資源簡介

6.3.1　二項式定理(強基課梯度進階式教學)
課時目標
1.能用計數原理證明二項式定理.
2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.
3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
1.二項式定理
二項式 定理 (a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(n∈N*)
二項展開式 右邊的多項式
二項式系數 各項的系數　 　　　　　　　　　
二項展開 式的通項 Tk+1=　　　　　　　 　　　　　
微點助解
(1)二項展開式共有n+1項,各項中a,b的指數和都是n.
(2)a按降冪排列,指數由n逐項減1直到0;b按升冪排列,指數由0逐項加1直到n.
(3)對于任意的a,b,該等式都成立.
2.二項式系數和項的系數的區別
(1)二項展開式中的二項式系數是指,,…,這些組合數,與a,b無關.
(2)展開式中項的系數則是展開式中關于某一個(或兩個)字母的系數,與a,b有關,項的系數未必是正數.
3.二項式定理的三種常見變形
①(a-b)n=anb0+(-1)1an-1b1+an-2b2+…+(-1)ran-rbr+…+(-1)na0bn.
②(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn.
③(1-x)n=+(-1)1x+x2+…+(-1)rxr+…+(-1)nxn.
[基點訓練]
1.若(2x-3)n+3的展開式中共有15項,則自然數n的值為 (　　)
A.11 B.12
C.13 D.14
2.展開式中的常數項為 (　　)
A.80 B.-80
C.40 D.-40
3.(1+2x)5的展開式的第三項的系數為　　,第三項的二項式系數為　　　.
題型(一)　二項式定理的正用、逆用
[例1]　(1)求的展開式.
(2)化簡:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
聽課記錄:
[思維建模]
運用二項式定理的解題策略
(1)正用:求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開,展開時注意二項展開式的特點:前一個字母是降冪,后一個字母是升冪.形如(a-b)n的展開式中會出現正負交替的情況.對較繁雜的式子,需先化簡再用二項式定理展開.
(2)逆用:逆用二項式定理可將多項式化簡,對于這類問題的求解,要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項的系數.
[注意]　逆用二項式定理時如果各項的系數是正負相間的,則結果是(a-b)n的形式.
　　[針對訓練]
1.若(1+)4=a+b(a,b均為有理數),則a+b= (　　)
A.33 B.29
C.23 D.19
2.已知0(1)寫出[p+(1-p)]n的展開式;
(2)化簡:p3+p2(1-p)+p(1-p)2+(1-p)3.
題型(二)　二項式系數和項的系數
[例2]　(1)求二項式的展開式中第6項的二項式系數和第6項的系數;
(2)求的展開式中x3的系數.
聽課記錄:
[思維建模]
正確區分二項式系數與項的系數
　　二項式系數與項的系數是兩個不同的概念,前者僅與二項式的指數及項數有關,與二項式無關,后者與二項式、二項式的指數及項數均有關.
　　[針對訓練]
3.(2024·北京高考)在(x-)4的展開式中,x3的系數為 (　　)
A.6 B.-6
C.12 D.-12
4.已知的展開式中,第2項與第3項的二項式系數之比為1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展開式中含項的系數.
題型(三)　二項展開式的特定項
[例3]　已知展開式中第三項的系數比第二項的系數大162,求:
(1)n的值;
(2)展開式中含x3的項.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
1.在本例條件下,求二項展開式中的常數項.
2.在本例條件下,求二項展開式中的所有有理項.
　　[思維建模]　求二項展開式中特定項的步驟
　　[針對訓練]
5.若的展開式的常數項為60,則實數a的值為 (　　)
A.4 B.2
C.8 D.6
6.在的展開式中,系數為有理數的項是 (　　)
A.第3項 B.第4項
C.第5項 D.第6項
6.3.1　二項式定理
課前環節
1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　(k=0,1,2,…,n)　an-kbk
[基點訓練]
1.選A　因為(2x-3)n+3的展開式中共n+4項,所以n+4=15,即n=11.
2.C
3.40　10
課堂環節
[題型(一)]
[例1]　解:(1)=(3)4+(3)3+(3)2+(3)+
=81x2+108x+54++.
(2)因為[(x-1)+1]5=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+1=(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1,所以(x-1)5+5(x-1)4+…+5(x-1)=x5-1.
[針對訓練]
1.選B　∵(1+)4=×()0+×()1+×()2+×()3+×()4=17+12=a+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故選B.
2.解:(1)由0(2)二項式定理逆向使用,將展開式進行合并,原式=[p+(1-p)]3=(p+1-p)3=13=1.
[題型(二)]
[例2]　解:(1)由已知得展開式通項為Tk+1=(2)6-k·=26-k·(-1)k·,∴T6=26-5·(-1)5·=-12.∴第6項的二項式系數為=6,第6項的系數為-12.
(2)設展開式中的第(k+1)項為含x3的項,則Tk+1=x9-k·=(-1)k··,
令9-2k=3,得k=3,即展開式中第4項含x3,其系數為(-1)3·=-84.
[針對訓練]
3.選A　(x-)4的展開式的通項Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r(r=0,1,2,3,4).由4-=3,得r=2,所以(x-)4的展開式中x3的系數為(-1)2=6.
4.解:(1)因為二項式的展開式中第2項、第3項的二項式系數分別為,,所以=,即=,解得n=7.
(2)因為展開式的通項為Tk+1=(3)7-k·=37-k,當=-1時,k=3,所以展開式中含項的系數為34=2 835.
[題型(三)]
[例3]　解:(1)因為T3=()n-2·=4,
T2=()n-1=-2,
依題意得4+2=162,所以n2=81.
因為n∈N*,所以n=9.
(2)設第r+1項含x3,則Tr+1=()9-r·=(-2)r,
所以=3,解得r=1,所以第二項為含x3的項,T2=-2x3=-18x3.
[變式拓展]
1.解:因為Tr+1=(-2)r,若Tr+1為常數項,則9-3r=0,所以r=3,因此常數項為第4項,即(-2)3=-672.
2.解:因為Tr+1=(-2)r,若Tr+1為有理項,當且僅當為整數.因為0≤r≤9,r∈N,所以r=1,3,5,7,9,即展開式中的有理項共5項,它們分別是T2=-18x3,T4=-672,T6=-,T8=-,T10=-.
[針對訓練]
5.選A　x-6的展開式的通項為Tr+1=x6-r-r=(-1)r·x6-3r.令6-3r=0,解得r=2,則常數項為(-1)2a=60,解得a=4.
6.選C　在的展開式中,根據通項Tk+1=(x2)7-k可知,k=4時系數為有理數,即第5項的系數為有理數.
3 / 3(共54張PPT)
6.3.1
二項式定理
(強基課——梯度進階式教學)
課時目標
1.能用計數原理證明二項式定理.
2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.
3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環節/預知教材·自主落實主干基礎
課堂環節/題點研究·遷移應用融會貫通
課時跟蹤檢測
課前環節/預知教材·
自主落實主干基礎
1.二項式定理
二項式定理 (a+b)n=(n∈N*)
二項展開式 右邊的多項式
二項式系數 各項的系數________________________
二項展開 式的通項 Tk+1=__________
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn
(k=0，1，2，…，n)
an-kbk
微點助解
(1)二項展開式共有n+1項，各項中a，b的指數和都是n.
(2)a按降冪排列，指數由n逐項減1直到0；b按升冪排列，指數由0逐項加1直到n.
(3)對于任意的a，b，該等式都成立.
2.二項式系數和項的系數的區別
(1)二項展開式中的二項式系數是指，…，這些組合數，與a，b無關.
(2)展開式中項的系數則是展開式中關于某一個(或兩個)字母的系數，與a，b有關，項的系數未必是正數.
3.二項式定理的三種常見變形
①(a-b)n=anb0+(-1)1an-1b1+an-2b2+…+(-1)ran-rbr+…+(-1)na0bn.
②(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn.
③(1-x)n=+(-1)1x+x2+…+(-1)rxr+…+(-1)nxn.
基點訓練
1.若(2x-3)n+3的展開式中共有15項，則自然數n的值為(　　)
A.11 B.12
C.13 D.14
解析：因為(2x-3)n+3的展開式中共n+4項，所以n+4=15，即n=11.
√
2.展開式中的常數項為(　　)
A.80 B.-80
C.40 D.-40
√
3.(1+2x)5的展開式的第三項的系數為_____，第三項的二項式系數為_____.
40
10
課堂環節/題點研究·
遷移應用融會貫通
題型(一)　二項式定理的正用、逆用
[例1]　(1)求的展開式.
解：=(3)4+(3)3+(3)2+
(3)+
=81x2+108x+54++.
(2)化簡：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
解：因為[(x-1)+1]5=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+1=(x-1)5
+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1，所以(x-1)5+5(x-1)4+…+5(x-1)=x5-1.
[思維建模]　運用二項式定理的解題策略
(1)正用：求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開，展開時注意二項展開式的特點：前一個字母是降冪，后一個字母是升冪.形如(a-b)n的展開式中會出現正負交替的情況.對較繁雜的式子，需先化簡再用二項式定理展開.
(2)逆用：逆用二項式定理可將多項式化簡，對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項的系數.
[注意]　逆用二項式定理時如果各項的系數是正負相間的，則結果是(a-b)n的形式.
針對訓練
1.若(1+)4=a+b(a，b均為有理數)，則a+b=(　　)
A.33 B.29
C.23 D.19
解析：∵(1+)4=×()0+×()1+×()2+×()3+×
()4=17+12=a+b，∴a=17，b=12，∴a+b=29，故選B.
√
2.已知0(1)寫出[p+(1-p)]n的展開式；
解：由0+…+p(1-p)n-1+(1-p)n.
(2)化簡：p3+p2(1-p)+p(1-p)2+(1-p)3.
解：二項式定理逆向使用，將展開式進行合并，
原式=[p+(1-p)]3=(p+1-p)3=13=1.
題型(二)　二項式系數和項的系數
[例2]　(1)求二項式的展開式中第6項的二項式系數和第6項的系數；
解：由已知得展開式通項為Tk+1=(2)6-k·=26-k·(-1)k·，
∴T6=26-5·(-1)5·=-12.
∴第6項的二項式系數為=6，
第6項的系數為-12.
(2)求的展開式中x3的系數.
解：設展開式中的第(k+1)項為含x3的項，
則Tk+1=x9-k·=(-1)k··，
令9-2k=3，得k=3，
即展開式中第4項含x3，
其系數為(-1)3·=-84.
[思維建模]
正確區分二項式系數與項的系數
二項式系數與項的系數是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數及項數有關，與二項式無關，后者與二項式、二項式的指數及項數均有關.
針對訓練
3.(2024·北京高考)在(x-)4的展開式中，x3的系數為(　　)
A.6 B.-6
C.12 D.-12
解析：(x-)4的展開式的通項Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r(r=0，1，2，3，4).由4-=3，得r=2，所以(x-)4的展開式中x3的系數為(-1)2=6.

√
4.已知的展開式中，第2項與第3項的二項式系數之比為1∶3.
(1)求n的值；
解：因為二項式的展開式中第2項、第3項的二項式系數分別為，
所以=，即=，解得n=7.
(2)求展開式中含項的系數.
解：因為展開式的通項為Tk+1=(3)7-k·=37-k，當=-1時，k=3，
所以展開式中含項的系數為34=2 835.
題型(三)　二項展開式的特定項
[例3]　已知展開式中第三項的系數比第二項的系數大162，求：
(1)n的值；
解：因為T3=()n-2=4，
T2=()n-1=-2，
依題意得4+2=162，所以n2=81.
因為n∈N*，所以n=9.
(2)展開式中含x3的項.
解：設第r+1項含x3，則Tr+1=()9-r=(-2)r，
所以=3，解得r=1，所以第二項為含x3的項，T2=-2x3=-18x3.
變式拓展
1.在本例條件下，求二項展開式中的常數項.
解：因為Tr+1=(-2)r，若Tr+1為常數項，則9-3r=0，所以r=3，因此常數項為第4項，即(-2)3=-672.
2.在本例條件下，求二項展開式中的所有有理項.
解：因為Tr+1=(-2)r，若Tr+1為有理項，當且僅當為整數.因為0≤r≤9，r∈N，所以r=1，3，5，7，9，即展開式中的有理項共5項，它們分別是T2=-18x3，T4=-672，T6=-，T8=-，T10=-.
[思維建模]
求二項展開式中特定項的步驟
針對訓練
5.若的展開式的常數項為60，則實數a的值為(　　)
A.4 B.2 C.8 D.6
解析：的展開式的通項為Tr+1=x6-r=(-1)rx6-3r.令6-3r=0，解得r=2，則常數項為(-1)2a=60，解得a=4.
√
6.在的展開式中，系數為有理數的項是(　　)
A.第3項 B.第4項
C.第5項 D.第6項
解析：在的展開式中，根據通項Tk+1=(x2)7-k可知，k=4時系數為有理數，即第5項的系數為有理數.
√
課時跟蹤檢測
1
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
15
2
A級——綜合提能
1.(x-1)12的展開式的第8項的系數是(　　)
A.- B.
C.- D.
解析：由題意得Tk+1=x12-k(-1)k(k=0，1，2，…，12)，令k=7，得T8=x5(-1)7=-x5，所以(x-1)12的展開式的第8項的系數是-.故選C.
√
1
5
6
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8
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15
2
3
4
2.在的二項展開式中，x的系數為(　　)
A.10 B.-10
C.40 D.-40
解析：Tr+1=(2x2)5-r=(-1)r·25-rx10-3r，令10-3r=1，得r=3.所以x的系數為(-1)325-3=-40.
√
1
5
6
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8
9
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14
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2
3.在的展開式中，x的冪指數是整數的項共有(　　)
A.3項 B.4項
C.5項 D.6項
解析：Tk+1=··=·，則k=0，6，12，18，24時，x的冪指數為整數，所以x的冪指數是整數的項共有5項.
√
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11
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14
15
3
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2
4.在的展開式中含有常數項，則正整數n的最小值為(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：Tk+1=(3x2)n-k=3n-k·x2n-5k，令2n-5k=0，∴n=k.∴正整數n的最小值為5.
√
1
5
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3
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2
5.[多選]二項式(x+)n(n∈N*)的展開式中至少有2項的系數為有理數，則n的可能取值為(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：的展開式的通項為Tk+1=·(x)n-k()k=
()n-kxn-k.結合選項，若n=6或8，則當k=0和6時，項的系數均為有理數，滿足題意；若n=7，則只有當k=3時，項的系數為有理數，不滿足題意；若n=9，則當k=3和9時，項的系數均為有理數，滿足題意.故選ACD.
√
√
√
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2
6.+2+22+…+2n=_____.
解析：原式=20+21+22+…+2n=(1+2)n=3n.
3n
7.(2024·天津高考)在的展開式中，常數項為_____.
解析：展開式的通項Tk+1==·36-2k·x6k-18.令6k-18=0，則k=3，所以常數項為T4=·30·x0=20.
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2
20
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15
3
4
2
8.已知(a-bx)5(a，b均為常數)的展開式中第4項的系數與含x4項的系數分別為-80與80，則a+b=____.
解析：由題意，知第4項的系數為a2(-b)3，含x4項的系數為a(-b)4，所以
即解得所以a+b=3.
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2
9.設(x-)n的展開式中第二項與第四項的系數之比為1∶2，求含x2的項.
解：(x-)n的展開式中第二項與第四項分別為T2=·xn-1·(-)=-nxn-1，T4=·xn-3·(-)3=-2xn-3.
根據題意得到=，
整理得n2-3n-4=0，
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2
解得n=4或n=-1(舍去).
設(x-)4的展開式中含x2的項為第(r+1)項，
則Tr+1=·x4-r·(-)r(r=0，1，2，3，4)，
根據題意有4-r=2，解得r=2，
所以(x-)4的展開式中含x2的項為T3=·x2·(-)2=12x2.
1
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2
10.在二項式的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列.
(1)求展開式的第四項；
解：展開式的通項為Tr+1=，r=0，1，2，…，n，由已知成等差數列，∴2×=1+，
∴n=8，Tr+1=.
令r=3，T4==-7.
1
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2
(2)求展開式的常數項.
解：展開式的通項為Tr+1=，r=0，1，2，…，n，由已知成等差數列，∴2×=1+，
∴n=8，Tr+1=.
令8-2r=0，得r=4，∴T5=.
1
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4
2
B級——應用創新
11.已知(其中a>0)的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有(　　)
A.6項 B.5項
C.4項 D.3項
√
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2
解析：展開式的第7項為T7=(x2)n-6·=(-a)6x2n-14，由題意，得2n-14=0，(-a)6=7(a>0)，所以n=7，a=1，則展開式的通項為Tk+1=(-1)kx14-2k=(-1)k，k=0，1，2，…，7，令
∈Z，則k=0，3，6，所以展開式中的有理項共有3項.
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3
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12.在二項式的展開式中，二項式系數的和為64，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析：在二項式展開式中，二項式系數的和為2n=64=26，所以n=6.則即，通項為Tr+1=··，r=0，1，2，…，6，故展開式共有7項，當r=0，4時，展開式為有理項，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰，即把其他的5個無理項先任意排，再把這兩個有理項插入其中的6個空中，方法共有種，故有理項都互不相鄰的概率為P==.
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13.[多選]已知二項式(x>0且x≠1，n∈N*，n≥2)的展開式中第n-1項為15，則下列結論正確的是(　　)
A.n=6 B.m=2
C.+=10 D.=4
√
√
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解析：由二項式定理得Tn-1=(xm)2=·x2m-n+2=15，
所以 故A、B正確.因為+=
==15，所以C錯誤.因為==15，==30，所以=2，故D錯誤.
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14.“算兩次”是一種重要的數學方法，也稱作富比尼(G.Fubini)原理.“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來”(波利亞著《數學的發現》第一卷)，即將一個量“算兩次”.由等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n，n∈N*，n≥2，利用“算兩次”原理可得()2
+()2+()2+…+()2+()2=_______.(結果用組合數表示)
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解析：因為(1+x)n(x+1)n=(+x+x2+…+xn)(xn+xn-1+xn-2
+…+)，因此()2+()2+()2+…+()2+()2是展開式中xn項的系數，而(1+x)2n的展開式中xn項的系數為，所以()2+()2+()2
+…+()2+()2=.
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15.已知f(x)=(1+x)m，g(x)=(1+2x)n(m，n∈N*).
(1)若m=3，n=4，求f(x)g(x)的展開式中含x2的項；
解：當m=3，n=4時，f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3的展開式的通項為xr，(1+2x)4的展開式的通項為(2x)k，f(x)g(x)的展開式中含x2的項為1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
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(2)令h(x)=f(x)+g(x)，若h(x)的展開式中含x的項的系數為12，那么當m，n為何值時，含x2的項的系數取得最小值
解：h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因為h(x)的展開式中含x的項的系數為12，所以+2=12，即m+2n=12，所以m=12-2n.x2的系數為+4=+4=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4
+，n∈N*，所以當n=3，m=6時，含x2的項的系數取得最小值.課時跟蹤檢測(八)　二項式定理
A級——綜合提能
1.(x-1)12的展開式的第8項的系數是 (　　)
A.- B.
C.- D.
2.在的二項展開式中,x的系數為 (　　)
A.10 B.-10
C.40 D.-40
3.在的展開式中,x的冪指數是整數的項共有 (　　)
A.3項 B.4項
C.5項 D.6項
4.在的展開式中含有常數項,則正整數n的最小值為 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
5.[多選]二項式(x+)n(n∈N*)的展開式中至少有2項的系數為有理數,則n的可能取值為 (　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
6.+2+22+…+2n=　　　.
7.(2024·天津高考)在的展開式中,常數項為　　　　.
8.已知(a-bx)5(a,b均為常數)的展開式中第4項的系數與含x4項的系數分別為-80與80,則a+b=　　　.
9.設(x-)n的展開式中第二項與第四項的系數之比為1∶2,求含x2的項.
10.在二項式的展開式中,前三項系數的絕對值成等差數列.
(1)求展開式的第四項;
(2)求展開式的常數項.
B級——應用創新
11.已知(其中a>0)的展開式中的第7項為7,則展開式中的有理項共有 (　　)
A.6項 B.5項
C.4項 D.3項
12.在二項式的展開式中,二項式系數的和為64,把展開式中所有的項重新排成一列,有理項都互不相鄰的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
13.[多選]已知二項式(x>0且x≠1,n∈N*,n≥2)的展開式中第n-1項為15,則下列結論正確的是 (　　)
A.n=6
B.m=2
C.+=10
D.=4
14.“算兩次”是一種重要的數學方法,也稱作富比尼(G.Fubini)原理.“為了得到一個方程,我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來”(波利亞著《數學的發現》第一卷),即將一個量“算兩次”.由等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n,n∈N*,n≥2,利用“算兩次”原理可得()2+()2+()2+…+()2+()2=　　　　　　.(結果用組合數表示)
15.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).
(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展開式中含x2的項;
(2)令h(x)=f(x)+g(x),若h(x)的展開式中含x的項的系數為12,那么當m,n為何值時,含x2的項的系數取得最小值
課時跟蹤檢測(八)
1.選C　由題意得Tk+1=x12-k(-1)k(k=0,1,2,…,12),令k=7,得T8=x5(-1)7=-x5,所以(x-1)12的展開式的第8項的系數是-.故選C.
2.選D　Tr+1=(2x2)5-r=(-1)r·25-rx10-3r,令10-3r=1,得r=3.所以x的系數為(-1)325-3=-40.
3.選C　Tk+1=··=·,則k=0,6,12,18,24時,x的冪指數為整數,所以x的冪指數是整數的項共有5項.
4.選B　Tk+1=(3x2)n-k=3n-k·x2n-5k,令2n-5k=0,∴n=k.∴正整數n的最小值為5.
5.選ACD　的展開式的通項為Tk+1=·(x)n-k()k=·()n-kxn-k.結合選項,若n=6或8,則當k=0和6時,項的系數均為有理數,滿足題意;若n=7,則只有當k=3時,項的系數為有理數,不滿足題意;若n=9,則當k=3和9時,項的系數均為有理數,滿足題意.故選ACD.
6.解析:原式=20+21+22+…+2n=(1+2)n=3n.
答案:3n
7.解析:展開式的通項Tk+1=6-k·k=·36-2k·x6k-18.令6k-18=0,則k=3,所以常數項為T4=·30·x0=20.
答案:20
8.解析:由題意,知第4項的系數為a2·(-b)3,含x4項的系數為a(-b)4,所以
即解得所以a+b=3.
答案:3
9.解:(x-)n的展開式中第二項與第四項分別為T2=·xn-1·(-)=-nxn-1,T4=·xn-3·(-)3=-2xn-3.根據題意得到=,整理得n2-3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍去).設(x-)4的展開式中含x2的項為第(r+1)項,則Tr+1=·x4-r·(-)r(r=0,1,2,3,4),根據題意有4-r=2,解得r=2,所以(x-)4的展開式中含x2的項為T3=·x2·(-)2=12x2.
10.解:展開式的通項為Tr+1=,r=0,1,2,…,n,由已知,,成等差數列,∴2×=1+,∴n=8,Tr+1=.
(1)令r=3,T4==-7.
(2)令8-2r=0,得r=4,∴T5=.
11.選D　展開式的第7項為T7=(x2)n-6=(-a)6x2n-14,由題意,得2n-14=0,(-a)6=7(a>0),所以n=7,a=1,則展開式的通項為Tk+1=(-1)kx14-2k=(-1)k,k=0,1,2,…,7,令∈Z,則k=0,3,6,所以展開式中的有理項共有3項.
12.選A　在二項式展開式中,二項式系數的和為2n=64=26,所以n=6.則即,通項為Tr+1=··,r=0,1,2,…,6,故展開式共有7項,當r=0,4時,展開式為有理項,把展開式中所有的項重新排成一列,有理項都互不相鄰,即把其他的5個無理項先任意排,再把這兩個有理項插入其中的6個空中,方法共有種,故有理項都互不相鄰的概率為P==.
13.選AB　由二項式定理得Tn-1=(xm)2=·x2m-n+2=15,
所以 故A、B正確.因為+===15,所以C錯誤.因為==15,==30,所以=2,故D錯誤.
14.解析:因為(1+x)n(x+1)n=(+x+x2+…+xn)(xn+xn-1+xn-2+…+),因此()2+()2+()2+…+()2+()2是展開式中xn項的系數,而(1+x)2n的展開式中xn項的系數為,所以()2+()2+()2+…+()2+()2=.
答案:
15.解:(1)當m=3,n=4時,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3的展開式的通項為xr,(1+2x)4的展開式的通項為(2x)k,f(x)g(x)的展開式中含x2的項為1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因為h(x)的展開式中含x的項的系數為12,
所以+2=12,即m+2n=12,
所以m=12-2n.x2的系數為+4=+4=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4+,n∈N*,所以當n=3,m=6時,含x2的項的系數取得最小值.
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