資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　組合的綜合應(yīng)用(深化課題型研究式教學(xué))
課時(shí)目標(biāo)
1.進(jìn)一步加深對(duì)組合概念的理解.掌握幾種有限制條件的排列,能應(yīng)用組合數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
2.正確識(shí)別排列組合中的分組、分配問(wèn)題,與幾何圖形有關(guān)的組合問(wèn)題.
題型(一)　有限制條件的組合問(wèn)題
[例1]　某班共有團(tuán)員14人,其中男團(tuán)員8人,女團(tuán)員6人,并且男、女團(tuán)員各有一名組長(zhǎng),現(xiàn)從中選6人參加學(xué)校的團(tuán)員座談會(huì).(用數(shù)字作答)
(1)若至少有1名組長(zhǎng)當(dāng)選,求不同的選法總數(shù);
(2)若至多有3名女團(tuán)員當(dāng)選,求不同的選法總數(shù).
聽(tīng)課記錄:
　　[變式拓展]
本例條件不變,若既要有組長(zhǎng)當(dāng)選,又要有女團(tuán)員當(dāng)選,求不同的選法總數(shù).
[思維建模]
有限制條件的組合問(wèn)題的解題策略
有限制條件的抽(選)取問(wèn)題,主要有兩類(lèi):
一是“含”與“不含”問(wèn)題,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步計(jì)數(shù);
二是“至多”“至少”問(wèn)題,其解法常有兩種思路:一是直接分類(lèi)法,要注意分類(lèi)要不重不漏;二是間接法,注意找準(zhǔn)對(duì)立面,確保不重不漏.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
1.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)活動(dòng),如果要求至少有1名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為 (　　)
A.24 B.14
C.28 D.48
2.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課,學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課,并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén),則不同的選課方案共有　　　種(用數(shù)字作答).
題型(二)　與幾何有關(guān)的組合問(wèn)題
[例2]　平面上有9個(gè)點(diǎn),其中有4個(gè)點(diǎn)共線,除此外無(wú)3點(diǎn)共線.
(1)這9個(gè)點(diǎn),可確定多少條不同的直線
(2)以這9個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),可以確定多少個(gè)三角形
(3)以這9個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),可以確定多少個(gè)四邊形
聽(tīng)課記錄:
[思維建模]
解答幾何圖形組合問(wèn)題的策略
(1)解決幾何圖形中的組合問(wèn)題,首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問(wèn)題的常規(guī)方法分析解決問(wèn)題,其次要注意從不同類(lèi)型的幾何問(wèn)題中抽象出組合問(wèn)題,尋找一個(gè)組合的模型加以處理.
(2)圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題,要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用間接法.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
3.(1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),可以確定多少個(gè)四面體
(2)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),可以確定多少個(gè)四棱錐
題型(三)　分組、分配問(wèn)題
[例3]　某學(xué)校派出6名同學(xué)參加省教育廳主辦的數(shù)學(xué)競(jìng)賽、物理競(jìng)賽和化學(xué)競(jìng)賽,該校每名同學(xué)只能參加其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽,且每個(gè)學(xué)科至少有一名學(xué)生參加.
(1)求該校派出的6名學(xué)生總共有多少種不同的參賽方案
(2)若甲同學(xué)主攻數(shù)學(xué)方向,必須選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽,乙同學(xué)主攻物理方向,必須選擇物理競(jìng)賽,則這6名學(xué)生一共有多少種不同的參賽方案
聽(tīng)課記錄:
　　[思維建模]　分組分配問(wèn)題的三種類(lèi)型及求解策略
類(lèi)型 求解策略
整體 均分 解題時(shí)要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以(n為均分的組數(shù)),避免重復(fù)計(jì)數(shù)
部分 均分 解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等,則分組時(shí)應(yīng)除以m!,一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)
不等 分組 只需先分組,后排列,注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù)
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
4.現(xiàn)有6名孩子和3個(gè)不同的房間,并讓孩子都進(jìn)入房間.
(1)若每個(gè)房間進(jìn)2個(gè)小孩,共有多少種不同的方法
(2)恰有一個(gè)房間沒(méi)有孩子,共有多少種安排方法
第2課時(shí)　組合的綜合應(yīng)用
[題型(一)]
[例1]　解:(1)法一　至少有一名組長(zhǎng)含有兩種情況:
有一名組長(zhǎng)和兩名組長(zhǎng),故共有+=2 079種.
法二　至少有一名組長(zhǎng)可以采用排除法,有-=2 079種.
(2)至多有3名女團(tuán)員含有四種情況:有3名女團(tuán)員,有2名女團(tuán)員,有1名女團(tuán)員,沒(méi)有女團(tuán)員,故共有+++=2 534種.
[變式拓展]
解:既要有組長(zhǎng)當(dāng)選,又要有女團(tuán)員當(dāng)選含兩類(lèi)情況:
第一類(lèi):女組長(zhǎng)當(dāng)選,有種;第二類(lèi):女組長(zhǎng)不當(dāng)選,男組長(zhǎng)當(dāng)選,從剩余7名男團(tuán)員,5名女團(tuán)員中選5人,其中至少選擇1名女團(tuán)員,有-種.故共有+-=2 058種.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.選B　法一　分兩類(lèi)完成:第1類(lèi),選派1名女生、3名男生,有種選派方案;第2類(lèi),選派2名女生、2名男生,有種選派方案.
故共有+=14(種)不同的選派方案.
法二　6人中選派4人的組合數(shù)為,其中都選男生的組合數(shù)為,所以至少有1名女生的選派方案有-=14(種).
2.解析:由題意,可分三類(lèi):第一類(lèi),體育類(lèi)選修課和藝術(shù)類(lèi)選修課各選修1門(mén),有種方案;第二類(lèi),在體育類(lèi)選修課中選修1門(mén),在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修2門(mén),有種方案;第三類(lèi),在體育類(lèi)選修課中選修2門(mén),在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修1門(mén),有種方案.綜上,不同的選課方案共有++=64(種).
答案:64
[題型(二)]
[例2]　解:(1)法一:直接法　共線的4點(diǎn)記為A,B,C,D.
第一類(lèi):A,B,C,D確定1條直線;第二類(lèi):A,B,C,D以外的5個(gè)點(diǎn)可確定條直線;
第三類(lèi):從A,B,C,D中任取1點(diǎn),其余5點(diǎn)中任取1點(diǎn)可確定條直線.
根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,共有不同直線1++=1+10+20=31(條).
法二:間接法　9個(gè)點(diǎn)取2個(gè)點(diǎn)共有種,4個(gè)共線點(diǎn)取2個(gè)共有種,以上均表示同一條直線,則可確定不同的直線-+1=31(條).
(2)法一:直接法　第一類(lèi):從A,B,C,D中取2個(gè)點(diǎn),其余5點(diǎn)中任取1點(diǎn),可得個(gè)三角形;
第二類(lèi):從A,B,C,D中取1個(gè)點(diǎn),其余5點(diǎn)中任取2點(diǎn),可得個(gè)三角形;
第三類(lèi):從其余5個(gè)點(diǎn)中任取3點(diǎn),可得個(gè)三角形.
共有++=80(個(gè))三角形.
法二:間接法　9個(gè)點(diǎn)取3個(gè)點(diǎn)共有種,
其中不能構(gòu)成三角形的是在4個(gè)共線點(diǎn)取3個(gè)共有種,可確定三角形-=80(個(gè)).
(3)法一:直接法　分三類(lèi):從其余不共線的5個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)點(diǎn)共得++=105(個(gè))四邊形.
法二:間接法　9個(gè)點(diǎn)取4個(gè)點(diǎn)共有種,其中不能構(gòu)成四邊形的分為兩類(lèi):第一類(lèi):4個(gè)點(diǎn)共線則有種,第二類(lèi)其中3點(diǎn)來(lái)自于共線的4點(diǎn),第4點(diǎn)來(lái)自于其余的5個(gè)點(diǎn),則有種,故可確定四邊形--=105(個(gè)).
[針對(duì)訓(xùn)練]
3.解:(1)正方體8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成個(gè)四點(diǎn)組,其中四點(diǎn)共面的情況為正方體的6個(gè)表面及正方體6組相對(duì)棱分別所在的6個(gè)平面,
所以可確定四面體有-12=58個(gè).
(2)由(1)知,正方體中共面的四點(diǎn)組有12個(gè),以這每一個(gè)四點(diǎn)組構(gòu)成的四邊形為底面,以正方體其余的四個(gè)頂點(diǎn)中任一點(diǎn)為頂點(diǎn)都可以確定一個(gè)四棱錐,
所以可確定四棱錐有12=48個(gè).
[題型(三)]
[例3]　解:(1)若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1,1,4時(shí),共有·=90種參賽方案;
若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1,2,3時(shí),共有=360種參賽方案;
若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為2,2,2時(shí),共有·=90種參賽方案;
所以該校派出的6名學(xué)生總共有90+360+90=540種不同的參賽方案.
(2)若有4人選擇化學(xué)競(jìng)賽,則有1種參賽方案;若有3人選擇化學(xué)競(jìng)賽,余下的一人有2種選法,則有=8種參賽方案;若有2人選擇化學(xué)競(jìng)賽,余下的兩人各有2種選法,則有=24種參賽方案;若有1人選擇化學(xué)競(jìng)賽,余下的三人各有2種選法,則有=32種參賽方案;所以總共有1+8+24+32=65種不同的參賽方案.
[針對(duì)訓(xùn)練]
4.解:(1)由題意知,有·=90種方法.
(2)由題意知,三個(gè)房間進(jìn)入小孩數(shù)有如下分配:①1,5,0分配,這種情況下有=36種安排方法;
②2,4,0分配,這種情況下有=90種安排方法;
③3,3,0分配,這種情況下有·=60種安排方法.故一共有36+90+60=186種安排方法.
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組合的綜合應(yīng)用
(深化——課題型研究式教學(xué))
第2課時(shí)
課時(shí)目標(biāo)
1.進(jìn)一步加深對(duì)組合概念的理解.掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用組合數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
2.正確識(shí)別排列組合中的分組、分配問(wèn)題，與幾何圖形有關(guān)的組合問(wèn)題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　有限制條件的組合問(wèn)題
題型(二)　與幾何有關(guān)的組合問(wèn)題
題型(三)　分組、分配問(wèn)題
4
課時(shí)跟蹤檢測(cè)
題型(一)　有限制條件的組合問(wèn)題
01
[例1]　某班共有團(tuán)員14人，其中男團(tuán)員8人，女團(tuán)員6人，并且男、女團(tuán)員各有一名組長(zhǎng)，現(xiàn)從中選6人參加學(xué)校的團(tuán)員座談會(huì).(用數(shù)字作答)
(1)若至少有1名組長(zhǎng)當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；
解：法一　至少有一名組長(zhǎng)含有兩種情況：
有一名組長(zhǎng)和兩名組長(zhǎng)，故共有+=2 079種.
法二　至少有一名組長(zhǎng)可以采用排除法，有-=2 079種.
(2)若至多有3名女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù).
解：至多有3名女團(tuán)員含有四種情況：有3名女團(tuán)員，有2名女團(tuán)員，有1名女團(tuán)員，沒(méi)有女團(tuán)員，故共有+++=2 534種.
[變式拓展]
本例條件不變，若既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù).
解：既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選含兩類(lèi)情況：
第一類(lèi)：女組長(zhǎng)當(dāng)選，有種；第二類(lèi)：女組長(zhǎng)不當(dāng)選，男組長(zhǎng)當(dāng)選，從剩余7名男團(tuán)員，5名女團(tuán)員中選5人，其中至少選擇1名女團(tuán)員，有-種.故共有+-=2 058種.
[思維建模]
有限制條件的組合問(wèn)題的解題策略
有限制條件的抽(選)取問(wèn)題，主要有兩類(lèi)：
一是“含”與“不含”問(wèn)題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)；
二是“至多”“至少”問(wèn)題，其解法常有兩種思路：一是直接分類(lèi)法，要注意分類(lèi)要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對(duì)立面，確保不重不漏.
針對(duì)訓(xùn)練
1.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 (　　)
A.24 B.14
C.28 D.48
√
解析：法一　分兩類(lèi)完成：第1類(lèi)，選派1名女生、3名男生，有種選派方案；第2類(lèi)，選派2名女生、2名男生，有種選派方案.
故共有+=14(種)不同的選派方案.
法二　6人中選派4人的組合數(shù)為，其中都選男生的組合數(shù)為，所以至少有1名女生的選派方案有-=14(種).
2.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有____種(用數(shù)字作答).
解析：由題意，可分三類(lèi)：第一類(lèi)，體育類(lèi)選修課和藝術(shù)類(lèi)選修課各選修1門(mén)，有種方案；第二類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修1門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修2門(mén)，有種方案；第三類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修2門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修1門(mén)，有種方案.綜上，不同的選課方案共有++=64(種).
64
題型(二)　與幾何有關(guān)的組合問(wèn)題
02
[例2]　平面上有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，除此外無(wú)3點(diǎn)共線.
(1)這9個(gè)點(diǎn)，可確定多少條不同的直線
解：法一：直接法　共線的4點(diǎn)記為A，B，C，D.
第一類(lèi)：A，B，C，D確定1條直線；第二類(lèi)：A，B，C，D以外的5個(gè)點(diǎn)可確定條直線；
第三類(lèi)：從A，B，C，D中任取1點(diǎn)，其余5點(diǎn)中任取1點(diǎn)可確定條直線.
根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有不同直線1++=1+10+20=31(條).
法二：間接法　9個(gè)點(diǎn)取2個(gè)點(diǎn)共有種，4個(gè)共線點(diǎn)取2個(gè)共有種，以上均表示同一條直線，則可確定不同的直線-+1=31(條).
(2)以這9個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)三角形
解：法一：直接法　第一類(lèi)：從A，B，C，D中取2個(gè)點(diǎn)，其余5點(diǎn)中任取1點(diǎn)，可得個(gè)三角形；
第二類(lèi)：從A，B，C，D中取1個(gè)點(diǎn)，其余5點(diǎn)中任取2點(diǎn)，可得個(gè)三角形；
第三類(lèi)：從其余5個(gè)點(diǎn)中任取3點(diǎn)，可得個(gè)三角形.
共有++=80(個(gè))三角形.
法二：間接法　9個(gè)點(diǎn)取3個(gè)點(diǎn)共有種，
其中不能構(gòu)成三角形的是在4個(gè)共線點(diǎn)取3個(gè)共有種，可確定三角形-=80(個(gè)).
(3)以這9個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四邊形
解：法一：直接法　分三類(lèi)：從其余不共線的5個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)點(diǎn)共得++=105(個(gè))四邊形.
法二：間接法　9個(gè)點(diǎn)取4個(gè)點(diǎn)共有種，其中不能構(gòu)成四邊形的分為兩類(lèi)：第一類(lèi)：4個(gè)點(diǎn)共線則有種，第二類(lèi)其中3點(diǎn)來(lái)自于共線的4點(diǎn)，第4點(diǎn)來(lái)自于其余的5個(gè)點(diǎn)，則有種，故可確定四邊形--=105(個(gè)).
[思維建模]
解答幾何圖形組合問(wèn)題的策略
(1)解決幾何圖形中的組合問(wèn)題，首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問(wèn)題的常規(guī)方法分析解決問(wèn)題，其次要注意從不同類(lèi)型的幾何問(wèn)題中抽象出組合問(wèn)題，尋找一個(gè)組合的模型加以處理.
(2)圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用間接法.
針對(duì)訓(xùn)練
3.(1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四面體
解：正方體8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成個(gè)四點(diǎn)組，其中四點(diǎn)共面的情況為正方體的6個(gè)表面及正方體6組相對(duì)棱分別所在的6個(gè)平面，
所以可確定四面體有-12=58個(gè).
(2)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四棱錐
解：由(1)知，正方體中共面的四點(diǎn)組有12個(gè)，以這每一個(gè)四點(diǎn)組構(gòu)成的四邊形為底面，以正方體其余的四個(gè)頂點(diǎn)中任一點(diǎn)為頂點(diǎn)都可以確定一個(gè)四棱錐，
所以可確定四棱錐有12=48個(gè).
題型(三)　分組、分配問(wèn)題
03
[例3]　某學(xué)校派出6名同學(xué)參加省教育廳主辦的數(shù)學(xué)競(jìng)賽、物理競(jìng)賽和化學(xué)競(jìng)賽，該校每名同學(xué)只能參加其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽，且每個(gè)學(xué)科至少有一名學(xué)生參加.
(1)求該校派出的6名學(xué)生總共有多少種不同的參賽方案
解：若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，1，4時(shí)，共有·=90種參賽方案；
若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，2，3時(shí)，共有=360種參賽方案；
若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為2，2，2時(shí)，共有·=90種參賽方案；
所以該校派出的6名學(xué)生總共有90+360+90=540種不同的參賽方案.
(2)若甲同學(xué)主攻數(shù)學(xué)方向，必須選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽，乙同學(xué)主攻物理方向，必須選擇物理競(jìng)賽，則這6名學(xué)生一共有多少種不同的參賽方案
解：若有4人選擇化學(xué)競(jìng)賽，則有1種參賽方案；若有3人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的一人有2種選法，則有=8種參賽方案；若有2人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的兩人各有2種選法，則有=24種參賽方案；若有1人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的三人各有2種選法，則有=32種參賽方案；所以總共有1+8+24+32=65種不同的參賽方案.
　　[思維建模]
分組分配問(wèn)題的三種類(lèi)型及求解策略
類(lèi)型 求解策略
整體均分 解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)
部分均分 解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m!，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)
不等分組 只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)
續(xù)表
針對(duì)訓(xùn)練
4.現(xiàn)有6名孩子和3個(gè)不同的房間，并讓孩子都進(jìn)入房間.
(1)若每個(gè)房間進(jìn)2個(gè)小孩，共有多少種不同的方法
解：由題意知，有·=90種方法.
(2)恰有一個(gè)房間沒(méi)有孩子，共有多少種安排方法
解：由題意知，三個(gè)房間進(jìn)入小孩數(shù)有如下分配：①1，5，0分配，這種情況下有=36種安排方法；
②2，4，0分配，這種情況下有=90種安排方法；
③3，3，0分配，這種情況下有·=60種安排方法.故一共有36+90+60=186種安排方法.
課時(shí)跟蹤檢測(cè)
04
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2
A級(jí)——綜合提能
1.(2023·全國(guó)乙卷)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(　　)
A.30種 B.60種
C.120種 D.240種
√
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2
解析：甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有C1 6=6(種)情況，再?gòu)氖Ｏ碌?種課外讀物中各自選1本不同的讀物，有=20(種)情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有6×20=120(種)選法，故選C.
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2
3
4
2.某班計(jì)劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽，并且至少1位女生入選，則不同的選法的種數(shù)為 (　　)
A.12 B.18 C.21 D.24
解析：可分兩種情況：第一種情況，只有一位女生入選，不同的選法有=12種，第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有=6種，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，至少1位女生入選的不同的選法的種數(shù)為12+6=18.
√
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2
3.將5名醫(yī)生分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開(kāi)展社區(qū)老年人體檢活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少1人，則不同的分配方法有 (　　)
A.50種 B.150種
C.240種 D.300種
解析：可以分組為1，1，3或1，2，2兩種情況，若分組為1，1，3，則有2=60；若分組為1，2，2，則有=90.則不同分法為60+90=150種.
√
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4.如圖，用點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示某一時(shí)期的北斗七星.其中B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)看作共線，其他任何三點(diǎn)均不共線，過(guò)這七個(gè)點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)作直線，所得直線的條數(shù)為 (　　)
A.18 B.17
C.16 D.15
√
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2
解析：根據(jù)題意從七個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)作直線共有=21種，其中B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)中任意選兩點(diǎn)只能作一條直線，有-1=6-1=5種重復(fù)，所以所得直線的條數(shù)為-(-1)=16.
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5.有5本不同的教科書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本.若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上，則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是 (　　)
A.24 B.48
C.72 D.96
√
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6
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15
3
4
2
解析：根據(jù)題意可先擺放2本語(yǔ)文書(shū)，當(dāng)1本物理書(shū)在2本語(yǔ)文書(shū)之間時(shí)，只需將2本數(shù)學(xué)書(shū)插在前3本書(shū)形成的4個(gè)空中即可，此時(shí)共有種擺放方法；當(dāng)1本物理書(shū)放在2本語(yǔ)文書(shū)一側(cè)時(shí)，共有種擺放方法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得共有+=48種擺放方法.
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2
6.某果農(nóng)計(jì)劃在A，B，C，D這4個(gè)地塊上種植2種不同的果樹(shù)，每個(gè)地塊只種植一種果樹(shù)，有蘋(píng)果、梨、桃子、杏4種果樹(shù)可供選擇，則不同的種植方案數(shù)為_(kāi)_____.(用數(shù)字作答)
解析：先選兩種果樹(shù)有=6種方案，然后每塊地有2種選擇，所以不同的種植方案有×24=96種種植方案.
96
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2
7.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是_____.(用數(shù)字作答)
解析：當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1人時(shí)有種站法；當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有種站法.因此不同的站法種數(shù)為+=
210+126=336.
336
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8.有兩條平行直線a和b，在直線a上取4個(gè)點(diǎn)，直線b上取5個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，這樣的三角形共有____個(gè).
解析：分兩類(lèi)，第一類(lèi)：從直線a上任取一個(gè)點(diǎn)，從直線b上任取兩個(gè)點(diǎn)，共有種方法；第二類(lèi)：從直線a上任取兩個(gè)點(diǎn)，從直線b上任取一個(gè)點(diǎn)，共有種方法.所以滿足條件的三角形共有+
=70(個(gè)).
70
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9.現(xiàn)有10名學(xué)生，其中男生6名.
(1)從中選2名代表，必須有女生的不同選法有多少種
解：法一：直接法　必須有女生可分兩類(lèi)：第1類(lèi)，只有一名女生，共有=24(種)；
第2類(lèi)，有2名女生，共有=6(種)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，必須有女生的不同選法有+=30(種).
法二：間接法　-=45-15=30(種).
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(2)從中選4人，若男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)，則有多少種選法
解：第1類(lèi)：甲、乙只有1人被選，共有=112(種)不同選法；
第2類(lèi)，甲、乙兩人均被選，有=28(種)不同選法.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在內(nèi)的選法有+=112+28=140(種).
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10.已知平面α∥平面β，在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn).
(1)過(guò)這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同的平面
解：所作出的平面有三類(lèi).
①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，最多有個(gè).②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，最多有個(gè).③α，β本身，有2個(gè).故所作的平面最多有++2=98(個(gè)).
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(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐
解：所作的三棱錐有三類(lèi).①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，最多有個(gè).②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的三棱錐，最多有個(gè).③α內(nèi)3點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，最多有個(gè).故最多可作的三棱錐有
++=194(個(gè)).
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2
(3)(2)中的三棱錐最多可以有多少個(gè)不同體積
解：當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高時(shí)，三棱錐的體積相等，所以體積不相同的三棱錐最多有++=114(個(gè)).故最多有114個(gè)體積不同的三棱錐.
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2
B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn).在這10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法種數(shù)為(　　)
A.141 B.144
C.150 D.155
√
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2
解析：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類(lèi).
第一類(lèi)，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有4種；第二類(lèi)，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱所對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類(lèi)，由中位線構(gòu)成的平行四邊形(其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱)，它的4頂點(diǎn)共面，有3種.以上三類(lèi)情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有-4-6-3=141種.
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12.“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成.若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5 200的偶數(shù)個(gè)數(shù)是 (　　)
A.87 B.129
C.132 D.138
√
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3
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2
解析：若千位數(shù)字是5，則百位數(shù)字不能是1，故共有=27(個(gè))；若千位數(shù)字是7，則共有=36(個(gè))；若千位數(shù)字是8，則共有=24(個(gè)).故符合條件的四位數(shù)共有27+36+24=87(個(gè)).故選A.
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13.小張同學(xué)喜歡吃4種不同種類(lèi)的奶糖，她有5個(gè)不同顏色的塑料袋，每個(gè)袋子中至少裝1種奶糖.小張同學(xué)希望5個(gè)袋子中所裝奶糖種類(lèi)各不相同，且每一種奶糖在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為2，那么不同的方案數(shù)為 (　　)
A.3 000 B.3 360
C.1 440 D.1 560
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解析：依次記四種奶糖為H，Y，X，Z，則每個(gè)字母出現(xiàn)2次，先分堆.若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是HYXZ，故有1種可能；若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮(HYX)(Z※)(※)(※)(※)，故有=12種可能；若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮(Z)(X)(Z※)(X※)(※※)，故有=12種可能，所以不同的方案數(shù)為(1+12+12)·=3 000.
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2
14.哈希算法是一種特殊的函數(shù)，也是一種加密技術(shù).已知p-hashing是最簡(jiǎn)單的哈希算法之一，它把一個(gè)較大數(shù)字的每一位改成它除以素?cái)?shù)p所得到的余數(shù).例如：對(duì)于數(shù)字752196進(jìn)行2-hashing得到的哈希值為110110，那么對(duì)于數(shù)字752196進(jìn)行3-hashing得到的哈希值為_(kāi)_______；現(xiàn)對(duì)一個(gè)正整數(shù)進(jìn)行3-hashing后得到哈希值為120021，則這樣的正整數(shù)共有________個(gè).(用數(shù)字作答)
122100
1 296
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2
解析：由7除以3的余數(shù)為1，5除以3的余數(shù)為2，2除以3的余數(shù)為2，1除以3的余數(shù)為1，9除以3的余數(shù)為0，6除以3的余數(shù)為0，可知數(shù)字752196進(jìn)行3-hashing得到的哈希值為122100；除以3的余數(shù)為0的正整數(shù)可能為0，3，6，9，除以3的余數(shù)為1的正整數(shù)可能為1，4，7，除以3的余數(shù)為2的正整數(shù)可能為2，5，8，則對(duì)一個(gè)正整數(shù)進(jìn)行3-hashing后得到哈希值為120021，則這樣的正整數(shù)共有=34×42=1 296個(gè).
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15.2024年3月31日在連南舉行半程馬拉松賽，為確保馬拉松賽事順利舉行，組委會(huì)在沿途一共設(shè)置了7個(gè)飲水點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)飲水點(diǎn)中間再設(shè)置一個(gè)服務(wù)站，一共6個(gè)服務(wù)站.由含甲、乙在內(nèi)的13支志愿者服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)這13個(gè)站點(diǎn)的服務(wù)工作，每一個(gè)站點(diǎn)有且僅有一支服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)服務(wù).
(1)求甲隊(duì)只去首尾的飲水點(diǎn)，且乙隊(duì)只去與甲隊(duì)不相鄰的站點(diǎn)的概率；
解：由題意可知，甲隊(duì)和乙隊(duì)共有種不同的安排方法，甲隊(duì)只去首尾的飲水點(diǎn)，且乙隊(duì)只去與甲隊(duì)不相鄰的站點(diǎn)，共有種，所以所求概率為=.
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(2)為了解志愿者服務(wù)隊(duì)的工作效果，將四名工作人員隨機(jī)分派到A，B，C三個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行抽查，每人被分派到哪個(gè)站點(diǎn)互不影響，求三個(gè)站點(diǎn)中恰有一個(gè)站點(diǎn)未分配到任何工作人員的概率.
解：將四名工作人員隨機(jī)分派到A，B，C三個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行抽查，共有34種不同的安排方法，三個(gè)站點(diǎn)中恰有一個(gè)站點(diǎn)未分配到任何工作人員，共有)種不同的安排方法，所以所求概率為=.課時(shí)跟蹤檢測(cè)(七)　組合的綜合應(yīng)用
A級(jí)——綜合提能
1.(2023·全國(guó)乙卷)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有 (　　)
A.30種 B.60種
C.120種 D.240種
2.某班計(jì)劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽,并且至少1位女生入選,則不同的選法的種數(shù)為 (　　)
A.12 B.18
C.21 D.24
3.將5名醫(yī)生分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開(kāi)展社區(qū)老年人體檢活動(dòng),每個(gè)社區(qū)至少1人,則不同的分配方法有 (　　)
A.50種 B.150種
C.240種 D.300種
4.如圖,用點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G表示某一時(shí)期的北斗七星.其中B,D,E,F四點(diǎn)看作共線,其他任何三點(diǎn)均不共線,過(guò)這七個(gè)點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)作直線,所得直線的條數(shù)為 (　　)
A.18 B.17
C.16 D.15
5.有5本不同的教科書(shū),其中語(yǔ)文書(shū)2本,數(shù)學(xué)書(shū)2本,物理書(shū)1本.若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上,則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是 (　　)
A.24 B.48
C.72 D.96
6.某果農(nóng)計(jì)劃在A,B,C,D這4個(gè)地塊上種植2種不同的果樹(shù),每個(gè)地塊只種植一種果樹(shù),有蘋(píng)果、梨、桃子、杏4種果樹(shù)可供選擇,則不同的種植方案數(shù)為　　　.(用數(shù)字作答)
7.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上,若每級(jí)臺(tái)階最多站2人,同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法種數(shù)是　　　　.(用數(shù)字作答)
8.有兩條平行直線a和b,在直線a上取4個(gè)點(diǎn),直線b上取5個(gè)點(diǎn),以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形,這樣的三角形共有　　　　　個(gè).
9.現(xiàn)有10名學(xué)生,其中男生6名.
(1)從中選2名代表,必須有女生的不同選法有多少種
(2)從中選4人,若男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi),則有多少種選法
10.已知平面α∥平面β,在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn),在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn).
(1)過(guò)這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面,最多可作多少個(gè)不同的平面
(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),最多可作多少個(gè)三棱錐
(3)(2)中的三棱錐最多可以有多少個(gè)不同體積
B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn).在這10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn),則不同的取法種數(shù)為 (　　)
A.141 B.144
C.150 D.155
12.“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù),是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一,當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí),乘積仍然由1,4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)字組成.若從1,4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),則在這些組成的四位數(shù)中,大于5 200的偶數(shù)個(gè)數(shù)是 (　　)
A.87 B.129
C.132 D.138
13.小張同學(xué)喜歡吃4種不同種類(lèi)的奶糖,她有5個(gè)不同顏色的塑料袋,每個(gè)袋子中至少裝1種奶糖.小張同學(xué)希望5個(gè)袋子中所裝奶糖種類(lèi)各不相同,且每一種奶糖在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為2,那么不同的方案數(shù)為 (　　)
A.3 000 B.3 360
C.1 440 D.1 560
14.哈希算法是一種特殊的函數(shù),也是一種加密技術(shù).已知p hashing是最簡(jiǎn)單的哈希算法之一,它把一個(gè)較大數(shù)字的每一位改成它除以素?cái)?shù)p所得到的余數(shù).例如:對(duì)于數(shù)字752196進(jìn)行2 hashing得到的哈希值為110110,那么對(duì)于數(shù)字752196進(jìn)行3 hashing得到的哈希值為　　　　;現(xiàn)對(duì)一個(gè)正整數(shù)進(jìn)行3 hashing后得到哈希值為120021,則這樣的正整數(shù)共有　　　　個(gè).(用數(shù)字作答)
15.2024年3月31日在連南舉行半程馬拉松賽,為確保馬拉松賽事順利舉行,組委會(huì)在沿途一共設(shè)置了7個(gè)飲水點(diǎn),每?jī)蓚€(gè)飲水點(diǎn)中間再設(shè)置一個(gè)服務(wù)站,一共6個(gè)服務(wù)站.由含甲、乙在內(nèi)的13支志愿者服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)這13個(gè)站點(diǎn)的服務(wù)工作,每一個(gè)站點(diǎn)有且僅有一支服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)服務(wù).
(1)求甲隊(duì)只去首尾的飲水點(diǎn),且乙隊(duì)只去與甲隊(duì)不相鄰的站點(diǎn)的概率;
(2)為了解志愿者服務(wù)隊(duì)的工作效果,將四名工作人員隨機(jī)分派到A,B,C三個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行抽查,每人被分派到哪個(gè)站點(diǎn)互不影響,求三個(gè)站點(diǎn)中恰有一個(gè)站點(diǎn)未分配到任何工作人員的概率.
課時(shí)跟蹤檢測(cè)(七)
1.選C　甲、乙二人先選1種相同的課外讀物,有C1 6=6(種)情況,再?gòu)氖Ｏ碌?種課外讀物中各自選1本不同的讀物,有=20(種)情況,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有6×20=120(種)選法,故選C.
2.選B　可分兩種情況:第一種情況,只有一位女生入選,不同的選法有=12種,第二種情況,有2位女生入選,不同的選法有=6種,根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,至少1位女生入選的不同的選法的種數(shù)為12+6=18.
3.選B　可以分組為1,1,3或1,2,2兩種情況,若分組為1,1,3,則有2=60;若分組為1,2,2,則有=90.則不同分法為60+90=150種.
4.選C　根據(jù)題意從七個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)作直線共有=21種,其中B,D,E,F四點(diǎn)中任意選兩點(diǎn)只能作一條直線,有-1=6-1=5種重復(fù),所以所得直線的條數(shù)為-(-1)=16.
5.選B　根據(jù)題意可先擺放2本語(yǔ)文書(shū),當(dāng)1本物理書(shū)在2本語(yǔ)文書(shū)之間時(shí),只需將2本數(shù)學(xué)書(shū)插在前3本書(shū)形成的4個(gè)空中即可,此時(shí)共有種擺放方法;當(dāng)1本物理書(shū)放在2本語(yǔ)文書(shū)一側(cè)時(shí),共有種擺放方法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,得共有+=48種擺放方法.
6.解析:先選兩種果樹(shù)有=6種方案,然后每塊地有2種選擇,所以不同的種植方案有×24=96種種植方案.
答案:96
7.解析:當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1人時(shí)有種站法;當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有種站法.因此不同的站法種數(shù)為+=210+126=336.
答案:336
8.解析:分兩類(lèi),第一類(lèi):從直線a上任取一個(gè)點(diǎn),從直線b上任取兩個(gè)點(diǎn),共有種方法;第二類(lèi):從直線a上任取兩個(gè)點(diǎn),從直線b上任取一個(gè)點(diǎn),共有種方法.所以滿足條件的三角形共有+=70(個(gè)).
答案:70
9.解:(1)法一:直接法　必須有女生可分兩類(lèi):第1類(lèi),只有一名女生,共有=24(種);
第2類(lèi),有2名女生,共有=6(種),根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,必須有女生的不同選法有+=30(種).
法二:間接法　-=45-15=30(種).
(2)第1類(lèi):甲、乙只有1人被選,共有=112(種)不同選法;
第2類(lèi),甲、乙兩人均被選,有=28(種)不同選法.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,男生中的甲和女生中的乙至少有1人在內(nèi)的選法有+=112+28=140(種).
10.解:(1)所作出的平面有三類(lèi).
①α內(nèi)1點(diǎn),β內(nèi)2點(diǎn)確定的平面,最多有個(gè).②α內(nèi)2點(diǎn),β內(nèi)1點(diǎn)確定的平面,最多有個(gè).③α,β本身,有2個(gè).故所作的平面最多有++2=98(個(gè)).
(2)所作的三棱錐有三類(lèi).①α內(nèi)1點(diǎn),β內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐,最多有個(gè).②α內(nèi)2點(diǎn),β內(nèi)2點(diǎn)確定的三棱錐,最多有個(gè).③α內(nèi)3點(diǎn),β內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐,最多有個(gè).故最多可作的三棱錐有++=194(個(gè)).
(3)當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高時(shí),三棱錐的體積相等,所以體積不相同的三棱錐最多有++=114(個(gè)).故最多有114個(gè)體積不同的三棱錐.
11.選A　從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有種取法,其中4點(diǎn)共面的情況有三類(lèi).
第一類(lèi),取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上,有4種;第二類(lèi),取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱所對(duì)棱的中點(diǎn),這4點(diǎn)共面,有6種;第三類(lèi),由中位線構(gòu)成的平行四邊形(其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱),它的4頂點(diǎn)共面,有3種.以上三類(lèi)情況不合要求應(yīng)減掉,所以不同的取法共有-4-6-3=141種.
12.選A　若千位數(shù)字是5,則百位數(shù)字不能是1,故共有=27(個(gè));若千位數(shù)字是7,則共有=36(個(gè));若千位數(shù)字是8,則共有=24(個(gè)).故符合條件的四位數(shù)共有27+36+24=87(個(gè)).故選A.
13.選A　依次記四種奶糖為H,Y,X,Z,則每個(gè)字母出現(xiàn)2次,先分堆.若是“8=4+1+1+1+1”,則其中的“4”必須是HYXZ,故有1種可能;若是“8=3+2+1+1+1”,則考慮(HYX)(Z※)(※)(※)(※),故有=12種可能;若是“8=1+1+2+2+2”,則考慮(Z)(X)(Z※)(X※)(※※),故有=12種可能,所以不同的方案數(shù)為(1+12+12)·=3 000.
14.解析:由7除以3的余數(shù)為1,5除以3的余數(shù)為2,2除以3的余數(shù)為2,1除以3的余數(shù)為1,9除以3的余數(shù)為0,6除以3的余數(shù)為0,可知數(shù)字752196進(jìn)行3 hashing得到的哈希值為122100;除以3的余數(shù)為0的正整數(shù)可能為0,3,6,9,除以3的余數(shù)為1的正整數(shù)可能為1,4,7,除以3的余數(shù)為2的正整數(shù)可能為2,5,8,則對(duì)一個(gè)正整數(shù)進(jìn)行3 hashing后得到哈希值為120021,則這樣的正整數(shù)共有=34×42=1 296個(gè).
答案:122100　　1 296
15.解:(1)由題意可知,甲隊(duì)和乙隊(duì)共有種不同的安排方法,甲隊(duì)只去首尾的飲水點(diǎn),且乙隊(duì)只去與甲隊(duì)不相鄰的站點(diǎn),共有種,所以所求概率為=.
(2)將四名工作人員隨機(jī)分派到A,B,C三個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行抽查,共有34種不同的安排方法,三個(gè)站點(diǎn)中恰有一個(gè)站點(diǎn)未分配到任何工作人員,共有)種不同的安排方法,所以所求概率為=.
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