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(共22張PPT)
11.2三角形全等的判定 （ASA）（AAS）
24.2.2垂徑定理
垂徑定理
定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如圖∵ CD是直徑,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所
對的兩條弧。
課堂討論
根據已知條件進行推導：
①過圓心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所對優弧
⑤平分弦所對劣弧
（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所
對的兩條弧。
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
（3）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。
（2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分
弦所對的另一條弧。
①②
③④⑤
垂徑定理及逆定理
●O
A
B
C
D
M└
條件 結論 命 題
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.
平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.
弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧.
垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.
平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.
平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦.
① CD是直徑,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
根據垂徑定理與推論可知：對于一個圓和一條直線來說，如果具備：
那么，由五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論。
注意要點
① 經過圓心
② 垂直于弦
③ 平分弦
④ 平分弦所對的優弧
⑤ 平分弦所對的劣弧
（注意特殊例外）
1.判斷下列說法的正誤
①平分弧的直徑必平分弧所對的弦
　②平分弦的直線必垂直弦
③垂直于弦的直徑平分這條弦
④平分弦的直徑垂直于這條弦
⑤弦的垂直平分線是圓的直徑
⑥平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦
⑦在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦，　
　必平分此弦所對的弧
圓內兩條非直徑的弦不能互相平分
挑戰自我畫一畫
如圖,M為⊙O內的一點,利用尺規作一條弦AB,使AB過點M.并且AM=BM.
●O
●M
練習1.如圖，⊙O的直徑是10，弦 AB的長為8，P是AB上的一個動點，
①則OP的求值范圍是 。
②使線段OP的長度為整數值的P點
位置有 個。
p1
p2
P
C
注意圓的軸對稱性
3≤OP≤5
5
練習2.如上圖，⊙O的直徑是10，
線段OP的長為3，則過點P的所有弦中，①最大弦長為 ，
②最短弦長為 ，③弦長為整數
的有 條？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
連半徑，構造
直角三角形
平分已知弧 AB .
你會四等分弧AB嗎
A
B
已知：⊙O中弦AB∥CD.
求證：AC＝BD
⌒
⌒
證明：作直徑MN⊥AB?！逜B∥CD，∴MN⊥CD。則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弦）
AM－CM ＝ BM －DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
.
C
D
A
B
O
如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？
圓的兩條平行弦所夾的弧相等
⌒
M
N
如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點，且AC＝BD
求證：△OCD為等腰三角形。
E
如圖，兩個圓都以點O為圓心，小圓 的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認為AC與BD的大小有什么關系？為什么？
E
． 如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.
求證四邊形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
證明：
∴四邊形ADOE為矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四邊形ADOE為正方形.
（1）.在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度.
E
D
┌
600
C
D
（2）.在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面的油面寬AB = 600mm，求油的最大深度.
B
A
O
600
650
D
C
E
D
┌
600
C
D
E
小結:
解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
1.過⊙o內一點M的最長的弦長為10㎝,最短弦長為8㎝,那么⊙o的半徑是
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直徑CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距離等于
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圓心O到AB的中點C的距離為1㎝,那么⊙O的半徑為
4.如圖,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分別為M,
N,且OM=2,0N=3,則AB= ,
AC= ,OA=
B
A
M
C
O
N
5㎝
1㎝或9㎝
6
4
Cm
練習
1.已知：AB是⊙O直徑，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求證：EC＝DF
.
A
O
B
E
C
D
F
3.如圖，已知圓O的直徑AB與
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圓O的半徑為
10㎝，CD=16 ㎝.
求AE-BF的長.
2. 如圖，CD為圓O的直徑，弦AB
交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的長.
思考題：船能過拱橋嗎
如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？
船能過拱橋嗎
解:如圖,用 表示橋拱, 所在圓的圓心為O,半徑為Rm,
經過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與 相交于點C.根
據垂徑定理,D是AB的中點,C是 的中點,CD就是拱高.
由題設得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此貨船能順利通過這座拱橋.

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