4Sn .
(1)求 an 的通項公式；
b +2n+1(2)若 bn= a1C1n+ a2C2 3 n-1 n nn+ a3Cn+ +an-1Cn + anCn ,求數(shù)列 的前 n項和 Tb b n .n n+1
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寶劍鋒從磨礪出
名校真題
17 (本小題滿分 15分)
2022 年 12 月 15 至 16 日,中央經(jīng)濟工作會議在北京舉行. 關于房地產(chǎn)主要有三點新提法,其中“住房改
善”位列擴大消費三大抓手的第一位. 某房地產(chǎn)開發(fā)公司旗下位于生態(tài)公園的樓盤貫徹中央經(jīng)濟工作會
議精神,推出了為期 10 天的促進住房改善的惠民優(yōu)惠售房活動,該樓盤售樓部統(tǒng)計了惠民優(yōu)惠售房活
動期間到訪客戶的情況, 統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表: (注:活動開始的第 i天記為 xi ,第 i天到訪的人次記為 yi,i=
1,2 ,3, )
xi (單 1 2 3 4 5 6 7
位:天)
yi (單位: 12 22 42 68 132 202 392
人次)
(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),通過建模分析得到適合函數(shù)模型為 y= c dx(c,d 均為大于零的常數(shù)). 請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)
據(jù)及上表中的數(shù)據(jù), 求活動到訪人次 y關于活動開展的天次 x的回歸方程,并預測活動推出第 8天售樓
部來訪的人次;
(2)該樓盤營銷策劃部從有意向購房的客戶中,隨機通過電話進行回訪,統(tǒng)計有效回訪發(fā)現(xiàn),客戶購房意
向的決定因素主要有三類: A類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生態(tài)環(huán)境, B 類是樓盤的品質(zhì)與房子的設計布局,
C 類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生活與教育配套設施. 統(tǒng)計結果如下表:
類別 A類 B類 C類
頻率 0.4 0.2 0.4
從被回訪的客戶中再隨機抽取 3 人聘為樓盤的代言人, 視頻率為概率,記隨機變量 X 為被抽取的 3 人
中 A類和 C 類的人數(shù)之和,求隨機變量 X 的分布列和數(shù)學期望.
7 7
參考數(shù)據(jù):其中 vi= lgy ,v
1
i = vi= 1.84, x v = 58.55,100.847 i i ≈i=1 i=1
20
梅花香自苦寒來
名校真題
18 (本小題滿分 17分)
參考公式:對于一組數(shù)據(jù) u1,v1 , u2,v2 , , un,vn ,其回歸直線 v= α+ βu的斜率和截距的最小二乘
估計公式分別為:
n n
ui-v vi-v uivi-nuv
β= i=1 = i=1 n n
,α= v- βu.
2 u -u u2i i-nu 2
i=1 i=1
: x
2
+ y
2
已知橢圓 C = 1 a>b>0 過點 M
a2 b2 1,
6 ,點 A為其左頂點,且 AM 的斜率為 6 .2 6
(1)求 C 的方程；
(2) P , Q為橢圓 C 上兩個動點,且直線 AP 與 AQ的斜率之積為 - 1 , MD⊥PQ,D 為垂足. 求 AD
6
的最大值.
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = aex- ln x+a - 1 .
(1)若 f x 的極小值為 0,求實數(shù) a的值；
(2)當 a> 0時,證明: f x 存在唯一極值點 x0 ,且 f x0 + 2 x0 ≥ 0 .
21
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (四)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 已知 a∈R ,若復數(shù) z= a2-1 + a+1 i為純虛數(shù),則復數(shù) 2+i - 在復平面內(nèi)對應的點所在的a i
象限為 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2 設 x∈R ,向量 a= 1,2 ,b= x,1 ,c= 4,x ,則“ a⊥ b”是“ b c”的 ( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3 如圖所示, A,B 是非空集合,定義集合 A#B 為陰影部分表示的集合. 若 x∈R,A=
x∣0A. (-∞,0]∪ 3,16 B. (-∞,1]∪ 3,16 C. -∞,1 ∪ [3,16) D. (1,3]
若 α∈ - π ,- π ,且 cos2α+ cos 3π4 +2α =- 1 ,則 tanα= ( )2 4 2 2
A. - 3 B. - 2 C. - 3 D. - 2 3
5 甲、乙兩名司機的加油習慣有所不同,甲每次加油都說“師傅,給我加 300元的油”, 而乙則說“師
傅幫我把油箱加滿”, 如果甲、乙各加同一種汽油兩次,兩人第一次與第二次加油的油價分別相同,但第
一次與第二次加油的油價不同, 乙每次加滿油箱, 需加入的油量都相同, 就加油兩次來說 ( )
A. 甲更合算 B. 乙更合算 C. 甲乙同樣合算 D. 無法判斷誰更合算
22
梅花香自苦寒來
名校真題
6 《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片, 該片講述了中國海軍“蛟龍突擊
隊”奉命執(zhí)行撤僑任務的故事. 撤僑過程中, 海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務,并對任務的順序提
出了如下要求:重點任務 A必須排在前三位,且任務 E,F 必須排在一起,則這六項任務的不同安排方案
共有 ( )
A. 240種 B. 188種 C. 156種 D. 120種
7 在四面體 PABC 中, PA⊥AB,PA⊥AC,∠BAC= 120°,AB=AC= AP= 2 ,則該四面體的外
接球的表面積為 ( )
A. 12π B. 16π C. 18π D. 20π
8 設 f x 是定義在 R上的函數(shù),若 f x + x2 是奇函數(shù), f x - x是偶函數(shù),函數(shù) g x =
f x ,x∈ 0,1 , 若對任意的 x∈ 0,m , g x ≤ 3恒成立,則實數(shù) m的最大值為 ( )2g x-1 ,x∈ 1,+∞ ,
13 17 9 14
A. B. C. D.
3 4 2 3
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
2 y2
9 已知橢圓 C: x + = 1,F1,F2 是橢圓 C 的兩個焦點, M ,N 是橢圓 C 上兩點,且 M ,N 分別在25 16
x軸兩側,則 ( )
A. 若直線 MN 經(jīng)過原點,則四邊形 MF1NF2 為矩形
B. 四邊形 MF1NF2 的周長為 20
C. △MF1F2 的面積的最大值為 12
D. 若直線 MN 經(jīng)過 F2 ,則 F1 到直線 MN 的最大距離為 8
10 已知函數(shù) f x = ex-1+ ax2+ 1的圖象在 x= 1處的切線與直線 3x- y +1= 0平行,若存在 x0
> 0 ,使得不等式 f x0 ≤ kx0 成立,則實數(shù) k的值可以是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
23
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
11 如圖,正方體 ABCD-A1B1C1D1 中,頂點 A在平面 α內(nèi),其余頂點在 α的同側,頂點 B,C,A1
到 α的距離分別為 1,2,3,則 ( )
A. BD 平面 α B. 平面 A1AC⊥平面 α
C. 直線 AB1 與 α所成角比直線 AA1 與 α所成角大 D. 正方體的棱長為 11
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 x-2y+z 8 的展開式中 x3y3z2 的系數(shù)是 (用數(shù)字作答).
a
13 已知數(shù)列 an 滿足: an+ a * 9n+2= 2an+1 對 n∈N 恒成立,且 <-1 ,其前 n項和 Sn 有最大a8
值,則使得 Sn> 0的最大的 n的值是 .
2 2
14 F1,
y
F2 為雙曲線 C: x - = 1 a>b>0 的左、右焦點,過點 F1 且斜率為 1的直線與兩條漸近
a2 b2
AF1
線分別交于 A,B 兩點,若 = 1 ,P 4, 3 為雙曲線 C 上一點, △PF1F2 的內(nèi)切圓圓心為 I ,過 F2
BF1 3
作 F2T⊥PI ,垂足為 T,O為坐標原點,則 OT = .
24
梅花香自苦寒來
名校真題
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.)
15 (本小題滿分 13分)
在① b-c sin A+C +sin A+B = b-a sin B+C ; ② (b - 2a). cos A+B + c cos A+C =
0 ,這兩個條件中任選一個,補充在下面的橫線上. 并加以解答.
在 △ABC 中,角 A , B , C 所對的邊分別是 a , b , c ,且滿足 .
(1)求角 C ;

(2)若 a= 4,b= 5,D在線段 AB 上,且滿足 AD= 2 AB ,求線段 CD的長度.
5
16 (本小題滿分 15分)
如圖,四棱錐 P-ABCD 中,底面四邊形 ABCD 為正方形,側面 △PCD 是邊長為 2 的正三角形, 若頂

點 P在底面的射影落在底邊 CD上, M 在 BC 上且滿足 AM = 1
2 AB+AC .
(1)求證: BC⊥PD；
(2)求二面角 C-PD-M 的大小.
25
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名校真題
17 (本小題滿分 15分)
根據(jù)社會人口學研究發(fā)現(xiàn),一個家庭有 X 個孩子的概率模型為:
X 1 2 3 0
P α α α 1-p α 1-p 2
p
其中 α> 0,0< p< 1 . 每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為 1 且相互獨立,事件 A
2 i
表示一個家
庭有 i 個孩子 i=0,1,2,3 ,事件 B 表示一個家庭的男孩比女孩多 (例如:一個家庭恰有一個男孩,則該
家庭男孩多).
(1)若 p= 1 ,求 α和 P B ；
2
(2)調(diào)控未來人口結構通過調(diào)控參數(shù) p來進行,其中參數(shù) p受到各種因素的影響 (例如生育保險的增加,
教育、醫(yī)療福利的增加等).
①若希望 P X=2 增大,如何調(diào)控 p的值
②是否存在 p的值使得 E X = 5 ,請說明理由.
3
18 (本小題滿分 17分)
過拋物線 y2= 2px p>0 的對稱軸上的定點 M m,0 m>0 ,作直線
AB 與拋物線相交于 A,B 兩點.
(1)證明: A,B 兩點的縱坐標之積為定值；
(2)若點 N 是定直線 l:x=-m 上的任一點,設直線 AN ,MN ,BN 的斜率分別為 k1,k2,k3 ,試探索 k1,k2,
k3 之間的關系,并證明.
26
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名校真題
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = exsinx- cosx,g x = xcosx- 2ex ,其中 e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)判斷函數(shù) y= f x π 在 0, 內(nèi)零點的個數(shù),并說明理由；2
(2)任意 x ∈ 0, π ,存在 x ∈ 0, π1 2

,使得不等式 f x1 + g x2 ≥m成立,試求實數(shù) m的取值范圍；2 2
(3)若 x>-1 ,求證: f x - g x > 0 .
27
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名校經(jīng)典真題匯編 (五)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 已知集合 M={x ∣ x= 3n- 2,n∈ Z},N={-2, -1,0,1,2} ,則 M∩N= ( )
A. {-2,1} B. {-1,2} C. {-1,1} D. {-2,0,2}
z i
2 已知復數(shù) z滿足 - - + = 1 ,則 z= ( )1 i 1 i
A. - 2+ i B. - 2- i C. 2+ i D. 2- i
3 若 e1,e2 是夾角為 60°的兩個單位向量,則 a= 2e1+ e2 與 b=-3e1+ 2e2 的夾角為 ( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4 生物體死亡后,它機體內(nèi)原有的碳 14含量 P會按確定的比率衰減 (稱為衰減率), P與死亡年數(shù)
t
t a之間的函數(shù)關系式為 P= 1 (其中 a為常數(shù)), 大約每經(jīng)過 5730年衰減為原來的一半, 這個時間稱2
為“半衰期”. 若 2021年某遺址文物出土時碳 14的殘余量約占原始含量的 75% ,則可推斷該文物屬于
( )
參考數(shù)據(jù): log20.75≈-0.4
參考時間軸:
A. 宋 B. 唐 C. 漢 D. 戰(zhàn)國
5 杭州亞運會共設 40個競賽大項, 包括 31個奧運項目和 9個非奧運項目,共設杭州賽區(qū)、寧波賽
區(qū)、溫州賽區(qū)、金華賽區(qū)、紹興賽區(qū)、湖州賽區(qū). 現(xiàn)需從 6名管理者中選取 4人分別到溫州、金華、紹興、湖
州四個賽區(qū)負責志愿者工作,要求四個賽區(qū)各有一名管理者,且 6人中甲、乙兩人不去溫州賽區(qū),則不同
的選擇方案共有 ( )
A. 300種 B. 240種 C. 144種 D. 96種
28
梅花香自苦寒來
名校真題
6 函數(shù) f x = 2sin ωx+φ ω>0且0<φ<π 在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,將函數(shù) y= f x 圖
象上的點的橫坐標伸長為原來的 2倍,再向右平移 π 個單位長度,得到函數(shù) y= g x 的圖象,
4
則 g π = ( )3
A. 3 B. 1 C. - 1 D. - 3
7 在三棱錐 P-ABC 中, PA⊥平面 ABC,AB= 2,△ABC 與 △PAB 的外接圓圓心分別為 O1,O2
,若三棱錐 P-ABC 的外接球的表面積為 16π , 設 O1A= a,O2A= b ,則 a+ b的最大值是 ( )
A. 5 B. 10 C. 2 3 D. 2 5
8 如圖 34- 5,矩形 ABCD的中心為 O,BC>AB ,現(xiàn)將 △DAC 沿著對角線 AC 翻折成 △EAC
. 記 ∠BOE= α ,二面角 B-AC-E 的平面角為 β ,直線 DE 與 BC 所成的角為 γ ,則 ( )
A. β> α,β> 2γ B. β> α,β< 2γ
C. β< α,β> 2γ D. β< α,β< 2γ
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
29
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
9 如圖正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 a ,以下結論正確的是 ( )
A. 異面直線 A1D與 AB1 所成的角為 60° B. 直線 A1D與 BC1 垂直
1
C. 直線 A1D與 BD1 平行 D. 三棱錐 A-A1CD的體積為 a36
10 已知 A,B 是拋物線 C:y2= 4x上兩動點, F 為拋物線 C 的焦點,則 ( )
A. 直線 AB 過焦點 F 時, AB 最小值為 4
B. 直線 AB 過焦點 F 且傾斜角為 60°時 (點 A在第一象限), AF = 2 BF
C. 若 AB 中點 M 的橫坐標為 3,則 AB 最大值為 8
D. 點 A坐標 (4,4),且直線 AF,AB 斜率之和為 0,AF 與拋物線的另一交點為 D ,則直線 BD方程為:
4x+ 8y+ 7= 0
11 已知函數(shù) f x = xln 1+x ,則 ( )
A. f x 在 0,+∞ 單調(diào)遞增 B. f x 有兩個零點
C. 曲線 y= f x 在點 - 1 ,f - 1 處切線的斜率為 -1- ln2 D. f x 是偶函數(shù)2 2
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 過點 P 2,2 作圓 x2+ y2= 4的兩條切線,切點分別為 A,B ,則直線 AB 的方程為 .
13 已知函數(shù) f x = x2+ aln 2x+1 有兩個不同的極值點 x1,x2 ,且 x1< x2 ,則實數(shù) a的取值范
圍是 .
30
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名校真題
定義離心率是 5-1
2 y2
14 的橢圓為“黃金橢圓”. 已知橢圓 E: x + = 1(10 >m> 0 )是“黃金
2 10 m
2 2
橢圓”,則 m= . 若“黃金橢圓”C: x + y = 1 a>b>0 兩個焦點分別為 F1 -c,0 ,
a2 b2
F2 c,0 c>0 ,P為橢圓 C 上的異于頂點的任意一點,點 M 是 △PF1F2 的內(nèi)心,連接 PM 并延長交 F1F2
PM
于點 N ,則 = . (第 1空 2分,第 2空 3分)
MN
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15 本小題滿分 13分)
已知數(shù)列 an 中 a1= 1.M 1,1 ,An 2,an ,Bn 3,2a *n+1-3 為直角坐標平面上的點. 對任意 n∈N ,M、
An、Bn 三點共線.
(1)求數(shù)列 an 的通項公式；
(2)求證: 1 + 1 + 1 + + 1 < 3 .
a1a3 a2a4 a3a5 anan+2 4
16 (本小題滿分 15分)
如圖,在直角 △POA 中, PO⊥OA,PO= 2OA= 4 ,將 △POA 繞邊 PO 旋轉到 △POB 的位置,使

∠AOB= 90° ,得到圓錐的一部分,點 C 為 AB 上的點,且 AC = 1 AB
3
(1)求點 O到平面 PAB 的距離；
(2)設直線 PC 與平面 PAB 所成的角為 φ ,求 sinφ的值.
31
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名校真題
17 (本小題滿分 15分)
某工廠為了提高生產(chǎn)效率, 對生產(chǎn)設備進行了技術改造, 為了對比技術改造后的效果, 采集了技術改造
前后各 20次連續(xù)正常運行的時間長度 (單位:天)數(shù)據(jù),整理如下:
改造前:19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21;
改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值 α= 0.010 的獨立性檢驗分析判斷技術改造前后的連續(xù)正常運
行時間是否有差異
技術改造 設備連續(xù)正常運行天數(shù) 合計
超過 30 不超過 30
改造前
改造后
合計
(2)工廠的生產(chǎn)設備的運行需要進行維護,工廠對生產(chǎn)設備的生產(chǎn)維護費用包括正常維護費和保障維護
費兩種. 對生產(chǎn)設備設定維護周期為 T 天 (即從開工運行到第 kT 天, k∈N * )進行維護. 生產(chǎn)設備在一
個生產(chǎn)周期內(nèi)設置幾個維護周期, 每個維護周期相互獨立. 在一個維護周期內(nèi), 若生產(chǎn)設備能連續(xù)運行,
則只產(chǎn)生一次正常維護費, 而不會產(chǎn)生保障維護費; 若生產(chǎn)設備不能連續(xù)運行, 則除產(chǎn)生一次正常維護
費外,還產(chǎn)生保障維護費.經(jīng)測算,正常維護費為 0.5 萬元 / 次, 保障維護費第一次為 0.2 萬元 /周期, 此
后每增加一次則保障維護費增加 0.2萬元.
現(xiàn)制定生產(chǎn)設備一個生產(chǎn)周期 (以 120 天計) 內(nèi)的維護方案: T= 30,k= 1,2,3,4 . 以生產(chǎn)設備在技術改
造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率, 求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及均值.
附:
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3. 841 5.024 6.635 7. 879 10.828
n ad-bc 2
χ2= , 其中n=a+b+c+d .
a+b c+d a+c b+d
32
梅花香自苦寒來
名校真題
18 (本小題滿分 17分)
2 2
設 A,B 為雙曲線 C: x - y = 1 a>0,b>0 的左、右頂點,直線 l過右焦點 F 且與雙曲線 C 的右支交
a2 b2

于 M ,N 兩點,當直線 l垂直于 x軸時,
△AMN 為等腰直角三角形.
( 1 )求雙曲線 C 的離心率；
(2)已知 AB= 4 ,若直線 AM ,AN 分別交直線 x= a 于 P,Q 兩點,當直線 l 的傾斜角變化時,以 PQ
2
為直徑的圓是否過定點 若過定點, 求出定點的坐標;若不過定點, 請說明理由.
19 (本小題滿分 17分)
2
已知 e是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù) f x = ax ,直線 y= 1 x為曲線 y=
ex e
f x 的切線, g x = x+1 lnx .
(1)求 a的值；
(2)① 判斷 F x = f x - g x 的零點個數(shù)；
m,m≤n,
② 定義 min{m,n}= 函數(shù) m x =min f x ,g x .n,m>n,
h x =m x - tx2 在 0,+∞ 上單調(diào)遞增. 求實數(shù) t的取值
范圍.
33
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (六)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 已知集合 A={x ∣-1< x≤ 4},B= x∣ x-2a x-a2-1 <0 , 若 A∩B= ,則實數(shù) a的取
值范圍為 ( )
A. {a ∣ a> 2} B. {a ∣ a≥ 2}
C. {a ∣ a= 1或 a≥ 2} D. {a ∣ a≥ 1}

2 已知復數(shù) z1,z2 滿足 z2≠ 0, z1 z2 = 2 z2 ,則 z1 = ( )
A. 2 . B. 2 C. 2 2 D. 4

3 在 △ABC 中,點 N 滿足 AN = 2NC ,記 BN = a,NC = b ,那么 BA= ( )
A. a- 2b B. a+ 2b C. a- b D. a+ b
4 已知 a= lg 1 ,b= 20.1,c= sin3 ,則 ( )
2
A. a> b> c B. b> c> a C. b> a> c D. c> b> a
5 2022年 9月 16日,迎接第九批在韓志愿軍烈士遺骸回國的運一 20專機在兩架殲一 20戰(zhàn)斗機
護航下抵達沈陽國際機場. 殲一 20戰(zhàn)機是我國自主研發(fā)的第五代最先進的戰(zhàn)斗機, 它具有高隱身性、高
態(tài)勢感知、高機動性能等特點, 殲一 20機身頭部是一個圓錐形, 這種圓錐的軸截面是一個邊長約為 2米
的正三角形,則機身頭部空間大約 ( )立方米
3 2
A. 3π B. π C. 2π D. π
3 2
6 已知函數(shù) f x = cos ωx- π - 1 ω>0 ,將 f x 的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 13 2 2
,縱坐標不變,得到函數(shù) g x 的圖象,已知 g x 在 0,π 上恰有 5個零點,則 ω的取值范圍是 ( )
2, 8 7 8 7A. B. 2, C. 2, 3 3 3 D. 2, 3
34
梅花香自苦寒來
名校真題
7 用 1,2,3,4,5,6組成六位數(shù) (沒有重復數(shù)字),在任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的條件下, 1和 2
相鄰的概率是 ( )
5 4 5 13
A. B. C. D.
18 9 9 18
8 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=AA1= 2,BC= 3AC ,當該三棱柱體積最大時, 其外接
球的體積為 ( )
28 21 32 20 5 28 7
A. π B. π C. π D. π
27 3 3 9
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選項中, 有多項符合題目要求. 全部
選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
9
例1 (2023 新高考)下列物體中，能夠被整體放入棱長為 1(單位：m)的正方體容器 (容器壁厚度忽略不計)
內(nèi)的有 ( )
A. 直徑為 0.99m的球體 B. 所有棱長均為 1.4m的四面體
C. 底面直徑為 0.01m，高為 1.8m的圓柱體 D. 底面直徑為 1.2m，高為 0.01m的圓柱體
10 已知拋物線 C:y= 1 x2 的焦點為 F,P為 C 上一點,下列說法正確的是 ( )
4
A. C 的準線方程為 y=- 1 B. 直線 y= x- 1與 C 相切
16
C. 若 M 0,4 ,則 PM 的最小值為 2 3 D. 若 M 3,5 ,則 △PMF 的周長的最小值為 11
11 已知偶函數(shù) f x 在 R上可導, f 0 =-1,g x = f x ,若 f x+1 -f 1-x = 2x ,則 ( )
A. g 0 = 0 B. g 2023 = 2023
C. f 3 = 3 D. f -2n = 2n2- 1 n∈N
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 設多項式 x+1 6 + x-1 1 0= a x1010 + a9x9+ +a1x+ a0 ,則 a0+ a2 +a4+ a6+ a8+ a10=
.
35
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
2 y2
13 已知點 F1 是橢圓
x + = 1 a>b>0 的左焦點,過原點作直線 l交橢圓于 A,B 兩點, M ,N
a2 b2
分別是 AF1,BF1 的中點,若存在以 MN 為直徑的圓過原點,則橢圓的離心率的范圍是 .
14 設函數(shù) f x = 3 x2- 2ax a>0 的圖象與 g x = a2lnx+ b的圖象有公共點,且在公共點處切
2
線方程相同,則實數(shù) b的最大值為 .
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15 (本小題滿分 13分)
在數(shù)列 an 中, a1= 1 ,其前 n項和為 Sn ,且滿足 an 2Sn-1 = 2S2n n∈N *,n≥2 .
(1)求證:數(shù)列 1 Sn
是等差數(shù)列；
(2)證明:當 n≥ 2時, S1+ 1 S 1 1 32 2+ S3 3+ + Sn n< .2
16 (本小題滿分 15分)
如圖,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是梯形,且 A1B1 D1C1,A1D1=D1D=D1C1=
1 A B = 1,AD
2 1 1 1
⊥A1C,E 是棱 A1B1 的中點.
(1)求證: CD⊥AD；
(2)求點 C1 到平面 CD1B1 的距離；
(3)求二面角 D1-CE-B1 的余弦值.
36
梅花香自苦寒來
名校真題
17 (本小題滿分 15分)
2 y2
已知雙曲線 C : x - = 1 a>0,b>0 經(jīng)過點 (2, - 3),兩條漸近線的夾角為 60° ,直線 l 交雙曲線 C
a2 b2
于 A,B 兩點.
( 1 )求雙曲線 C 的方程；
(2)若動直線 l 經(jīng)過雙曲線的右焦點 F2 ,是否存在 x 軸上的定點 M (m , 0) ,使得以線段 AB 為直徑的
圓恒過 M 點 若存在,求實數(shù) m的值;若不存在, 請說明理由.
18 (本小題滿分 17分)
某中學 2022 年 10 月舉行了 2022“翱翔杯”秋季運動會,其中有“夾球跑”和“定點投籃”兩個項目, 某班
代表隊共派出 1 男 (甲同學) 2 女 (乙同學和丙同學)三人參加這兩個項目, 其中男生單獨完成“夾球跑”
的概率為 0.6,女生單獨完成“夾球跑”的概率為 a 0響, 記這三名同學能完成“夾球跑”的人數(shù)為 ξ .
(1)證明:在 ξ的概率分布中, P ξ=1 最大；名校經(jīng)典真題匯編 (六) - 6
(2)對于“定點投籃”項目,比賽規(guī)則如下:該代表隊先指派一人上場投籃,如果投中,則比賽終止,如果沒
有投中,則重新指派下一名同學繼續(xù)投籃, 如果三名同學均未投中, 比賽也終止. 該班代表隊的領隊了解
后發(fā)現(xiàn),甲、乙、丙三名同學投籃命中的概率依次為 ti= P ξ= i i=1,2,3 ,每位同學能否命中相互獨立.
請幫領隊分析如何安排三名同學的出場順序, 才能使得該代表隊出場投籃人數(shù)的均
值最小 并給出證明.
37
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名校真題
19 (本小題滿分 17分)已知函數(shù) f x = sinx- x+mlnx,m≠ 0 .
(1)若函數(shù) f x 在 0,+∞ 上是減函數(shù),求 m的取值范圍；
(2)設 α∈ π, 3π ,且滿足 cosα= 1+ αsinα ,證明:當 0有兩個極值點.
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名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (七)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 已知集合 A={x ∣ y= lnx},B= y∣y=ex-1 ,則 A∪B= ( )
A. R B. [0, +∞) C. -1,+∞ D.

2 已知復數(shù) z滿足 1- i z= 2+ 2i ,則 z的共軛復數(shù) z= ( )
A. 2 B. - 2 C. 2i D. - 2i
3 若 tanα= 1 ,則 sin2α- cos2α= ( )
A. - 1 1 1B. C. D. 1
5 4 2
4 已知 A -3,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ,一束光線從點 F -1,0 出發(fā)經(jīng) AC 反射后,再經(jīng) BC 上點 D反
射,落到點 E 1,0 上. 則點 D的坐標為 ( )
A. 1 , 5 3 3B. ,2 2 2 2 C. (1,2) D. (2,1)
5 已知 a= ln π ,b= 2 π - 2,c= 2tan π -1 ,則 a,b,c的大小關系是 ( )3 3 3
A. c> b> a B. a> b> c C. b> a> c D. a> c> b
6 為參加學校組織的“喜迎二十大,奮進新征程”的演講比賽,某班從班級初選的甲、乙 2名男生和
6名女生共 8名同學中隨機選取 5名組成班級代表隊參加比賽, 則代表隊中既有男生又有女生的條件
下, 男生甲被選中的概率為 ( )
15 5 1 7
A. B. C. D.
56 7 2 10
39
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
2 2
7 已知橢圓 C: x + y = 1 a>b>0 的左、右焦點分別為 F ,F
2 2 1 2
,P為 C 上不與左、右頂點重合的
a b
一點, I 為 △PF1F2 的內(nèi)心,且 3IF1+ 2IF2= 2PI ,則 C 的離心率為 ( )
1 2 3 6
A. B. C. D.
3 5 3 5
8 已知函數(shù) f x = 3lnx- x3ex+ 1 ,若存在 x0> 0 ,使 f x0 ≥ ax0 ,則 a的最大值為 ( )
A. 0 B. - 1 C. 1- e D. 1- e2
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
1
9 已知數(shù)列 an 滿足 a1= ,an+1=
2an n∈N *+ ,則下列結論正確的是 ( )3 2an 1
A. 1 -2 為等比數(shù)列an
n-1
B. an 的通項公式為 a
2
n=
2n+1
C. an 為遞減數(shù)列
D. 1 的前 n項和 Tn= 2n+ 1- 2-nan
10 已知函數(shù) f x = ex- x,g x = x- lnx ,則下列說法正確的是 ( )
A. f lnx 在 1,+∞ 上是增函數(shù)
B. x> 1 ,不等式 f ax ≥ f lnx2 恒成立,則正實數(shù) a的最小值為 2
e
C. 若 g x = t有兩個零點 x1,x2 ,則 x1 x2> 1
D. 若 f x1 = g lnt 1 x2 = t t>2 ,且 x2> x1> 0 ,則 - 的最大值為x2 x1 e
2 y2
11 已知 F1,F x2 分別為雙曲線 C: - = 1 a>0,b>0 的左、右焦點,點 M 為雙曲線右支上一
a2 b2
點,設 ∠F1MF2= θ . 過 M 作兩漸近線的垂線,垂足分別為 P,Q ,則下列說法正確的是
2
A. F2M 的最小值為
b
a
B. MP MQ 為定值
40
梅花香自苦寒來
名校真題
C. 若當 θ= π 時, △OMF2 ( O為坐標原點)恰好為等邊三角形,則雙曲線 C 的離心率為 3+ 12
D. 當 θ= π 時,若直線 F1M 與圓 x2+ y2= a2 相切,則雙曲線 C 的漸近線的斜率的絕對值為 3- 36
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 如圖,在直角梯形 ABCD中, AD BC,AB⊥BC , AD= 1,BC= 2,P是線段 AB 上的動點,

則 PC+4PD 的最小值為 .
13 黨的二十大是在全黨全國各族人民邁上全面建設社會主義現(xiàn)代化國家新征程, 向第二個百年奮
斗目標進軍的關鍵時刻召開的一次十分重要的大會. 在二十大即將勝利召開之際, 某學校組織了《喜迎
二十大,譜寫新篇章》的演講比賽,本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成,如圖 1. 已知球的
表面積為 20π ,托盤由邊長為 4 3 的正三角形 △ABC 銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成,如圖
2, 則球心離底面 DEF 的距離為 .
圖 1
圖 2
14 已知定義在 N * 上的單調(diào)遞增函數(shù) y= f x ,對于任意的 n∈N * ,都有 f n ∈N * ,且 f f n
= 3n恒成立,則 f 2023 = .
41
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15 (本小題滿分 13分)
記 △ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c . 已知 b = cosB .
c 2-cosC
(1)求 a ；
b
(2)若 cosC= 1 ,AB 邊上的中線 CD= 6 ,求 △ABC 的面積.
4
16 (本小題滿分 15分)
如圖,在四棱錐 P-ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD,PA=AB=BC= 3 , AD=CD= 1,∠ADC= 120°
,點 M 是 AC 與 BD的交點,點 N 在線段 PB 上,且 PN= 1 PB .
4
(1)證明: MN 平面 PDC ；
(2)在線段 BC 上是否存在一點 Q ,使得平面 MNQ⊥ 平面 PAD ？若存在,求出點 Q 的位置; 若不存
在,請說明理由.
42
梅花香自苦寒來
名校真題
17 (本小題滿分 15分)
在直角坐標系 xOy中,動圓 P 與圓 Q: x-1 2 + y2= 1外切,且圓 P 與 y軸相切,記動圓圓心 P 的軌跡
為曲線 C .
( 1 )求曲線 C 的軌跡方程；
(2)設過定點 S -1,0 的動直線 l 與曲線 C 交于 A,B 兩點,試問: 在曲線 C 上是否存在點 M (與 A,B
兩點相異),當直線 MA,MB 的斜率存在時,直線 MA,MB 的斜率之和為定值 若存在,求出點 M 的坐
標;若不存在, 請說明理由.
18 (本小題滿分 17分)
甲乙兩人進行乒乓球比賽, 經(jīng)過以往的比賽分析, 甲乙對陣時, 若甲發(fā)球,則甲得分的概率為 3 ,若乙發(fā)
5
球,則甲得分的概率為 1 . 該局比賽甲
3
乙依次輪換發(fā)球權 (甲先發(fā)球), 每人發(fā)兩球后輪到對方進行發(fā)球.
(1)求在前 4球中,甲領先的概率；
(2) 12球過后,雙方戰(zhàn)平 6:6 ,已知繼續(xù)對戰(zhàn)奇數(shù)球后,甲率先取得 11分獲得勝利 (獲勝要求凈勝 2分
及以上),設凈勝分為 X (甲,乙的得分之差),求 X 的分布列.
43
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
19 (本小題滿分 17分)
設函數(shù) f x = x2- ax- a2ln x. a∈R
(1)當 a= 2時,討論函數(shù) y= f x 的單調(diào)性；
(2)若 a≠ 0 ,曲線 y= f x 與直線 y=m交于 A x1,y1 ,B x2,y2 兩
, : x1+x點 求證 f 2 > 0 ;2
(3)證明: 1 + 1 + + 1 < 1 lnn n≥2,n∈N * .
3 5 2n-1 2
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名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (八)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 已知集合 A={x∈ Z ∣ x< 2},B= x∣x2-2x-3<0 ,則 A∩B= ( )
A. {-1,0,1,2} B. {0,1} C. {-1,0,1} D. {-2,0,1}
z
2 已知復數(shù) z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為 (-1,2),則
1+ = ( )i
- 3 + 3 3 1 3 3 1 3A. i B. - - i C. - - i D. + i
2 2 2 2 2 2 2 2
3 已知曲線 y= 4 x 在點 (1,4)處的切線的傾斜角為 α ,則 1+sinα+cosα = ( )
2 1- 2cos α+ π4
2 2 2 1A. B. C. D. 1 .
2 2
4 深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法, 它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的,在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)
G
化中,指數(shù)衰減的學習率模型為 L=L σ00D ,其中 L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率, L0 表示初始學習
率, D表示衰減系數(shù), G 表示訓練迭代輪數(shù), G0 表示衰減速度. 已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始
學習率為 0.5 , 衰減速度為 18 , 且當訓練迭代輪數(shù)為 18時,學習率衰減為 0.4 ,則學習率衰減到 0.2以
下 (不含 0.2 )所需的訓練迭代輪數(shù)至少為 參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010 ( )
A. 72 B. 74 C. 76 D. 78
5 已知 x-1 4 + 2x5= a0+ a1 x+1 + a2 x+1 2 + +a5 x+1 5 ,則 a2= ( )
A. - 2 B. 2 C. 4 D. 12
f x2 - f x
6 已知函數(shù) f x 滿足 f -x =-f x ,且對任意的 x1,x2∈ [0, +∞) , x1≠ x2 ,
1
都有
x2-x1
> 2,f 1 = 2020 ,則滿足不等式 f(x- 2020)> 2 x-1011 的 x的取值范圍是 ( )
A. 2021,+∞ B. 2020,+∞ C. 1011,+∞ D. 1010,+∞
45
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
7 某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓, 其軌道的離心率為 e ,設地球半徑為 R
,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為 r ,則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為 ( )
1+e r+ 2e R 1+e e 1+e 2e 1-e eA. - B. r+ R C. r+ R D. r+ R1-er 1 e 1-e 1-e 1-e 1+e 1+e 1+e
8 若實數(shù) x,y滿足 4lnx+ 2lny≥ x2+ 4y- 4 ,則 ( )
A. xy= 2 B. x+ y= 2 C. 2x+ y= 1+ 2 D. x3y= 1
2
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)

9 已知 OA,OB 是平面內(nèi)兩個夾角為 120°的單位向量,點 C 在以 O為圓心的 AB 上運動 (包括

A,B 兩點),若 OC = xOA+ yOB x,y∈R . 下列說法正確的有 ( )

A. 當 C 位于 AB 中點時, x= y= 1

B. 當 C 位于 AB 中點時, x+ y的值最大

C. OC 在 OA上的投影向量的模的取值范圍為 1 ,1

2
3 3
D. OC OA-OB 的取值范圍為 - ,

2 2
10 在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F、G 分別為 BC、CC1、BB1 的中點, 則 ( )
A. 直線 A1D與直線 EF 垂直
B. 點 C 與點 G 到平面 AEF 的距離相等
C. 直線 A1G 與平面 AEF 不平行
D. 過 A、E、F 三點的平面截正方體的截面為等腰梯形
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名校真題
ω
11 已知 f x = 2cos2 x+φ - 1 ω>0,φ∈ 0, π 具有下面三個性質(zhì):①將 f x 的圖象右移 π2 4
個單位得到的圖象與原圖象重合;② x∈R , f 5π 5π x ≤ f ;③ f x 在 x∈ 0,12 12 時存在兩個零
點. 給出下列判斷,其中正確的是 ( )
π
A. f x 在 x∈ 0, 時單調(diào)遞減4
B. f π + f π + f48 3
9π = 1
16 2
π
C. 將 f x 的圖象左移 個單位長度后得到的圖象關于原點對稱
24
若 g π π 2πD. x 與 f x 的圖象關于 x= 對稱,則當 x∈ ,
時, g x 的值域為
-1, 1 3 2 3 2
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 由 1,2,3,4,5,6組成的沒有重復數(shù)字的六位數(shù),要求奇數(shù) 1,3,5兩兩不相鄰,但 1和 2必須相鄰,
這樣的六位數(shù)共有 個.
13 已知函數(shù) f x = log 1 -x2+2x+t 的定義域是 m,m+4 ,則函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為
2
.
14 點 M 是圓 C:x2+ y2= 1上一個動點,直線 l1:mx-ny- 3m+n= 0與直線 l2:nx+my- 3m-
n= 0 m,n∈R,m2+n2≠0 相交于點 P ,則 PM 的取值范圍是 ；
2 y2
若雙曲線 x - = 1 a>0,b>0 的一條漸近線過點 P ,則雙曲線的離心率的最大值為 . (第 1
a2 b2
空 2分, 第 2空 3分)
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15 (本小題滿分 13分)
已知 Sn 是等差數(shù)列 an 前 n項和, S9= 81,a6+ a8= 26 .
(1)求 an 的通項公式；
(2)在 an 中,去掉以 a1 為首項,以 a2 為公比的數(shù)列的項,剩下的項按原來順序構成的數(shù)列記為 bn ,
求 bn 前 100項和 T100 .
47
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名校真題
16 (本小題滿分 15分)
如圖,在四棱錐 P-ABCD 中,底面 ABCD 為直角梯形,其中 AD BC,AB⊥AD,AD= 3,AB= BC
= 2,PA⊥平面 ABCD ,且 PA= 3 ,點 M 在棱
PD上,點 N 為 BC 中點.
(1)證明:若 DM= 2MP ,則直線 MN 平面 PAB ;
(2)求二面角 C-PD-N 的正弦值；
(3)是否存在點 M ,使 NM 與平面 PCD所成角的正弦值為 2 ？若存在,求出 PM 的值;若不存在,
6 PD
說明理由.
17 (本小題滿分 15分)
為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性, 教育集團需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常
性有影響, 為此隨機抽查了男女生各 100名, 得到如下數(shù)據(jù):
性別 鍛煉
不經(jīng)常 經(jīng)常
女生 40 60
男生 20 80
(1)依據(jù) α= 0.01的獨立性檢驗,能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關系
(2)從這 200人中隨機選擇 1人,已知選到的學生經(jīng)常參加體育鍛煉, 求他是男生的概率;
(3)為了提高學生體育鍛煉的積極性, 集團設置了“學習女排精神, 塑造健康體魄”的主題活動,在該活動
的某次排球訓練課上,甲乙丙三人相互做傳球訓練, 第 1 次由甲將球傳出, 每次傳球時, 傳球者都等可能
地將球傳給另外兩個人中的任何一人. 求第 n次傳球后球在甲手中的概率.
n ad-bc 2: 2= 附 χ
a+b c+d a+c b+d
48
梅花香自苦寒來
名校真題
α 0.010 0.005 0.001
xα 6.635 7. 879 10.828
18 (本小題滿分 17分)
x2: + y
2 2
設橢圓 E = 1 a>b>0 的左右焦點 F ,F 分別是雙曲線 x - y21 2 = 1 的左右頂點,且橢圓的右
a2 b2 4
頂點到雙曲線的漸近線的距離為 2 10 .
5
(1)求橢圓 E 的方程；

(2)是否存在圓心為原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B ,且 OA⊥OB
若存在,寫出該圓的方程,并求 AB 的取值范圍;若不存在,請說明理由.
49
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = x+a 2 + blnx,a,b∈R且 b≠ 0 .
(1)若直線 y= 2ax是曲線 y= f x 的切線,求 a2- b的最小值；
f x
( ) 1
- f x
2 2設 b= 1 ,若函數(shù) f x 有兩個極值點 x1 與 x2 ,且 x1< x 22 ,證明 - > a- .x1 x2 a
50
梅花香自苦寒來
名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (九)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 已知集合 A= y∣y= x-1 -1,x∈R ,B= x∣log3x≥1 ,則 A∩ RB= ( )
A. {x ∣ x≥-1} B. {x ∣ x< 3} C. {x ∣-1≤ x≤ 3} D. {x ∣-1≤ x< 3}
2 設復數(shù) z1,z2 在復平面內(nèi)的對應點關于實軸對稱, z1= 1+ i ,則 z1z2= ( )
A. 2 B. - 2 C. 1+ i D. 1- i
3 已知函數(shù) f x = 2cosx- f π sinx ,則 f π = ( )3 3
2 3 2 3
A. B. - C. 2 D. - 2
3 3
4 在雙曲線中,虛軸長為 6,且雙曲線與橢圓 x2+ 16y2= 16有公共焦點,則雙曲線的方程是
( )
x2 y2 2 y2 y2 2 y2 2
A. - = 1 xB. - = 1 x xC. - = 1 D. - = 1
9 6 6 9 9 6 6 9
5 已知向量 a= -1,m m>0 ,b= 4,3 ,且 a = b ,則 a b= ( )
A. 68 B. - 68 C. - 4- 6 6 D. 6 6- 4
6 為了解某種產(chǎn)品與原材料之間的關系, 隨機調(diào)查了該產(chǎn)品 5個不同時段的產(chǎn)品與原材料的價格,
得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:
原材料價格 1 1.2 1.4 1.6 1.8
x (萬元 /
噸)
產(chǎn)品價格 y 5 5.8 k 8.1 8.8
(萬元 /件)
51
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
但是統(tǒng)計員不小心丟失了一個數(shù)據(jù) (用 k 代替),在數(shù)據(jù)丟失之前得到經(jīng)驗回歸方程為 y= 5x- 0.04 ,
則 k的值等于 ( )
A. 7.1 B. 7.2 C. 7.3 D. 7.4
6 4
7 x+1- 2 的展開式中, x 的系數(shù)為 ( )y y2
A. 60 B. - 60 C. 120 D. - 120
8 三棱錐 A-BCD中, AB=BC=AD=CD=BD= 2 3 ,AC= 3 3 ,則三棱錐 A-BCD的外
接球的表面積為 ( )
A. 20π B. 28π C. 32π D. 36π
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
9 記函數(shù) f x = cos ωx+ π ω>0 的最小正周期為 T ,且 2nπ ≤T≤nπ n∈N * . 若 x= π 4 3 6
為 f x 的零點,則 ( )
2
A. ≤ω≤ 3 B. ω< 3
n n 2n-1
x= π 為 f x 7πC. 的零點 D. x= 為 f x 的極值點
2 6
52
梅花香自苦寒來
名校真題
10 拋物線 y2= 4x的焦點為 F ,過 F 的直線交拋物線于 A,B 兩點,點 P在拋物線 C 上,則下列
結論中正確的是 ( )
16
A. 當 AF = 3FB 時, AB =
3
B. 若 M 2,2 ,則 PM + PF 的最小值為 4
PQ
C. 若 Q -1,0 ,則 的取值范圍為 1, 2
PF
D. 在直線 x=- 3 上存在點 N ,使得 ∠ANB= 90°
2
11 在平面凸四邊形 ABCD中, △ABD的面積是 △BCD面積的 2倍,又數(shù)列 an 滿足 a1= 2 ,恒

有 BD= a -2n-1n BA+ a nn+1+2 BC ,設 an 的前 n項和為 Sn ,則 ( )
a
A. an 為等比數(shù)列 B. n 為等差數(shù)列 C. an 為遞增數(shù)列 D. Sn= 3-n 2n+1- 62n
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 已知甲、乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù):
甲組: 27,28,37,m,40,50 ;
乙組: 24,n,34,43,48,52 .
若這兩組數(shù)據(jù)的第 30百分位數(shù)、第 50百分位數(shù)分別對應相等, 則 n = .
m
13 若 a> b> 1 ,且 a+ 3b= 5 ,則 1 4 2- + - 的最小值為 , ab- b - a+ b的最大值為a b b 1
. (本題第 1空 2分, 第 2空 3分)
14 在四棱錐 P-ABCD中,底面 ABCD是邊長為 2的正方形,平面 PAB⊥平面 PCD ,則 P-
ABCD體積的最大值為 .
53
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15 (本小題滿分 13分).
在 △ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別是 a,b,c . 已知 asinA+ bsinB- csinC= 3bsinA .
(1)求角 C 的大小；
(2)若 b= 32 ,c= 2 ,求 △ABC 的面積.
17
16 (本小題滿分 15分)三棱臺 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形, AA1⊥平面 ABC,AB= 4,A1B1
= 2,AA1= 3 , E 是 AB 的中點,平面 A1C1E 交平面 ABC 于直線 l .
(1)求證: AC l；
(2)求直線 B1C 與平面 A1C1E 所成角的正弦值.
54
梅花香自苦寒來
名校真題
17 (本小題滿分 15分)
2020年以來, 新冠疫情對商品線下零售影響很大. 某商家決定借助線上平臺開展銷售活動. 現(xiàn)有甲、乙兩
個平臺供選擇, 且當每件商品的售價為 a 300≤a≤500 元時,從該商品在兩個平臺所有銷售數(shù)據(jù)中各
隨機抽取 100天的日銷售量統(tǒng)計如下:
商品日銷售 6 7 8 9 10
量 (單位:
件)
甲平臺的天 14 26 26 24 10
數(shù)
乙平臺的天 10 25 35 20 10
數(shù)
假設該商品在兩個平臺日銷售量的概率與表格中相應日銷售量的頻率相等,且每天的銷售量互不影響.
(1)求“甲平臺日銷售量不低于 8件”的概率, 并計算“從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機抽取 3天的日銷售
量, 其中至少有 2天日銷售量不低于 8件”的概率;
(2)已知甲平臺的收費方案為:每天傭金 60 元,且每銷售一件商品,平臺收費 30 元; 乙平臺的收費方案
為:每天不收取傭金,但采用分段收費, 即每天銷售商品不超過 8件的部分, 每件收費 40元, 超過 8件的
部分, 每件收費 35 元. 某商家決定在兩個平臺中選擇一個長期合作,從日銷售收入 (單價 ×日銷售量一
平臺費用)的期望值較大的角度, 你認為該商家應如何決策 說明理由.
C: CTIVE: CTIVE: CTIVE: CTIVE: CTIVE: CTIV名校經(jīng)典真題匯編 (九) - 6
18 (本小題滿分 17分)
x2 y2已知雙曲線 C: - = 1 a>0,b>0 的右焦點為 F ,雙曲線 C 上一點
a2 b2
P 3,1 關于原點的對稱點為 Q ,滿足 FP FQ= 6 .
(1)求 C 的方程；
(2)直線 l與坐標軸不垂直,且不過點 P 及點 Q ,設 l與 C 交于 A , B 兩點,點 B 關于原點的對稱點為
D ,若 PA⊥PD ,證明:直線 l的斜率為定值.
55
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = ax2+ lnx,g a x = 2x+ lnx ,其中 a∈R .
2
(1)若 f x ≥ g x ,求實數(shù) a的取值范圍；
( x2)記 f x 的零點為 x1,x2 x1 4ex0 .x2
56
梅花香自苦寒來
名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (十)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 已知集合 A={1,2},B={2,3} ,則集合 C={z ∣ z= x+ y,x∈A,y∈B}的真子集個數(shù)為
( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2 設 b,c∈R ,若 2- i (i為虛數(shù)單位)是一元二次方程 x2+ bx+ c= 0的一個虛根, 則 ( )
A. b= 4,c= 3 B. b= 4,c= 5 C. b=-4,c= 3 D. b=-4,c= 5

3 如圖,在 △ABC 中,點 D是邊 BC 的中點, AG= 2GD ,則用向量 AB,AC 表示 BG 為

A. BG=- 2 AB+ 1 AC
3 3

B. BG=- 1 AB+ 2 AC
3 3

C. BG= 2 AB- 1 AC
3 3

D. BG= 2

AB+ 1 AC
3 3
4 斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”,它的畫法是:以斐波那契數(shù) 1,1,2,3,5, 8,
為邊長比例的正方形拼成矩形,然后在每個正方形中畫一個圓心角為 90°的圓弧,這些圓弧所連起來的
弧線就是斐波那契螺旋線. 如圖,矩形 ABCD是由若干符合上述特點的正方形拼接而成,其中 AB =
16 ,則圖中的斐波那契螺旋線的長度為 ( )
57
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
A. 11π B. 12π C. 15π D. 16π
1 1
5 設 a= ln2,b= 2 2 ,c= 3 3 ,則 a,b,c的大小關系為 ( )
A. c< a< b B. b< a< c
C. a< c< b D. a< b< c
6 已知函數(shù) f x = sin ωx+φ ω>0, φ < π 在區(qū)間 π , 7π2 6 6 上單調(diào),且對任意實數(shù) x均有
f 7π ≤ f π x ≤ f6 成立,則 φ= ( )6
π π π π
A. B. C. D.
12 6 4 3
7 如圖,已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的體積為 V ,四邊形 ABCD是平行四邊形,點 E 在平面

ACC1A1 內(nèi),且 AE= 1 AC + 3 AC1 ,則三棱錐 D1 -ADC 與三棱錐 E-BCD的公共部分的體積為4 4
( )
V V 3V V
A. B. C. D.
28 21 28 7
58
梅花香自苦寒來
名校真題
2 2
8 已知橢圓 C: x + y = 1 a>b>0 的左、右焦點分別是 F1 -c,0 ,F2(c , 0) ,若離心率 e=
a2 b2
5-1
e≈0.618 ,則稱橢圓 C 為“黃金橢圓”. 則下列三個命題中正確命題的個數(shù)是 ( )
2
① 在黃金橢圓 C 中, b2= ac；
②在黃金橢圓 C 中,若上頂點、右頂點分別為 E,B ,則 ∠F1EB= 90° ;
③ 在黃金橢圓 C 中,以 A -a,0 ,B a,0 ,D 0,-b ,E 0,b 為頂點的菱形 ADBE 的內(nèi)切圓過焦點 F1,F2
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
9 上級某部門為了對全市 36000名初二學生的數(shù)學水平進行監(jiān)測, 將獲得的樣本 (數(shù)學水平分數(shù))
數(shù)據(jù)進行整理分析,全部的分數(shù)可按照 [50,60) ,
[60,70),[70,80),[80,90), 90,100 分成 5 組,得到如圖所示的頻率分布直方圖. 則下列說法正確的是
( )
A. 圖中 x的值為 0.025
B. 估計樣本數(shù)據(jù)的 80%分位數(shù)為 84
C. 由樣本數(shù)據(jù)可估計全市初二學生數(shù)學水平分數(shù)低于 60分的人數(shù)約為 360
D. 由樣本數(shù)據(jù)可估計全市初二學生數(shù)學水平分數(shù) 80分及以上的人數(shù)占比為 3%
59
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
10 (多選)我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結合百般好，
割裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用兩數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式琢
x
磨函數(shù)圖象的特征，如函數(shù) y= xa (a> 0且 a≠ 1)的圖像的大致形狀可能是 ( )
x
A. B.
C. D.
11 如圖,正四棱錐 E-ABCD的底面邊長與側棱長均為 a ,正三棱錐 F-ADE 的棱長均為 a ,
則 ( )
A. EF⊥BC
B. 正四棱錐 E-ABCD的內(nèi)切球半徑為 1- 2 a2
C. E,F,A,B 四點共面
D. 平面 FAD 平面 BEC
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
5
12 2x+1 1 x- 的展開式中含 x4 項的系數(shù)為 .x
13 已知直線與拋物線 y2= 2px p>0 交于 A,B 兩點, 且 OA⊥OB,OD⊥AB 交 AB 于點 D ,點
D的坐標為 (1,2),則 △AOB 的面積 = .
60
梅花香自苦寒來
名校真題
14 若方程 x2e-x= ax- lnx- 1存在唯一實根,則實數(shù) a的取值范圍為 .
四：解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.)
15 本小題滿分 13分)
記 △ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c ,已知 sinCsin A-B = sinBsin C-A .
(1)證明: 2a2= b2+ c2 ；
(2)若 a= 5,cosA= 25 ,求 △ABC 的周長.
31
16 (本小題滿分 15分)
如圖,在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中, PA⊥平面 ABCD,∠ABC= 60°,PA=AB= 2 ,點 E,F 分
別為 BC,PD的中點,設直線 PC 與平面 AEF 交于點 Q .
(1)已知平面 PAB∩平面 PCD= l ,求證: AB l；
(2)求直線 AQ與平面 PCD所成角的正弦值.
61
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
17 (本小題滿分 15分)
如圖,平面直角坐標系 xOy 中,一直角三角形 ABC,∠C= 90°,B,C 在 x 軸上且關于原點 O 對稱, D 在
邊 BC 上, BD= 3DC,△ABC 的周長為 12. 若一雙曲線 E 以 B,C 為焦點,且經(jīng)過 A,D兩點.
( 1 )求雙曲線 E 的方程；
(2)若一過點 P m,0 m為非零常數(shù) 的直線與雙曲線 E 相交于不同于雙曲線頂點的兩點 M ,N ,且

MP= λPN ,問在 x 軸上是否存在定點 G ,使 BC⊥ GM-λGN 若存在,求出所有這樣定點 G 的
坐標;若不存在, 請說明理由.
62
梅花香自苦寒來
名校真題
18 (本小題滿分 17分)
“學習強國”學習平臺的答題競賽包括三項活動,分別為“四人賽”“雙人對戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”. 在一天內(nèi)參
與“四人賽”活動, 每局第一名積 3分, 第二、三名各積 2分, 第四名積 1分, 每局比賽相互獨立. 在一天內(nèi)
參與“雙人對戰(zhàn)”活動, 每局比賽有積分, 獲勝者得 2 分, 失敗者得 1 分, 每局比賽相互獨立. 已知甲參加
“四人賽”活動, 每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為 1 ,獲得第四名的概率為 1 ;甲參加“雙人對
3 6
戰(zhàn)”活動,
每局比賽獲勝的概率為 3 .
4
(1)記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對戰(zhàn)”兩項活動 (兩項活動均只參加一局) 的總得分為 X ,求 X
的分布列與數(shù)學期望;
(2)“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下:每位參賽者每次連續(xù)回答 5道題,在答對的情況下可以持續(xù)答題, 若第一
次答錯時, 答題結束, 積分為 0分, 只有 5道題全部答對才可以獲得 5個積分. 某市某部門為了吸引更多
職工參與答題,設置了一個“得積分進階”活動,從 1 階到 n n≥10 階,規(guī)定每輪答題獲得 5 個積分進
2 階,沒有獲得積分進 1 階, 按照獲得的階級給予相應的獎品, 記乙每次獲得 5 個積分的概率互不影響,
均為 5 ,記乙進到 n階的概率為 Pn ,求 P6 12 .
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = ekx- lnx,k∈R .
(1)已知 k≥ 1 ,若 x≥ 1時, f x ≥ t恒成立,求 t的取值范圍；
(2)當 k= 1時,求證: f x ≥ 1+a + 1-a lna .
63
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (十一)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 命題“ x∈R,x2- 2x+ 4≤ 0”的否定為 ( )
A. x∈R,x2- 2x+ 4≥ 4 B. x∈R,x2- 2x+ 4≤ 4
C. x∈R,x2- 2x+ 4> 0 D. x R,x2- 2x+ 4> 0
z
2 已知復數(shù) z1 與 z= 3- 2i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱,則 1+ = ( )1 i
-1-i 1-i -5-i 5-i
A. B. C. D.
2 2 2 2
3 如圖所示，動點P在邊長為 1的正方形ABCD的邊上沿A→B→C→D運動，x表示動點P由A
點出發(fā)所經(jīng)過的路程，y表示△APD的面積，則函數(shù) y= f x 的大致圖像是 ( )．
A. B.
C. D.
4 已知 a = 1, b = 3 ,a+ b= 3,1 ,則 a+ b與 a- b的夾角為 ( )
A. 60° B. 120° C. 45° D. 135°
64
梅花香自苦寒來
名校真題
5 a-x 2+x 6 的展開式中 x5 的系數(shù)是 12,則實數(shù) a的值為 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6 已知三棱臺 ABC-A1B1C1 中,三棱錐 A-A1B1C1 的體積為 4,三棱錐 A1=ABC 的體積為 8,
則該三棱臺的體積為 ( )
A. 12+ 3 3 B. 12+ 4 2 C. 12+ 4 3 D. 12+ 4 7
已知函數(shù) f x = 3sin2 ωx + 17 sinωx- 3 ω>0 ,若 f x 在 π , 3π 上無零點,則 ω的2 2 2 2 2
取值范圍是 ( )
2 8 2 2 8
A. 0, ∪ ,+∞9 9 B. 0, 9 ∪ , 3 9
0, 2C. 8 2 8 ∪ ,1 D. , ∪ [1, +∞)9 9 9 9
= 1 , = sin
1
8 設 a b e 8 - 1,c= ln 9 ,e為自然對數(shù)的底數(shù),則 ( )
4 7
A. a> b> c B. a> c> b C. c> a> b D. b> c> a
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
9 在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中,下列幾種說法正確的有 ( )
A. AB,A1C 為異面直線 B. DB1⊥AD1
C. DC1 與平面 DBB1D1 所成的角為 45° D. 二面角 B1-AC-B 的正切值為 2
2 y2
10 已知雙曲線 C: x - = 1 a>b>0 的左,右頂點分別為 A1,A2 ,點 P ,
a2 b2
Q是雙曲線 C 上關于原點對稱的兩點 (異于頂點),直線 PA1,PA2 ,
QA 31 的斜率分別為 kPA ,k ,k ,若 k k1 PA2 QA1 PA1 PA = ,則下列說法正確的是 ( )2 4
A. 雙曲線 C 的漸近線方程為 y=± 3 x
4
7
B. 雙曲線 C 的離心率為
2
65
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
C. kPA k 為定值1 QA1
D tan ∠ A1PA2的取值范圍為（0，+∞
11 定義在 R上的函數(shù) f x 與 g x 的導函數(shù)分別為 f x 和 g x ,若 g x+1 - f 2-x = 2,
f x = g x-1 ,且 g x+2 為奇函數(shù),則下 ( )
列說法一定正確的是
A. g 2 = 0 B. 函數(shù) f x 關于 x= 2對稱
2023
C. 函數(shù) f x 是周期函數(shù) D. g k = 0
k=1
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 在甲,乙,丙三個地區(qū)爆發(fā)了流感,這三個地區(qū)分別有 8%,6%,4%的人患了流感. 若這三個地區(qū)
的人數(shù)比為 5:3:2 ,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人,這個人患流感的概率是 .
13 平面直角坐標系 xOy中,已知 AB 是圓 C: x-1 2 + y-1 2 = 2的一條弦,且 AC⊥BC,M 是
AB 的中點,當弦 AB 在圓 C 上運動時,直線 l : 3x- 4y- 9= 0上總存在 P,Q兩點,使得 ∠PMQ≥ π
2
恒成立,則線段 PQ長度的取值范圍是 .
14 “ 0,1數(shù)列”是每一項均為 0或 1的數(shù)列,在通信技術中應用廣泛. 設 A是一個“ 0,1數(shù)列”,定
義數(shù)列 f A :數(shù)列 A中每個 0都變?yōu)椤?1,0,1”, A中每個 1都變?yōu)椤?0,1,0”, 所得到的新數(shù)列. 例如數(shù)
列 A:1,0 ,則數(shù)列 f A :0,1,0,1,0,1 . 已知數(shù)列 A1:1,0,1,0,1 ,且數(shù)列 Ak+1= f Ak , k= 1,2,3, ,記數(shù)
列 Ak 的所有項之和為 Sk ,則 Sk+Sk+1= .
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)
15 本小題滿分 13分)
已知銳角 △ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c ,且 2sinC- sinB = tanAcosB .
(1)求 A；
(2)若 a= 2 ,求 2c- b的取值范圍.
66
梅花香自苦寒來
名校真題
16 (本小題滿分 15分)
如圖,在多面體 ABCDEF 中,梯形 ADEF 與平行四邊形 ABCD 所在平面互相垂直, AF DE,DE⊥
AD,AD⊥BE,AF=AD= 1 DE= 1 , AB= 2 .
2
( 1 )求證: BF 平面 CDE ；
(2)判斷線段 BE 上是否存在點 Q , ⊥ , BQ使得平面 CDQ 平面 BEF ？若存在 求出 的值;若不存在,
BE
說明理由.
17 (本小題滿分 15分)
67
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,組織該市中學生進行了一次文化知識有獎競賽, 競賽獎勵規(guī)則如
下, 得分在 [70,80)內(nèi)的學生獲三等獎, 得分在 [80,90)內(nèi)的學生獲二等獎,得分在 90,100 內(nèi)的學生獲
一等獎, 其他學生不得獎. 為了解學生對相關知識的掌握情況, 隨機抽取 100 名學生的競賽成績, 并以此
為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖, 如圖所示.
(1)現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學生的競賽成績,求這兩名學生中恰有一名學生獲獎的概率;
(2)若該市所有參賽學生的成績 X 近似服從正態(tài)分布 N μ,σ2 ,其中 σ≈ 15,μ 為樣本平均數(shù)的估計值,
利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:
(i)若該市共有 10000 名學生參加了競賽,試估計參賽學生中成績超過 79 分的學生數(shù) (結果四舍五入到
整數(shù))；
(ii)若從所有參賽學生中 (參賽學生數(shù)大于 10000 )隨機抽取 3 名學生進行訪談,設其中競賽成績在 64
分以上的學生數(shù)為 ξ ,求隨機變量 ξ的分布列和均值.
附參考數(shù)據(jù):若隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N μ,σ2 ,
則 P μ-σ≤X≤μ+σ ≈ 0.6827,P μ-2σ≤X≤μ+2σ ≈ 0.9545 ,P μ-3σ≤X≤μ+3σ ≈ 0.9973.
18 (本小題滿分 17分)
已知橢圓具有如下光學性質(zhì):從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線射向橢圓上任一點,經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另
x2 y2一個焦點. 若從橢圓 T: + = 1 a>b>02 的左焦點 F1 發(fā)出的光線,經(jīng)過兩次反射之后回到點 F1 ,a2 b
光線經(jīng)過的路程為 8,橢圓 T 的離心率為 3 .
2
( 1 )求橢圓 T 的標準方程；
(2)設 D xD,0 ,且 xD> a ,過點 D 的直線 l 與橢圓 T 交于不同的兩點 M ,N ,點 F2 是橢圓 T 的右焦
點,且 ∠DF2M 與 ∠DF2N 互補,求 △MNF2 面積的最大值.
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梅花香自苦寒來
名校真題
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = ln x+a - x2- x在 x= 0處取得極值.
(1)求實數(shù) a的值；
(2)若關于 x的方程 f x =- 5 x+ b在區(qū)間 0,2 上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù) b的取值范圍;
2
(3)證明:對任意的正整數(shù) n ,不等式 2+ 3 + 4 + + n+1 > ln n+1 都成立.
4 9 n2
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寶劍鋒從磨礪出
名校真題
名校經(jīng)典真題匯編 (十二)
一、單項選擇題 (本題共 8小題, 每小題 5分, 共 40分. 在每小題給出的四 個選項中, 只有一
項是符合題目要求的. )
1 若復數(shù) 2+ai 1+ i 的實部和虛部相等,則實數(shù) a的值為 ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2
2 已知集合 A= x,y ∣x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z ,B= x,y ∣x+1>0 , 則 A∩B 的元素個數(shù)為
( )
A. 9 B. 8 C. 6 D. 5
3 已知向量 a= k,3 ,b= 1,4 ,c= 2,1 ,且 2a-3b ⊥ c ,則實數(shù) k= ( )
- 9 0 3 15A. B. C. D.
2 2
4 設 m、n是空間兩條不同直線, α、β是空間兩個不同平面,則下列選項中錯誤的是 ( )
A. 當 n⊥ α時,“ n⊥ β”是“ α β”的充要條件
B. 當 m α時,“ m⊥ β”是“ α⊥ β”的充分不必要條件
C. 當 m α時,“ n α”是“ m n”的必要不充分條件
D. 當 m α時,“ n⊥ α”是“ m⊥n”的充分不必要條件
5 如圖, 用 4種不同的顏色, 對四邊形中的四個區(qū)域進行著色, 要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同
一種顏色, 則不同的著色方法有 ( )
A. 72 B. 56 C. 48 D. 36
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梅花香自苦寒來
名校真題
6 若 sinα= 2sinβ,sin α+β tan α-β = 1 ,則 tanαtanβ= ( )
A. 2 3 1B. C. 1 D.
2 2
x
7 若函數(shù) f x = e - a
x3
3 +lnx 只有一個極值點,則 a的取值范圍是 ( )x
2 3 2 3
A. -∞, e B. (-∞,0] C. (-∞,0]∪ e e e4 9 D. -∞, ∪ 4 9
8 2021年 3月 30日,小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學之美的新 logo (如圖所示),設計師的靈
n y n
感來源于曲線 C: x + = 1 n>0,n∈R . 當 n= 4,a= 2,b= 1時,下列關于曲線 C 的判斷錯誤的a b
是 ( )
A. 曲線 C 關于 x軸和 y軸對稱
B. 曲線 C 所圍成的封閉圖形的面積小于 8
C. 設 M 3,0 ,直線 x- y+ 3= 0交曲線 C 于 P、Q兩點,則 △PQM 的周長小于 8
1
D. 曲線 C 上的點到原點 O的距離的最大值為 17 4
二、多項選擇題 (本題共 3小題, 每小題 6分, 共 18分. 在每小題給出的選 項中, 有多項符合
題目要求. 全部選對的得 6分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0分.)
9 下列命題中, 真命題有 ( )
A. 數(shù)據(jù) 6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的 70%分位數(shù)是 8.5
B. 若隨機變量 X B 6, 1 ,則 D X 4 =3 9
C. 若事件 A,B 滿足 0

D. 若隨機變量 X N 2,σ2 ,P X>1 = 0.68 ,則 P 2≤x<3 = 0.18
10 若 a,b,c都是正數(shù),且 2a= 3b= 6c 則 ( )
1 1
A. + = 2 1 1 1B. + = C. a+ b> 4c D. ab> 4c2
a b c a b c
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寶劍鋒從磨礪出
名校真題
11 對于定義在區(qū)間 D上的函數(shù) f x ,若滿足: x1,x2∈D且 x1< x2 ,都有 f x1 ≤ f x2 ,則稱
函數(shù) f x 為區(qū)間 D上的“非減函數(shù)”,若 f x 為區(qū)間 0,2 上的“非減函數(shù)”,且 f 2 = 2,f x +
f 3 2-x = 2 ,又當 x∈ ,2

時, f x ≤ 2 x-1 恒成立,下列命題中正確的有 ( )2
A. f 1 = 1 B. x ∈ 3 0 ,2 ,f x0 < 12
f 1 + f 2 + f 25C. + f 7 = 4 1D. x∈ 0, ,f f x ≤-f x + 24 3 18 4 2
三、填空題 (本題共 3小題, 每小題 5分, 共 15分. )
12 已知點 P為拋物線 C:y2= 4x上的一個動點,直線 l:x=-1 ,點 Q為圓 M : x+3 2 + y-3 2 = 1
上的動點,則點 P到直線 l的距離與 PQ 之和的最小值為 .
13 已知三棱錐 P-ABC 滿足 PA= 1,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC ,若 V 2P-ABC= ,則其外接球3
體積的最小值為 .
14 已知 f x = ex ( e為自然對數(shù)的底數(shù)), g x = lnx+ 2 ,直線 l是 f x . 與 g x 的公切線,則
直線 l的方程為 .
四、解答題 (本題共 5小題, 共 77分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.)
15 (本小題滿分 13分)
已知數(shù)列 an 的首項為正數(shù),其前 n 項和 Sn 滿足 2Sn= 3an- 8- . (1)求實數(shù) λ 的值,使得4Sn 3an
S2n+λ 是等比數(shù)列；
n
(2)設 bn= 3 ,求數(shù)列 b2n 的前 n項和.SnSn+1
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梅花香自苦寒來
名校真題
16 (本小題滿分 15分)
如圖,四棱錐 P-ABCD的底面 ABCD是邊長為 2的正方形, PA= PB= 2 .
(1)證明: ∠PAD=∠PBC ；
(2)當直線 PA與平面 PCD所成角的正弦值最大時,求此時二面角 P-AB-C 的大小.
17 (本小題滿分 15分)
某數(shù)學興趣小組為研究本校學生數(shù)學成績與語文成績的關系, 采取有放回的簡單隨機抽樣, 從學校抽取
樣本容量為 200的樣本, 將所得數(shù)學成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下:
數(shù)學成績 語文成績 合計
優(yōu)秀 不優(yōu)秀
優(yōu)秀 50 30 80
不優(yōu)秀 40 80 120
合計 90 110 200
(1)根據(jù) α= 0.010的獨立性檢驗,能否認為數(shù)學成績與語文成績有關聯(lián)
P B∣A
(2)在人工智能中常用 L B∣

A = 表示在事件 A發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的優(yōu)勢,在統(tǒng)計中
P B∣A
稱為似然比. 現(xiàn)從該校學生中任選一人, A表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”, B 表示“選到的學生數(shù)學
成績不優(yōu)秀”,請利用樣本數(shù)據(jù),估計 L B∣A 的值;
(3)現(xiàn)從數(shù)學成績優(yōu)秀的樣本中,按分層抽樣的方法選出 8 人組成一個小組, 從抽取的 8 人里再隨機抽
取 3人參加數(shù)學競賽, 求這 3人中, 語文成績優(yōu)秀的人數(shù) X 的概率分布列及數(shù)學期望.
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寶劍鋒從磨礪出
名校真題
附: χ2= α 0.050 0.010 0.001
n ad-bc 2
x 3.841 6.635 10.828
a+b c+d a+c α b+d
18 (本小題滿分 17分)
已知雙曲線 E 的頂點為 A -1,0 ,B 1,0 ,過右焦點 F 作其中一條漸近線的平行線,與另一條漸近線交
于點 G ,且 S 3 2△OFG= (O 為坐標原點). 點 P 為 x 軸正半軸上異于點 B 的任意點,過點 P 的直線 l4
交雙曲線于 C,D兩點,直線 AC 與直線 BD交于點 H .
(1)求雙曲線 E 的標準方程；

(2)求證: OP OH 為定值.
19 (本小題滿分 17分)
已知函數(shù) f x = ln x+1 + sinx+ cosx .
(1)當 x∈ 0,π 時,求證: f x > 0；
(2)若 f x ≤ ax+ 1對 x>-1恒成立,求 a .
74
梅花香自苦寒來
名校真題
2025屆新高考數(shù)學名校真題經(jīng)典必刷卷
數(shù)學參考答案 (-)
一、單項選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A B C C A
1. C【解析】由已知集合M={x ∣ 2x+ 1< 3}= {x ∣ x< 1} ,因為M∩N=N ,所以 N M ,所以 a≤ 1 .
故選 C .
2. B【解析】因為 x+ i 3+yi = 3x-y + 3+xy i= 2+ 4i . 所以 3x- y= 2,3+ xy= 4 ,故 xy= 1 ,故
選 B.

3. 2 2C【解析】點 A,B,C 不共線,若 “ AB與 AC 的夾角為銳角”,則 AB AC> 0, AB+AC = AB-AC

+ 4AB 2 2AC = BC + 4AB AC> BC , ∴ " AB與 AC 的夾角為銳角 " " AB+AC > BC ";若
2
AB+AC > BC ,則 |AB+ AC 2> AC-AB ,化簡得 AB AC> 0 ,而點 A,B,C 不共線,故 AB

與 AC 的夾角為銳角, ∴ “ AB+AC > BC ” " AB與 AC 的夾角為銳角 ",故選 C .
x
4. A【解析】∵ f x = 2 -1 sinx ,定義域為 R, ∴ f 2 2e -x = -1 sin -x =- -11+ex 1+e-x 1+ex
sinx= 2 -1 sinx= f x , ∴函數(shù) f x 為偶函數(shù),故排除 C,D ,當 x= 2時, f 2 = 2 -11+ex 1+e2
sin2< 0 ,故排除 B, 故選 A.
5. B【解析】如圖所示,由題知 ∠BAD=∠BCD= 90°,AD= 2,CD= 4 ,

∴AC BD= AD+DC BD

=AD BD+DC BD

= AD BD cos∠BDA- DC BD cos∠BDC
2 = 2 AD - DC = 4- 16=-12 .
故選 B.
6. C【解析】因為底面 ABC 是邊長為 2 3 的正三角形,M 為 AC 的中點,所以 BM⊥AM ,BM= 3 . 以
BM ,AM ,AP為長方體的長,寬,高構造長方體 AMBE-PNGF ,如下圖所示,
1
寶劍鋒從磨礪出
名校真題
所以長方體 AMBE-PNGF 的外接球即為三棱錐 P-ABM 的外接球,
因為 PB為長方體 AMBE-PNGF 的體對角線,所以球心 O為 PB中點,外接球半徑 R= 1 PB .
2
因為正三角形 ABC 邊長為 2 3 ,PA= 2,PA⊥底面 ABC,AB 平面 ABC ,
所以 PA⊥AB,PB= 2 3 2 +22= 4 ,所以 R= 2 ,
因為 D是球 O上一點,要使三棱錐 D-PAC 的體積最大,
則點 D到平面 PAC 的距離最大為球的半徑 R與球心 O到平面 PAC 距離 d之和,
因為由題可知,球 O與平面 PAC 的截面為長方體 AMBE-PNGF 的一側面 AMNP ,
設矩形 AMNP的中心即 PM 中點為 O ,所以 d= OO = 1 BM = 3 ,
2 2
所以點 D到平面 PAC 的距離的最大值為 R+ d= 2+ 3 = 7 ,
2 2
故三棱錐 D-PAC 的體積的最大值是V = 1 × 1D-PAC × 2× 2 3 ×
7 = 7 3 .
3 2 2 3
故選 C .
7. C【解析】方程m x2+y2+2y+1 = x-2y+3 2 ,m> 0 , 即為m x2+ y+1 2 = x-2y+3 2 ,可得
x2+ y+1 2
m x2+ y+1 2 = x-2y+3 , 則 = 5 ,可得動點 P x,y 到定點 (0, - 1)和定直線
x-2y+1 m
x- 2y+ 3= 0的距離的比為常數(shù) 5 ,由雙曲線的定義,可得 5 > 1 ,解得 0m m
C .
8. A【解析】由題意知: 13π + π = T + kT 或 13π + π = 3T + kT,k∈ Z ,
12 6 4 12 6 4
∴ 5π = 1 +k 2π 或 5π = 3 +k 2π ,4 4 ω 4 4 ω
∴ω= 2 1+4k 或 ω= 2 3+4k ,k∈ Z ,
5 5
∵ f x 13π 19π 在 , 上單調(diào)遞減, ∴
19π - 13π ≤ T , ∴ π ≤ 1 2π ω≤ 2 ,
12 12 12 12 2 2 2 ω
① 當 ω= 2 1+4k ,k∈ Z 時. 取 k= 0時, ω= 2 ,此時 f x = sin 2 x+ π ,5 5 5 15
當 x∈ 13π , 19π
2
時, x+
π ∈ π , 7π ,滿足 f x 在 13π 19π 2
12 12 5 15 2 10
, 上單調(diào)遞減, ∴ω= 符合;12 12 5
取 k= 1時, ω= 2 ,此時 f x = sin 2x+ π ,3
當 x∈ 13π , 19π π 5π 7π 時, 2x+ ∈ , ,滿足 f x 在
13π
,

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