資源簡介

第2課時　二項式定理的綜合應(yīng)用(深化課題型研究式教學(xué))
課時目標(biāo)
進一步理解二項式定理及其性質(zhì),能夠利用二項式定理解決兩個多項式乘積的特定項問題.能利用二項式定理解決整除(余數(shù))問題.
題型(一)　兩個二項式乘積的問題
[例1]　(1)(1+2x)3(1-x)4的展開式中,含x項的系數(shù)為 (　　)
A.10 B.-10
C.2 D.-2
(2)已知(x2+a)的展開式中所有項的系數(shù)和為192,則展開式中的常數(shù)項為 (　　)
A.8 B.6
C.4 D.2
聽課記錄:
[思維建模]
兩個二項式乘積的展開式中特定項問題
(1)分別對每個二項展開式進行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點.
(2)找到構(gòu)成展開式中特定項的組成部分.
(3)分別求解再相乘,求和可得.
　　[針對訓(xùn)練]
1.已知(1+ax)(1+x)5的展開式中,含x2的項的系數(shù)為5,則a= (　　)
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
2.已知多項式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　.
題型(二)　三項式的展開問題
[例2]　(1)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為 (　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
(2)的展開式中整理后的常數(shù)項為　　　　　　.
聽課記錄:
[思維建模]
(1)三項式的展開問題,可以利用二項式定理的推導(dǎo)方法來解決問題,其本質(zhì)是計數(shù)原理的運用,用這種方法可以直接求展開式中的某特定項.
(2)三項或三項以上的式子的展開問題,應(yīng)根據(jù)式子的特點,轉(zhuǎn)化為二項式來解決,轉(zhuǎn)化的方法通常為因式分解、項與項結(jié)合,項與項結(jié)合時,要注意合理性和簡捷性.
　　[針對訓(xùn)練]
3.的展開式中,x5項的系數(shù)為 (　　)
A.160 B.210
C.120 D.252
4.(3x3-5x2+1)5的展開式中,除含x5的項之外,剩下所有項的系數(shù)和為 (　　)
A.-299 B.299
C.-301 D.301
題型(三)　二項式定理的整除、余數(shù)問題
[例3]　(1)試求2 01910除以8的余數(shù);
(2)求證:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
聽課記錄:
[思維建模]
(1)利用二項式定理可以解決求整除和余數(shù)的問題,常用的變形是拆數(shù),通常需將數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式,且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.
(2)用二項式定理展開,展開后的大部分項是除數(shù)的倍數(shù),進而可證明或判斷被除數(shù)能否被除數(shù)整除,若不能整除,則可求出余數(shù).
　　[針對訓(xùn)練]
5.1.026的近似值(精確到0.01)為 (　　)
A.1.12 B.1.13
C.1.14 D.1.20
6.S=++…+除以9的余數(shù)為　　　　　.
第2課時　二項式定理的綜合應(yīng)用
[題型(一)]
[例1]　解析:(1)(1+2x)3(1-x)4的展開式中含x項是由第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘第二個因式的一次項與常數(shù)項,然后相加.因此,含x項為(2x)0··(-x)1+·(2x)1··(-x)0,所以含x項的系數(shù)為××(-1)+×2×=-4+6=2.
(2)令x=1,得(1+a)(1+1)6=192,所以a=2.
因為的展開式的通項Tr+1==x-2r,
又(x2+2)=x2+2.令-2r=-2,得r=1;令-2r=0,得r=0.所以展開式中的常數(shù)項為x2x-2+2=8.
答案:(1)C　(2)A
[針對訓(xùn)練]
1.選D　∵(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax·(1+x)5,又(1+x)5展開式的通項Tk+1=·xk,所以(1+ax)(1+x)5的展開式中含x2的項的系數(shù)為+·a=5,所以a=-1.
2.解析:∵(x-1)4=x4-4x3+6x2-4x+1,
∴(x+2)(x-1)4的展開式中含x2的項為x·(-4x)+2×6x2=8x2.
因此a2=8.
令x=0,則a0=2.令x=1,
則a0+a1+a2+a3+a4+a5=0.
所以a1+a2+a3+a4+a5=-a0=-2.
答案:8　-2
[題型(二)]
[例2]　解析:(1)法一　(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的項為T3=(x2+x)3·y2.
其中(x2+x)3中含x5的項為x4·x=x5.
所以x5y2的系數(shù)為=30.故選C.
法二　(x2+x+y)5為5個x2+x+y之積,其中有兩個取y,兩個取x2,一個取x即可,所以x5y2的系數(shù)為=30.故選C.
(2)法一　由=+10,通項為Tr+1=10-r=x5-r,據(jù)題意令5-r=0,即r=5.故常數(shù)項為T6=.
法二　原式==·[(x+)2]5=·(x+)10.
求原展開式中的常數(shù)項,轉(zhuǎn)化為求(x+)10的展開式中含x5的項的系數(shù),即·()5.所以原展開式中的常數(shù)項為=.
答案:(1)C　(2)
[針對訓(xùn)練]
3.選D　因為=x2+10,所以通項Tr+1=(x2)10-r=x20-3r.令20-3r=5,得r=5,所以T6=x5=252x5.故選D.
4.選B　令x=1得(3-5+1)5=-1,所以(3x3-5x2+1)5的展開式中所有項的系數(shù)和為-1,由(3x3-5x2+1)5為5個因式(3x3-5x2+1)相乘,要得到x5項,則五個因式中有一個因式取3x3,一個因式取-5x2,其余三個因式取1,然后相乘而得,所以(3x3-5x2+1)5的展開式中含x5的項為(3x3)1·(-5x2)1=-300x5,所以(3x3-5x2+1)5的展開式中,除含x5的項之外,剩下所有項的系數(shù)和為-1-(-300)=299.
[題型(三)]
[例3]　解:(1)2 01910=(8×252+3)10.
∵其展開式中除末項為310外,其余的各項均含有8這個因數(shù),
∴2 01910除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同.
又∵310=95=(8+1)5,
其展開式中除末項為1外,其余的各項均含有8這個因數(shù),
∴310除以8的余數(shù)為1,即2 01910除以8的余數(shù)也為1.
(2)證明:32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n+…+-8n-9
=8n+1+8n+…+82+(n+1)×8+1-8n-9=8n+1+8n+…+82.①
①式中的每一項都含有82這個因數(shù),故原式能被64整除.
[針對訓(xùn)練]
5.選B　1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023+×0.024+×0.025+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.故選B.
6.解析:依題意S=++…+=227-1=89-1=(9-1)9-1=×99-×98+…+×9--1=9×(×98-×97+…+)-2.因為×98-×97+…+是正整數(shù),所以S被9除的余數(shù)為7.
答案:7
2 / 2(共52張PPT)
二項式定理的綜合應(yīng)用
(深化課——題型研究式教學(xué))
第2課時
課時目標(biāo)
進一步理解二項式定理及其性質(zhì)，能夠利用二項式定理解決兩個多項式乘積的特定項問題.能利用二項式定理解決整除(余數(shù))問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　兩個二項式乘積的問題
題型(二)　三項式的展開問題
題型(三)　二項式定理的
整除、余數(shù)問題
4
課時跟蹤檢測
題型(一)　兩個二項式乘積的問題
01
[例1]　(1)(1+2x)3(1-x)4的展開式中，含x項的系數(shù)為 (　　)
A.10 B.-10
C.2 D.-2
解析：(1+2x)3(1-x)4的展開式中含x項是由第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘第二個因式的一次項與常數(shù)項，然后相加.因此，含x項為(2x)0··(-x)1+·(2x)1··(-x)0，所以含x項的系數(shù)為××(-1)
+×2×=-4+6=2.
√
(2)已知(x2+a)的展開式中所有項的系數(shù)和為192，則展開式中的常數(shù)項為(　　)
A.8 B.6
C.4 D.2
√
解析：令x=1，得(1+a)(1+1)6=192，所以a=2.
因為的展開式的通項
Tr+1==x-2r，
又(x2+2)=x2+2.
令-2r=-2，得r=1；
令-2r=0，得r=0.
所以展開式中的常數(shù)項為x2x-2+2=8.
[思維建模]
兩個二項式乘積的展開式中特定項問題
(1)分別對每個二項展開式進行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點.
(2)找到構(gòu)成展開式中特定項的組成部分.
(3)分別求解再相乘，求和可得.
針對訓(xùn)練
1.已知(1+ax)(1+x)5的展開式中，含x2的項的系數(shù)為5，則a= (　　)
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
解析：∵(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax·(1+x)5，又(1+x)5展開式的通項Tk+1=·xk，所以(1+ax)(1+x)5的展開式中含x2的項的系數(shù)為+·a=5，所以a=-1.
√
2.已知多項式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a2=_____，a1+a2+a3+a4+a5=____.
解析：∵(x-1)4=x4-4x3+6x2-4x+1，
∴(x+2)(x-1)4的展開式中含x2的項為x·(-4x)+2×6x2=8x2.因此a2=8.
令x=0，則a0=2.令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5=0.所以a1+a2+a3+a4+a5
=-a0=-2.
8
-2
題型(二)　三項式的展開問題
02
[例2]　(1)(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為 (　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
√
解析：法一　(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5，
含y2的項為T3=(x2+x)3·y2.
其中(x2+x)3中含x5的項為x4·x=x5.
所以x5y2的系數(shù)為=30.故選C.
法二　(x2+x+y)5為5個x2+x+y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為=30.故選C.
(2)的展開式中整理后的常數(shù)項為_______.
解析：法一　由=，通項為Tr+1==x5-r，據(jù)題意令5-r=0，即r=5.故常數(shù)項為T6=.
法二　原式==·[(x+)2]5=·(x+)10.求原展開式中的常數(shù)項，轉(zhuǎn)化為求(x+)10的展開式中含x5的項的系數(shù)，即·()5.所以原展開式中的常數(shù)項為=.
[思維建模]
(1)三項式的展開問題，可以利用二項式定理的推導(dǎo)方法來解決問題，其本質(zhì)是計數(shù)原理的運用，用這種方法可以直接求展開式中的某特定項.
(2)三項或三項以上的式子的展開問題，應(yīng)根據(jù)式子的特點，轉(zhuǎn)化為二項式來解決，轉(zhuǎn)化的方法通常為因式分解、項與項結(jié)合，項與項結(jié)合時，要注意合理性和簡捷性.
針對訓(xùn)練
3.的展開式中，x5項的系數(shù)為(　　)
A.160 B.210 C.120 D.252
解析：因為=，所以通項Tr+1=(x2)10-r=x20-3r.令20-3r=5，得r=5，所以T6=x5=252x5.故選D.
√
4.(3x3-5x2+1)5的展開式中，除含x5的項之外，剩下所有項的系數(shù)和為 (　　)
A.-299 B.299
C.-301 D.301
√
解析：令x=1得(3-5+1)5=-1，所以(3x3-5x2+1)5的展開式中所有項的系數(shù)和為-1，由(3x3-5x2+1)5為5個因式(3x3-5x2+1)相乘，要得到x5項，則五個因式中有一個因式取3x3，一個因式取-5x2，其余三個因式取1，然后相乘而得，所以(3x3-5x2+1)5的展開式中含x5的項為(3x3)1·(-5x2)1=
-300x5，所以(3x3-5x2+1)5的展開式中，除含x5的項之外，剩下所有項的系數(shù)和為-1-(-300)=299.
題型(三)　二項式定理的
整除、余數(shù)問題
03
[例3]　(1)試求2 01910除以8的余數(shù)；
解：2 01910=(8×252+3)10.
∵其展開式中除末項為310外，其余的各項均含有8這個因數(shù)，
∴2 01910除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同.
又∵310=95=(8+1)5，
其展開式中除末項為1外，其余的各項均含有8這個因數(shù)，
∴310除以8的余數(shù)為1，
即2 01910除以8的余數(shù)也為1.
(2)求證：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
解：證明：32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+8n+…+-8n-9
=8n+1+8n+…+82+(n+1)×8+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82.①
①式中的每一項都含有82這個因數(shù)，故原式能被64整除.
[思維建模]
(1)利用二項式定理可以解決求整除和余數(shù)的問題，常用的變形是拆數(shù)，通常需將數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.
(2)用二項式定理展開，展開后的大部分項是除數(shù)的倍數(shù)，進而可證明或判斷被除數(shù)能否被除數(shù)整除，若不能整除，則可求出余數(shù).
針對訓(xùn)練
5.1.026的近似值(精確到0.01)為 (　　)
A.1.12 B.1.13
C.1.14 D.1.20
解析：1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023+×0.024+
×0.025+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.故選B.
√
6.S=++…+除以9的余數(shù)為_____.
解析：依題意S=++…+=227-1=89-1=(9-1)9-1=×99-
×98+…+×9--1=9×(×98-×97+…+)-2.因為×98-
×97+…+是正整數(shù)，所以S被9除的余數(shù)為7.
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課時跟蹤檢測
04
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3
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2
A級——綜合提能
1.(x2+2)展開式中的常數(shù)項是(　　)
A.-3 B.-2
C.2 D.3
√
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2
解析：展開式的通項為Tk+1=(-1)k=(-1)k.令10-2k=2或10-2k=0，解得k=4或k=5.故(x2+2)·展開式中的常數(shù)項是(-1)4×+2×(-1)5×=3.
1
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2.(1-x)4(1-)3展開式中x2的系數(shù)是(　　)
A.-6 B.-3 C.0 D.3
解析：(1-x)4展開式的通項為Tk+1=(-1)kxk，(1-)3展開式的通項為Tr+1=(-1)r，當(dāng)k=0時，=2，即r=4>3，不符合題意；當(dāng)k=1時，=1，即r=2，此時x2的系數(shù)為(-1)·(-1)2=-12；當(dāng)k=2時，=0，即r=0，此時x2的系數(shù)為·(-1)2·1=6，所以x2的系數(shù)是-12+6=-6.
√
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3.今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過82 025天后是 (　　)
A.星期二 B.星期三
C.星期四 D.星期五
解析：因為82 025=(1+7)2 025=+×7+×72+…+×
72 025，所以82 025被7除的余數(shù)為1，故經(jīng)過82 025天后是星期四，故選C.
√
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2
4.[多選](1+x2)(2+x)4的展開式中 (　　)
A.x3的系數(shù)為40
B.x3的系數(shù)為32
C.常數(shù)項為16
D.常數(shù)項為8
√
√
1
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3
4
2
解析： (1+x2)(2+x)4=(2+x)4+x2(2+x)4，展開式中x3的系數(shù)分為兩部分，一部分是(2+x)4中x3的系數(shù)·2=8，另一部分是(2+x)4中x的系數(shù)·23=32，所以x3的系數(shù)是8+32=40；展開式中常數(shù)項只有(2+x)4展開式中的常數(shù)項，為24=16.
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5.若(x2-a)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a=(　　)
A. B.
C.1 D.2
√
1
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3
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解析：展開式的通項是Tk+1=·x10-k·=·x10-2k，的展開式中含x4，x6項的系數(shù)分別為.因為(x2-a)的展開式中含x6的項由x2與展開式中含x4的項的乘積以及-a與展開式中含x6的項的乘積兩部分構(gòu)成，得-a=120-45a=30，解得a=2.
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6.在(2x-1)6的展開式中，x3的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答)
解析：由題意得，(2x-1)6的展開式中含x3的項為x(2x)2(-1)4
+(2x)4(-1)2=-180x3，所以展開式中x3的系數(shù)為-180.
-180
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7.在(ax-y+z)7的展開式中，記xmynzk項的系數(shù)為f(m，n，k)，若f(3，2，2)
=，則a的值為______.
解析：因為在(ax-y+z)7的展開式中，記xmynzk項的系數(shù)為f(m，n，k)，所以xmynzk項的系數(shù)f(m，n，k)=am·(-1)n，即f(m，n，k)=(-1)n
am·，由f(3，2，2)=，可得(-1)2a3=，即35×6a3
=，所以a=.
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8.的展開式中的常數(shù)項為_____.
解析：因為==(x+1)5+(x+1)4·
+(x+1)3·+(x+1)2·+(x+1)1·+，所以展開式中的常數(shù)項為··15+··13+··11=51.
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9.證明：5151-1能被7整除.
證明：5151-1=(49+2)51-1=×4951+×4950×2+…
+×49×250+×251-1，易知除×251-1以外各項都能被7整除.
又×251-1=(23)17-1=(7+1)17-1=×717+×716+…+×7+-1=7×(×716+×715+…+)，顯然上式能被7整除，所以5151-1能被7整除.
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2
10.已知(1+x+x2)的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N*，且2≤n≤7，求n的值.
解：由題意知的展開式中沒有常數(shù)項，沒有含x-1的項，沒有含x-2的項，∵的展開式的通項為Tr+1=xn-r=xn-4r(0≤r≤n，r∈N，n∈N*，且2≤n≤7)，
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∴n-4r不能取0，-1，-2.若n=4，則n-4r可以為0，
若n=3或n=7，則n-4r可以為-1，若n=2或n=6，則n-4r可以為-2，
只有當(dāng)n=5時，n-4r不能取0，-1，-2，故n=5.
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B級——應(yīng)用創(chuàng)新
11.定義：兩個正整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，比如：35≡25(mod 10).已知：n=-10+102-103+…+1010，滿足n≡p(mod 7)，則p可以是(　　)
A.44 B.32
C.35 D.29
√
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解析：n=-10+102-103+…+1010=(1-10)10=910，910=(7+2)10=710+79×2+×78×22+…+×7×29+×210，所以n除以7的余數(shù)是210=1 024，1 024除以7的余數(shù)是2，選項中44除以7的余數(shù)是2，32除以7的余數(shù)是4，35除以7的余數(shù)是0，29除以7的余數(shù)是1.
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12.[多選](a-x)(1+x)6的展開式中，x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.a=3
B.展開式中常數(shù)項為3
C.展開式中x4的系數(shù)為30
D.展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64
√
√
√
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解析：設(shè)(a-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，
令x=1，得a0+a1+a2+…+a7=64(a-1)，①
令x=-1，得a0-a1+a2-…-a7=0，②
①-②，得2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1)，
因為展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64，
即a1+a3+a5+a7=64，
所以2×64=64(a-1)，解得a=3，
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即(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
令x=0，得a0=3，即展開式中常數(shù)項為3.
①+②，得2(a0+a2+a4+a6)=64×2，
所以a0+a2+a4+a6=64，
即展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64.
(3-x)(1+x)6的展開式中x4的系數(shù)為3×-1×=25.故選ABD.
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13.記M=“720的不同正因數(shù)的個數(shù)”，N=“(1+x-y)5的展開式中x2y2項的系數(shù)”，則 (　　)
A.2M-N=0 B.M-N=0
C.M-N>0 D.M+N<0
√
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解析：因為720=24×32×5，所以720的正因數(shù)有5×3×2=30個，即M=30，又(1+x-y)5展開式的項可以看作從5個盒子中各取出一個元素相乘，每個盒子中均有1，x，-y，要得到x2y2，需從2個盒子中取出x，2個盒子中取出-y，1個盒子中取出1，所以N==30，所以M=N，即M-N=0.
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14.已知(2-)n(n∈N*，n<10)的展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則(x2-x+y)n的展開式中x5y2的系數(shù)為____.
解析：由題意得+=2，即n2-21n+98=0，因為n∈N*，n<10，所以n=7，所以(x2-x+y)n=(x2-x+y)7.(x2-x+y)7的展開式中含x5y2的項為(x2-x)5y2，因為(x2-x)5的展開式中x5的系數(shù)為-，所以(x2-x+y)7的展開式中x5y2的系數(shù)為×(-)=-21.
-21
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15.求(1+x+x2)8展開式中x5的系數(shù).
解：法一　因為(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8，所以Tr+1=(x+x2)r，0≤r≤8，r∈N，
則x5的系數(shù)由(x+x2)r來決定，
Tk+1=xr-kx2k=xr+k，0≤k≤r，k∈N，
令r+k=5，解得或或所以展開式中x5的系數(shù)為++=504.
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法二　因為(1+x+x2)8=[(1+x)+x2]8=(1+x)8+(1+x)7x2+(1+x)6(x2)2+
(1+x)5(x2)3+…+(1+x)(x2)7+(x2)8，所以展開式中x5的系數(shù)為++=504.
法三　(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)·…·(1+x+x2)(共8個)，這8個因式中乘積展開式中形成x5的來源有三個：
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①有2個括號各出1個x2，其余6個括號恰有1個括號出1個x，共有種；
②有1個括號出1個x2，其余7個括號中恰有3個括號各出1個x，共有種；
③沒有1個括號出x2，恰有5個括號各出1個x，共有種.所以x5的系數(shù)是++=504.課時跟蹤檢測(十)　二項式定理的綜合應(yīng)用
A級——綜合提能
1.(x2+2)展開式中的常數(shù)項是 (　　)
A.-3 B.-2
C.2 D.3
2.(1-x)4(1-)3展開式中x2的系數(shù)是 (　　)
A.-6 B.-3
C.0 D.3
3.今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過82 025天后是 (　　)
A.星期二 B.星期三
C.星期四 D.星期五
4.[多選](1+x2)(2+x)4的展開式中 (　　)
A.x3的系數(shù)為40
B.x3的系數(shù)為32
C.常數(shù)項為16
D.常數(shù)項為8
5.若(x2-a)的展開式中x6的系數(shù)為30,則a= (　　)
A. B.
C.1 D.2
6.在(2x-1)6的展開式中,x3的系數(shù)是　　.(用數(shù)字作答)
7.在(ax-y+z)7的展開式中,記xmynzk項的系數(shù)為f(m,n,k),若f(3,2,2)=,則a的值為　　　　.
8.的展開式中的常數(shù)項為　　　.
9.證明:5151-1能被7整除.
10.已知(1+x+x2)的展開式中沒有常數(shù)項,n∈N*,且2≤n≤7,求n的值.
B級——應(yīng)用創(chuàng)新
11.定義:兩個正整數(shù)a,b,若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等,則稱a,b對于模m同余,記作a≡b(mod m),比如:35≡25(mod 10).已知:n=-10+102-103+…+1010,滿足n≡p(mod 7),則p可以是 (　　)
A.44 B.32
C.35 D.29
12.[多選](a-x)(1+x)6的展開式中,x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.a=3
B.展開式中常數(shù)項為3
C.展開式中x4的系數(shù)為30
D.展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64
13.記M=“720的不同正因數(shù)的個數(shù)”,N=“(1+x-y)5的展開式中x2y2項的系數(shù)”,則 (　　)
A.2M-N=0 B.M-N=0
C.M-N>0 D.M+N<0
14.已知(2-)n(n∈N*,n<10)的展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列,則(x2-x+y)n的展開式中x5y2的系數(shù)為　　　　.
15.求(1+x+x2)8展開式中x5的系數(shù).
課時跟蹤檢測(十)
1.選D　展開式的通項為Tk+1=(-1)k=(-1)k.令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.故(x2+2)·展開式中的常數(shù)項是(-1)4×+2×(-1)5×=3.
2.選A　(1-x)4展開式的通項為Tk+1=(-1)kxk,(1-)3展開式的通項為Tr+1=(-1)r,當(dāng)k=0時,=2,即r=4>3,不符合題意;當(dāng)k=1時,=1,即r=2,此時x2的系數(shù)為(-1)·(-1)2=-12;當(dāng)k=2時,=0,即r=0,此時x2的系數(shù)為·(-1)2·1=6,所以x2的系數(shù)是-12+6=-6.
3.選C　因為82 025=(1+7)2 025=+×7+×72+…+×72 025,所以82 025被7除的余數(shù)為1,故經(jīng)過82 025天后是星期四,故選C.
4.選AC　(1+x2)(2+x)4=(2+x)4+x2(2+x)4,展開式中x3的系數(shù)分為兩部分,一部分是(2+x)4中x3的系數(shù)·2=8,另一部分是(2+x)4中x的系數(shù)·23=32,所以x3的系數(shù)是8+32=40;展開式中常數(shù)項只有(2+x)4展開式中的常數(shù)項,為24=16.
5.選D　展開式的通項是Tk+1=·x10-k·=·x10-2k,的展開式中含x4,x6項的系數(shù)分別為,.因為(x2-a)的展開式中含x6的項由x2與展開式中含x4的項的乘積以及-a與展開式中含x6的項的乘積兩部分構(gòu)成,得-a=120-45a=30,解得a=2.
6.解析:由題意得,(2x-1)6的展開式中含x3的項為x(2x)2(-1)4+(2x)4(-1)2=-180x3,所以展開式中x3的系數(shù)為-180.
答案:-180
7.解析:因為在(ax-y+z)7的展開式中,記xmynzk項的系數(shù)為f(m,n,k),
所以xmynzk項的系數(shù)f(m,n,k)=am·(-1)n,即f(m,n,k)=(-1)nam·,由f(3,2,2)=,可得(-1)2a3=,即35×6a3=,所以a=.
答案:
8.解析:因為=(x+1)+5=(x+1)5+(x+1)4·+(x+1)3·+(x+1)2·+(x+1)1·+,所以展開式中的常數(shù)項為··15+··13+··11=51.
答案:51
9.證明:5151-1=(49+2)51-1=×4951+×4950×2+…+×49×250+×251-1,易知除×251-1以外各項都能被7整除.
又×251-1=(23)17-1=(7+1)17-1=×717+×716+…+×7+-1=7×(×716+×715+…+),顯然上式能被7整除,所以5151-1能被7整除.
10.解:由題意知的展開式中沒有常數(shù)項,沒有含x-1的項,沒有含x-2的項,∵的展開式的通項為Tr+1=xn-r=xn-4r(0≤r≤n,r∈N,n∈N*,且2≤n≤7),
∴n-4r不能取0,-1,-2.若n=4,則n-4r可以為0,
若n=3或n=7,則n-4r可以為-1,若n=2或n=6,則n-4r可以為-2,
只有當(dāng)n=5時,n-4r不能取0,-1,-2,故n=5.
11.選A　n=-10+102-103+…+1010=(1-10)10=910,910=(7+2)10=710+79×2+×78×22+…+×7×29+×210,所以n除以7的余數(shù)是210=1 024,1 024除以7的余數(shù)是2,選項中44除以7的余數(shù)是2,32除以7的余數(shù)是4,35除以7的余數(shù)是0,29除以7的余數(shù)是1.
12.選ABD　設(shè)(a-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=64(a-1),①
令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=0,②
①-②,得2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1),
因為展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64,
即a1+a3+a5+a7=64,
所以2×64=64(a-1),解得a=3,
即(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
令x=0,得a0=3,即展開式中常數(shù)項為3.
①+②,得2(a0+a2+a4+a6)=64×2,
所以a0+a2+a4+a6=64,
即展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64.
(3-x)(1+x)6的展開式中x4的系數(shù)為3×-1×=25.故選ABD.
13.選B　因為720=24×32×5,所以720的正因數(shù)有5×3×2=30個,即M=30,又(1+x-y)5展開式的項可以看作從5個盒子中各取出一個元素相乘,每個盒子中均有1,x,-y,要得到x2y2,需從2個盒子中取出x,2個盒子中取出-y,1個盒子中取出1,所以N==30,所以M=N,即M-N=0.
14.解析:由題意得+=2,即n2-21n+98=0,因為n∈N*,n<10,所以n=7,所以(x2-x+y)n=(x2-x+y)7.(x2-x+y)7的展開式中含x5y2的項為(x2-x)5y2,因為(x2-x)5的展開式中x5的系數(shù)為-,所以(x2-x+y)7的展開式中x5y2的系數(shù)為×(-)=-21.
答案:-21
15.解:法一　因為(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8,所以Tr+1=(x+x2)r,0≤r≤8,r∈N,
則x5的系數(shù)由(x+x2)r來決定,Tk+1=xr-kx2k=xr+k,0≤k≤r,k∈N,
令r+k=5,解得或或所以展開式中x5的系數(shù)為++=504.
法二　因為(1+x+x2)8=[(1+x)+x2]8=(1+x)8+(1+x)7x2+(1+x)6(x2)2+(1+x)5(x2)3+…+(1+x)(x2)7+(x2)8,
所以展開式中x5的系數(shù)為++=504.
法三　(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)·…·(1+x+x2)(共8個),這8個因式中乘積展開式中形成x5的來源有三個:
①有2個括號各出1個x2,其余6個括號恰有1個括號出1個x,共有種;
②有1個括號出1個x2,其余7個括號中恰有3個括號各出1個x,共有種;
③沒有1個括號出x2,恰有5個括號各出1個x,共有種.
所以x5的系數(shù)是++=504.
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