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浙江省慈溪市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2025高一下·慈溪期末）某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．為掌握各類(lèi)超市的營(yíng)業(yè)情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本容量為20的樣本，則抽取中型超市的數(shù)量為（　?。?br/>A．12 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分層抽樣方法
【解析】【解答】解：由題意得：抽取中型超市的數(shù)量為.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)給定條件，先計(jì)算出總體中各類(lèi)超市的總數(shù)，再確定中型超市數(shù)量占總體的比例，最后用樣本容量乘以該比例，得到抽取中型超市的數(shù)量.
2．（2025高一下·慈溪期末）已知三點(diǎn)共線(xiàn)，則（　　）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線(xiàn)（平行）的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：由題意得：，且，則，
解得：.
故答案為：A.
【分析】若三點(diǎn)共線(xiàn)，則由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線(xiàn)。先求出向量和的坐標(biāo)，再利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示（若，，則等價(jià)于 ）來(lái)求解的值.
3．（2025高一下·慈溪期末）已知，則的虛部為（　?。?br/>A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?
所以虛部為2.
故答案為：D.
【分析】先根據(jù)等式求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而確定復(fù)數(shù)的虛部.
4．（2025高一下·慈溪期末）已知直線(xiàn)與平面，則能使的充分條件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的性質(zhì)
【解析】【解答】解：A、由，得，而，則，A錯(cuò)誤；
B、，分別是平面內(nèi)互相垂直的異面直線(xiàn)，滿(mǎn)足，B錯(cuò)誤；
C、由，得，又，則，C正確；
D、由，得二面角的平面角可以是銳角、直角，也可以是鈍角，D錯(cuò)誤.
故答案為：C
【分析】本題考查面面垂直的充分條件判定，需依據(jù)線(xiàn)面垂直性質(zhì)、面面垂直判定定理，結(jié)合充分條件定義（若條件P成立能推出結(jié)論Q成立，則P是Q的充分條件 ），對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析：分析各選項(xiàng)中直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，判斷能否推出.
5．（2025高一下·慈溪期末）柜子里有3雙不同的手套，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一雙手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成雙”，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率
【解析】【解答】解：記三雙不同的手套為：白1，白2；紅1，紅2；黑1，黑2，（1為左，2為右）
從中隨機(jī)取出2只共有：白1白2，白1紅1，白1紅2，白1黑1，白1黑2，白2紅1，
白2紅2，白2黑1，白2黑2，紅1紅2，紅1黑1，紅1黑2，紅2黑1，紅2黑2，黑1黑2，共15種情況，
事件包含：白1紅2，白1黑2，白2紅1，白2黑1，紅1黑2，紅2黑1， 6個(gè)基本事件，
事件包含：白2紅2，白2黑2，紅2黑2，3個(gè)基本事件，
事件包含：白1紅1，白1紅2，白1黑1，白1黑2，白2紅1，白2紅2，白2黑1，
白2黑2，紅1黑1，紅1黑2，紅2黑1，紅2黑2，12個(gè)基本事件，
，，，，
A、，A錯(cuò)誤；
B、事件互斥，則，B正確；
C、，C錯(cuò)誤；
D、，，D錯(cuò)誤.
故答案為：B
【分析】先通過(guò)列舉法確定所有基本事件，再分別找出事件A、B、C包含的基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，最后根據(jù)事件關(guān)系（互斥、獨(dú)立、包含 ）判斷選項(xiàng).
6．（2025高一下·慈溪期末）已知是兩個(gè)垂直的單位向量．若，設(shè)向量的夾角為，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角
【解析】【解答】解：因?yàn)槭莾蓚€(gè)垂直的單位向量，所以.
因?yàn)椋?br/>所以.
而，.
所以.
故答案為：D.
【分析】先計(jì)算（向量數(shù)量積 ），再分別計(jì)算、（向量模長(zhǎng) ），最后代入夾角余弦公式.
7．（2025高一下·慈溪期末）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，由，得，而，
由正弦定理，得，
整理得，因此或，解得，，
所以.
故答案為：D.
【分析】首先由已知條件得到關(guān)于的表達(dá)式，再結(jié)合正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的正弦形式，然后利用三角形內(nèi)角和，將轉(zhuǎn)化為（已知 ），展開(kāi)后化簡(jiǎn)等式，求解角，進(jìn)而求出.
8．（2025高一下·慈溪期末）一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體紙盒內(nèi)有一個(gè)正四面體，若正四面體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體體積的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】球內(nèi)接多面體；錐體的體積公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：由正四面體玩具可以在棱長(zhǎng)為6的正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，得該正四面體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，其外接球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，
如圖，設(shè)四面體的邊長(zhǎng)為，其外接正方體為，則正方體棱長(zhǎng)為
正方體與正四面體有同一個(gè)外接球，
設(shè)正方體的外接球的半徑為，則，即，
而棱長(zhǎng)為6的正方體的內(nèi)切球的半徑為3，即，解得，
取中點(diǎn)，連接，則，又平面，
于是平面，而，等腰底面上的高，
所以正四面體體積的最大值為.
故答案為：C.
【分析】首先確定正四面體棱長(zhǎng)最大時(shí)，其外接球與正方體內(nèi)切球的關(guān)系，然后結(jié)合外接球半徑與正四面體棱長(zhǎng)、正方體內(nèi)切球半徑與正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系，求出正四面體棱長(zhǎng)，最后利用正四面體體積公式（以某一面為底，對(duì)應(yīng)高為棱 ）計(jì)算體積.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（2025高一下·慈溪期末）如圖，在圓錐中，，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則（　?。?br/>A．
B．圓錐的側(cè)面積為
C．直線(xiàn)與所成角為
D．當(dāng)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大
【答案】B,C,D
【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；棱柱/棱錐/棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積及應(yīng)用；異面直線(xiàn)所成的角
【解析】【解答】解：A、 是底面直徑，故（半徑 ）， 是母線(xiàn)，在 中，由勾股定理：
，A錯(cuò)誤；
B、圓錐側(cè)面積公式：（ 是底面半徑， 是母線(xiàn)長(zhǎng) ）
已知，，代入得：，B正確；
C、連接并延長(zhǎng)，交底面圓于點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)?，，所以?br/>故均為等腰直角三角形，則，故，
所以或其補(bǔ)角即為直線(xiàn)與所成角，
又，故為等邊三角形，故，C正確；
D、由C知，，
又⊥平面，平面，所以，
因?yàn)椋矫?，所以平面?br/>連接，則即為直線(xiàn)與平面所成角，
其中，
則，
當(dāng)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)椋浴停?br/>此時(shí)取得最小值，故取得最大值，
直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大，D正確.
故答案為：BCD.
【分析】A：利用“圓錐高、母線(xiàn)、底面半徑的直角三角形關(guān)系”（勾股定理 ）計(jì)算.
B：直接套用“圓錐側(cè)面積公式”（ ）計(jì)算.
C：通過(guò)“圓的對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造平行線(xiàn)”，將線(xiàn)線(xiàn)角轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角，結(jié)合“等邊三角形性質(zhì)”求角度.
D：依據(jù)“線(xiàn)面角定義”，分析 的最小值（中點(diǎn)時(shí)垂直 ），推導(dǎo)正弦值最大值.
10．（2025高一下·慈溪期末）已知復(fù)數(shù)均不為零，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模；共軛復(fù)數(shù)
【解析】【解答】解：A、C、D、設(shè)，
則，即，
而，即，A正確，
而，
，則，C正確，
而，
，
則，D正確；
B、當(dāng)時(shí)，，
而，B錯(cuò)誤.
故答案為：ACD.
【分析】A、驗(yàn)證共軛復(fù)數(shù)的和與和的共軛是否相等；
B、通過(guò)舉例計(jì)算，判斷是否相等；
C、驗(yàn)證共軛復(fù)數(shù)的積與積的共軛是否相等；
D、驗(yàn)證商的共軛與共軛的商是否相等.
11．（2025高一下·慈溪期末）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若在上的投影向量為，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；正弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?br/>所以，故，A正確；
B、因?yàn)榍?，所以，?
又，所以，即，
所以，故，B正確；
C、由題意得，
，C錯(cuò)誤；
D、，D錯(cuò)誤.
故答案為：AB.
【分析】A、根據(jù)投影向量的定義可判斷A；
B、利用正弦定理及兩角差的正弦公式求可判斷B；
C、根據(jù)，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷C；
D、利用三角形面積公式計(jì)算可判斷D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2025高一下·慈溪期末）設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，記為事件的對(duì)立事件，若，且與相互獨(dú)立，則　 　．
【答案】0.88
【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由題意知，，
所以.
故答案為：0.88
【分析】由對(duì)立事件概率和為1求出，再根據(jù)兩相互獨(dú)立事件的概率公式求出，即可代入并事件的概率公式進(jìn)行求解.
13．（2025高一下·慈溪期末）如圖，小明為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得，則塔高　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；解三角形的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【解答】解：設(shè)塔高，由，
則，，
在中，由余弦定理得，
則，解得或（舍去）.
故答案為：.
【分析】設(shè)塔高，利用直角三角形的邊角關(guān)系（正切函數(shù)）可設(shè)，，再在中應(yīng)用余弦定理建立關(guān)于h的方程，求解得出塔高.
14．（2025高一下·慈溪期末）如圖，在棱長(zhǎng)均為4的正四棱錐中，，若過(guò)點(diǎn)且垂直于棱的平面分別交棱于點(diǎn)，則五邊形的面積為　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)
【解析】【解答】解：連接，，，設(shè)，連接，
依題意，平面，因?yàn)槠矫妫?br/>所以，因?yàn)椋?，?br/>在直角中，，故I為VD的中點(diǎn)，同理，F(xiàn)是VB的中點(diǎn)，
所以，
下面證明：G，H分別在的中點(diǎn)上，
當(dāng)G，H也是中點(diǎn)時(shí)，，有，
四邊形是平行四邊形，
又，則，故，
又，則，
又，，平面，
所以平面，又平面，故，則，
因?yàn)榫谄矫鎯?nèi)，且相交，所以平面，
故此時(shí)平面和平面即同一平面，滿(mǎn)足題意，則G，H分別在的中點(diǎn)上.
又平面，又平面，所以，則，
則四邊形是矩形，
依題意，，，，
中邊上的高為，
則，
四邊形的面積是，
故五邊形的面積是.
故答案為：.
【分析】首先連接輔助線(xiàn)（、、、 ），根據(jù)線(xiàn)面垂直（平面 ）推出相關(guān)線(xiàn)段垂直關(guān)系，然后利用直角三角形邊角關(guān)系確定中點(diǎn)位置（、為、中點(diǎn) ），再證明、為、中點(diǎn)，最后分別計(jì)算和矩形的面積，求和得到五邊形面積.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（2025高一下·慈溪期末）2025年春節(jié)期間國(guó)產(chǎn)動(dòng)漫電影《哪吒之魔童鬧?！坊鸨澜?，引起人們對(duì)中國(guó)動(dòng)漫產(chǎn)業(yè)的關(guān)注．為了解中國(guó)動(dòng)漫市場(chǎng)受市場(chǎng)群體關(guān)注的年齡（單位：歲）占比情況，某電影院調(diào)查了某天觀看中國(guó)動(dòng)漫系列電影的觀眾年齡情況，并按年齡進(jìn)行適當(dāng)分組（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表）．
（1）求的值；
（2）求該樣本的平均數(shù)和中位數(shù)．
【答案】（1）解： 由題意知：，即.
（2）解：由題意知：，
前兩個(gè)矩形面積之和為，
前三個(gè)矩形面積之和為，所以，
由中位數(shù)的定義可得，解得，
即 平均數(shù) =28.1，中位數(shù)y為．
【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有直方圖面積之和為，可求得的值.
（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全加可得的值；分析可知，結(jié)合中位數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.
（1）由題意知：，所以.
（2）由題意知：，
前兩個(gè)矩形面積之和為，
前三個(gè)矩形面積之和為，所以，
由中位數(shù)的定義可得，解得，即中位數(shù)為．
16．（2025高一下·慈溪期末）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．
（1）若，且的面積為，求；
（2）若的平分線(xiàn)交于，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）解：由題意知：，所以，
又因?yàn)?，所以?br/>所以，即.
（2）解：已知AD是平分線(xiàn)，，所以，
因?yàn)椋?br/>即，
所以
所以．
【知識(shí)點(diǎn)】解三角形；余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算
【解析】【分析】（1）先通過(guò)面積公式結(jié)合已知角A求出bc，再用余弦定理建立b + c與bc的關(guān)系，進(jìn)而求出b + c.
（2）利用角平分線(xiàn)將三角形面積分割為兩部分，結(jié)合面積公式列方程求解AD.
（1）由題意知：，所以，
又因?yàn)?，所以?br/>所以，即；
（2）因?yàn)椋?br/>即，
所以
所以．
17．（2025高一下·慈溪期末）某商店舉行促銷(xiāo)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明袋子中放有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中（）個(gè)為紅球，其余均為白球，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，若取到的兩個(gè)球同色，則稱(chēng)為中獎(jiǎng)，可以領(lǐng)取一張優(yōu)惠券；若取到的兩個(gè)球不同色，則稱(chēng)為不中獎(jiǎng)．一次抽獎(jiǎng)結(jié)束后，取出的球放回袋子中，供下一位顧客抽獎(jiǎng)（每位顧客只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)）．
（1）若，求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；
（2）若要求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率最?。?br/>（?。┣?；
（ⅱ）求兩位顧客抽獎(jiǎng)至少有一位顧客中獎(jiǎng)的概率．
【答案】（1）解：設(shè)“一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”（1）記這2個(gè)紅球的編號(hào)為個(gè)白球的編號(hào)為，
所以樣本空間，共有30個(gè)樣本點(diǎn)，
又因?yàn)?br/>所以，
所以.
（2）（?。┙猓寒?dāng)時(shí)，，所以時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，所以時(shí)，一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率最?。?br/>（ⅱ）解：記“兩位顧客抽獎(jiǎng)至少有一位顧客中獎(jiǎng)”，“第位顧客中獎(jiǎng)”，
由題意知，，
所以．
【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式
【解析】【分析】（1）用古典概型，先確定總樣本點(diǎn)和中獎(jiǎng)樣本點(diǎn)，再計(jì)算概率.
（2）（i）推導(dǎo)中獎(jiǎng)概率關(guān)于m的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及m取值范圍求最小概率時(shí)的m.
（ii）利用對(duì)立事件（“至少一位中獎(jiǎng)” 的對(duì)立是 “兩位都不中獎(jiǎng)” ），結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算.
（1）設(shè)“一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”
（1）記這2個(gè)紅球的編號(hào)為個(gè)白球的編號(hào)為，
所以樣本空間，共有30個(gè)樣本點(diǎn)，
又因?yàn)?br/>所以，
所以；
（2）（?。┊?dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，所以時(shí)，一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率最小．
（ⅱ）記“兩位顧客抽獎(jiǎng)至少有一位顧客中獎(jiǎng)”，“第位顧客中獎(jiǎng)”，
由題意知，，
所以．
18．（2025高一下·慈溪期末）（用坐標(biāo)法不給分）已知平行六面體所有棱長(zhǎng)均為．
（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)平面與平面交于直線(xiàn)，求證：直線(xiàn)平面；
（3）求二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）證明：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，
在菱形中，，O為BD中點(diǎn)，
易知，所以，
所以為等腰三角形，則，
又因?yàn)?，平面，平面?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>（2）證明：連接，易知，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br/>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br/>（3）解：由題意知，則，
設(shè)，連接，由（1）可知，平面，所以，
因?yàn)?，所以，所以為等腰直角三角形，且，取中點(diǎn)，連接，則
過(guò)作交于，連接，
所以就是二面角的平面角，
等腰中，，同理，
所以，即，
所以，即為的中點(diǎn)，
在中，，
即，，
解得，
所以在中，，所以，
二面角的平面角的正弦值為．
【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)；直線(xiàn)與平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）：通過(guò)“菱形性質(zhì) + 等腰三角形性質(zhì)”推導(dǎo)線(xiàn)線(xiàn)垂直，再用“線(xiàn)面垂直→面面垂直”證明.
（2）：利用“線(xiàn)面平行判定與性質(zhì)”，將空間線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行.
（3）：構(gòu)造二面角平面角，結(jié)合“解三角形（勾股定理、余弦定理 ）”計(jì)算角度正弦值.
（1）如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，
在菱形中，，O為BD中點(diǎn)，
易知，所以，
所以為等腰三角形，則，
又因?yàn)?，平面，平面?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>（2）連接，易知，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br/>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br/>（3）由題意知，則，
設(shè)，連接，由（1）可知，平面，所以，
因?yàn)?，所以，所以為等腰直角三角形，且，取中點(diǎn)，連接，則
過(guò)作交于，連接，
所以就是二面角的平面角，
等腰中，，同理，
所以，即，
所以，即為的中點(diǎn)，
在中，，
即，，
解得，
所以在中，，所以，
二面角的平面角的正弦值為．
19．（2025高一下·慈溪期末）如圖，在中，，，，，，設(shè)與交于點(diǎn)，且．
（1）求的值；
（2）定義平面非零向量之間的一種運(yùn)算“”：（其中是兩非零向量和的夾角）．
（?。┤魹榈闹悬c(diǎn)，求的值；
（ⅱ）若，求的值．
【答案】（1）解： 因?yàn)椋?br/>所以
，
又三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以，即.
（2）（?。┙猓阂?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由（1）知，，則，即為的重心．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，
所以，
所以，
所以，
所以.
（ⅱ）解：建立與（ⅰ）相同的平面直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以，
所以，
則，
所以
，
即，所以，即或，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br/>所以，則．
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的共線(xiàn)定理；平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得，利用三點(diǎn)共線(xiàn)的向量性質(zhì)列方程求解.
（2）（?。┯蔀榈闹悬c(diǎn)，易得為的重心，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)定義及平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示求解即可.
（ⅱ）建立平面直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)表示，結(jié)合新定義運(yùn)算列方程，求解、后求.
（1）因?yàn)椋?br/>所以
，
又三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以，即.
（2）（?。┮?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由（1）知，，則，即為的重心．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，
所以，
所以，
所以，
所以.
（ⅱ）建立與（ⅰ）相同的平面直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以，
所以，
則，
所以
，
即，所以，即或，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br/>所以，則．
1 / 1浙江省慈溪市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2025高一下·慈溪期末）某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．為掌握各類(lèi)超市的營(yíng)業(yè)情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本容量為20的樣本，則抽取中型超市的數(shù)量為（　?。?br/>A．12 B．6 C．4 D．2
2．（2025高一下·慈溪期末）已知三點(diǎn)共線(xiàn)，則（　　）
A．1 B．3 C． D．
3．（2025高一下·慈溪期末）已知，則的虛部為（　?。?br/>A． B．1 C． D．2
4．（2025高一下·慈溪期末）已知直線(xiàn)與平面，則能使的充分條件是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025高一下·慈溪期末）柜子里有3雙不同的手套，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一雙手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成雙”，則（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·慈溪期末）已知是兩個(gè)垂直的單位向量．若，設(shè)向量的夾角為，則（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2025高一下·慈溪期末）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，則（　?。?br/>A． B． C． D．
8．（2025高一下·慈溪期末）一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體紙盒內(nèi)有一個(gè)正四面體，若正四面體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體體積的最大值為（　　）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（2025高一下·慈溪期末）如圖，在圓錐中，，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則（　　）
A．
B．圓錐的側(cè)面積為
C．直線(xiàn)與所成角為
D．當(dāng)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大
10．（2025高一下·慈溪期末）已知復(fù)數(shù)均不為零，則（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高一下·慈溪期末）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若在上的投影向量為，則（　　）
A． B．
C． D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2025高一下·慈溪期末）設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，記為事件的對(duì)立事件，若，且與相互獨(dú)立，則　 ?。?br/>13．（2025高一下·慈溪期末）如圖，小明為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得，則塔高　 　．
14．（2025高一下·慈溪期末）如圖，在棱長(zhǎng)均為4的正四棱錐中，，若過(guò)點(diǎn)且垂直于棱的平面分別交棱于點(diǎn)，則五邊形的面積為　 ?。?br/>四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（2025高一下·慈溪期末）2025年春節(jié)期間國(guó)產(chǎn)動(dòng)漫電影《哪吒之魔童鬧海》火爆全世界，引起人們對(duì)中國(guó)動(dòng)漫產(chǎn)業(yè)的關(guān)注．為了解中國(guó)動(dòng)漫市場(chǎng)受市場(chǎng)群體關(guān)注的年齡（單位：歲）占比情況，某電影院調(diào)查了某天觀看中國(guó)動(dòng)漫系列電影的觀眾年齡情況，并按年齡進(jìn)行適當(dāng)分組（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表）．
（1）求的值；
（2）求該樣本的平均數(shù)和中位數(shù)．
16．（2025高一下·慈溪期末）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．
（1）若，且的面積為，求；
（2）若的平分線(xiàn)交于，求的長(zhǎng)．
17．（2025高一下·慈溪期末）某商店舉行促銷(xiāo)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明袋子中放有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中（）個(gè)為紅球，其余均為白球，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，若取到的兩個(gè)球同色，則稱(chēng)為中獎(jiǎng)，可以領(lǐng)取一張優(yōu)惠券；若取到的兩個(gè)球不同色，則稱(chēng)為不中獎(jiǎng)．一次抽獎(jiǎng)結(jié)束后，取出的球放回袋子中，供下一位顧客抽獎(jiǎng)（每位顧客只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)）．
（1）若，求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；
（2）若要求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率最小．
（?。┣?；
（ⅱ）求兩位顧客抽獎(jiǎng)至少有一位顧客中獎(jiǎng)的概率．
18．（2025高一下·慈溪期末）（用坐標(biāo)法不給分）已知平行六面體所有棱長(zhǎng)均為．
（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)平面與平面交于直線(xiàn)，求證：直線(xiàn)平面；
（3）求二面角的平面角的正弦值．
19．（2025高一下·慈溪期末）如圖，在中，，，，，，設(shè)與交于點(diǎn)，且．
（1）求的值；
（2）定義平面非零向量之間的一種運(yùn)算“”：（其中是兩非零向量和的夾角）．
（?。┤魹榈闹悬c(diǎn)，求的值；
（ⅱ）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分層抽樣方法
【解析】【解答】解：由題意得：抽取中型超市的數(shù)量為.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)給定條件，先計(jì)算出總體中各類(lèi)超市的總數(shù)，再確定中型超市數(shù)量占總體的比例，最后用樣本容量乘以該比例，得到抽取中型超市的數(shù)量.
2．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線(xiàn)（平行）的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：由題意得：，且，則，
解得：.
故答案為：A.
【分析】若三點(diǎn)共線(xiàn)，則由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線(xiàn)。先求出向量和的坐標(biāo)，再利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示（若，，則等價(jià)于 ）來(lái)求解的值.
3．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：因?yàn)?，所?
所以虛部為2.
故答案為：D.
【分析】先根據(jù)等式求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而確定復(fù)數(shù)的虛部.
4．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的性質(zhì)
【解析】【解答】解：A、由，得，而，則，A錯(cuò)誤；
B、，分別是平面內(nèi)互相垂直的異面直線(xiàn)，滿(mǎn)足，B錯(cuò)誤；
C、由，得，又，則，C正確；
D、由，得二面角的平面角可以是銳角、直角，也可以是鈍角，D錯(cuò)誤.
故答案為：C
【分析】本題考查面面垂直的充分條件判定，需依據(jù)線(xiàn)面垂直性質(zhì)、面面垂直判定定理，結(jié)合充分條件定義（若條件P成立能推出結(jié)論Q成立，則P是Q的充分條件 ），對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析：分析各選項(xiàng)中直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，判斷能否推出.
5．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率
【解析】【解答】解：記三雙不同的手套為：白1，白2；紅1，紅2；黑1，黑2，（1為左，2為右）
從中隨機(jī)取出2只共有：白1白2，白1紅1，白1紅2，白1黑1，白1黑2，白2紅1，
白2紅2，白2黑1，白2黑2，紅1紅2，紅1黑1，紅1黑2，紅2黑1，紅2黑2，黑1黑2，共15種情況，
事件包含：白1紅2，白1黑2，白2紅1，白2黑1，紅1黑2，紅2黑1， 6個(gè)基本事件，
事件包含：白2紅2，白2黑2，紅2黑2，3個(gè)基本事件，
事件包含：白1紅1，白1紅2，白1黑1，白1黑2，白2紅1，白2紅2，白2黑1，
白2黑2，紅1黑1，紅1黑2，紅2黑1，紅2黑2，12個(gè)基本事件，
，，，，
A、，A錯(cuò)誤；
B、事件互斥，則，B正確；
C、，C錯(cuò)誤；
D、，，D錯(cuò)誤.
故答案為：B
【分析】先通過(guò)列舉法確定所有基本事件，再分別找出事件A、B、C包含的基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，最后根據(jù)事件關(guān)系（互斥、獨(dú)立、包含 ）判斷選項(xiàng).
6．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角
【解析】【解答】解：因?yàn)槭莾蓚€(gè)垂直的單位向量，所以.
因?yàn)椋?br/>所以.
而，.
所以.
故答案為：D.
【分析】先計(jì)算（向量數(shù)量積 ），再分別計(jì)算、（向量模長(zhǎng) ），最后代入夾角余弦公式.
7．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，由，得，而，
由正弦定理，得，
整理得，因此或，解得，，
所以.
故答案為：D.
【分析】首先由已知條件得到關(guān)于的表達(dá)式，再結(jié)合正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的正弦形式，然后利用三角形內(nèi)角和，將轉(zhuǎn)化為（已知 ），展開(kāi)后化簡(jiǎn)等式，求解角，進(jìn)而求出.
8．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】球內(nèi)接多面體；錐體的體積公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：由正四面體玩具可以在棱長(zhǎng)為6的正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，得該正四面體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，其外接球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，
如圖，設(shè)四面體的邊長(zhǎng)為，其外接正方體為，則正方體棱長(zhǎng)為
正方體與正四面體有同一個(gè)外接球，
設(shè)正方體的外接球的半徑為，則，即，
而棱長(zhǎng)為6的正方體的內(nèi)切球的半徑為3，即，解得，
取中點(diǎn)，連接，則，又平面，
于是平面，而，等腰底面上的高，
所以正四面體體積的最大值為.
故答案為：C.
【分析】首先確定正四面體棱長(zhǎng)最大時(shí)，其外接球與正方體內(nèi)切球的關(guān)系，然后結(jié)合外接球半徑與正四面體棱長(zhǎng)、正方體內(nèi)切球半徑與正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系，求出正四面體棱長(zhǎng)，最后利用正四面體體積公式（以某一面為底，對(duì)應(yīng)高為棱 ）計(jì)算體積.
9．【答案】B,C,D
【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；棱柱/棱錐/棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積及應(yīng)用；異面直線(xiàn)所成的角
【解析】【解答】解：A、 是底面直徑，故（半徑 ）， 是母線(xiàn)，在 中，由勾股定理：
，A錯(cuò)誤；
B、圓錐側(cè)面積公式：（ 是底面半徑， 是母線(xiàn)長(zhǎng) ）
已知，，代入得：，B正確；
C、連接并延長(zhǎng)，交底面圓于點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)?，，所以?br/>故均為等腰直角三角形，則，故，
所以或其補(bǔ)角即為直線(xiàn)與所成角，
又，故為等邊三角形，故，C正確；
D、由C知，，
又⊥平面，平面，所以，
因?yàn)?，平面，所以平面?br/>連接，則即為直線(xiàn)與平面所成角，
其中，
則，
當(dāng)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，所以⊥?br/>此時(shí)取得最小值，故取得最大值，
直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大，D正確.
故答案為：BCD.
【分析】A：利用“圓錐高、母線(xiàn)、底面半徑的直角三角形關(guān)系”（勾股定理 ）計(jì)算.
B：直接套用“圓錐側(cè)面積公式”（ ）計(jì)算.
C：通過(guò)“圓的對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造平行線(xiàn)”，將線(xiàn)線(xiàn)角轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角，結(jié)合“等邊三角形性質(zhì)”求角度.
D：依據(jù)“線(xiàn)面角定義”，分析 的最小值（中點(diǎn)時(shí)垂直 ），推導(dǎo)正弦值最大值.
10．【答案】A,C,D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模；共軛復(fù)數(shù)
【解析】【解答】解：A、C、D、設(shè)，
則，即，
而，即，A正確，
而，
，則，C正確，
而，
，
則，D正確；
B、當(dāng)時(shí)，，
而，B錯(cuò)誤.
故答案為：ACD.
【分析】A、驗(yàn)證共軛復(fù)數(shù)的和與和的共軛是否相等；
B、通過(guò)舉例計(jì)算，判斷是否相等；
C、驗(yàn)證共軛復(fù)數(shù)的積與積的共軛是否相等；
D、驗(yàn)證商的共軛與共軛的商是否相等.
11．【答案】A,B
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；正弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?br/>所以，故，A正確；
B、因?yàn)榍?，所以，?
又，所以，即，
所以，故，B正確；
C、由題意得，
，C錯(cuò)誤；
D、，D錯(cuò)誤.
故答案為：AB.
【分析】A、根據(jù)投影向量的定義可判斷A；
B、利用正弦定理及兩角差的正弦公式求可判斷B；
C、根據(jù)，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷C；
D、利用三角形面積公式計(jì)算可判斷D.
12．【答案】0.88
【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由題意知，，
所以.
故答案為：0.88
【分析】由對(duì)立事件概率和為1求出，再根據(jù)兩相互獨(dú)立事件的概率公式求出，即可代入并事件的概率公式進(jìn)行求解.
13．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；解三角形的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【解答】解：設(shè)塔高，由，
則，，
在中，由余弦定理得，
則，解得或（舍去）.
故答案為：.
【分析】設(shè)塔高，利用直角三角形的邊角關(guān)系（正切函數(shù)）可設(shè)，，再在中應(yīng)用余弦定理建立關(guān)于h的方程，求解得出塔高.
14．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)
【解析】【解答】解：連接，，，設(shè)，連接，
依題意，平面，因?yàn)槠矫妫?br/>所以，因?yàn)椋?，?br/>在直角中，，故I為VD的中點(diǎn)，同理，F(xiàn)是VB的中點(diǎn)，
所以，
下面證明：G，H分別在的中點(diǎn)上，
當(dāng)G，H也是中點(diǎn)時(shí)，，有，
四邊形是平行四邊形，
又，則，故，
又，則，
又，，平面，
所以平面，又平面，故，則，
因?yàn)榫谄矫鎯?nèi)，且相交，所以平面，
故此時(shí)平面和平面即同一平面，滿(mǎn)足題意，則G，H分別在的中點(diǎn)上.
又平面，又平面，所以，則，
則四邊形是矩形，
依題意，，，，
中邊上的高為，
則，
四邊形的面積是，
故五邊形的面積是.
故答案為：.
【分析】首先連接輔助線(xiàn)（、、、 ），根據(jù)線(xiàn)面垂直（平面 ）推出相關(guān)線(xiàn)段垂直關(guān)系，然后利用直角三角形邊角關(guān)系確定中點(diǎn)位置（、為、中點(diǎn) ），再證明、為、中點(diǎn)，最后分別計(jì)算和矩形的面積，求和得到五邊形面積.
15．【答案】（1）解： 由題意知：，即.
（2）解：由題意知：，
前兩個(gè)矩形面積之和為，
前三個(gè)矩形面積之和為，所以，
由中位數(shù)的定義可得，解得，
即 平均數(shù) =28.1，中位數(shù)y為．
【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有直方圖面積之和為，可求得的值.
（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全加可得的值；分析可知，結(jié)合中位數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.
（1）由題意知：，所以.
（2）由題意知：，
前兩個(gè)矩形面積之和為，
前三個(gè)矩形面積之和為，所以，
由中位數(shù)的定義可得，解得，即中位數(shù)為．
16．【答案】（1）解：由題意知：，所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，即.
（2）解：已知AD是平分線(xiàn)，，所以，
因?yàn)椋?br/>即，
所以
所以．
【知識(shí)點(diǎn)】解三角形；余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算
【解析】【分析】（1）先通過(guò)面積公式結(jié)合已知角A求出bc，再用余弦定理建立b + c與bc的關(guān)系，進(jìn)而求出b + c.
（2）利用角平分線(xiàn)將三角形面積分割為兩部分，結(jié)合面積公式列方程求解AD.
（1）由題意知：，所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，即；
（2）因?yàn)椋?br/>即，
所以
所以．
17．【答案】（1）解：設(shè)“一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”（1）記這2個(gè)紅球的編號(hào)為個(gè)白球的編號(hào)為，
所以樣本空間，共有30個(gè)樣本點(diǎn)，
又因?yàn)?br/>所以，
所以.
（2）（?。┙猓寒?dāng)時(shí)，，所以時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，所以時(shí)，一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率最?。?br/>（ⅱ）解：記“兩位顧客抽獎(jiǎng)至少有一位顧客中獎(jiǎng)”，“第位顧客中獎(jiǎng)”，
由題意知，，
所以．
【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式
【解析】【分析】（1）用古典概型，先確定總樣本點(diǎn)和中獎(jiǎng)樣本點(diǎn)，再計(jì)算概率.
（2）（i）推導(dǎo)中獎(jiǎng)概率關(guān)于m的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及m取值范圍求最小概率時(shí)的m.
（ii）利用對(duì)立事件（“至少一位中獎(jiǎng)” 的對(duì)立是 “兩位都不中獎(jiǎng)” ），結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算.
（1）設(shè)“一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”
（1）記這2個(gè)紅球的編號(hào)為個(gè)白球的編號(hào)為，
所以樣本空間，共有30個(gè)樣本點(diǎn)，
又因?yàn)?br/>所以，
所以；
（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，所以時(shí)，一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率最?。?br/>（ⅱ）記“兩位顧客抽獎(jiǎng)至少有一位顧客中獎(jiǎng)”，“第位顧客中獎(jiǎng)”，
由題意知，，
所以．
18．【答案】（1）證明：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，
在菱形中，，O為BD中點(diǎn)，
易知，所以，
所以為等腰三角形，則，
又因?yàn)?，平面，平面?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>（2）證明：連接，易知，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br/>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br/>（3）解：由題意知，則，
設(shè)，連接，由（1）可知，平面，所以，
因?yàn)椋?，所以為等腰直角三角形，且，取中點(diǎn)，連接，則
過(guò)作交于，連接，
所以就是二面角的平面角，
等腰中，，同理，
所以，即，
所以，即為的中點(diǎn)，
在中，，
即，，
解得，
所以在中，，所以，
二面角的平面角的正弦值為．
【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)；直線(xiàn)與平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）：通過(guò)“菱形性質(zhì) + 等腰三角形性質(zhì)”推導(dǎo)線(xiàn)線(xiàn)垂直，再用“線(xiàn)面垂直→面面垂直”證明.
（2）：利用“線(xiàn)面平行判定與性質(zhì)”，將空間線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行.
（3）：構(gòu)造二面角平面角，結(jié)合“解三角形（勾股定理、余弦定理 ）”計(jì)算角度正弦值.
（1）如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，
在菱形中，，O為BD中點(diǎn)，
易知，所以，
所以為等腰三角形，則，
又因?yàn)?，平面，平面?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>（2）連接，易知，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br/>因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?br/>（3）由題意知，則，
設(shè)，連接，由（1）可知，平面，所以，
因?yàn)?，所以，所以為等腰直角三角形，且，取中點(diǎn)，連接，則
過(guò)作交于，連接，
所以就是二面角的平面角，
等腰中，，同理，
所以，即，
所以，即為的中點(diǎn)，
在中，，
即，，
解得，
所以在中，，所以，
二面角的平面角的正弦值為．
19．【答案】（1）解： 因?yàn)椋?br/>所以
，
又三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以，即.
（2）（?。┙猓阂?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由（1）知，，則，即為的重心．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，
所以，
所以，
所以，
所以.
（ⅱ）解：建立與（?。┫嗤钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，
則，
所以，
所以，
所以，
則，
所以
，
即，所以，即或，
因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?br/>所以，則．
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的共線(xiàn)定理；平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得，利用三點(diǎn)共線(xiàn)的向量性質(zhì)列方程求解.
（2）（?。┯蔀榈闹悬c(diǎn)，易得為的重心，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)定義及平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示求解即可.
（ⅱ）建立平面直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)表示，結(jié)合新定義運(yùn)算列方程，求解、后求.
（1）因?yàn)?，?br/>所以
，
又三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以，即.
（2）（?。┮?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由（1）知，，則，即為的重心．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，
所以，
所以，
所以，
所以.
（ⅱ）建立與（?。┫嗤钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，
則，
所以，
所以，
所以，
則，
所以
，
即，所以，即或，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br/>所以，則．
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