資源簡介

廣東省佛山市禪城區(qū)2025屆高三統(tǒng)一調(diào)研測試（一） 數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024高三上·禪城模擬）（　　）
A． B． C．2 D．5
2．（2024高三上·禪城模擬）已知，且（　　）
A．B B． C． D．
3．（2024高三上·禪城模擬）若，則（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·禪城模擬）拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，在擲出的兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6點(diǎn)的條件下，點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)的概率為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·禪城模擬）已知是奇函數(shù)，則（　　）
A． B．0 C． D．4
6．（2024高三上·禪城模擬）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024高三上·禪城模擬）已知圓臺的高為1，下底面的面積，體積為，則該圓臺的外接球表面積為（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·禪城模擬）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（2024高三上·禪城模擬）已知直線，與平面，，，能使的充分條件是（　　）
A．， B．，
C．，， D．，，
10．（2024高三上·禪城模擬）已知，，且，則（　　）
A．的最小值為18 B．的最小值為36
C．的最小值為 D．的最小值為
11．（2024高三上·禪城模擬）已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（　　）
A．1是的極大值
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且
D．若存在極小值點(diǎn)，且，其中，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024高三上·禪城模擬）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，且，則　 　．
13．（2024高三上·禪城模擬）若直線與曲線相切，則　 　．
14．（2024高三上·禪城模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的最大值為　 　．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（2024高三上·禪城模擬）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的周長．
16．（2024高三上·禪城模擬）某機(jī)構(gòu)為了解市民對交通的滿意度，隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”人數(shù)的；在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占．
（1）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為市民對于交通的滿意度與是否上班存在關(guān)聯(lián)？
　 滿意 不滿意 合計(jì)
上班族 　 　 　
非上班族 　 　 　
合計(jì) 　 　 　
（2）該機(jī)構(gòu)欲再從全市隨機(jī)選取市民，進(jìn)一步征求改善交通現(xiàn)狀的建議．規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過6次，若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機(jī)抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到6次時(shí)，抽樣結(jié)束．以調(diào)查數(shù)據(jù)中的滿意度估計(jì)全市市民的滿意度，求抽樣次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
參考公式：，其中．
17．（2024高三上·禪城模擬）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
18．（2024高三上·禪城模擬）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若存、在，滿足，證明：；
（3）對任意的，恒成立，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求的取值范圍．
19．（2024高三上·禪城模擬）歐幾里得在《幾何原本》中證明算術(shù)基本定理：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)，可以寫成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，這個(gè)乘積形式是唯一的．對于任意正整數(shù)，記為的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)，為的所有正因數(shù)的和．
（1）若數(shù)列，，，
①寫出，；
②求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）對于互不相等的素?cái)?shù)、、，證明：，，并求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模
【解析】【解答】解：，則.
故答案為：B.
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算得，再利用復(fù)數(shù)模性質(zhì)求解即可.
2．【答案】D
【知識點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算
【解析】【解答】解：，圖如下：
由圖可知：.
故答案為：D.
【分析】利用圖確定即可.
3．【答案】B
【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值
【解析】【解答】解：若 ，可得，，
則.
故答案為：B.
【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.
4．【答案】A
【知識點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式
【解析】【解答】解：擲出的兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6點(diǎn)包含，共5種情況，其中點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)的有，共3種情況，
則點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)的概率.
故答案為：A.
【分析】利用列舉法，根據(jù)古典概型概率公式求解即可.
5．【答案】A
【知識點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
【解析】【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，
則，即，解得，
則.
故答案為：A.
【分析】利用奇函數(shù)的定義計(jì)算出函數(shù)在時(shí)的解析式，可得出、的值，再計(jì)算的值即可.
6．【答案】A
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得，解得，
則，.
故答案為：A.
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意列式求得，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解即可.
7．【答案】C
【知識點(diǎn)】球的表面積與體積公式及應(yīng)用；球內(nèi)接多面體；臺體的體積公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，外接球的半徑為，圓臺與外接球的軸截面，如圖所示：
因?yàn)閳A臺的下底面的面積為，所以，
圓臺的體積，
即，解得，
設(shè)，
在中，①，
在中，②，
聯(lián)立①②：解得，，則圓臺外接球的表面積為.
故答案為：C.
【分析】設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，外接球的半徑為，畫出組合體的截面圖，再利用幾何關(guān)系，列方程組求解，再求球的表面積即可.
8．【答案】C
【知識點(diǎn)】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】解：構(gòu)造函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
則關(guān)于直線對稱，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
故使得成立的的取值范圍是.
故答案為：C．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由得到，得到的對稱性，故在上單調(diào)遞減，且，得到當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，求出成立的的取值范圍即可.
9．【答案】B,D
【知識點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【解析】【解答】解：A、若，，則或，平行，故A錯(cuò)誤；
B、若，，則，故B正確；
C、若，，，由線面垂直的判定定理可知不一定垂直于，
則也不一定垂直，故C錯(cuò)誤；
D、若，，則，再由，可得，故D正確.
故答案為：BD.
【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
10．【答案】A,C,D
【知識點(diǎn)】基本不等式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、因?yàn)椋遥?br/>所以，則，
解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
則的最小值為18，故A正確；
B、，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號成立，顯然不能同時(shí)成立，取不到等號，故B錯(cuò)誤；
C、，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則的最小值為，故C正確；
D、因?yàn)椋裕?br/>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，
則的最小值為，故D正確．
故答案為：ACD．
【分析】由，直接利用基本不等式求解即可判斷A；根據(jù)基本不等式可得，驗(yàn)證取等條件即可判斷B；由題意可得，結(jié)合求解即可判斷C；結(jié)合題意可得，，得到，再根據(jù)基本不等式求解即可判斷D.
11．【答案】A,B,D
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；函數(shù)零點(diǎn)存在定理
【解析】【解答】解：函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，令，解得或，
A、當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，極大值為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得極大值，極大值為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，極大值為，則1是的極大值，故A正確；
B、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕裕蔅正確；
C、當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由于，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)且小于0；
若，則的極小值，即在上沒有零點(diǎn)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且小于0，故C錯(cuò)誤；
D、若存在極小值點(diǎn)，則，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，即，
又因?yàn)椋裕蔇正確．
故答案為：ABD．
【分析】求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷在處取得極大值即可判斷A；根據(jù)的范圍得出單調(diào)性即可判斷B；時(shí)，的極小值在上沒有零點(diǎn)即可判斷C；根據(jù)的極小值點(diǎn)之間的關(guān)系，得出即可判斷D.
12．【答案】5
【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；平面向量垂直的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：由點(diǎn)，，，可得，，
因?yàn)椋裕瑒t，
即，解得.
故答案為：.
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合，得，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解即可.
13．【答案】
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；斜率的計(jì)算公式
【解析】【解答】解：設(shè)切點(diǎn)，
定義域?yàn)椋?br/>切線斜率，
因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，
化簡可得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則在處取得極小值，也是最小值，，即，
可得，即.
故答案為：.
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率公式計(jì)算即可.
14．【答案】
【知識點(diǎn)】含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的周期；正弦函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，
則，可得，
又因?yàn)椋遥瑒t為的對稱中心，
不妨設(shè)，如圖所示：
依次討論對應(yīng)為點(diǎn)，，，種情況，且，
若對應(yīng)為點(diǎn)（或點(diǎn)之后），則，即，不合題意；
若求的最大值，即的最小值，即與之間包含的周期最多，
若對應(yīng)為點(diǎn)，則為的對稱軸，
且，則，，滿足，
且此時(shí)為最小值，所以取值的最大值為．
故答案為：.
【分析】根據(jù)函數(shù)在的單調(diào)性分析可得，再根據(jù)題意可得為的對稱中心，若求的最大值，即的最小值，最后根據(jù)圖像結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.
15．【答案】（1）解：的面積為， 則，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
又因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>（2）解： 若， 由正弦定理可得：，
由（1）知：，則，
由余弦定理，可得，
解得，
則的周長為．
【知識點(diǎn)】簡單的三角恒等變換；兩角和與差的余弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算
【解析】【分析】（1）表示的面積，結(jié)合求得，，再利用兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式求解即可；
（2）由正弦定理，以及（1）的結(jié)果，求得，再由余弦定理求解即可.
（1）由題意知：，所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>（2）由正弦定理得：，
由（1）知：，所以，
由余弦定理得：
即，所以，
所以的周長為．
16．【答案】（1）解：由題意可知，列聯(lián)表：
滿意 不滿意 合計(jì)
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合計(jì) 50 50 100
零假設(shè)：市民對交通的滿意度與是否上班無關(guān)聯(lián)，
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001；
（2）解：由題意可得：隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，4，5，6，
由（1）可知市民的滿意度和不滿意度均為，
則，，，
，，
的分布列為：
1 2 3 4 5 6
．
【知識點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差；2×2列聯(lián)表
【解析】【分析】（1）由題意完成列聯(lián)表，再計(jì)算，與臨界值比較判斷即可；
（2）由題意可知，隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)變量的意義，寫出概率，并列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.
（1）由題意可知，
　 滿意 不滿意 合計(jì)
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合計(jì) 50 50 100
假設(shè)：市民對交通的滿意度與是否上班獨(dú)立，
因?yàn)椋?br/>根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001．
（2）的可能取值為1，2，3，4，5，6．
由（1）可知市民的滿意度和不滿意度均為，所以，，，
，，
所以的分布列為：
1 2 3 4 5 6
所以．
17．【答案】（1）證明： 在四棱錐中， 因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫?br/>又因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>（2）解：取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋遥运倪呅螢榫匦危云矫妫?br/>又因?yàn)樵谥校裕瑑蓛纱怪保?br/>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，，
設(shè)，則，，，
設(shè)平面的法向量，則，
令，可得，即，
因?yàn)槠矫妫云矫娴姆ㄏ蛄浚?br/>則，化簡得，
解得，即．
【知識點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；平面的法向量；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由題意，利用面面垂直性質(zhì)定理以及線面垂直判定定理證明即可；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)并利用空間向量求出二面角的余弦值的表達(dá)式，解方程可求得，即可求解.
（1）在底面中，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面．
又因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面
又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?br/>（2）取中點(diǎn)，連接，．
因?yàn)椋遥运倪呅螢榫匦危?br/>即平面，
又因?yàn)樵谥校裕瑑蓛纱怪保?br/>以，，分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)，則，，．
設(shè)平面的法向量
則，
令，可得，即，
因?yàn)槠矫妫云矫娴姆ㄏ蛄浚?br/>所以．
化簡得即，
解得或（舍），即．
18．【答案】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
由，可得，即，
由于，
令定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，
則，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，得證；
（3）解：函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>由，可得，即，
對任意的，恒成立，等價(jià)于，
由于，令，，
時(shí)，；時(shí)，，且，
則，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
即，所以，
故的取值范圍是．
【知識點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；不等式的證明
【解析】【分析】（1）求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)得，分，討論求解即可；
（2）由，得到，再根據(jù)，由證明；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值即可得的取值范圍.
（1）解：的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）方法一：當(dāng)時(shí)，，由，
得，即
由于，事實(shí)上，令，，
時(shí)，；時(shí)，；所以，
所以，即．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，得證．
方法二：當(dāng)時(shí)，，，
由（1）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，可證．
不妨設(shè)，要證，即證，即證，
因?yàn)椋约醋C．
令，其中，
因?yàn)椋裕栽谏蠁握{(diào)遞增，
所以，所以，所以．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br/>所以，所以．
綜上，．
（3）方法一：，由，
得，即，
所以對任意的，恒成立，
等價(jià)于，
由于，事實(shí)上，令，，
時(shí)，；時(shí)，；所以，
所以，即．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立（方程顯然有解），
即，所以．
所以的取值范圍是．
方法二：，由，得，
即，所以對任意的，恒成立，
等價(jià)于
令，
則，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以，
所以存在，使得，
所以，即，所以，
所以，
令，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br/>又時(shí)，；時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以的取值范圍是．
19．【答案】（1）解：①、的正因數(shù)有1，3，9，
則，；
②、由題意可知：的正因數(shù)有，
則，，
可得，
則；
（2）解：為互不相等素?cái)?shù)，
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，
則，
，
即，，
因?yàn)椋裕?br/>由（2）知，，
則，，，
故．
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和
【解析】【分析】（1）①、由的正因數(shù)有1，3，9，即可得，；
②、的正因數(shù)有，由等比數(shù)列求和公式得到，則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；
（2）分別計(jì)算出，，，，，，得到，；因?yàn)椋剩Y(jié)合，得到，，，所以．
（1）①因?yàn)榈恼驍?shù)有1，3，9，
所以，；
②由題意可知：的正因數(shù)有，
則，，
可得，
所以．
（2）為素?cái)?shù)，
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，
則，
，
所以，．
因?yàn)椋裕?br/>由（2）知，，
則，，，
所以．
1 / 1廣東省佛山市禪城區(qū)2025屆高三統(tǒng)一調(diào)研測試（一） 數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024高三上·禪城模擬）（　　）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模
【解析】【解答】解：，則.
故答案為：B.
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算得，再利用復(fù)數(shù)模性質(zhì)求解即可.
2．（2024高三上·禪城模擬）已知，且（　　）
A．B B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算
【解析】【解答】解：，圖如下：
由圖可知：.
故答案為：D.
【分析】利用圖確定即可.
3．（2024高三上·禪城模擬）若，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值
【解析】【解答】解：若 ，可得，，
則.
故答案為：B.
【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.
4．（2024高三上·禪城模擬）拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，在擲出的兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6點(diǎn)的條件下，點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式
【解析】【解答】解：擲出的兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6點(diǎn)包含，共5種情況，其中點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)的有，共3種情況，
則點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)的概率.
故答案為：A.
【分析】利用列舉法，根據(jù)古典概型概率公式求解即可.
5．（2024高三上·禪城模擬）已知是奇函數(shù)，則（　　）
A． B．0 C． D．4
【答案】A
【知識點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
【解析】【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，
則，即，解得，
則.
故答案為：A.
【分析】利用奇函數(shù)的定義計(jì)算出函數(shù)在時(shí)的解析式，可得出、的值，再計(jì)算的值即可.
6．（2024高三上·禪城模擬）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得，解得，
則，.
故答案為：A.
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意列式求得，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解即可.
7．（2024高三上·禪城模擬）已知圓臺的高為1，下底面的面積，體積為，則該圓臺的外接球表面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】球的表面積與體積公式及應(yīng)用；球內(nèi)接多面體；臺體的體積公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，外接球的半徑為，圓臺與外接球的軸截面，如圖所示：
因?yàn)閳A臺的下底面的面積為，所以，
圓臺的體積，
即，解得，
設(shè)，
在中，①，
在中，②，
聯(lián)立①②：解得，，則圓臺外接球的表面積為.
故答案為：C.
【分析】設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，外接球的半徑為，畫出組合體的截面圖，再利用幾何關(guān)系，列方程組求解，再求球的表面積即可.
8．（2024高三上·禪城模擬）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】解：構(gòu)造函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
則關(guān)于直線對稱，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
故使得成立的的取值范圍是.
故答案為：C．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由得到，得到的對稱性，故在上單調(diào)遞減，且，得到當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，求出成立的的取值范圍即可.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（2024高三上·禪城模擬）已知直線，與平面，，，能使的充分條件是（　　）
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】B,D
【知識點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【解析】【解答】解：A、若，，則或，平行，故A錯(cuò)誤；
B、若，，則，故B正確；
C、若，，，由線面垂直的判定定理可知不一定垂直于，
則也不一定垂直，故C錯(cuò)誤；
D、若，，則，再由，可得，故D正確.
故答案為：BD.
【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
10．（2024高三上·禪城模擬）已知，，且，則（　　）
A．的最小值為18 B．的最小值為36
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】A,C,D
【知識點(diǎn)】基本不等式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、因?yàn)椋遥?br/>所以，則，
解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
則的最小值為18，故A正確；
B、，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號成立，顯然不能同時(shí)成立，取不到等號，故B錯(cuò)誤；
C、，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則的最小值為，故C正確；
D、因?yàn)椋裕?br/>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，
則的最小值為，故D正確．
故答案為：ACD．
【分析】由，直接利用基本不等式求解即可判斷A；根據(jù)基本不等式可得，驗(yàn)證取等條件即可判斷B；由題意可得，結(jié)合求解即可判斷C；結(jié)合題意可得，，得到，再根據(jù)基本不等式求解即可判斷D.
11．（2024高三上·禪城模擬）已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（　　）
A．1是的極大值
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且
D．若存在極小值點(diǎn)，且，其中，則
【答案】A,B,D
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；函數(shù)零點(diǎn)存在定理
【解析】【解答】解：函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，令，解得或，
A、當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，極大值為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得極大值，極大值為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，極大值為，則1是的極大值，故A正確；
B、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕裕蔅正確；
C、當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由于，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)且小于0；
若，則的極小值，即在上沒有零點(diǎn)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且小于0，故C錯(cuò)誤；
D、若存在極小值點(diǎn)，則，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，即，
又因?yàn)椋裕蔇正確．
故答案為：ABD．
【分析】求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷在處取得極大值即可判斷A；根據(jù)的范圍得出單調(diào)性即可判斷B；時(shí)，的極小值在上沒有零點(diǎn)即可判斷C；根據(jù)的極小值點(diǎn)之間的關(guān)系，得出即可判斷D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024高三上·禪城模擬）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，且，則　 　．
【答案】5
【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；平面向量垂直的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：由點(diǎn)，，，可得，，
因?yàn)椋裕瑒t，
即，解得.
故答案為：.
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合，得，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解即可.
13．（2024高三上·禪城模擬）若直線與曲線相切，則　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；斜率的計(jì)算公式
【解析】【解答】解：設(shè)切點(diǎn)，
定義域?yàn)椋?br/>切線斜率，
因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，
化簡可得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則在處取得極小值，也是最小值，，即，
可得，即.
故答案為：.
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率公式計(jì)算即可.
14．（2024高三上·禪城模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的最大值為　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的周期；正弦函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，
則，可得，
又因?yàn)椋遥瑒t為的對稱中心，
不妨設(shè)，如圖所示：
依次討論對應(yīng)為點(diǎn)，，，種情況，且，
若對應(yīng)為點(diǎn)（或點(diǎn)之后），則，即，不合題意；
若求的最大值，即的最小值，即與之間包含的周期最多，
若對應(yīng)為點(diǎn)，則為的對稱軸，
且，則，，滿足，
且此時(shí)為最小值，所以取值的最大值為．
故答案為：.
【分析】根據(jù)函數(shù)在的單調(diào)性分析可得，再根據(jù)題意可得為的對稱中心，若求的最大值，即的最小值，最后根據(jù)圖像結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（2024高三上·禪城模擬）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的周長．
【答案】（1）解：的面積為， 則，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
又因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>（2）解： 若， 由正弦定理可得：，
由（1）知：，則，
由余弦定理，可得，
解得，
則的周長為．
【知識點(diǎn)】簡單的三角恒等變換；兩角和與差的余弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算
【解析】【分析】（1）表示的面積，結(jié)合求得，，再利用兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式求解即可；
（2）由正弦定理，以及（1）的結(jié)果，求得，再由余弦定理求解即可.
（1）由題意知：，所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>（2）由正弦定理得：，
由（1）知：，所以，
由余弦定理得：
即，所以，
所以的周長為．
16．（2024高三上·禪城模擬）某機(jī)構(gòu)為了解市民對交通的滿意度，隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”人數(shù)的；在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占．
（1）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為市民對于交通的滿意度與是否上班存在關(guān)聯(lián)？
　 滿意 不滿意 合計(jì)
上班族 　 　 　
非上班族 　 　 　
合計(jì) 　 　 　
（2）該機(jī)構(gòu)欲再從全市隨機(jī)選取市民，進(jìn)一步征求改善交通現(xiàn)狀的建議．規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過6次，若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機(jī)抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到6次時(shí)，抽樣結(jié)束．以調(diào)查數(shù)據(jù)中的滿意度估計(jì)全市市民的滿意度，求抽樣次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
參考公式：，其中．
【答案】（1）解：由題意可知，列聯(lián)表：
滿意 不滿意 合計(jì)
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合計(jì) 50 50 100
零假設(shè)：市民對交通的滿意度與是否上班無關(guān)聯(lián)，
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001；
（2）解：由題意可得：隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，4，5，6，
由（1）可知市民的滿意度和不滿意度均為，
則，，，
，，
的分布列為：
1 2 3 4 5 6
．
【知識點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差；2×2列聯(lián)表
【解析】【分析】（1）由題意完成列聯(lián)表，再計(jì)算，與臨界值比較判斷即可；
（2）由題意可知，隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)變量的意義，寫出概率，并列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.
（1）由題意可知，
　 滿意 不滿意 合計(jì)
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合計(jì) 50 50 100
假設(shè)：市民對交通的滿意度與是否上班獨(dú)立，
因?yàn)椋?br/>根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對交通的滿意度與是否上班有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001．
（2）的可能取值為1，2，3，4，5，6．
由（1）可知市民的滿意度和不滿意度均為，所以，，，
，，
所以的分布列為：
1 2 3 4 5 6
所以．
17．（2024高三上·禪城模擬）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
【答案】（1）證明： 在四棱錐中， 因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫?br/>又因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>（2）解：取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋遥运倪呅螢榫匦危云矫妫?br/>又因?yàn)樵谥校裕瑑蓛纱怪保?br/>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，，
設(shè)，則，，，
設(shè)平面的法向量，則，
令，可得，即，
因?yàn)槠矫妫云矫娴姆ㄏ蛄浚?br/>則，化簡得，
解得，即．
【知識點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；平面的法向量；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由題意，利用面面垂直性質(zhì)定理以及線面垂直判定定理證明即可；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)并利用空間向量求出二面角的余弦值的表達(dá)式，解方程可求得，即可求解.
（1）在底面中，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面．
又因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面
又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?br/>（2）取中點(diǎn)，連接，．
因?yàn)椋遥运倪呅螢榫匦危?br/>即平面，
又因?yàn)樵谥校裕瑑蓛纱怪保?br/>以，，分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)，則，，．
設(shè)平面的法向量
則，
令，可得，即，
因?yàn)槠矫妫云矫娴姆ㄏ蛄浚?br/>所以．
化簡得即，
解得或（舍），即．
18．（2024高三上·禪城模擬）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若存、在，滿足，證明：；
（3）對任意的，恒成立，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求的取值范圍．
【答案】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
由，可得，即，
由于，
令定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，
則，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，得證；
（3）解：函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>由，可得，即，
對任意的，恒成立，等價(jià)于，
由于，令，，
時(shí)，；時(shí)，，且，
則，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
即，所以，
故的取值范圍是．
【知識點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；不等式的證明
【解析】【分析】（1）求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)得，分，討論求解即可；
（2）由，得到，再根據(jù)，由證明；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值即可得的取值范圍.
（1）解：的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）方法一：當(dāng)時(shí)，，由，
得，即
由于，事實(shí)上，令，，
時(shí)，；時(shí)，；所以，
所以，即．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，得證．
方法二：當(dāng)時(shí)，，，
由（1）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，可證．
不妨設(shè)，要證，即證，即證，
因?yàn)椋约醋C．
令，其中，
因?yàn)椋裕栽谏蠁握{(diào)遞增，
所以，所以，所以．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br/>所以，所以．
綜上，．
（3）方法一：，由，
得，即，
所以對任意的，恒成立，
等價(jià)于，
由于，事實(shí)上，令，，
時(shí)，；時(shí)，；所以，
所以，即．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立（方程顯然有解），
即，所以．
所以的取值范圍是．
方法二：，由，得，
即，所以對任意的，恒成立，
等價(jià)于
令，
則，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以，
所以存在，使得，
所以，即，所以，
所以，
令，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br/>又時(shí)，；時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以的取值范圍是．
19．（2024高三上·禪城模擬）歐幾里得在《幾何原本》中證明算術(shù)基本定理：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)，可以寫成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，這個(gè)乘積形式是唯一的．對于任意正整數(shù)，記為的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)，為的所有正因數(shù)的和．
（1）若數(shù)列，，，
①寫出，；
②求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）對于互不相等的素?cái)?shù)、、，證明：，，并求的值．
【答案】（1）解：①、的正因數(shù)有1，3，9，
則，；
②、由題意可知：的正因數(shù)有，
則，，
可得，
則；
（2）解：為互不相等素?cái)?shù)，
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，
則，
，
即，，
因?yàn)椋裕?br/>由（2）知，，
則，，，
故．
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和
【解析】【分析】（1）①、由的正因數(shù)有1，3，9，即可得，；
②、的正因數(shù)有，由等比數(shù)列求和公式得到，則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；
（2）分別計(jì)算出，，，，，，得到，；因?yàn)椋剩Y(jié)合，得到，，，所以．
（1）①因?yàn)榈恼驍?shù)有1，3，9，
所以，；
②由題意可知：的正因數(shù)有，
則，，
可得，
所以．
（2）為素?cái)?shù)，
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，，；
的正因數(shù)組成的集合為，
則，
，
所以，．
因?yàn)椋裕?br/>由（2）知，，
則，，，
所以．
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