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四川省南充市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2025高一下·南充期末）設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第（　　）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【知識點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
【解析】【解答】解：由，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，即在第一象限.
故答案為：A.
【分析】先通過復(fù)數(shù)乘法法則將復(fù)數(shù)z化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式a + bi(a，b為實(shí)數(shù) ），然后根據(jù)實(shí)部a和虛部b的正負(fù)確定其對應(yīng)點(diǎn)(a，b)所在的象限.
2．（2025高一下·南充期末）已知平面向量，，若，則（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知識點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：由題設(shè)，可得.
故答案為：A.
【分析】利用“若兩個平面向量，平行，則”這一性質(zhì)，列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求解的值.
3．（2025高一下·南充期末）已知，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值
【解析】【解答】解：由，，則，
所以.
故答案為：D.
【分析】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用.解題思路是先利用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)的范圍，用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出，最后再次利用誘導(dǎo)公式求出.
4．（2025高一下·南充期末）設(shè)，為不同的平面，m，n為不同的直線，則下列說法中正確的是（　　）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，則
【答案】C
【知識點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、，，則平行或異面，A錯誤.
B、，，則或，B錯誤.
C、，則存在直線平面，使，又，得，故，C正確.
D、，，，則可以在內(nèi)，可以與平行，也可以與相交但不垂直，不一定有，D錯誤.
故答案為：C.
【分析】本題聚焦空間中線面、面面的位置關(guān)系，需依據(jù)線面平行、垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)，逐一剖析選項，判斷線線、線面位置關(guān)系是否成立，解題關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用空間幾何的基本定理，準(zhǔn)確把握線面、面面位置關(guān)系的多種可能性.
5．（2025高一下·南充期末）如圖，已知圓錐的軸截面是邊長為4的正三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】圓柱/圓錐/圓臺的表面積及應(yīng)用
【解析】【解答】解：由題設(shè)，圓錐底面半徑為2，則底面周長為，
所以圓錐的側(cè)面積為.
故選：B.
【分析】本題考查圓錐側(cè)面積的計算，關(guān)鍵在于先根據(jù)軸截面的性質(zhì)確定圓錐的底面半徑和母線長，再利用圓錐側(cè)面積公式（，其中是母線長，是底面周長 ）求解，解題思路是：先由軸截面為正三角形得出底面半徑和母線長，再計算底面周長，最后代入側(cè)面積公式計算.
6．（2025高一下·南充期末）已知中，，，則的面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
【解析】【解答】解：因?yàn)椋瑒t，
故，
因此.
故答案為：B.
【分析】 本題考查利用平面向量求三角形面積，核心思路是先通過向量數(shù)量積公式求出夾角A的余弦值，再用同角三角函數(shù)關(guān)系得正弦值，最后代入三角形面積公式（）計算.
7．（2025高一下·南充期末）如圖，在中，，于，，，則在上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；余弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由題設(shè)，，則，，
故，
所以，
所以在上的投影向量為.
故答案為：A.
【分析】本題考查向量投影向量的計算，核心思路是：先通過幾何條件求出相關(guān)線段長度（、 ），再用余弦定理求，最后依據(jù)投影向量公式（投影向量 ）計算，需依次完成線段長度推導(dǎo)、角度余弦值求解及投影向量運(yùn)算.
8．（2025高一下·南充期末）如圖，正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為四邊形及其內(nèi)部的動點(diǎn)，平面.則與平面所成角正切值的范圍（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面所成的角
【解析】【解答】解：
取線段的中點(diǎn)分別為，連接，
由中位線可得，所以四點(diǎn)四點(diǎn)共面，
又因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面平面，
因?yàn)辄c(diǎn)為四邊形及其內(nèi)部的動點(diǎn)，所以當(dāng)，即平面，
所以此時有平面，
由正方體的性質(zhì)可知平面，所以與平面所成角就是，
又因?yàn)椋O(shè)正方體的邊長為2，則，
此時，所以，
故答案為：D.
【分析】先通過構(gòu)造輔助平面，確定滿足平面的點(diǎn)的軌跡；再利用線面角的定義（線面角為直線與平面中投影線的夾角 ），結(jié)合正方體邊長，分析線面角正切值的范圍.需依次完成輔助平面構(gòu)造、軌跡確定、線面角轉(zhuǎn)化及正切值范圍推導(dǎo).
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．（2025高一下·南充期末）在中，下列說法正確的是（　　）
A．
B．
C．若，則
D．存在，使得成立
【答案】B,C
【知識點(diǎn)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式二~六；正弦定理的應(yīng)用；利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【解析】【解答】A、由，A錯誤.
B、由，B正確.
C、由在上單調(diào)遞減，且，則，C正確.
D、由正弦邊角關(guān)系，若，即，顯然不符合三角形三邊關(guān)系，D錯誤.
故答案為：BC.
【分析】A、B、由三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式判斷A、B.
C、由余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小判斷C.
D、根據(jù)正弦邊角關(guān)系及三角形三邊關(guān)系判斷D.
10．（2025高一下·南充期末）如圖，在正三棱柱中，，，則下列說法正確的是（　　）
A．直線與直線所成角為
B．三棱錐的體積為
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．四棱錐的外接球的表面積為
【答案】A,B,D
【知識點(diǎn)】異面直線所成的角；錐體的體積公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、因，直線 與 所成角 = （或補(bǔ)角 ），正三棱柱中 是等邊三角形，，故夾角為，A正確.
B、用等體積法：（換頂點(diǎn) ）， ，其中，，故：，B正確.
C、由，，則中上的高為，
所以，若到平面的距離為，則，所以，根據(jù)對稱性易知點(diǎn)到平面的距離為，C錯誤.
D、由題設(shè)，易知四棱錐的外接球，即為該三棱柱的外接球，而的外接圓半徑，且，所以外接球的半徑，故其表面積為，D正確.
故答案為：ABD.
【分析】A：利用“線線平行可將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為平面角”，結(jié)合正三角形性質(zhì)判斷.
B：用“等體積法”（換頂點(diǎn) ），將三棱錐體積轉(zhuǎn)化為已知底面積和高的體積.
C、首先求出到平面的距離，再結(jié)合對稱性判斷C.
D、由四棱錐的外接球，即為該三棱柱的外接球，進(jìn)而求半徑，即可得表面積判斷D.
11．（2025高一下·南充期末）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（　　）
A．時，點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心
B．時，函數(shù)在上有4個零點(diǎn)
C．將圖象向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則最小值為3
D．當(dāng)時，恰有4個最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】A,C,D
【知識點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域與最值；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【解析】【解答】解：A、對稱中心判斷（ 時 ），當(dāng)，，代入：，正弦函數(shù)值為0的點(diǎn)是對稱中心，故 是對稱中心，A正確.
B、零點(diǎn)個數(shù)（ 時， 在 ），令，即，設(shè)，則，正弦函數(shù) 在 內(nèi)的解為：，對應(yīng) 有3個解，故零點(diǎn)個數(shù)為3，B錯誤.
C、由圖象關(guān)于軸對稱，則，
所以，且，故最小值為3，C正確.
D、由，則，即在上有4個最大值，
所以，可得，D正確.
故答案為：ACD.
【分析】
A：代入特殊點(diǎn)，利用“正弦函數(shù)值為0→對稱中心”判斷.
B：通過換元法，將 設(shè)為，轉(zhuǎn)化為正弦方程在指定區(qū)間的解數(shù).
C：圖象平移后，利用“偶函數(shù)→相位滿足”推導(dǎo) 的最小值.
D：換元后，分析正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)“恰有4個最大值”的相位范圍，解出 取值.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．（2025高一下·南充期末）的值為　 　.
【答案】
【知識點(diǎn)】兩角和與差的余弦公式
【解析】【解答】解：由，
故答案為：.
【分析】本題考查兩角和的余弦公式的逆用，解題思路是識別出所給式子符合兩角和的余弦公式的形式，然后將對應(yīng)角度代入公式進(jìn)行計算.
13．（2025高一下·南充期末）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，，則　 　.
【答案】7
【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理
【解析】【解答】解：由且為三角形內(nèi)角，則，
由正弦定理得，可得.
故答案為：7.
【分析】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題思路是：先根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，由求出（因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角， ）；再利用正弦定理，代入已知條件求出的值.
14．（2025高一下·南充期末）在三角恒等變化中，積化和差實(shí)際上就是把與，與相加或相減而變形得到的；和差化積實(shí)際上就是一種角的變化，如：.
如果角與滿足，，則　 　.
【答案】
【知識點(diǎn)】二倍角的余弦公式；和差化積公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
【解析】【解答】解：由，
所以，
由，
所以，
所以，而.
故答案為：.
【分析】1. 和差化積：將、 轉(zhuǎn)化為含 和 的乘積形式，建立方程.
2. 消元求正切：通過兩式相除消去，得.
3. 二倍角公式：利用萬能公式，將 轉(zhuǎn)化為 的表達(dá)式，代入計算.
綜上，通過“和差化積→消元求正切→二倍角公式”，逐步推導(dǎo)得 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（2025高一下·南充期末）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的值域；
（2）求使成立的的取值集合.
【答案】（1）解：由
，
因?yàn)槎x域?yàn)椋灾涤驗(yàn)?
（2）解：由得：，
所以，
解得.
所以使成立的的取值集合是.
【知識點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；正弦函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）要確定函數(shù)的值域，需先對函數(shù)進(jìn)行化簡，利用兩角和與差的正弦公式將和展開，再通過輔助角公式進(jìn)一步合并，轉(zhuǎn)化為形如的正弦型函數(shù)，最后依據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍來確定原函數(shù)的值域.
（2）先將化簡后的形式代入不等式，得到關(guān)于正弦函數(shù)的不等式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求解出的取值范圍.
（1）由
，
因?yàn)槎x域?yàn)椋灾涤驗(yàn)椋?br/>（2）由得：，
所以，
解得.
所以使成立的的取值集合是.
16．（2025高一下·南充期末）在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若為的中點(diǎn)，過的平面交平面于，求證：平面.
【答案】（1）證明：由，為的中點(diǎn)，則，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故.
（2）證明：由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，
由，，則，又平面，平面平面，
所以，平面，平面，
所以平面.
【知識點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）利用“等腰三角形三線合一”得，結(jié)合“面面垂直性質(zhì)定理”證 平面，進(jìn)而得.
（2）通過“中位線定理”得，依次用“線面平行判定→線面平行性質(zhì)→線面平行判定”，推導(dǎo) 平面.
（1）由，為的中點(diǎn)，則，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故.
（2）由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，
由，，則，又平面，平面平面，
所以，平面，平面，
所以平面.
17．（2025高一下·南充期末）如圖，中，，，，，N為的中點(diǎn)，設(shè)，與相交于點(diǎn).
（1）用，表示、；
（2）若，求的值；
（3）求.
【答案】（1）解：N為的中點(diǎn)，故，
，故.
即：，.
（2）解：，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，即，
，故，，
所以，解得.
（3）解：由（1）知，，，
又，，，故，
，
，
，
則.
【知識點(diǎn)】平面向量的共線定理；平面向量的基本定理；數(shù)量積表示兩個向量的夾角
【解析】【分析】（1）利用向量基本定理得到，.
（2）表達(dá)出，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，求出.
（3）在（1）基礎(chǔ)上，得到，，，利用夾角余弦公式進(jìn)行求解.
（1）N為的中點(diǎn)，故，
，
故；
（2），
因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，即，
，故，，
所以，解得；
（3）由（1）知，，，
又，，，故，
，
，
，
則.
18．（2025高一下·南充期末）已知、、分別為三個內(nèi)角、、的對邊，且.
（1）求的值；
（2）若，，的面積為，求的值；
（3）若，，為垂心，為的外心，求的值.
【答案】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>即，
即，
即，
因?yàn)椤ⅲ剩傻茫?br/>所以，因此，.
（2）解：因?yàn)椋傻茫?br/>因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?br/>故，所以，解得，
由正弦定理可得，故，
因此，.
（3）解：由平面向量數(shù)量積的定義可得，
設(shè)，則，
因?yàn)椋瑒t，
即①，
，
因?yàn)椋瑒t，
即②，
聯(lián)立①②得，，故，
取線段的中點(diǎn)，連接，則，如下圖所示：
，
同理可得，
因此.
【知識點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；兩角和與差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）：利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和正弦公式化簡，求 得角.
（2）：通過面積公式求，余弦定理聯(lián)立方程得，再用正弦定理結(jié)合 求.
（3）：設(shè)垂心 為、 的線性組合，利用垂心垂直性質(zhì)列方程解系數(shù)，結(jié)合外心向量投影性質(zhì)（中點(diǎn)投影 ）計算數(shù)量積.
（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>即，
即，
即，
因?yàn)椤ⅲ剩傻茫?br/>所以，因此，.
（2）因?yàn)椋傻茫?br/>因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?br/>故，所以，解得，
由正弦定理可得，故，
因此，.
（3）由平面向量數(shù)量積的定義可得，
設(shè)，則，
因?yàn)椋瑒t，
即①，
，
因?yàn)椋瑒t，
即②，
聯(lián)立①②得，，故，
取線段的中點(diǎn)，連接，則，如下圖所示：
，
同理可得，
因此.
19．（2025高一下·南充期末）如圖1，在直角梯形中，，，，，為的中點(diǎn).將沿翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，且，得到如圖2所示的四棱錐，若為的中點(diǎn)，是棱上動點(diǎn).
（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時.
①求證：平面平面；
②求直線與平面所成角的正弦值.
（2）若，求二面角的正弦值的取值范圍.
【答案】（1）①證明見解析；②；①證明：由題可設(shè)，易知是邊長為4的正方形，且，，
由都在平面內(nèi)，則平面，平面，
所以，又，都在平面內(nèi)，則平面，
由平面，則，又，為的中點(diǎn)，則，
由都在平面內(nèi)，則平面，平面，
所以平面平面.
②解：由平面，平面，則，且
同理可得，則，故，
由，
若到平面的距離為，則，可得，而，
所以直線與平面所成角的正弦值.
（2）法一：解：由，且，則，
所以，，，
所以，
故，故到的距離，
又到平面的距離，則二面角的正弦值，
又，則；
法二：解：由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，若是平面的一個法向量，
所以，令，則，
而平面的一個法向量為，則，
而，則，故，
所以，故二面角的正弦值范圍.
【知識點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】① 面面垂直證明：利用“線面垂直→面面垂直”，通過翻折后 平面，結(jié)合 平面 推導(dǎo) 平面，進(jìn)而得面面垂直.
② 線面角計算：建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量與直線方向向量，用向量夾角公式計算線面角（線面角正弦值 = 方向向量與法向量夾角余弦值的絕對值 ）.
（1）①由題設(shè)，易知是邊長為4的正方形，且，，
由都在平面內(nèi)，則平面，平面，
所以，又，都在平面內(nèi)，則平面，
由平面，則，又，為的中點(diǎn)，則，
由都在平面內(nèi)，則平面，平面，
所以平面平面；
②由平面，平面，則，且
同理可得，則，故，
由，
若到平面的距離為，則，可得，而，
所以直線與平面所成角的正弦值；
（2）法一：由，且，則，
所以，，，
所以，
故，故到的距離，
又到平面的距離，則二面角的正弦值，
又，則；
法二：由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，若是平面的一個法向量，
所以，令，則，
而平面的一個法向量為，則，
而，則，故，
所以，故二面角的正弦值范圍.
1 / 1四川省南充市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2025高一下·南充期末）設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第（　　）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2025高一下·南充期末）已知平面向量，，若，則（　　）
A． B． C．2 D．3
3．（2025高一下·南充期末）已知，，則（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·南充期末）設(shè)，為不同的平面，m，n為不同的直線，則下列說法中正確的是（　　）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，則
5．（2025高一下·南充期末）如圖，已知圓錐的軸截面是邊長為4的正三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·南充期末）已知中，，，則的面積為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·南充期末）如圖，在中，，于，，，則在上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·南充期末）如圖，正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為四邊形及其內(nèi)部的動點(diǎn)，平面.則與平面所成角正切值的范圍（　　）
A． B． C． D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．（2025高一下·南充期末）在中，下列說法正確的是（　　）
A．
B．
C．若，則
D．存在，使得成立
10．（2025高一下·南充期末）如圖，在正三棱柱中，，，則下列說法正確的是（　　）
A．直線與直線所成角為
B．三棱錐的體積為
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．四棱錐的外接球的表面積為
11．（2025高一下·南充期末）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（　　）
A．時，點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心
B．時，函數(shù)在上有4個零點(diǎn)
C．將圖象向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則最小值為3
D．當(dāng)時，恰有4個最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．（2025高一下·南充期末）的值為　 　.
13．（2025高一下·南充期末）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，，則　 　.
14．（2025高一下·南充期末）在三角恒等變化中，積化和差實(shí)際上就是把與，與相加或相減而變形得到的；和差化積實(shí)際上就是一種角的變化，如：.
如果角與滿足，，則　 　.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（2025高一下·南充期末）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的值域；
（2）求使成立的的取值集合.
16．（2025高一下·南充期末）在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若為的中點(diǎn)，過的平面交平面于，求證：平面.
17．（2025高一下·南充期末）如圖，中，，，，，N為的中點(diǎn)，設(shè)，與相交于點(diǎn).
（1）用，表示、；
（2）若，求的值；
（3）求.
18．（2025高一下·南充期末）已知、、分別為三個內(nèi)角、、的對邊，且.
（1）求的值；
（2）若，，的面積為，求的值；
（3）若，，為垂心，為的外心，求的值.
19．（2025高一下·南充期末）如圖1，在直角梯形中，，，，，為的中點(diǎn).將沿翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，且，得到如圖2所示的四棱錐，若為的中點(diǎn)，是棱上動點(diǎn).
（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時.
①求證：平面平面；
②求直線與平面所成角的正弦值.
（2）若，求二面角的正弦值的取值范圍.
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
【解析】【解答】解：由，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，即在第一象限.
故答案為：A.
【分析】先通過復(fù)數(shù)乘法法則將復(fù)數(shù)z化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式a + bi(a，b為實(shí)數(shù) ），然后根據(jù)實(shí)部a和虛部b的正負(fù)確定其對應(yīng)點(diǎn)(a，b)所在的象限.
2．【答案】A
【知識點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：由題設(shè)，可得.
故答案為：A.
【分析】利用“若兩個平面向量，平行，則”這一性質(zhì)，列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求解的值.
3．【答案】D
【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值
【解析】【解答】解：由，，則，
所以.
故答案為：D.
【分析】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用.解題思路是先利用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)的范圍，用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出，最后再次利用誘導(dǎo)公式求出.
4．【答案】C
【知識點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、，，則平行或異面，A錯誤.
B、，，則或，B錯誤.
C、，則存在直線平面，使，又，得，故，C正確.
D、，，，則可以在內(nèi)，可以與平行，也可以與相交但不垂直，不一定有，D錯誤.
故答案為：C.
【分析】本題聚焦空間中線面、面面的位置關(guān)系，需依據(jù)線面平行、垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)，逐一剖析選項，判斷線線、線面位置關(guān)系是否成立，解題關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用空間幾何的基本定理，準(zhǔn)確把握線面、面面位置關(guān)系的多種可能性.
5．【答案】B
【知識點(diǎn)】圓柱/圓錐/圓臺的表面積及應(yīng)用
【解析】【解答】解：由題設(shè)，圓錐底面半徑為2，則底面周長為，
所以圓錐的側(cè)面積為.
故選：B.
【分析】本題考查圓錐側(cè)面積的計算，關(guān)鍵在于先根據(jù)軸截面的性質(zhì)確定圓錐的底面半徑和母線長，再利用圓錐側(cè)面積公式（，其中是母線長，是底面周長 ）求解，解題思路是：先由軸截面為正三角形得出底面半徑和母線長，再計算底面周長，最后代入側(cè)面積公式計算.
6．【答案】B
【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
【解析】【解答】解：因?yàn)椋瑒t，
故，
因此.
故答案為：B.
【分析】 本題考查利用平面向量求三角形面積，核心思路是先通過向量數(shù)量積公式求出夾角A的余弦值，再用同角三角函數(shù)關(guān)系得正弦值，最后代入三角形面積公式（）計算.
7．【答案】A
【知識點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；余弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由題設(shè)，，則，，
故，
所以，
所以在上的投影向量為.
故答案為：A.
【分析】本題考查向量投影向量的計算，核心思路是：先通過幾何條件求出相關(guān)線段長度（、 ），再用余弦定理求，最后依據(jù)投影向量公式（投影向量 ）計算，需依次完成線段長度推導(dǎo)、角度余弦值求解及投影向量運(yùn)算.
8．【答案】D
【知識點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面所成的角
【解析】【解答】解：
取線段的中點(diǎn)分別為，連接，
由中位線可得，所以四點(diǎn)四點(diǎn)共面，
又因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面平面，
因?yàn)辄c(diǎn)為四邊形及其內(nèi)部的動點(diǎn)，所以當(dāng)，即平面，
所以此時有平面，
由正方體的性質(zhì)可知平面，所以與平面所成角就是，
又因?yàn)椋O(shè)正方體的邊長為2，則，
此時，所以，
故答案為：D.
【分析】先通過構(gòu)造輔助平面，確定滿足平面的點(diǎn)的軌跡；再利用線面角的定義（線面角為直線與平面中投影線的夾角 ），結(jié)合正方體邊長，分析線面角正切值的范圍.需依次完成輔助平面構(gòu)造、軌跡確定、線面角轉(zhuǎn)化及正切值范圍推導(dǎo).
9．【答案】B,C
【知識點(diǎn)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式二~六；正弦定理的應(yīng)用；利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【解析】【解答】A、由，A錯誤.
B、由，B正確.
C、由在上單調(diào)遞減，且，則，C正確.
D、由正弦邊角關(guān)系，若，即，顯然不符合三角形三邊關(guān)系，D錯誤.
故答案為：BC.
【分析】A、B、由三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式判斷A、B.
C、由余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小判斷C.
D、根據(jù)正弦邊角關(guān)系及三角形三邊關(guān)系判斷D.
10．【答案】A,B,D
【知識點(diǎn)】異面直線所成的角；錐體的體積公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、因，直線 與 所成角 = （或補(bǔ)角 ），正三棱柱中 是等邊三角形，，故夾角為，A正確.
B、用等體積法：（換頂點(diǎn) ）， ，其中，，故：，B正確.
C、由，，則中上的高為，
所以，若到平面的距離為，則，所以，根據(jù)對稱性易知點(diǎn)到平面的距離為，C錯誤.
D、由題設(shè)，易知四棱錐的外接球，即為該三棱柱的外接球，而的外接圓半徑，且，所以外接球的半徑，故其表面積為，D正確.
故答案為：ABD.
【分析】A：利用“線線平行可將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為平面角”，結(jié)合正三角形性質(zhì)判斷.
B：用“等體積法”（換頂點(diǎn) ），將三棱錐體積轉(zhuǎn)化為已知底面積和高的體積.
C、首先求出到平面的距離，再結(jié)合對稱性判斷C.
D、由四棱錐的外接球，即為該三棱柱的外接球，進(jìn)而求半徑，即可得表面積判斷D.
11．【答案】A,C,D
【知識點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域與最值；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【解析】【解答】解：A、對稱中心判斷（ 時 ），當(dāng)，，代入：，正弦函數(shù)值為0的點(diǎn)是對稱中心，故 是對稱中心，A正確.
B、零點(diǎn)個數(shù)（ 時， 在 ），令，即，設(shè)，則，正弦函數(shù) 在 內(nèi)的解為：，對應(yīng) 有3個解，故零點(diǎn)個數(shù)為3，B錯誤.
C、由圖象關(guān)于軸對稱，則，
所以，且，故最小值為3，C正確.
D、由，則，即在上有4個最大值，
所以，可得，D正確.
故答案為：ACD.
【分析】
A：代入特殊點(diǎn)，利用“正弦函數(shù)值為0→對稱中心”判斷.
B：通過換元法，將 設(shè)為，轉(zhuǎn)化為正弦方程在指定區(qū)間的解數(shù).
C：圖象平移后，利用“偶函數(shù)→相位滿足”推導(dǎo) 的最小值.
D：換元后，分析正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)“恰有4個最大值”的相位范圍，解出 取值.
12．【答案】
【知識點(diǎn)】兩角和與差的余弦公式
【解析】【解答】解：由，
故答案為：.
【分析】本題考查兩角和的余弦公式的逆用，解題思路是識別出所給式子符合兩角和的余弦公式的形式，然后將對應(yīng)角度代入公式進(jìn)行計算.
13．【答案】7
【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理
【解析】【解答】解：由且為三角形內(nèi)角，則，
由正弦定理得，可得.
故答案為：7.
【分析】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題思路是：先根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，由求出（因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角， ）；再利用正弦定理，代入已知條件求出的值.
14．【答案】
【知識點(diǎn)】二倍角的余弦公式；和差化積公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
【解析】【解答】解：由，
所以，
由，
所以，
所以，而.
故答案為：.
【分析】1. 和差化積：將、 轉(zhuǎn)化為含 和 的乘積形式，建立方程.
2. 消元求正切：通過兩式相除消去，得.
3. 二倍角公式：利用萬能公式，將 轉(zhuǎn)化為 的表達(dá)式，代入計算.
綜上，通過“和差化積→消元求正切→二倍角公式”，逐步推導(dǎo)得 .
15．【答案】（1）解：由
，
因?yàn)槎x域?yàn)椋灾涤驗(yàn)?
（2）解：由得：，
所以，
解得.
所以使成立的的取值集合是.
【知識點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；正弦函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）要確定函數(shù)的值域，需先對函數(shù)進(jìn)行化簡，利用兩角和與差的正弦公式將和展開，再通過輔助角公式進(jìn)一步合并，轉(zhuǎn)化為形如的正弦型函數(shù)，最后依據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍來確定原函數(shù)的值域.
（2）先將化簡后的形式代入不等式，得到關(guān)于正弦函數(shù)的不等式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求解出的取值范圍.
（1）由
，
因?yàn)槎x域?yàn)椋灾涤驗(yàn)椋?br/>（2）由得：，
所以，
解得.
所以使成立的的取值集合是.
16．【答案】（1）證明：由，為的中點(diǎn)，則，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故.
（2）證明：由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，
由，，則，又平面，平面平面，
所以，平面，平面，
所以平面.
【知識點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）利用“等腰三角形三線合一”得，結(jié)合“面面垂直性質(zhì)定理”證 平面，進(jìn)而得.
（2）通過“中位線定理”得，依次用“線面平行判定→線面平行性質(zhì)→線面平行判定”，推導(dǎo) 平面.
（1）由，為的中點(diǎn)，則，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故.
（2）由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，
由，，則，又平面，平面平面，
所以，平面，平面，
所以平面.
17．【答案】（1）解：N為的中點(diǎn)，故，
，故.
即：，.
（2）解：，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，即，
，故，，
所以，解得.
（3）解：由（1）知，，，
又，，，故，
，
，
，
則.
【知識點(diǎn)】平面向量的共線定理；平面向量的基本定理；數(shù)量積表示兩個向量的夾角
【解析】【分析】（1）利用向量基本定理得到，.
（2）表達(dá)出，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，求出.
（3）在（1）基礎(chǔ)上，得到，，，利用夾角余弦公式進(jìn)行求解.
（1）N為的中點(diǎn)，故，
，
故；
（2），
因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，即，
，故，，
所以，解得；
（3）由（1）知，，，
又，，，故，
，
，
，
則.
18．【答案】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>即，
即，
即，
因?yàn)椤ⅲ剩傻茫?br/>所以，因此，.
（2）解：因?yàn)椋傻茫?br/>因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?br/>故，所以，解得，
由正弦定理可得，故，
因此，.
（3）解：由平面向量數(shù)量積的定義可得，
設(shè)，則，
因?yàn)椋瑒t，
即①，
，
因?yàn)椋瑒t，
即②，
聯(lián)立①②得，，故，
取線段的中點(diǎn)，連接，則，如下圖所示：
，
同理可得，
因此.
【知識點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；兩角和與差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）：利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和正弦公式化簡，求 得角.
（2）：通過面積公式求，余弦定理聯(lián)立方程得，再用正弦定理結(jié)合 求.
（3）：設(shè)垂心 為、 的線性組合，利用垂心垂直性質(zhì)列方程解系數(shù)，結(jié)合外心向量投影性質(zhì)（中點(diǎn)投影 ）計算數(shù)量積.
（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>即，
即，
即，
因?yàn)椤ⅲ剩傻茫?br/>所以，因此，.
（2）因?yàn)椋傻茫?br/>因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?br/>故，所以，解得，
由正弦定理可得，故，
因此，.
（3）由平面向量數(shù)量積的定義可得，
設(shè)，則，
因?yàn)椋瑒t，
即①，
，
因?yàn)椋瑒t，
即②，
聯(lián)立①②得，，故，
取線段的中點(diǎn)，連接，則，如下圖所示：
，
同理可得，
因此.
19．【答案】（1）①證明見解析；②；①證明：由題可設(shè)，易知是邊長為4的正方形，且，，
由都在平面內(nèi)，則平面，平面，
所以，又，都在平面內(nèi)，則平面，
由平面，則，又，為的中點(diǎn)，則，
由都在平面內(nèi)，則平面，平面，
所以平面平面.
②解：由平面，平面，則，且
同理可得，則，故，
由，
若到平面的距離為，則，可得，而，
所以直線與平面所成角的正弦值.
（2）法一：解：由，且，則，
所以，，，
所以，
故，故到的距離，
又到平面的距離，則二面角的正弦值，
又，則；
法二：解：由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，若是平面的一個法向量，
所以，令，則，
而平面的一個法向量為，則，
而，則，故，
所以，故二面角的正弦值范圍.
【知識點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】① 面面垂直證明：利用“線面垂直→面面垂直”，通過翻折后 平面，結(jié)合 平面 推導(dǎo) 平面，進(jìn)而得面面垂直.
② 線面角計算：建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量與直線方向向量，用向量夾角公式計算線面角（線面角正弦值 = 方向向量與法向量夾角余弦值的絕對值 ）.
（1）①由題設(shè)，易知是邊長為4的正方形，且，，
由都在平面內(nèi)，則平面，平面，
所以，又，都在平面內(nèi)，則平面，
由平面，則，又，為的中點(diǎn)，則，
由都在平面內(nèi)，則平面，平面，
所以平面平面；
②由平面，平面，則，且
同理可得，則，故，
由，
若到平面的距離為，則，可得，而，
所以直線與平面所成角的正弦值；
（2）法一：由，且，則，
所以，，，
所以，
故，故到的距離，
又到平面的距離，則二面角的正弦值，
又，則；
法二：由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，若是平面的一個法向量，
所以，令，則，
而平面的一個法向量為，則，
而，則，故，
所以，故二面角的正弦值范圍.
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