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第三章《勾股定理》復習題--利用勾股定理求線段長
題型一、直接利用勾股定理求線段長
1．如圖，在中，于點D，，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在 ABC中，于點，若，則的長為（ ）
A． B． C．6 D．5
3．如圖，在 ABC中，，利用尺規以點為圓心，線段的長為半徑作弧，交于點，分別以點為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線，交邊于點．
(1)求證：．
(2)求的長．
4．《九章算術》記載“勾股定理”．若直角三角形兩直角邊為5和12，則斜邊上的高為（ ）．
A． B． C． D．13
5．如圖，中，，，點D、E是邊上的兩點，且，，則 ．
題型二、利用勾股定理解決折疊問題
6．如圖，在中，，，．點E、F分別是邊、上的點，連結，將沿翻折，使得點的對稱點落在邊的中點處，則的長為（　　）
A． B． C．3 D．2
7．如圖，在 ABC中，，是邊上的高，，，E為AC上一點，將 ABC沿過點E的直線折疊，使得點A與點B重合，折痕交于點H，連接，則 ．
8．如圖在中，，，，將 ABC沿折疊，使點剛好落在邊的中點處，則的長為 ．
9．如圖，在長方形中，、，點E為邊上的一點，將 ADE沿直線折疊，點D剛好落在邊上的點F處，則的長是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如圖，在長方形中，，，將此長方形沿折疊，使點與點重合，則的長度為 ．
題型三、利用勾股定理解決網格問題
11．如圖，正方形網格的每個小方格邊長均為1， ABC的頂點在格點上．
(1)直接寫出___________，___________，___________；
(2)判斷 ABC的形狀，并說明理由．
12．如圖，這是由10個邊長均為1的小正方形組成的圖形，我們沿圖的虛線，將它剪開后，重新拼成一個大正方形．則正方形的邊長為 ．
13．問題背景：在 ABC中，，，，求這個三角形的面積．佳佳同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1）（即 ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示，這樣不需求 ABC的高，而借用網絡就能計算它的面積．
(1)請你將 ABC的面積直接填寫在橫線上： ；
(2)在圖2中畫，使，，，判斷這個三角形形狀，并說明理由．
(3)在圖3中，畫一個直角三角形，使它的一邊長是有理數．
14．如圖是兩人某次棋局棋盤上的一部分，若棋盤中每個小正方形的邊長為1，則“車”、“帥”兩棋子所在格點之間的距離為（　　）
A．3 B． C．5 D．
15．圖①、圖②都是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點為格點，每個小正方形的邊長均為1，在圖①、圖②中已畫出AB，點A、B均在格點上，按下列要求畫圖：
（1）在圖①中，畫一個以AB為腰且三邊長都是無理數的等腰三角形ABC，點C為格點；
（2）在圖②中，畫一個以AB為底的等腰三角形ABD，點D為格點．
題型四、利用勾股定理探究線段平方關系問題
16．閱讀與思考
下面是小宇同學收集的一篇數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務.
構圖法在初中數學解題中的應用構圖法指的是構造與數量關系對應的幾何圖形，用幾何圖形中反映的數量關系來解決數學問題的方法.巧妙地構造圖形有助于我們把握問題的本質，明晰解題的路徑，也有利于發現數學結論.本文通過列舉一個例子，介紹構圖法在解題中的應用， 例：如圖1，已知P為等邊三角形內一點，，. 求以，，為邊的三角形中各個內角的度數. 解析：如何求所構成的三角形三個內角的度數？由于沒有出現以，，為邊的三角形，問題難以解決.于是考慮通過構圖法構造長度為，，的三角形來解決問題． 解：將繞點A順時針旋轉得，則． ，，． 由旋轉可知，是等邊三角形．【依據】 ，． 就是以，，為邊的三角形． ，． .． ． 以，，為邊的三角形中，三個內角的度數分別為，，. 構造圖形的關鍵在于通過圖形的變化，能使抽象的數量關系集中在一個圖形上直觀地表達出來，使問題變簡單．
任務：
(1)上面小論文中的“依據”是________．
(2)如圖2，已知點P是等邊三角形的邊上的一點，若，則在以線段，，為邊的三角形中，最小內角的度數為________．
(3)如圖3，在四邊形中，，，．求證：．
17．如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點在的斜邊上．
(1)判斷與間的數量關系，并說明理由；
(2)直接寫出線段、、間滿足的數量關系．
18．在 ABC中，，，點為射線上一點，過點作且（點在點的右側），射線交射線于點，點是的中點，連接，．
(1)如圖，當點在線段上時，判斷線段與的數量關系及位置關系；
(2)當點在線段的延長線上時，依題意補全圖．用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．
19．在 ABC中，，為邊中點，連接，與相交于點，過作，交于點，連接．
(1)依題意補全圖形；
(2)求證：；
(3)判斷的數量關系，并證明．
參考答案
題型一、直接利用勾股定理求線段長
1．A
【知識點】用勾股定理解三角形
【分析】本題考查勾股定理，設，利用是兩個直角三角形的公共邊，結合勾股定理，列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設，則：，
，
，
，
，
解得：，
，
故選：A．
2．D
【知識點】用勾股定理解三角形
【分析】本題主要考查了勾股定理，根據勾股定理列出方程是解題的關鍵．
設，則，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設，則，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故選：D．
3．（1）證明：連接，，，如圖所示：
根據作圖可知：，，
∴點A、E在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：設，則，
∵，
∴，
∴根據勾股定理得：，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
4．C
【知識點】求一個數的算術平方根、與三角形的高有關的計算問題、用勾股定理解三角形
【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形面積計算，先根據勾股定理求出斜邊長為，然后根據等積法求出斜邊上的高即可．
【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊為5和12，
∴斜邊長為，
設斜邊上的高為h，則，
∴．
故選：C．
5．
【知識點】根據旋轉的性質求解、用勾股定理解三角形、全等的性質和SAS綜合（SAS）
【分析】本題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，三角形內角和定理，將繞點A逆時針旋轉90度得到，連接，先證明，由旋轉的性質可得，，則可得，利用勾股定理可得，再證明，可得．
【詳解】解：如圖所示，將繞點A逆時針旋轉90度得到，連接，
∵，
∴，
由旋轉的性質得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案為：．
題型二、利用勾股定理解決折疊問題
6．A
【知識點】勾股定理與折疊問題
【分析】本題考查了勾股定理與翻折問題，熟練掌握勾股定理和翻折的性質是解題的關鍵．根據勾股定理和翻折的性質即可求解．
【詳解】解：點是邊的中點，
，
由翻折的性質得，，
設，則，
在中，，
，
解得：，
．
故選：A．
7．10
【知識點】勾股定理與折疊問題、等邊對等角
【分析】本題考查折疊問題，勾股定理，關鍵是由勾股定理列出關于的方程．
連接，由線段垂直平分線的性質推出，設，由勾股定理得到，求出，得到，由三角形面積公式即可求出．
【詳解】連接，
將 ABC沿過點的直線折疊，點與點重合，是折痕，
垂直平分，
，
是邊上的高，，，
，
設，則，
，
是邊上的高，
，
，
，
，
．
故答案為：10．
8．5
【知識點】勾股定理與折疊問題
【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題，設所求線段為未知數，利用折疊性質，把能用未知數表示的線段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就會呈現在圖上，符合這樣的直角三角形一般有如下特征：一直角邊為具體數字，另一直角邊和斜邊分別是含有未知數的代數式．設，則，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：設，由折疊的性質可知．
∵，
∴．
∵F是邊的中點，，
∴．
在中，，
∴，
解得，
∴的長為5．
故答案為：．
9．C
【知識點】勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題
【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題）與矩形的性質，根據矩形的性質得，，再根據折疊的性質得到，，在中，利用勾股定理易得，設，則在中，利用勾股定理可求出x的值．
【詳解】解：∵在長方形中，、，
∴，，
又∵將 ADE沿直線折疊，
∴，，，
在中，，
∴，
設，則
在中，，
∴，
解得，
即的長為5．
故選：C．
10．6
【知識點】勾股定理與折疊問題
【分析】本題考查勾股定理與折疊問題．折疊得到，設，利用勾股定理進行求解即可，掌握折疊的性質和勾股定理，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵折疊，
∴，
設，
∵在長方形中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
故答案為：6．
題型三、利用勾股定理解決網格問題
11．（1）解：、，，，
故答案為：，，；
（2）解： ABC的形狀是直角三角形；
理由如下：
∵ ，，；且
∴ ABC的形狀是直角三角形．
12．
【知識點】勾股定理與網格問題
【分析】本題考查了勾股定理．設左下角的字母為，在中，利用勾股定理，即可求出的長，進而可得出正方形的邊長．
【詳解】解：設左下角的字母為，如圖所示．
在中，，，，
，
正方形的邊長為．
故答案為：．
13．（1）解： ABC的面積為
故答案為：.
（2）解：如圖，即為所求．
為直角三角形．
理由：∵，，，
∴，
∴，
∴為直角三角形．
（3）解：如圖3，即為所求（答案不唯一）．
14．D
【知識點】勾股定理與網格問題
【分析】本題主要考查了勾股定理，直接根據網格的特點和勾股定理求解即可．
【詳解】解：由題意得，“車”、“帥”兩棋子所在格點之間的距離為，
故選：D．
15．（1）如圖所示：即為所求；
（2）如圖所示：即為所求．
題型四、利用勾股定理探究線段平方關系問題
16．（1）解：依據是有一個角是的等腰三角形是等邊三角形，
故答案為：有一個角是的等腰三角形是等邊三角形；
（2）解：如圖，將繞點A順時針旋轉到的位置，連接，則，
，，，
由旋轉的性質可知，
是等邊三角形，
，，
就是以，，為邊的三角形，
，
，
，
，
，
，
最小內角的度數為，
故答案為：18；
（3）證明：如圖，連接，將繞點C順時針旋轉到的位置，連接，
，，
ABC是等邊三角形，
，
由旋轉可知，，，
為等邊三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
17．（1）理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
如圖所示，連接，

由（1）可得
∵
∴
∴，，
∵
∴
∵
在四邊形中，
∴是直角三角形，
∴
又 ABC是等腰直角三角形，
∴，即,
又∵，
∴
18．（1）解：數量關系，位置關系，理由如下：
∵，，
∴，
∵且，
∴，
∴，
連接，
∵為的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（2）依題意補全圖形，如圖1．
數量關系：．
證明：連接，，如圖2．
∵ ABC中，，，
∴．
∵，
∴，．
又∵
∴．
∵點是的中點，
∴，，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∵，，
∴．
19．（1）解：補全圖形，如圖所示：
（2），
，
，
，
，
；
（3）結論：；
延長到使，連接，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分,
，
．

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