資源簡介

1.3《全等三角形的判定》--SAS
題型一、用SAS需要滿足的條件
1．如圖，已知，用“”證，還需（ ）
A． B．
C． D．
2．如圖，若已知，用“”說明，還需要的一個條件是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖所示，若，，添加后就能直接利用“”證得的條件是（ ）
A． B． C． D．
4.如圖，在 ABC和中，，，若要用“”直接證，則還需補充的條件是 ．
題型二、全等三角形的判定方法：SAS
5．下列條件中能判定的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
6．下列與圖1三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．只有①
7．如圖，在和中，，，那么由所給條件判定和全等的依據可以簡寫為 ．
8．如圖，已知點，在上，，，．求證：；
題型三、用SAS證明三角形全等
9．如圖，，且．求證：．
10．如圖，，，．求證：．
題型四、SAS的有關應用
11．數學興趣小組要利用所學知識，自己制作一個工具測量一個錐形瓶的內徑．如圖，用螺絲釘將兩根木棒，的中點固定，利用全等三角形知識，測得的長就是錐形瓶內徑的長．其中，判定 AOB和全等的方法是（ ）

A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
12．如圖，小明要測量水池的寬，但沒有足夠長的繩子，聰明的他想了如下辦法：先在地上取一個可以直接到達點和點的點，連接并延長到，使，連接并延長到，使，連接并測量出它的長度，則的長度就是的長，理由是根據 （用簡寫形式即可），可以得到，從而由全等三角形的對應邊相等得出結論．

13．如圖，這是折疊凳及其側面示意圖．已知，，則 ．
題型五、對SSA的認識
14．如圖，把長度確定的兩根木棍，的一端固定在A處，和第三根木棍擺出 ABC固定，將木棍繞點A轉動，得到，這個實驗說明（ ）
A．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形一定不全等
B．有兩角分別相等且其中一角的對邊相等的兩個三角形不一定全等
C．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等
D．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等
15．下列命題中，是假命題的是（ ）
A．對頂角相等
B．三角形任何兩邊的和大于第三邊
C．兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等
D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等
題型六、用SAS和全等的性質求角的度數
16．如圖，在 ABC中，，點D為邊上一點，點E在邊上，，，，則的度數為 ．
17．如圖，D、E是 ABC外兩點，連接，，有，，．連接，交于點F，則的度數為 ．
18．如圖，在中，，是的角平分線，是上一點，且，若，則 ．
19．如圖所示，，，，，，則 °．
20．如圖，已知．
(1) ADE與是否全等？說明理由；
(2)如果，求的度數．
題型七、用SAS和全等的性質證明角相等
21．如圖，點E、F在上，．求證：．
22．如圖，某海岸沿線有，兩個碼頭，在該海域內有兩座小島，，航線與相交于點，經測量，，，求證：．
題型八、用SAS和全等的性質求線段的長度
23．如圖， ABC與 ADE相交于點A，，，，若，則的長度是 ．
24．如圖，在 ABC中，是邊上的一點，連接，以為邊作 ADE，使，且，連接，若，求長．
25．如圖所示，，，．
(1)求證：；
(2)若，， 則 　　．
題型九、用SAS和全等的性質證明線段相等
26．如圖，已知，在三角形的邊上，且，．求證：．
27．已知；如圖，在 ABC中，，．為延長線上一點，點在上，，連接、和．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
28．如圖，點E、F在上，，，，與相交于點O，求證．
題型十、用SAS和全等的性質證明線段的關系
29．如圖，在 ABC中，、分別是 ABC的高，在上取一點，使，在的延長線上取一點，使，連接與．判斷與的關系并證明你的結論．
題型十一、全等三角形的動點問題
30．如圖，與相交于點C，厘米，點P從點A出發，沿方向以2厘米/秒的速度運動，點Q同時從點D出發，沿方向以1厘米/秒的速度運動，當點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為t秒．當點P在運動時， 厘米（用含的代數式表示）；當P，Q，C三點共線時，t的值為
31．如圖，已知四邊形中，，，，，點是線段的三等分點（靠近處）．如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．若要使得與 CQP全等，則點的運動速度為（ ）．
A. B．或 C． D．或
參考答案
題型一、用SAS需要滿足的條件
1．B
【分析】本題主要考查了用“”證明三角形全等，掌握有兩條對應邊相等及其夾角相等的兩個三角形全等，是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖可知，，
∵，
∴用“”證，還需，
故選：B．
2．B
【分析】找到根據“”判定需要條件，作出證明即可．
【詳解】解：還需添加的條件是，理由是：
在 ABC和 ADE中，
，
∴，
故選：B．
3．C
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，準確分析判斷是解題的關鍵．根據定理的條件進行判斷即可；
【詳解】解：用邊角邊證明兩三角形全等，已知其中一個對應角相等和一條對應邊相等，則還需要的條件是相等角的另外一條臨邊相等，即，
故選：C．
4．
【分析】本題考查直角三角形全等的判定，關鍵是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接證，則需要補充即可．
【詳解】解：補充，
∵，，
∴，
故答案為：．
題型二、全等三角形的判定方法：SAS
5．D
【分析】本題主要考查的是全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．依據全等三角形的判定定理進行判斷，并結合線段與角的位置關系準確分析即可．
【詳解】解：A、邊邊角不能證明兩個三角形全等，故A錯誤，不符合題意；
B、邊邊角不能證明兩個三角形全等，故B錯誤，不符合題意；
C、邊邊角不能證明兩個三角形全等，故C錯誤，不符合題意；
D、，，，符合，故D正確，符合題意．
故選：D．
6．D
【分析】本題考查的是全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定方法是解本題的關鍵，本題由圖1可得已知兩邊及其的夾角，再利用逐一進行分析即可．
【詳解】解：由圖1可得已知兩邊及其的夾角，
圖①與圖1滿足兩邊及其夾角分別對應相等，
∴兩個三角形全等，
而圖②，③，④都不滿足條件，故不符合題意，
故選D
7．
【分析】本題考查三角形全等的判定，根據，和即可得證．解題的關鍵靈活選用全等三角形判定的方法解決問題．
【詳解】解：在和中，
，
∴，
∴由所給條件判定和全等的依據可以簡寫為，
故答案為：．
8．證明：∵，
∴，
∵，
∴，
在 ABC和 FDE中，
∴
題型三、用SAS證明三角形全等
9．證明：，
．
在和中，
．
10．解：∵，
∴，
∴，
在 ABC與中
∴．
題型四、SAS的有關應用
11．C
【分析】本題考查了全等三角形的判定．根據題意確定全等三角形的判定條件即可求解．
【詳解】解：在 AOB和中，
∵，
∴，
∴判定 AOB和全等的方法是是，
故選：C．
12．（或邊角邊）
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據題意知，，，可用證明兩三角形全等．
【詳解】由題意知，，
在和 ABC中，
，
．
故答案為：．
13．40
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明即可得解，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：在和中，
，
∴，
∴，
故答案為：．
題型五、對SSA的認識
14．D
【分析】本題考查全等三角形的判定，由與 ABC不全等，可得有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．
【詳解】解：由題意知，與 ABC中有兩邊和其中一邊的對角分別相等，
與 ABC不全等，
有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．
故選：D．
15．C
【分析】根據對頂角的性質，三角形三邊的關系，全等三角形的判定方法，角平分線的性質，作出判斷即可．
【詳解】解：A．對頂角相等，正確，是真命題；
B．三角形任何兩邊的和大于第三邊，正確，是真命題；
C．兩邊及兩邊的夾角對應相等的兩個三角形全等，故不正確，是假命題；
D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等，正確，是真命題；
故選C．
題型六、用SAS和全等的性質求角的度數
16．
【分析】根據，，，得到即可得到，結合三角形內角和定理即可得到答案．
本題考查三角形全等的判定與性質，三角形內外角關系及三角形內角和定理，解題的關鍵是根據內外角關系得到全等的條件．
【詳解】解：∵，
∴，，
在與中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
17．
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的一個外角等于與它不想鄰的兩個內角的和等知識，設交于點G，由得，證明，再利用外角的性質求解即可．
【詳解】解：設交于點G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
18．
【分析】先由三角形的內角和定理得，又是的角平分線，則，從而證明，再由全等三角形的性質可得，然后通過三角形的外角性質即可求解．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
19．55
【分析】本題考查了三角形全等的判定及性質，三角形外角的性質；用可判定，由三角形全等的性質得，由三角形外角的性質得，即可求解；掌握判定方法及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：，
，
，
在和中
，
，
，
；
故答案為：．
20．（1）解： ADE與全等，理由如下：
，
，
即，
在 ADE與中，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
．
題型七、用SAS和全等的性質證明角相等
21．證明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
22．證明：在和中，
,
∴,
∴．
題型八、用SAS和全等的性質求線段的長度
23．6
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．由得到，再由即可證明，繼而．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：6．
24．解：，
，
在與中，
，，
∴，
．
25．（1）證明：∵，
∴，
即，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
題型九、用SAS和全等的性質證明線段相等
26．證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
27．（1）證明：在和 CBF中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．證明：∵，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴．
題型十、用SAS和全等的性質證明線段的關系
29．解：，，理由為：
∵，
∴，，
∴，
在和 QCA中，
∴；
∴，
又，
∴，
則．
題型十一、全等三角形的動點問題
30． 8或
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質、代數式和解一元一次方程的知識，掌握以上知識并會用分類討論思想是解題的關鍵．根據題意得：厘米，證明，可得，再證明當P，Q，C三點共線時，，可得，然后分兩種情況解答即可．
【詳解】解：根據題意得：厘米，
在 ABC和中，
∵，
∴，
∴，
∵P，Q，C三點共線，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
當點P在運動時，厘米，此時，
∴，
解得：；
當點P在運動時，厘米，此時，
∴，
解得：；
綜上所述，當P，Q，C三點共線時，t的值為8或．
故答案為：；8或
31．B
【分析】設運動時間為秒，點的運動速度為，則，，，根據三等分點求出，根據全等三角形的判定得出：當，時；當，時；能夠使得與 CQP全等，分別列方程求解，即可求出點的運動速度．
【詳解】解：設運動時間為秒，點的運動速度為，
則，，，
點是線段的三等分點（靠近處），
，
，
要使與 CQP全等，則必須滿足，或，，
分兩種情況：
當，時，
，，
解得：，，
即點的運動速度為；
當，時，
，，
解得：，，
即點的運動速度為；
綜上所述，當點的運動速度為或時，能夠使得與 CQP全等，
故選：．

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