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1.3《正方形的性質與判定》小節復習題
【題型1 正方形的判定定理理解】
1.在平行四邊形中，對角線相交于點，下列條件中，能推出四邊形是正方形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2.下列正確命題的個數是（ ）
①有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；②四條邊相等的四邊形是正方形；③有一個角是直角的平行四邊形是矩形；④對角線相等的平行四邊形是矩形；⑤對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3.小琦在復習幾種特殊四邊形的關系時整理出如圖所示的轉換圖，（1）（2）（3）（4）處需要添加條件，則下列條件添加錯誤的是（ ）
A．（1）處可填 B．（2）處可填
C．（3）處可填 D．（4）處可填
4.下列命題中是真命題的是（ ）
A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B．對角線互相垂直平分的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的矩形是正方形
D．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形
【題型2 添一個條件使四邊形是正方形】
1.如圖，四邊形是菱形，與相交于點，添加一個條件： ，可使它成為正方形．
2.在矩形中，對角線交于點O，要使矩形成為正方形，需添加的條件是 （寫出一個符合要求的條件）．
3.如圖，在中，，點D，E，F分別是邊的中點，要使四邊形為正方形，不添加輔助線，可以添加的條件是 添加一個條件即可
4.如圖，在 ABC中，點、、分別在邊、、上，且，．下列四種說法：①四邊形是平行四邊形；②如果，那么四邊形是矩形；③如果平分，那么四邊形是菱形；④如果且，那么四邊形是正方形．其中，正確的有 ．（只填序號）
【題型3 證明四邊形是正方形】
1.如圖，在 ABC中， ，，D、E、F分別是邊的中點．

(1)求的長．
(2)求證：四邊形是正方形．
2.如圖，在矩形中，是邊上一點，過點作對角線的平行線，交于點，交和的延長線于點，．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形是正方形．
3.如圖，在 ABC中， 平分平分 的外角 ，過點A作 垂足為M， 垂足為N，連接交于點O．
(1)求證：；
(2)當線段和滿足什么條件時，四邊形為正方形．
4.如圖，在 ABC中，是的中點，是的中點，過點作與的延長線相交于點，連接．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)填空：①當 ABC滿足條件時，四邊形是 形；
②當 ABC滿足條件 時，四邊形是正方形．
【題型4 根據正方形的性質與判定求解】
1.如圖，在四邊形中，，，于點，若，則四邊形的面積是 ．
2.如圖，在正方形中，為對角線上的一點，于點，若點是的三等分點，，則的長為 ．
3.如圖，在四邊形中，，平分，若，則的長為 ．
4.在四邊形中，平分，并且，若，，，求的面積 ．
【題型5 正方形的性質與判定的綜合問題】
1.如圖，在矩形中，的平分線交于點，過點作于點，連接．
(1)求證：四邊形是正方形；
(2)若，求的度數．
2.如圖，在四邊形中，，，，，的垂直平分線交于E，交于F，交的延長線于G，若．
(1)求證：四邊形是正方形；
(2)求的長．
3.如圖，在正方形中，E為對角線上一點，連接，過點E作，交延長線于點F，以，為鄰邊作平行四邊形，連接．
(1)求證：四邊形是正方形．
(2)連接，若，，求的長．
4.如圖，在矩形中，的平分線交于點，于點，于點，與交于點．
(1)求證：四邊形是正方形；
(2)若，求證：；
(3)在（2）的條件下，已知，求的長．
【題型6 與正方形有關的作圖問題（含無刻度作圖）】
1.如圖，在 ABC中，，是邊上的中線．
(1)尺規作圖：在直線右側作射線，在射線上截取，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)當 ABC滿足什么條件時，四邊形為正方形，并說明理由．
2.如圖，已知矩形，
(1)尺規作圖：①作的平分線，交邊于點E．
②過E做，垂足為F
（兩個畫圖都保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)求證：四邊形是正方形
3.如圖，矩形的對角線相交于點．
(1)尺規作圖：請在右側作出點，使四邊形是菱形（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）所作的圖中，請解決以下問題：
①當時，求菱形的周長；
②當時，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．
4.已知是菱形的對角線．
(1)如圖1，以為圓心，適當長度為半徑作弧，交于點，連接．求證：四邊形是菱形．
(2)尺規作圖：在圖2中作正方形，其中在上（保留作圖痕跡，不寫作法）．
參考答案
【題型1 正方形的判定定理理解】
1.C
【知識點】正方形的判定定理理解、證明四邊形是正方形
【分析】本題考查的是正方形的判定，據選項依次進行判斷即可．
【詳解】選項A條件：
（鄰邊相等）且（對角線垂直）．
結論：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對角線垂直也是菱形，因此無法確定為正方形。
選項B條件：
（鄰邊垂直）且（對角線相等）．
結論：鄰邊垂直的平行四邊形是矩形，對角線相等也是矩形，因此無法確定為正方形．
選項C條件：
（對角線相等，即）且（鄰邊相等）．
結論：，平行四邊形對角線互相平分，說明是矩形．
，鄰邊相等，說明是菱形．
既是菱形又是矩形，因此能推出正方形．
選項D條件：
（對角線相等）且（重復對角線相等）．
結論：僅說明是矩形，無法確定鄰邊是否相等，因此不能推出正方形．
故選：C．
2.C
【知識點】矩形的判定定理理解、證明四邊形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】本題考查了特殊的四邊形的判定，解題關鍵是牢記幾種特殊四邊形的概念與判定方法，本題依次判斷即可．
【詳解】解：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故命題①錯誤；
②四條邊相等的四邊形是菱形，故命題②錯誤；
③有一個角是直角的平行四邊形是矩形；故命題③正確；
④對角線相等的平行四邊形是矩形，故命題④正確；
⑤對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．故命題⑤正確；
綜上所述：命題正確的有3個，
故選：C．
3.C
【知識點】矩形的判定定理理解、添一個條件使四邊形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】本題主要考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟練掌握特殊平行四邊形的判定方法，是解題的關鍵．根據矩形、菱形、正方形的判定方法，進行解答即可．
【詳解】解：A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，（1）處可填是正確的，故該選項不符合題意；
B、一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）處可填是正確的，故該選項不符合題意；
C、對邊相等是平行四邊形的性質，不能判定此時平行四邊形是菱形，故該選項符合題意；
D、有一個角是直角的菱形是正方形，（4）處可填，故該選項不符合題意．
故選：C．
4.C
【知識點】矩形的判定定理理解、證明四邊形是菱形、正方形的判定定理理解、判斷命題真假
【分析】本題考查了命題與定理．根據平行四邊形的判定方法對A進行判斷；根據菱形的判定方法對B進行判斷；根據正方形的判定方法對C進行判斷；根據矩形的判定方法對D進行判斷．
【詳解】解：A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，也可能是等腰梯形，所以本選項錯誤，不是真命題，不符合題意；
B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，所以本選項錯誤，不是真命題，不符合題意；
C、對角線互相垂直的矩形是正方形，所以本選項正確，是真命題，符合題意；
D、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以本選項錯誤，不是真命題，不符合題意；
故選：C．
【題型2 添一個條件使四邊形是正方形】
1.（答案不唯一）
【知識點】添一個條件使四邊形是正方形
【分析】本題考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解題的關鍵．
根據有一個角是直角的菱形是正方形即可證明．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，
∴四邊形是正方形，
故答案為：（答案不唯一）．
2.（答案不唯一）
【知識點】添一個條件使四邊形是正方形
【分析】本題考查了矩形的性質，正方形的判定的應用，
【詳解】解：添加的條件可以是．理由如下：
∵四邊形是矩形，，
∴四邊形是正方形．
故答案為：（答案不唯一）．
3.（答案不唯一）
【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、添一個條件使四邊形是正方形
【分析】此題重點考查正方形的判定、三角形中位線定理等知識，推導出四邊形是矩形是解題的關鍵．由中位線定理得到，，，結合得四邊形是矩形，當時，四邊形是正方形，據此可添加條件．
【詳解】解：點D，E，F分別是邊的中點，
，且，，且，
∵DE∥AF,DF∥AE，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
當時，四邊形是正方形，
添加的條件可以是，
故答案為：．（答案不唯一）
4.①②③
【知識點】證明四邊形是平行四邊形、添一條件使四邊形是矩形、添一個條件使四邊形是菱形、添一個條件使四邊形是正方形
【分析】根據平行四邊形平行四邊形、菱形、矩形的判定，即可求解，
本題主要考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定，掌握平行四邊形、菱形、矩形的判定方法是解題的關鍵．
【詳解】解：①∵，
∴四邊形是平行四邊形，故①正確；
②若，
∴平行四邊形是矩形；故②正確；
③若平分，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴；
∴平行四邊形是菱形；故③正確；
④若；
∴平分；
∴結合③可得平行四邊形是菱形；故④錯誤；
所以正確的結論是①②③，
故答案為：①②③．
【題型3 證明四邊形是正方形】
1.（1）解：∵ ，E是中點，
∴，
又∵
∴
∴；
（2）證明：∵D、E、F分別是邊的中點．
∴，，
又∵，
∴，
∴四邊形為菱形，
∵，
∴菱形為正方形．
2.（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴四邊形是正方形．
3.（1）∵ 平分平分 的外角 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴；
（2）當時，四邊形為正方形，理由；
∵四邊形是矩形，，
∴四邊形為正方形．
4.（1）證明：∵是的中點，是的中點，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
（2）解：①當 ABC滿足條件時，四邊形是菱形，
理由如下：
∵是的中點，是的中點，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
∵是的中點，
∴
∵四邊形為平行四邊形，，
∴四邊形為菱形；
故答案為：菱；
②當 ABC滿足條件時，四邊形是正方形，
理由如下：
由①知當 ABC滿足條件時，四邊形是菱形，
∵，為中點，
∴為邊上的中線，
∴，即，
∵四邊形是菱形，，
∴四邊形為正方形．
故答案為：．
【題型4 根據正方形的性質與判定求解】
1.
【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據矩形的性質與判定求線段長、根據正方形的性質與判定求線段長
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，矩形、正方形的判定和性質，過點作，交的延長線于點，則四邊形是矩形，再證明和全等得，，則矩形是正方形，，熟練掌握全等三角形的判定與性質，矩形、正方形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：過點作，交的延長線于點，如圖所示：
∵，，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴矩形是正方形，
∴，
故答案為：．
2.
【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、根據正方形的性質與判定求線段長
【分析】本題考查了正方形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，分兩種情況：當點E在靠近點A的三等分點時和當點E在靠近點D的三等分點時，過點作于，則，由正方形的性質可得，，進而可得四邊形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：當點E在靠近點A的三等分點時，
過點作于，則，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
當點E在靠近點D的三等分點時，
同理可得出：，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
3.
【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角平分線的性質定理、用勾股定理解三角形、根據正方形的性質與判定求線段長
【分析】過點作，由勾股定理求出．再證明四邊形是正方形，可得，再證明，可得，再求解即可．
【詳解】解：如圖，過點作，
，，
，
，，
四邊形是矩形，
平分，，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
4.6
【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角平分線的性質定理、根據正方形的性質與判定求面積
【分析】本題考查了角平分線的性質、全等三角形的證明和性質，正方形的判定和性質，利用角平分線的性質和證明三角形全等是解題的關鍵．
過D作,交于M，，交延長線于N，證明，可得，再證明四邊形是正方形，根據正方形的性質和三角形的面積公式求解．
【詳解】如圖，過D作,交于M，，交延長線于N，
，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【題型5 正方形的性質與判定的綜合問題】
1.（1）證明：四邊形是矩形，
．
，
四邊形是矩形．
平分，
，
四邊形的正方形．
（2）解：∵四邊形的正方形．
∴，，
又∵
．
∵，
∴
∴，
∵在矩形中，，
．
2.（1）證明：∵的垂直平分線交于E，交于F，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴∠b=90°，
∴四邊形是矩形，
又∵，
∴四邊形是正方形；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵正方形中，，
∴，
∴．
3.（1）證明：如圖：過點E作于點Q，作于點P，則，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴四邊形為矩形，
∵，，
∴ CEQ為等腰直角三角形，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴為菱形，
∵，
∴四邊形為正方形．
（2）解：如圖：連接，
∵四邊形為正方形，
∴，，，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，
∴．
4.（1）證明：∵矩形，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∵平分，
∴，
∴四邊形是正方形；
（2）證明：∵平分，
∴，
∵于點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知四邊形是正方形，
∴，，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴，
∵，
∴∠GOE=∠OEG=45°，
∴．
【題型6 與正方形有關的作圖問題（含無刻度作圖）】
1.（1）解：如圖，在的右側作，再以點為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點，連接，
則射線、線段即為所求．
（2）解：當 ABC是等腰直角三角形時，四邊形為正方形．
理由：，，
四邊形為平行四邊形．
，是邊上的中線，
，
四邊形為菱形．
ABC是等腰直角三角形，
，
，
，
四邊形為正方形．
2.（1）解：如圖，即為所作：
（2）證明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形．
3.（1）解：如圖所示，四邊形即為所求作的菱形．
（2）①∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形，
∴周長為：；
②∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∴四邊形為正方形．
4.（1）證明：連接，如圖所示：
∵四邊形為菱形，
∴，，
根據作圖可知：，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形；
（2）解：連接，交于點O，以點O為圓心，為半徑畫弧，交于點M、N，連接、、、，則四邊形即為所求作的正方形．
∵四邊形為菱形，
∴，，
根據作圖可知：，
∴，
∴、互相垂直平分，且相等，
∴四邊形為正方形．

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