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2024-2025 學年湖南省永州四中直升班高二（下）期末考試
數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知數列{ }，{ }中， 1 = 2， 1 = 6， +1 = 2 ， +1 = 2 ，若 = ，則 =( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2.已知函數為 ( )的定義域為 ， ( ) > ( 1) + ( 2)，且當 < 3 時， ( ) = ，則下列結論中一定
正確的是( )
A. (10) > 100 B. (20) > 1000 C. (10) < 1000 D. (20) < 10000
3.若 sin( + ) + cos( + ) = 2 2cos( + 4 )sin ，則( )
A. tan( ) = 1 B. tan( + ) = 1 C. tan( ) = 1 D. tan( + ) = 1
4.甲、乙、丙、丁共 4 名同學進行黨史知識比賽，決出第 1 名到第 4 名的名次(名次無重復)，其中前 2 名
將獲得參加市級比賽的資格．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽的
資格．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這兩個回答分析，4 人的排名有( )種不同情況．
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5.已知集合 = { | 2 + 2 + = 0, ∈ }，若集合 有且僅有 2 個子集，則 的取值是( )
A. 1 B. 1 C. 0，1 D. 1，0，1
6.已知 + 2 = + 3 = 2，則下列不等關系正確的是( )
A. < < 0 B. 0 < < < 1 C. + 2 > + 3 D. 2 > 2
7.若對任意的 ∈ (0, + ∞)， ln(2 ) ≥ 1 恒成立，則實數 的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.已知函數 ( ) = +1 + ，有且只有一個負整數 0，使 ( 0) ≤ 0 成立，則 的取值范圍是( )
A. ( 23 ,
1
2 ] B. (0,
1 2 1
2 ] C. [ 3 , 2 ) D. [0,
1
2 )
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知點 (1,0)關于直線 + 1 = 0( ∈ )的對稱點 在直線 + = 0 上，則實數 的值為( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
10.已知點 ( 5,4)和 (3,2)，則過點 ( 1,2)且與 ， 的距離相等的直線方程為( )
A. + 4 7 = 0 B. 4 7 = 0 C. = 14
7
4 D. = 1
第 1頁，共 8頁
2 2 2 2
11.已知 1，
+ = 1( 2是橢圓 2 2 1 > 1 > 0)和雙曲線 2 2 = 1( 2 > 0, 2 > 0)的公共焦點， 是他們的1 1 2 2

一個公共點，且∠ 1 2 = 3，則以下結論正確的是( )
A. 2 21 1 = 22 + 22 B. 2 21 = 3 2
C. 1 + 1 = 1 D. 2 2 3
4 2 4 2 1
+ 2的最小值為 1 +
1 2 2
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.若隨機變量 ～ (1, 2)，2 ( < 0) = ( ≤ 2) = ，則 =______．
13.已知△ 中，點 在邊 上，∠ = 120°， = 2 ， = 2 .當 取得最小值時， =______．
14.在各棱長均相等的正四面體 中，取棱 上一點 ，使 = 2 ，連接 ， ，三棱錐 的
內切球的球心為 ，三棱錐 的內切球的球心為 ，則平面 與平面 的夾角的正弦值是______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題 13 分)
2 2
已知橢圓 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的一個頂點為 (0,1)，焦距為 2 3．
(Ⅰ)求橢圓 的方程；
(Ⅱ)過點 ( 2,1)作斜率為 的直線與橢圓 交于不同的兩點 ， ，直線 ， 分別與 軸交于點 ， .當
| | = 2 時，求 的值．
16.(本小題 15 分)
已知一個黑色袋子里裝有 2 個紅球，4 個白球，這些球除顏色不同外，其余均相同，甲同學每次從袋子中
任取一個球，不放回，直到把兩個紅球都取出來即終止，記此時袋子里剩余球的個數為 ．
(1)求甲同學取球兩次即終止的概率；
(2)求隨機變量 的分布列及期望．
17.(本小題 15 分)
如圖，我們把由平面內夾角成 60°的兩條數軸 ， 構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設