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1.2《矩形的性質與判定》小節復習題
【題型1 矩形的判定定理理解】
1.滿足下列條件的四邊形是矩形的是（ ）
A．對角線互相垂直的平行四邊形 B．對角線相等的平行四邊形
C．對角線互相平分且垂直的四邊形 D．四邊相等的四邊形
2.下列說法中，不正確的是（ ）
A．有一個角是直角的四邊形是矩形 B．有一組鄰角相等的平行四邊形是矩形
C．有一組對角互補的平行四邊形是矩形 D．有三個角是直角的四邊形是矩形
3.能夠判定一個四邊形是矩形的條件為（ ）
A．四條邊都相等 B．對角線互相平分
C．四個角都相等 D．對角線互相垂直
4.有下列說法：①四個角都相等的四邊形是矩形；②兩組對邊分別相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．其中，正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【題型2 添一條件使四邊形是矩形】
1.中，再添加一個條件 ，就可判定四邊形為矩形．
2.已知平行四邊形，請從①；②，③，④的四個條件中，任選一個作為補充條件，使得平行四邊形是矩形，可以是
3.如圖，在中，對角線，相交于點O，點E，F在上，且，連接，，，．若添加一個條件使四邊形是矩形，則該條件可以是 ．（填寫一個即可）
4.四邊形是平行四邊形，加上條件 或 ，就可以使四邊形是矩形；加上條件 或 ，就能使四邊形是菱形．
【題型3 證明四邊形是矩形】
1.如圖，在中，過點D作于點E，點F在邊上，，連接，．求證：四邊形是矩形．
2.如圖，在中，，點D是延長線上一點，，過點A和點D分別作，和相交于點E，連結．求證：四邊形是矩形．
3.如圖，在 ABC中，，于點，點在上，過點作的平行線交的延長線于點，連接．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若點在線段的垂直平分線上，且，求證：四邊形是矩形．
4.如圖，平行四邊形，延長至，延長至，使，連接、．
(1)證明： ADE≌ CBF；
(2)若是中點，平分，則邊與滿足什么數量關系時，四邊形是矩形？證明你的結論．
【題型4 根據矩形的性質與判定求角度、線段長、面積】
1.如圖平行四邊形中，對角線、相交于點O，且，，則 ．
2.如圖，在中，，點P為斜邊上一動點，過點P作，，垂足分別為D，E，連接．若，，則的最小值 ．
3.如圖，等腰三角形，其中，，、分別在、上，四邊形為菱形，若，，則長為 ．
4.如圖，點P是矩形的對角線上的一點，過點P作，分別交于點E、F，連接．若，，則圖中的面積為 ，陰影部分的面積為 ．
【題型5 根據矩形的性質與判定解決多結論問題】
1.如圖，在中，，，把繞點A逆時針旋轉得到 ADE，點D與點B對應，點D恰好落在上，過E作交的延長線于點F，連接并延長交于點G，連接交于點H．下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（ ）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2.如圖，在四邊形中，，相交于點，且，動點從點開始，沿四邊形的邊運動至點停止，與相交于點，點是線段的中點．連接，下列結論中：
①四邊形是矩形；
②當時，點是的中點；
③當，時，線段長度的最大值為2；
④當點在邊上，且時，是等邊三角形，其中正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如圖，矩形中，，相交于點，過點作交于點，交于點，過點作交于點，交于點，連接，．則下列結論：①；②；③；④當時，四邊形是菱形．其中，正確結論的個數是（ ）

A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4.如圖，菱形的邊長為6，對角線相交于O，垂直平分，垂足為E；另有一動點P在上運動，過點P作垂直交于點M，垂直交于點N，連接，．下列結論正確的是 （寫出所有正確結論的序號）
①；
②菱形的面積為；
③；
④的最小值為．

【題型6 矩形的性質與判定的綜合問題】
1.如圖，菱形的對角線與相交于點，延長至點，使．分別以D，E為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在內部相交于點，作射線交于點．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，連接，求的長．
2.如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點O，，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若四邊形的周長為18，，求平行線與間的距離．
3.如圖，已知四邊形是菱形，延長到點E使，延長到點F使，連接，，，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接，若平分，菱形的邊長為4，求矩形的面積．
4.四邊形中，，
(1)如圖1，求證：四邊形為矩形．
(2)如圖1，為延長線上一點，連分別為的中點，，求．
(3)如圖2，點為中點，將沿折疊到，點落點在，射線交邊于，則___________．
【題型7 與矩形的性質與判定有關的作圖】
1.菱形的對角線交于點O， E為邊的中點．
(1)按要求畫出圖形，不寫作法，保留作圖痕跡． 連接并延長至點F，使得，連接；
(2)請判斷四邊形的形狀，并說明理由．
2.如圖，在平行四邊形中，M為的中點，．
(1)按要求尺規作圖：延長至點N，使得，并連接；
(2)判定四邊形的形狀，并說明理由．
3.如圖，菱形的對角線，相交于點O．
(1)尺規作圖：在邊的左側，作，使．
(2)在（1）的條件下，連接．求證：四邊形為矩形．
4.如圖，已知 ABC是等腰三角形，，是邊上的中線．
(1)請按要求作出圖形：在的右側求作一點E，使得，，并連接（保留作圖痕跡，不寫作法）．
(2)求證：四邊形是矩形．
參考答案
【題型1 矩形的判定定理理解】
1.B
【知識點】矩形的判定定理理解
【分析】本題考查了矩形的判定、菱形的判定，平行四邊形的性質，熟練運用這些性質是本題的關鍵．利用矩形的判定定理進行判斷即可．
【詳解】解：A. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，不一定是矩形，故該選項不符合題意；
B. 對角線相等的平行四邊形是矩形，故該選項符合題意；
C. 對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不一定是矩形，故該選項不符合題意；
D. 四邊相等的四邊形是菱形，不一定是矩形，故該選項不符合題意；
故選：B．
2.A
【知識點】矩形的判定定理理解
【分析】本題考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解題的關鍵；根據矩形的幾種判定方法進行判定即可．
【詳解】解：A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，原說法錯誤，符合題意；
B、由于平行四邊形的鄰角互補，當一組鄰角相等時，這兩個角為直角，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得出結論，原說法正確，不符合題意；
C、根據平行四邊形的對角相等及互補，得對角相等且為直角，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得出結論，原說法正確，不符合題意；
D、有三個角是直角的四邊形是矩形，原說法正確，不符合題意；
故選：A．
3.C
【知識點】矩形的判定定理理解、證明四邊形是菱形、證明四邊形是平行四邊形
【分析】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定，根據以上判定定理逐項判斷即可求解，掌握以上判定定理是解題的關鍵．
【詳解】解：、四條邊都相等的四邊形是菱形，該選項不合題意；
、對角線互相平分的四邊形是平行四邊，該選項不合題意；
、四個角都相等的四邊形是矩形，該選項符合題意；
、對角線互相垂直的四邊形不一定是矩形，該選項不合題意；
故選：．
4.D
【知識點】矩形的判定定理理解
【分析】本題考查矩形的判定，根據矩形的判定方法，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：四個角都相等的四邊形是矩形，故①說法正確；
兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故②說法正確；
對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．故③說法正確；
故選D．
【題型2 添一條件使四邊形是矩形】
1.（答案不唯一）
【知識點】添一條件使四邊形是矩形
【分析】本題考查了矩形的判定定理，根據矩形的判定定理即可解答，熟練掌握矩形的判定定理是解此題的關鍵．
【詳解】解：中，再添加，就可判定四邊形為矩形，
故答案為：（答案不唯一）．
2.②③
【知識點】添一個條件使四邊形是菱形、添一條件使四邊形是矩形
【分析】此題考查了矩形和菱形的判定，根據矩形和菱形的判定逐項進行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
故①不滿足題意；
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是矩形，
故②滿足題意；
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是矩形，
故③滿足題意；
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
故④不滿足題意；
故答案為：②③
3.（答案不唯一）
【知識點】添一條件使四邊形是矩形
【分析】此題主要考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質．根據平行四邊形的判定和性質定理以及矩形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解：，
理由：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴．
即．
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形．
故答案為：（答案不唯一）．
4.
【知識點】添一條件使四邊形是矩形、添一個條件使四邊形是菱形
【分析】本題主要考查了矩形和菱形的判定，有一個角是直角或對角線相等的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等或對角線垂直的平行四邊形是菱形，據此可得答案．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，加上條件或就可以使四邊形是矩形；加上條件或，就能使四邊形是菱形．
故答案為：；；；．
【題型3 證明四邊形是矩形】
1.證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四邊形是平行四邊形．
又∵，
∴，
∴四邊形是矩形；
2.解：，，
四邊形是平行四邊形．
．
，
．
，
四邊形是平行四邊形．
，
是矩形．
3.（1）證明：，
．
，
．
，
．
．
四邊形是平行四邊形．
（2）點在線段的垂直平分線上，
．
，
．
是直角三角形，．
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形．
4.（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
．
（2）解：，理由如下，
證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
平分，
，
，
，
，
，
∵是中點，
，
設，，
，
，
，
平行四邊形是矩形．
【題型4 根據矩形的性質與判定求角度、線段長、面積】
1.
【知識點】等邊對等角、利用平行四邊形的性質求解、根據矩形的性質與判定求角度
【分析】本題考查了平行四邊形性質，等腰三角形性質，以及矩形的性質和判定，根據題意證得四邊形是矩形，利用矩形的性質和等腰三角形性質即可計算出的度數．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
故答案為：．
2.
【知識點】垂線段最短、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質與判定求線段長
【分析】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質，連接，證明四邊形是矩形，得出，再根據當時，最短，即可推出結果．
【詳解】解：如圖，連接，
∵、，，
∴四邊形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
由題意可知，當時，最短，，
即的最小值為，
故答案為：．
3.3
【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質與判定求線段長、利用菱形的性質求線段長
【分析】本題主要考查了菱形的性質、矩形的判定與性質，勾股定理、等腰直角三角形的性質與判定等知識點，靈活運用相關判定與性質定理成為解題的關鍵．
如圖：過F作，連接交于O，先說明四邊形是矩形可得；再根據等腰三角形的性質及勾股定理可得，進而得到，即即可解答．
【詳解】解：如圖：過F作，連接交于O，
∵四邊形為菱形，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案為：3．
4. 21
【知識點】根據矩形的性質與判定求面積
【分析】本題考查矩形的判定和性質、三角形的面積.由矩形的判定和性質得到，，，，，即可得到，計算即可.
【詳解】解：作于M，交于N，如圖，

則四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，
∴，
∴，，，，，
∴，
∴圖中陰影部分的面積．
故答案為：；21．
【題型5 根據矩形的性質與判定解決多結論問題】
1.A
【分析】連接，可證四邊形是矩形，，即可判斷①③；根據①③的結論可推出垂直平分，進而可得是等腰直角三角形，從而可判斷②；證明，推出，設，推出，，判斷④即可．
【詳解】解：連接，如圖所示：

∵，，
∴
由題意得：
∴
∴
∴
∵，
∴
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴
∵
∴ EDC≌ EFC
∴
∴
∴
∴
∴點是的中點
即：，故①正確；
∵，
∴
∵ EDC≌ EFC
∴
∴
同理可證
∴，故③正確；
∵ EDC≌ EFC
∴垂直平分
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴，故②正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
設，
則：，
∴，
∴，
∴；故④正確；
故選：A．
2.B
【分析】本題主要考查了矩形的性質與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的判定，平行線的性質等等，由對角線互相平分且相等的四邊形是矩形證明四邊形是矩形，即可判斷①；可證明是中位線，，而點E可以在上，也可以在上，據此可判斷②；根據，則有最大值時，有最大值，則點E與點D重合時，的最大值為4，則長度的最大值為2，據此可判斷③；不平行，則，據此可判斷④．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴四邊形是矩形，故①正確；
當點E在上時，
∵分別是的中點，
∴是中位線，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴點是的中點；
當點E在上時，同理可得，但此時點不是的中點，故②錯誤；
由②可知，，
∵點E沿四邊形的邊運動至點停止，且
∴的最大值為4，此時點E與點D重合，
∴的最大值為2，故③正確；
當點在邊上，
∵不平行，
∴，
∴不可能是等邊三角形，故④錯誤；
∴正確的有①③，共2個，
故選；B．
3.D
【分析】證，得出，，判斷①；證，得出，，判斷③；證四邊形是平行四邊形，得出，判斷②；證四邊形是平行四邊形，證出，則，得出四邊形是菱形；判斷④；即可得出結論．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，，，，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正確；
在 ADE和 CBF中，
，
，
，，故③正確；
，即，
，
四邊形是平行四邊形，
，故②正確；
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
四邊形是菱形；故④正確；
故選：D．
4.①②③④
【分析】先根據菱形，得，，，，，再根據垂直平妥線的性質可證得是等邊三角形，得，從而可得出，查判定①正確；根據菱形的性質與勾股定理求得，則，根據菱形的面積公式可得，或判定②正確； 證明是的中位線，得，證明四邊形是矩形，得 ，則，可判定③正確；根據動點P在上運動，所以當時，此時最小，利用面積法可求出最小值是，再根據矩形的性質知，所以當最小時，最小， 即可求得的最小值為，可判定④正確．
【詳解】解：∵菱形，
∴，，，，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正確；
∵菱形的邊長為6，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，故②正確；
∵垂直平分，
∴是的中位線，
∴，
∵垂直交于點M，垂直交于點N，
∴
∴四邊形是矩形，
∴
∴，故③正確；
∵動點P在上運動，
∴當時，此時最小，
在中，
∴
∴
∵四邊形是矩形，
∴
∴當最小時，最小，
∴的最小值為，故④正確．
綜上，正確的有①②③④共4個，
故答案為①②③④．
【題型6 矩形的性質與判定的綜合問題】
1.（1）證明：在菱形中，，
，，
∵BD是菱形的對角線，
．
由題知，，則，
結合作圖可得：平分，
，
，則．
，
．
是菱形的對角線，
．
，則．
∴四邊形是平行四邊形．
菱形的對角線與相交于點，
，
四邊形是矩形．
（2）解：由（1）知，，．
在菱形中，，
，則．
在Rt中，，
．
四邊形是矩形，
．
在Rt中，．
2.（1）證明：四邊形是菱形，
，，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
平行四邊形是矩形；
（2）解：矩形的周長為18，
．
四邊形是菱形，
，，，
，根據勾股定理得，
，
．
設平行線與間的距離為h，
，
．
3.（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四邊形是矩形．
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的邊長為4 ，
∴，，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四邊形的面積為．
4.（1）解：∵，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴．
（2）解：如圖：延長至E，使得，連接，則，
∵
∴，
∴，
∵G為的中點，
∴，
∴，即，
∵P為的中點，
∴是的中位線，
∴．
（3）解：如圖：連接，
∵四邊形為矩形，
∴，
∵E為的中點，
∴，
∵將沿折疊到，點落點在，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
設，則，
在中，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，解得：．
∴．
【題型7 與矩形的性質與判定有關的作圖】
1.（1）解：如右圖所示：
（2）解：四邊形是矩形，理由如下：
∵E為邊的中點，
∴
∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵菱形的對角線交于點O，
∴，
∴平行四邊形是矩形．
2.（1）解：所作圖形如圖，
；
（2）解：四邊形是矩形，理由如下，
∵M為的中點，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形．
3.（1）如圖，即為所求．
（2）證明：∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形是矩形．
4.（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）證明：如圖所示，連接，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵ ABC是等腰三角形，，是邊上的中線，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是矩形．

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