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2024-2025學年下學期高二期末質量監測
數學參考答案及評分標準
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A D C A C A AC ACDBCD
一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.
1.D 解析:(0! +0! +0! +0!)! =4! =24.故選D.
2.B 解析:在第一次抽到選擇題的條件下,第二次抽到填空題,即在3道選擇題2道填空題中隨
機抽一題,抽到填空題的概率P=2,故選5 B.
3.A 解析:由散點圖知,變量x和變量y 負相關,且相關性較強,所以樣本相關系數r<-0.75,
故選A.
4.D 解析:因為 2χ =3.689>2.706=x0.1,依據小概率值α=0.1的獨立性檢驗,所以嬰兒性別
與出生時間有關聯,此推斷犯錯誤的概率不大于0.1.故選D.
5.C 解析:解法1:從6個位置中選2個擺放哪吒模型,有C26=15種方法,兩個哪吒相鄰等價于
從5個位置中選一個擺放兩個哪吒模型,有C15=5種方法,所求概率為P=
5
15=
1 故選
3. C.
解法2:先從6個位置中選4個擺放敖丙、敖閏、申公豹、太乙真人(剩下兩個位置放哪吒模型),
有A46 種方法,兩個哪吒相鄰可將兩個哪吒捆綁在一起,與敖丙、敖閏、申公豹、太乙真人進行全
A5
排列,有A55 種方法,所求概率為P=
5=14 3.
故選C.
A6
6.A 解析:由題意,f'(x)=aex-1≤0在(1,2)上恒成立,即a≤ 1x在(1,2)上恒成立x xe .
設g(x)= 1x,x∈(1,2),g'(x)=-
x+1
2 x<0,所以,函數g()在(,)是單調遞減,xe xe x 12
x∈(1,2),g(x)>g(2)=12e2.∴a≤
1 所以, 的最大值為1 故選
2e2. a 2e2. A.
2a+a+2a+b=1,
7.C 解析:由 得a=b=1.
-2a+0+2a+2b=1, 6
3
1 2 1 1 2 2 2D = -1- × + 0- ×1+ 1-1 ×1+ 2-1 ×1=11ξ 故選3 3 3 6 3 3 3 6 9. C.
8.A 解析:X~B(n,0.8),Pk=P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,
P >P , Ckpk(1-p)n-k>Ck-1pk-1(1-p)n-(k-1)
, k k-1 n n
,
若 Pk 是 唯 一 的 最 大 值 則 所 以, 解 得P >P k k n-k k+1 k+1 n-(k+1)k k+1, Cnp (1-p) >Cn p (1-p) ,
k-p
p k+1-p 因為 , , , , ( ) ( )
p . k=7p=0.8 ∴7.75=8×0.8×(1-0.8)=1.28.故選A.
2024-2025學年下學期高二期末質量監測 數學參考答案及評分標準 第 1頁 共5頁
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二、多項選擇題:本大題共3題,每小題6分,共18分.
9.AC 解析:由函數y=(x+2)f'(x)的圖象知,當x<-2時,f'(x)<0,當-2<0,當10,當x>2時,f'(x)<0,所以,f(x)在(-∞,-2)上單調遞減,選
項A正確;-2不是f(x)的極值點,選項B錯誤;2為f(x)的極大值點,函數f(x)有極大值
f(2),選項C正確;由于不知道f(x)的極小值f(1)與極大值f(2)的符號,所以不能確定函數
f(x)的零點的個數,選項D錯誤.故選AC.
10.ACD 解析:楊輝三角的性質:Cr=Cn-r,Cr=Cr r-1n n n n-1+Cn-1,所以選項A正確,B錯誤;當n≥2
時,C1+C1+C1+…+C1 21 2 3 n-1=Cn,選項C正確;當n≥3時,C2+C2+C22 3 4+…+C2 3n-1=Cn,選項
D正確.故選ACD.
1 2
11.BCD 解析:當p=2時,設甲得分為X,則X~B 3,2 ,所以P(X=1)=C1 23 3 3 3 13 =2,9
3
P(X≥1)=1-P(X=0)=1- 1 =26,選項A錯誤,選項B正確;選項C,設乙的得分為3 27
Y,則Y 可取0,2,4,6.當p=2時,P(Y=0)=1,(3 3 PY=2
)=23×
1 2,
3=9 P
(Y≤2)=1 23+9=
5,選項C正確;對于D,(9 PY=0
)=1-p,P(Y=2)=p(1-p),P(Y=4)=p2(1-p),P(Y=
6)=p3.
Y 的分布列為:
Y 0 2 4 6
P 1-p p(1-p) p2(1-p) p3
E(Y)=0×(1-p)+2×p(1-p)+4×p2(1-p)+6×p3=2p3+2p2+2p,因為E(X)=3p,
由E(Y)-E(X)=p(2p2+2p-1)>0,得 3-1
E(X),選項D正確.故選BCD.
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.
12.1 解析:=a+
(a+4)
2 μ 2 =a+2
,∴P(X≥a+2)=12.
13.8x+4y-3π=0 或y=-2x+3π 解析:記 (), () , π π4 y=fx f'x =-2sin2xf' 4 =-2sin2
=-2,
又f π π4 =4.
所以,曲線y=cos2x+π在x=π處的切線方程為 π4 4 y-4=-2 x-π ,4
即8x+4y-3π=0.
14.2016 解析:先將4名高三學生全排列,
若高一、高二學生不相鄰,站法有A44·2A44=1152,
若高一學生與高二學生相鄰,站法有A4·C14 3A22·A33=864,
共有站法1152+864=2016種.
2024-2025學年下學期高二期末質量監測 數學參考答案及評分標準 第 2頁 共5頁
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四、解答題:本大題共5小題,共77分.
15.解:(1)令x=0,得a =290 =512.令x=1,得a9+a8+a7+…+a1+a0=1,
所以a9+a8+a7+…+a1=1-512=-511.……………………………………………… 4分
(2)令x=-1,得-a9+a8-a7+…-a1+a 90=3,所以,
|a 99|+|a8|+|a7|+…+|a1|+|a0|=-a9+a8-a7+…-a1+a0=3 ………………… 8分
(3)(2-x)9=ax9+ax8+ax79 8 7 +…+a1x+a0 兩邊對x求導,得
-9(2-x)8=9a9x8+8a8x7+7a 67x +…+a1,…………………………………………… 11分
再令x=1,得9a9+8a8+7a7+…+a1=-9. …………………………………………… 13分
注意:本題(3)中若利用kCk9=9Ck-18 解之同樣給分.
16.解:(1)2×2列聯表如下:
AI達人 非AI達人 合計
男 24 6 30
女 18 12 30
合計 42 18 60
………………………………………………………………………………………………… 3分
零假設 H0:“AI達人”與性別無關,
2 60×(= 24×12-18×6
)2 20
χ 42×18×30×30 =7≈2.857<6.635=x0.010
, ……………………………… 6分
根據小概率值α=0.010的獨立性檢驗,沒有充分證據推斷 H0 不成立,因此認為 H0 成立,
因此認為“AI達人”與性別無關.…………………………………………………………… 8分
(2)在“AI達人”中按性別分層抽樣抽取7人,其中,男“AI達人”抽取2442×7=4
人,女“AI
達人”抽取3人,X 的所有可能取值為0,1,2. …………………………………………… 10分
2 1 1 2
則P(X=0)
C
= 4 2,(
CC C
2=7 P X=1
)= 4 3=4,P(X=2)= 3=1.
C C27 7 7 C27 7
所以,X 的分布列如下:
X 0 1 2
P 2 4 17 7 7
……………………………………………………………………………………………… 14分
X 的數學期望E(X)=0×2+1×4+2×1=6. ……………………………………… 分7 7 7 7 15
17.解:(1)t =15.0
10
10 =1.5
,y =110 yi=8.6.i=1
10
tiyi-nt y
b=i=1 =143.0-10×1.5×8.610 =2.8,a= -bt =8.6-2.8×1.5=4.4,
t2-nt 2 27.5-10×1.5
2 y
i
i=1
y關于t的線性回歸方程為:y=2.8t+4.4. ……………………………………………… 5分
所以y關于x 的回歸方程為y=2.8lnx+4.4.…………………………………………… 6分
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(2)設事件A:隨機抽取一件藥品來自設備甲生產,事件B:隨機抽取一件藥品來自設備
乙生產,事件C:隨機抽取一件該公司生產的藥品為不合格品.
①因為設備甲的生產效率是設備乙的1.5倍,所以P(A)=3,P(B)=2,5 5
則P(C|A)=0.008,P(C|B)=0.006.……………………………………………………… 8分
所以P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=35×0.008+
2
5×0.006=0.0072.
故所抽藥品為不合格品的概率為0.0072.………………………………………………… 10分
2
( ) P(B)· (②P B|C = P C|B
) 5×0.006 1
P(
,
C) = 0.0072 =3
即所抽藥品為不合格品,該藥品來自設備乙生產的概率為1,…………………………… 13分3
2
所以三件不合格品中恰有二件是設備乙生產的概率為P=C2 1 ·2=23 .………… 15分3 3 9
18.解:(1)f'(x)=(x-a+1)ex,
當xa-1時,f'(x)>0,所以,f(x)在(-∞,a-1)上遞減,
在(a-1,+∞)上遞增,f(x)極小值=f(a-1)=-ea-1.…………………………………… 4分
由-ea-1<-e,得a>2.
故a的取值范圍為(2,+∞). ……………………………………………………………… 6分
(2)當a=1時,F(x)=f(x)-1=(x-1)ex-1,依題意方程F(x)=x,
即(x-1)ex-1=x的解就是函數F(x)的不動點.
令g(x)=(x-1)ex-x-1,
g'(x)=xex-1,
令h(x)=g'(x),則h'(x)=(x+1)ex,
當x<-1時,h'(x)<0,當x>-1時,h'(x)>0,
所以,h(x)在(-∞,-1)上遞減,在(-1,+∞)上遞增, ………………………………… 8分
又h(1)=e-1>0,h(0)=-1<0,且當x<0時,h(x)<0.
所以,存在唯一x0,0當x當x>x0 時,h(x)>0,即g'(x)>0,所以,g(x)在(x0,+∞)上遞增.
所以,g(x)≥g(x0).………………………………………………………………………… 10分
因為g'(x x x 10 00)=0,即x0e -1=0,也即e =x0
所以,g(x0)=(x0-1)ex0-x0-1=-ex0-x0<0.
又g(-2)=1-32>0,e g
(2)=e2-3>0.
根據零點存在定理,g(x)在(-2,x0),(x0,2),內各僅有一個零點,所以,g(x)有且僅有
兩個零點.即函數F(x)有兩個不動點.…………………………………………………… 13分
設m 是g(x)的零點,則g(m)=(m-1)em-m-1=0,
又g(-m)=(-m-1)e-m+m-1=e-m[(-m-1)+(m-1)em]=0,
所以-m 也是g(x)的零點.
故g(x)所有零點之和等于零.即函數F(x)所有不動點之和等于零. ………………… 17分
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19.解:(1)X 的可能取值為3,4,5,6.
3
P(X=3)= 2 8,3 =27
P(X=4)=C1×13 3× 23
2
=4,9
2 1
P(X=5)=C2 1 23× 3 × 3 =2,9
P(X=6)=C3× 1 3=13 3 27.
X 的分布列為
X 3 4 5 6
P 8 4 2 127 9 9 27
………………………………………………………………………………………………… 4分
所以,E(X)=3×8+4×4+5×2+6×1=4.………………………………………… 分27 9 9 27 6
(2)P 2 1 2 2 71= ,3 P2=
,
3+3×3=9
當n≥3時,P 2 1n= Pn-1+ Pn-2,……………………………………………………………3 3 9
分
即P +1 1n 3Pn-1=Pn-1+3Pn-2
,
所以,數列 P 1n+ Pn-1 為常數列3 .
又P +1P 7 1 2 12 3 1= + × =1
,所以
9 3 3 Pn+3Pn-1=1
(n≥2),
則P -3=-1 P -3n n-1 ,所以, 3 是以 1為首項, 1為公比的等比數列,4 3 4 Pn-4 -12 -3
3 n-1∴Pn-4=-
1
12× -1 ,3
n
即P 3 1 1n=4+4× -3 (n≥2).
當n=1時,上式也成立.
∴P 3 1 1
n
n= + × - .……………………………………………………………………4 4 3 13分
n
P =P +P +P +…+P =3i 1 2 3 n 4n+
1
4× 1
1 2 n
-3 + -1 +…+ -1i=1 3 3
=3
n
n-1 1- -1 .……………………………………………………………………4 16 3 17分
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