資源簡介

廣東省深圳市龍華區2024-2025學年八年級下學期期末數學試題
一、選擇題（本題共有8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1．（2025八下·龍華期末）對稱性不僅是數學的美學體現，更是生物適應環境的“最優解”。下列生物的外輪廓同時
具備軸對稱性和中心對稱性的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·龍華期末）下列x的值是不等式x-1>0的解的是（　　）
A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．x=-1
3．（2025八下·龍華期末） 分式的值為0的條件是（　　）
A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=2
4．（2025八下·龍華期末）將圖①沿虛線剪開后，拼成如圖②所示的長方形，據此寫出一個多項式的因式分解為（　　）
A．x2-y2=(x+y)(x-y) B．x2+y2=(x+y) (x-y)
C．(x+y) (х-y)=x2-y2 D．(x+y)(x-y)=x2+y2
5．（2025八下·龍華期末）如圖，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫，要求油庫到這三條公路（AB，AC，BC) 的距離都相等，則油庫的位置可以設計在（　　）
A．△ABC三條中線的交點
B．△ABC三條角平分線的交點
C．△ABC三條高所在直線的交點
D．△ABC三條邊的垂直平分線的交點
6．（2025八下·龍華期末）藻井作為中國傳統建筑中獨特的穹頂裝飾構件，其造型融合宇宙觀，僅用于最高等級建筑，并巧妙結合五行思想。如圖是外輪廓為正八邊形的“蟠龍藻井”圖案，這個正八邊形的每個內角的度數為（　　）
A．45° B．120° C．130° D．135°
7．（2025八下·龍華期末）今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文。只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文，問綾、羅尺價各幾何？（選自《四元玉鑒》）題目大意：現在有綾和羅一共3丈（1丈=10尺），它們各自的價值都是896文錢。已知綾和羅各1尺總共值120文錢，問綾和羅每尺的價值各多少錢？設綾布有x尺，根據題意可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·龍華期末）如圖，在平面內將一塊含45°的三角板ABC向右平移得到ADEF，若∠BAD=30°，則邊BC掃過的面積與邊AB掃過的面積之比為（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空題（本題共有5小題，每小題3分，共15分。）
9．（2025八下·龍華期末）因式分解： =　 　．
10．（2025八下·龍華期末） A、B兩地相距10千米，甲從A地到B地步行需要t小時，乙騎自行車行同樣的路程比甲少用1小時，則乙的速度可表示為　 　千米/時。
11．（2025八下·龍華期末） 關于 x 的不等式組 的解集為 ，請寫出一個符合條件的 a 的值：　 　。
12．（2025八下·龍華期末） 如圖，將兩個完全相同的直角三角形紙板疊放在一起，。若，則CE的長度為　 　。
13．（2025八下·龍華期末）如圖，D是等邊△ABC內一點，∠ADC=120°，CD=6，則△BDC的面積為　 　.
三、解答題（本大題共7小題，共61分）
14．（2025八下·龍華期末）
（1）解不等式組
（2）先化簡，再求值：，其中。
15．（2025八下·龍華期末）如圖，在方格紙中，每個小方格的邊長均為1個單位長度，線段AB的兩個端點都在小方格的格點上，根據下列要求用無刻度直尺作圖：
（1）將線段AB繞點B逆時針旋轉90得到線段BD；
（2）平移線段AB至線段DC，使得點A與點D重合，連接AD，BC；
（3）直線BD將四邊形ABCD分成了全等的兩個部分，這樣的直線還有很多，請再畫出
兩條符合條件的直線。
16．（2025八下·龍華期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，且AD=AE。請判斷BD與CE之間的數量關系，并說明理由。
17．（2025八下·龍華期末）小亮計劃去書店為全班50名同學各買一本課外書，從書店店員處了解到，科普書的單價是文學書的單價的1.5倍，若用150元分別購買這兩種書，所買的科普書比所買的文學書少5本。
（1）科普書和文學書的單價各是多少元？
（2）若小亮可以使用的經費不超過700元，則至多購買多少本科普書？
18．（2025八下·龍華期末）如圖，在□ABCD中，AP⊥BD于點P。請用尺規作圖在BD上求作一點Q，連接AQ，CQ，PC，使得四邊形APCQ是平行四邊形。
（1）某數學小組經過討論，得到如下兩種作法，請選擇其中一種作法說明其正確性。
　 思路一 思路二
作圖步驟 在 BD上作 DQ=BP。點Q即為所求。 過點C作CQ⊥BD于點Q。點Q即為所求。
作圖痕跡
我選擇思路 ▲ ，理由如下：
（2）請你用不同于（1）中的尺規作圖方法求作出點Q（保留作圖痕跡，不寫作法），并說明作法的正確性。
19．（2025八下·龍華期末）數學學習小組在學習《不等關系》后，深入研究了兩個正數a，b的和與積之間的大小關系。
【發現問題】當a=b=2時，a+b=ab。
【提出問題】當a>2，b>2時，a+b與ab存在怎樣的大小關系？
（1）【特例分析】給a，b分別賦予不同的數值，通過計算，判斷a+b與ab的大小關系。
請完成下面的表格：
a … 3 4 5 …
b … 3 5 6 …
a+b　 　ab （填“>”，“＜”、"=”） … ＜ 　 　 ＜ …
（2）【得出猜想】根據特例分析，猜想：當a>2，b>2時，a+b　 　ab。
（3）【驗證猜想】
①小明認為可以設a=2+x，b=2+y，其中x>0，y>0，再通過計算完成驗證。
請補充驗證過程：
②小紅發現可以用圖形的面積關系來直觀驗證。
如圖，在長方形ABCD中，AB=a>2，AD=b>2，AM=MN=AP=PQ=1。請在長方形ABCD中，用畫陰影的方法表示面積為(a+b)的部分。
（4）【深入探究】學習小組經過討論，還可從以下思路驗證猜想：
思路一：利用不等式的基本性質得到
思路二：對多項式進行因式分解
思路三：對分式進行變形與運算
根據以上思路的啟發，選擇一種方法完成驗證。
20．（2025八下·龍華期末）綜合與實踐
數學活動課上，同學們對兩個完全相同的直角三角形紙片（如圖1）圍繞拼接、平移、旋轉開展操作研究。
（1）【活動一】拼接
將兩個三角形紙片按圖2方式進行拼接（點A與點F重合，點C與點D重合），求四邊形ABCE的周長；
（2）【活動二】平移
在圖2中，將△ABC紙片沿射線FE的方向平移。在平移過程中，兩個紙片的重疊部分為四邊形AMDN，如圖3所示。
①求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
②若點A為EF的中點，則四邊形AMDN的周長為 ▲ 。
（3）【活動三】旋轉
在圖3中，當點A為EF的中點時，將△DEF繞點F順時針旋轉一周。在旋轉過程中，若兩個紙片的重疊部分為等腰三角形，直接寫出旋轉角的度數。
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、圖案是軸對稱，不是中心對稱，所以A不符合題意；
B、圖案不是軸對稱，也不是中心對稱，所以B不符合題意；
C、圖案是軸對稱，不是中心對稱，所以C不符合題意；
D、圖案是軸對稱，也是中心對稱，所以D符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據軸對稱和中心對稱的特點分別進行識別，即可得出答案。
2．【答案】A
【知識點】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： x-1>0 ，
∴x＞1.
∵2＞1，1=1，0＜1，-1＜1
∴只有x=2是不等式x-1>0的解。
故答案為：A.
【分析】首先解不等式求得解集，然后只需判斷哪個選項在解集范圍內即可。
3．【答案】C
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：x-1=0，且x+2≠0，
∴x=1
故答案為：C.
【分析】根據分式值為0的條件，分子為零，且分母不為0，即可求出答案。
4．【答案】A
【知識點】平方差公式的幾何背景
【解析】【解答】解：圖①面積：x2-y2，圖②面積：（x+y）（x-y），
∴x2-y2=（x+y）（x-y）。
故答案為：A.
【分析】分別表示圖①和圖②的面積，即可得出答案。
5．【答案】B
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】解：根據角平分線的性質可知： △ABC三條角平分線的交點 到三邊的距離相等。
故答案為：B.
【分析】根據角平分線的性質可找到正確選項。
6．【答案】D
【知識點】正多邊形的性質；多邊形的外角和公式
7．【答案】C
【知識點】列分式方程
【解析】【解答】解： 設綾布有x尺，則羅（30-x）尺，
根據題意，得：.
故答案為：C.
【分析】 設綾布有x尺，則羅（30-x）尺，根據綾和羅各1尺總共值120文錢，即可得出方程。
8．【答案】B
【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四邊形的性質；等腰直角三角形；平行四邊形的面積
9．【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案為： .
【分析】先提取公因式，在利用完全平方公式進行因式分解．
10．【答案】
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】解： 乙的速度 =（ 千米/時）。
故答案為：.
【分析】根據速度=路程÷時間，即可得出答案。
11．【答案】1
【知識點】已知不等式的解（集）求參數
【解析】【解答】解：∵ 的解集為 ，
∴a≤1.
故答案為：1（答案不唯一，符合條件即可）.
【分析】根據不等式組解集的求法：同大取大，由不等式組的解集，可求出a的取值范圍，然后寫出一個符合條件的a的值即可。
12．【答案】1
【知識點】三角形全等及其性質；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt中：，，
∴BF=，
∵≌，
∴BC=BD=，
∴CF=BF-BC=，
在Rt中：（2CE)2-CE2=CF2=()2，
∴CE=1。
故答案為：1.
【分析】首先根據含30°的直角三角形的性質求出BF的長，進而得出CF的長，然后再根據含30°的直角三角形的性質及勾股定理即可求出CE的長。
13．【答案】
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：延長AD交BC于點E，當點D是 等邊△ABC 的中心時，∠ADC=120°，
∴當 ∠ADC=120°時 △BDC的面積與點D是 等邊△ABC 的中心時 △BDC 面積相等，
當點D是 等邊△ABC 的中心時，∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，∠DEC=90°，
∴∠DCE=30°，
∵CD=6，
∴DE=3，CE=
∴BC=2CE=‘
∴ △BDC的面積 =.
故答案為：.
【分析】當點D是 等邊△ABC 的中心時，∠ADC=120°，根據特殊情況求出△BDC的面積即可。
14．【答案】（1）解：解不等式①得x＜-2
解不等式②得x＞-3
∴原不等式組的解集為-3＜x＜-2
（2）解：原式=
=
=
當m=2時，原式=
【知識點】分式的化簡求值；解一元一次不等式組；分式的化簡求值-直接代入
15．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知識點】平行四邊形的性質；作圖﹣平移；作圖﹣旋轉
【解析】【分析】（1）根據旋轉方向和旋轉角度，即可得出線段BD；
（2）首先觀察A到D可以看成兩次平移，然后把點B也作相同的兩次平移，即可得到點C的位置；
（3）四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC與BD有一個交點，過這個交點任意作直線，均符合題意。
16．【答案】解：猜想 ：BD=CE
解法一：
過點A作AH⊥BC交BC于點H
∵AB=AC，AH⊥BC，
　 ∴BH=CH。 ∵AD=AE，AH⊥BC， ∴DH=EH， ∴BH－DH=CH－EH， 　 　
∴BD=EC。
解法二： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，∴180°－∠ADE=180°－∠AED，
即∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE。
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性質-三線合一
【解析】【分析】解法一：過點A作AH⊥BC交BC于點H，根據等腰三角形三線合一的性質，分別得出BH=CH，DH=EH，然后再根據等式的性質，即可得出結論；
解法二：根據AAS證明△ABD≌△ACE，進而根據全等三角形的性質，即可得出BD=CE。
17．【答案】（1）解：設文學書的單價為x元，則科普書的單價為1.5x元。
依題意得：
解得：x=10，
經檢驗，x=10是原方程的解且符合實際。
∴1.5x=15。
（2）解：設購買a本科普書。
依題意得：15a+10(50-a)≤700
解得：a≤40
∵a是正整數，
∴a的最大值為40。
答：至多購買40本科普書。
【知識點】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的應用；分式方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設文學書的單價為x元，則科普書的單價為1.5x元，根據 用150元分別購買這兩種書，所買的科普書比所買的文學書少5本即可得出方程，解方程并進行檢驗，即可得出答案；
（2）設購買a本科普書，根據 小亮可以使用的經費不超過700元， 得出不等式15a+10(50-a)≤700，解不等式，并求出最大正整數解即可。
18．【答案】（1）解：選擇思路一， 理由如下：
連接AC交BD于點O ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AO=CO，BO=DO。∵BP=DQ，
∴BO－BP=DO－DQ，
即PO=QO。
∵AO=CO，PO=QO，
∴四邊形APCQ為平行四邊形。
選擇思路二，
理由如下：
∵AP⊥BD，CQ⊥BD，
∴∠APQ=∠CQP=90°，∠BPA=∠DQC
∴AP∥CQ。
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ。又∵AP∥CQ，
∴四邊形APCQ是平行四邊形。
（2）解：答案二：解：如圖，用尺規作圖在∠DCB內部作∠DCQ=∠BAP，CQ交BD于點Q，點Q即為所求。
由作圖可知：∠BAP=∠DCQ，
∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（ASA），
∴AP=CQ，∠APB=∠CQD，∴∠APQ=∠CQP，
∴AP∥CQ，
∴四邊形APCQ是平行四邊形。
【知識點】三角形全等及其性質；平行四邊形的判定與性質；尺規作圖-垂線；三角形全等的判定-AAS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【分析】（1）選擇思路一，連接AC，可證明OA=OC，OP=OQ，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；選擇思路二，通過證明△ABP和△CDQ全等，從而得出AP=CQ且AP∥CQ，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；
（2）如圖，作∠DCQ=∠BAP，可根據ASA證明△ABP和△CDQ全等，從而得出AP=CQ且AP∥CQ，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；
19．【答案】（1）＜；＜
（2）＜
（3）解：①∵ 設a=2+x，b=2+y，
∴a+b=4+x+y，ab=(2+x)(2+y)=4+2x+2y+xy=4+x+y+(x+y+xy)
∵ x>0，y>0，
∴x+y+xy>0，
∴a+b＜ab；
②答案一答案二
答案三答案四
答案五答案六
（4）解：思路一：∵a＞2，兩邊同時乘b，（b＞2）
∴ab＞2b
同理可得：ab＞2a，
∴2ab＞2a+2b，
∴ab＞a+b，
即a+b＜ab；
思路二 ：∵=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)，
∵a＞2，b＞2，
∴(a-1)(b-1)＞1，
∴ab-a-b+1＞1，
∴a+b＜ab；
思路三：=，
∵a＞2，b＞2，
∴＜1，
∴a+b＜ab；
【知識點】整式的加減運算；因式分解﹣提公因式法；因式分解-分組分解法；不等式的性質；分式的化簡求值-拆項變形法
20．【答案】（1）解：由圖1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
∴AB=DE=2AC=6，
∴由勾股定理得：BC=AE=
∴
（2）解： ①∵平移，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四邊形ACDF是平行四邊形。
∴AN∥DM
又∵EF=BC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四邊形AEDB是平行四邊形，
∴DN∥AM。
∴四邊形AMDN是平行四邊形。
②9
（3）60°或240°
【知識點】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=，AM=DN=，
∴ 四邊形AMDN的周長 =2（AN+AM)=2（）=9.
故答案為：9；
（3）解：當 △DEF順時針旋轉60°時：位于△D1E1F； 當 △DEF順時針旋轉240°時：位于△D2E2F，
當△DEF順時針旋轉60°時，此時兩個三角形重合部分為△AD1G，
∵AB∥DF，
∴∠AD1F=∠D1FD=60°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△AD1G為等邊三角形，符合題意；
當△DEF順時針旋轉240°時，此時兩個三角形重合部分為△PQC，
∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，
∴△PQC為等腰三角形，符合題意。
故旋轉角的度數為：60°或240°。
【分析】（1）首先根據含30°銳角的直角三角形的性質求出AB和BC的長度，進而求出四邊形ABCE的周長；
（2）①根據一組對邊平行切線等即可判定得出 四邊形 ACDF 是平行四邊形，可得出AN∥DM ，再通過證明四邊形AEDB是平行四邊形， 可得出DN∥AM，進而得出四邊形AMDN是平行四邊形；②根據 點A為EF的中點， 可得出AN=DM=，AM=DN=，進而即可得出 四邊形AMDN的周長；
（3）當 △DEF順時針旋轉60°時，兩個三角形重合部分為△AD1G為等邊三角形，符合題意；當△DEF順時針旋轉240°時，兩個三角形重合部分△PQC為等腰三角形，符合題意。
1 / 1廣東省深圳市龍華區2024-2025學年八年級下學期期末數學試題
一、選擇題（本題共有8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1．（2025八下·龍華期末）對稱性不僅是數學的美學體現，更是生物適應環境的“最優解”。下列生物的外輪廓同時
具備軸對稱性和中心對稱性的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、圖案是軸對稱，不是中心對稱，所以A不符合題意；
B、圖案不是軸對稱，也不是中心對稱，所以B不符合題意；
C、圖案是軸對稱，不是中心對稱，所以C不符合題意；
D、圖案是軸對稱，也是中心對稱，所以D符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據軸對稱和中心對稱的特點分別進行識別，即可得出答案。
2．（2025八下·龍華期末）下列x的值是不等式x-1>0的解的是（　　）
A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．x=-1
【答案】A
【知識點】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： x-1>0 ，
∴x＞1.
∵2＞1，1=1，0＜1，-1＜1
∴只有x=2是不等式x-1>0的解。
故答案為：A.
【分析】首先解不等式求得解集，然后只需判斷哪個選項在解集范圍內即可。
3．（2025八下·龍華期末） 分式的值為0的條件是（　　）
A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=2
【答案】C
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：x-1=0，且x+2≠0，
∴x=1
故答案為：C.
【分析】根據分式值為0的條件，分子為零，且分母不為0，即可求出答案。
4．（2025八下·龍華期末）將圖①沿虛線剪開后，拼成如圖②所示的長方形，據此寫出一個多項式的因式分解為（　　）
A．x2-y2=(x+y)(x-y) B．x2+y2=(x+y) (x-y)
C．(x+y) (х-y)=x2-y2 D．(x+y)(x-y)=x2+y2
【答案】A
【知識點】平方差公式的幾何背景
【解析】【解答】解：圖①面積：x2-y2，圖②面積：（x+y）（x-y），
∴x2-y2=（x+y）（x-y）。
故答案為：A.
【分析】分別表示圖①和圖②的面積，即可得出答案。
5．（2025八下·龍華期末）如圖，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫，要求油庫到這三條公路（AB，AC，BC) 的距離都相等，則油庫的位置可以設計在（　　）
A．△ABC三條中線的交點
B．△ABC三條角平分線的交點
C．△ABC三條高所在直線的交點
D．△ABC三條邊的垂直平分線的交點
【答案】B
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】解：根據角平分線的性質可知： △ABC三條角平分線的交點 到三邊的距離相等。
故答案為：B.
【分析】根據角平分線的性質可找到正確選項。
6．（2025八下·龍華期末）藻井作為中國傳統建筑中獨特的穹頂裝飾構件，其造型融合宇宙觀，僅用于最高等級建筑，并巧妙結合五行思想。如圖是外輪廓為正八邊形的“蟠龍藻井”圖案，這個正八邊形的每個內角的度數為（　　）
A．45° B．120° C．130° D．135°
【答案】D
【知識點】正多邊形的性質；多邊形的外角和公式
7．（2025八下·龍華期末）今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文。只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文，問綾、羅尺價各幾何？（選自《四元玉鑒》）題目大意：現在有綾和羅一共3丈（1丈=10尺），它們各自的價值都是896文錢。已知綾和羅各1尺總共值120文錢，問綾和羅每尺的價值各多少錢？設綾布有x尺，根據題意可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】列分式方程
【解析】【解答】解： 設綾布有x尺，則羅（30-x）尺，
根據題意，得：.
故答案為：C.
【分析】 設綾布有x尺，則羅（30-x）尺，根據綾和羅各1尺總共值120文錢，即可得出方程。
8．（2025八下·龍華期末）如圖，在平面內將一塊含45°的三角板ABC向右平移得到ADEF，若∠BAD=30°，則邊BC掃過的面積與邊AB掃過的面積之比為（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四邊形的性質；等腰直角三角形；平行四邊形的面積
二、填空題（本題共有5小題，每小題3分，共15分。）
9．（2025八下·龍華期末）因式分解： =　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案為： .
【分析】先提取公因式，在利用完全平方公式進行因式分解．
10．（2025八下·龍華期末） A、B兩地相距10千米，甲從A地到B地步行需要t小時，乙騎自行車行同樣的路程比甲少用1小時，則乙的速度可表示為　 　千米/時。
【答案】
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】解： 乙的速度 =（ 千米/時）。
故答案為：.
【分析】根據速度=路程÷時間，即可得出答案。
11．（2025八下·龍華期末） 關于 x 的不等式組 的解集為 ，請寫出一個符合條件的 a 的值：　 　。
【答案】1
【知識點】已知不等式的解（集）求參數
【解析】【解答】解：∵ 的解集為 ，
∴a≤1.
故答案為：1（答案不唯一，符合條件即可）.
【分析】根據不等式組解集的求法：同大取大，由不等式組的解集，可求出a的取值范圍，然后寫出一個符合條件的a的值即可。
12．（2025八下·龍華期末） 如圖，將兩個完全相同的直角三角形紙板疊放在一起，。若，則CE的長度為　 　。
【答案】1
【知識點】三角形全等及其性質；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt中：，，
∴BF=，
∵≌，
∴BC=BD=，
∴CF=BF-BC=，
在Rt中：（2CE)2-CE2=CF2=()2，
∴CE=1。
故答案為：1.
【分析】首先根據含30°的直角三角形的性質求出BF的長，進而得出CF的長，然后再根據含30°的直角三角形的性質及勾股定理即可求出CE的長。
13．（2025八下·龍華期末）如圖，D是等邊△ABC內一點，∠ADC=120°，CD=6，則△BDC的面積為　 　.
【答案】
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：延長AD交BC于點E，當點D是 等邊△ABC 的中心時，∠ADC=120°，
∴當 ∠ADC=120°時 △BDC的面積與點D是 等邊△ABC 的中心時 △BDC 面積相等，
當點D是 等邊△ABC 的中心時，∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，∠DEC=90°，
∴∠DCE=30°，
∵CD=6，
∴DE=3，CE=
∴BC=2CE=‘
∴ △BDC的面積 =.
故答案為：.
【分析】當點D是 等邊△ABC 的中心時，∠ADC=120°，根據特殊情況求出△BDC的面積即可。
三、解答題（本大題共7小題，共61分）
14．（2025八下·龍華期末）
（1）解不等式組
（2）先化簡，再求值：，其中。
【答案】（1）解：解不等式①得x＜-2
解不等式②得x＞-3
∴原不等式組的解集為-3＜x＜-2
（2）解：原式=
=
=
當m=2時，原式=
【知識點】分式的化簡求值；解一元一次不等式組；分式的化簡求值-直接代入
15．（2025八下·龍華期末）如圖，在方格紙中，每個小方格的邊長均為1個單位長度，線段AB的兩個端點都在小方格的格點上，根據下列要求用無刻度直尺作圖：
（1）將線段AB繞點B逆時針旋轉90得到線段BD；
（2）平移線段AB至線段DC，使得點A與點D重合，連接AD，BC；
（3）直線BD將四邊形ABCD分成了全等的兩個部分，這樣的直線還有很多，請再畫出
兩條符合條件的直線。
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知識點】平行四邊形的性質；作圖﹣平移；作圖﹣旋轉
【解析】【分析】（1）根據旋轉方向和旋轉角度，即可得出線段BD；
（2）首先觀察A到D可以看成兩次平移，然后把點B也作相同的兩次平移，即可得到點C的位置；
（3）四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC與BD有一個交點，過這個交點任意作直線，均符合題意。
16．（2025八下·龍華期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，且AD=AE。請判斷BD與CE之間的數量關系，并說明理由。
【答案】解：猜想 ：BD=CE
解法一：
過點A作AH⊥BC交BC于點H
∵AB=AC，AH⊥BC，
　 ∴BH=CH。 ∵AD=AE，AH⊥BC， ∴DH=EH， ∴BH－DH=CH－EH， 　 　
∴BD=EC。
解法二： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，∴180°－∠ADE=180°－∠AED，
即∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE。
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性質-三線合一
【解析】【分析】解法一：過點A作AH⊥BC交BC于點H，根據等腰三角形三線合一的性質，分別得出BH=CH，DH=EH，然后再根據等式的性質，即可得出結論；
解法二：根據AAS證明△ABD≌△ACE，進而根據全等三角形的性質，即可得出BD=CE。
17．（2025八下·龍華期末）小亮計劃去書店為全班50名同學各買一本課外書，從書店店員處了解到，科普書的單價是文學書的單價的1.5倍，若用150元分別購買這兩種書，所買的科普書比所買的文學書少5本。
（1）科普書和文學書的單價各是多少元？
（2）若小亮可以使用的經費不超過700元，則至多購買多少本科普書？
【答案】（1）解：設文學書的單價為x元，則科普書的單價為1.5x元。
依題意得：
解得：x=10，
經檢驗，x=10是原方程的解且符合實際。
∴1.5x=15。
（2）解：設購買a本科普書。
依題意得：15a+10(50-a)≤700
解得：a≤40
∵a是正整數，
∴a的最大值為40。
答：至多購買40本科普書。
【知識點】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的應用；分式方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設文學書的單價為x元，則科普書的單價為1.5x元，根據 用150元分別購買這兩種書，所買的科普書比所買的文學書少5本即可得出方程，解方程并進行檢驗，即可得出答案；
（2）設購買a本科普書，根據 小亮可以使用的經費不超過700元， 得出不等式15a+10(50-a)≤700，解不等式，并求出最大正整數解即可。
18．（2025八下·龍華期末）如圖，在□ABCD中，AP⊥BD于點P。請用尺規作圖在BD上求作一點Q，連接AQ，CQ，PC，使得四邊形APCQ是平行四邊形。
（1）某數學小組經過討論，得到如下兩種作法，請選擇其中一種作法說明其正確性。
　 思路一 思路二
作圖步驟 在 BD上作 DQ=BP。點Q即為所求。 過點C作CQ⊥BD于點Q。點Q即為所求。
作圖痕跡
我選擇思路 ▲ ，理由如下：
（2）請你用不同于（1）中的尺規作圖方法求作出點Q（保留作圖痕跡，不寫作法），并說明作法的正確性。
【答案】（1）解：選擇思路一， 理由如下：
連接AC交BD于點O ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AO=CO，BO=DO。∵BP=DQ，
∴BO－BP=DO－DQ，
即PO=QO。
∵AO=CO，PO=QO，
∴四邊形APCQ為平行四邊形。
選擇思路二，
理由如下：
∵AP⊥BD，CQ⊥BD，
∴∠APQ=∠CQP=90°，∠BPA=∠DQC
∴AP∥CQ。
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ。又∵AP∥CQ，
∴四邊形APCQ是平行四邊形。
（2）解：答案二：解：如圖，用尺規作圖在∠DCB內部作∠DCQ=∠BAP，CQ交BD于點Q，點Q即為所求。
由作圖可知：∠BAP=∠DCQ，
∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABP=∠CDQ。
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（ASA），
∴AP=CQ，∠APB=∠CQD，∴∠APQ=∠CQP，
∴AP∥CQ，
∴四邊形APCQ是平行四邊形。
【知識點】三角形全等及其性質；平行四邊形的判定與性質；尺規作圖-垂線；三角形全等的判定-AAS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【分析】（1）選擇思路一，連接AC，可證明OA=OC，OP=OQ，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；選擇思路二，通過證明△ABP和△CDQ全等，從而得出AP=CQ且AP∥CQ，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；
（2）如圖，作∠DCQ=∠BAP，可根據ASA證明△ABP和△CDQ全等，從而得出AP=CQ且AP∥CQ，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；
19．（2025八下·龍華期末）數學學習小組在學習《不等關系》后，深入研究了兩個正數a，b的和與積之間的大小關系。
【發現問題】當a=b=2時，a+b=ab。
【提出問題】當a>2，b>2時，a+b與ab存在怎樣的大小關系？
（1）【特例分析】給a，b分別賦予不同的數值，通過計算，判斷a+b與ab的大小關系。
請完成下面的表格：
a … 3 4 5 …
b … 3 5 6 …
a+b　 　ab （填“>”，“＜”、"=”） … ＜ 　 　 ＜ …
（2）【得出猜想】根據特例分析，猜想：當a>2，b>2時，a+b　 　ab。
（3）【驗證猜想】
①小明認為可以設a=2+x，b=2+y，其中x>0，y>0，再通過計算完成驗證。
請補充驗證過程：
②小紅發現可以用圖形的面積關系來直觀驗證。
如圖，在長方形ABCD中，AB=a>2，AD=b>2，AM=MN=AP=PQ=1。請在長方形ABCD中，用畫陰影的方法表示面積為(a+b)的部分。
（4）【深入探究】學習小組經過討論，還可從以下思路驗證猜想：
思路一：利用不等式的基本性質得到
思路二：對多項式進行因式分解
思路三：對分式進行變形與運算
根據以上思路的啟發，選擇一種方法完成驗證。
【答案】（1）＜；＜
（2）＜
（3）解：①∵ 設a=2+x，b=2+y，
∴a+b=4+x+y，ab=(2+x)(2+y)=4+2x+2y+xy=4+x+y+(x+y+xy)
∵ x>0，y>0，
∴x+y+xy>0，
∴a+b＜ab；
②答案一答案二
答案三答案四
答案五答案六
（4）解：思路一：∵a＞2，兩邊同時乘b，（b＞2）
∴ab＞2b
同理可得：ab＞2a，
∴2ab＞2a+2b，
∴ab＞a+b，
即a+b＜ab；
思路二 ：∵=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)，
∵a＞2，b＞2，
∴(a-1)(b-1)＞1，
∴ab-a-b+1＞1，
∴a+b＜ab；
思路三：=，
∵a＞2，b＞2，
∴＜1，
∴a+b＜ab；
【知識點】整式的加減運算；因式分解﹣提公因式法；因式分解-分組分解法；不等式的性質；分式的化簡求值-拆項變形法
20．（2025八下·龍華期末）綜合與實踐
數學活動課上，同學們對兩個完全相同的直角三角形紙片（如圖1）圍繞拼接、平移、旋轉開展操作研究。
（1）【活動一】拼接
將兩個三角形紙片按圖2方式進行拼接（點A與點F重合，點C與點D重合），求四邊形ABCE的周長；
（2）【活動二】平移
在圖2中，將△ABC紙片沿射線FE的方向平移。在平移過程中，兩個紙片的重疊部分為四邊形AMDN，如圖3所示。
①求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
②若點A為EF的中點，則四邊形AMDN的周長為 ▲ 。
（3）【活動三】旋轉
在圖3中，當點A為EF的中點時，將△DEF繞點F順時針旋轉一周。在旋轉過程中，若兩個紙片的重疊部分為等腰三角形，直接寫出旋轉角的度數。
【答案】（1）解：由圖1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
∴AB=DE=2AC=6，
∴由勾股定理得：BC=AE=
∴
（2）解： ①∵平移，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四邊形ACDF是平行四邊形。
∴AN∥DM
又∵EF=BC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四邊形AEDB是平行四邊形，
∴DN∥AM。
∴四邊形AMDN是平行四邊形。
②9
（3）60°或240°
【知識點】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=，AM=DN=，
∴ 四邊形AMDN的周長 =2（AN+AM)=2（）=9.
故答案為：9；
（3）解：當 △DEF順時針旋轉60°時：位于△D1E1F； 當 △DEF順時針旋轉240°時：位于△D2E2F，
當△DEF順時針旋轉60°時，此時兩個三角形重合部分為△AD1G，
∵AB∥DF，
∴∠AD1F=∠D1FD=60°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△AD1G為等邊三角形，符合題意；
當△DEF順時針旋轉240°時，此時兩個三角形重合部分為△PQC，
∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，
∴△PQC為等腰三角形，符合題意。
故旋轉角的度數為：60°或240°。
【分析】（1）首先根據含30°銳角的直角三角形的性質求出AB和BC的長度，進而求出四邊形ABCE的周長；
（2）①根據一組對邊平行切線等即可判定得出 四邊形 ACDF 是平行四邊形，可得出AN∥DM ，再通過證明四邊形AEDB是平行四邊形， 可得出DN∥AM，進而得出四邊形AMDN是平行四邊形；②根據 點A為EF的中點， 可得出AN=DM=，AM=DN=，進而即可得出 四邊形AMDN的周長；
（3）當 △DEF順時針旋轉60°時，兩個三角形重合部分為△AD1G為等邊三角形，符合題意；當△DEF順時針旋轉240°時，兩個三角形重合部分△PQC為等腰三角形，符合題意。
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