資源簡介

7.1.1　條件概率
第1課時　條件概率(強基課梯度進階式教學)
課時目標
結合古典概型,了解條件概率的定義;利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題.
　　條件概率的概念
一般地,設A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)=　　　　為在事件A發生的條件下,事件B發生的條件概率,簡稱條件概率.
微點助解
(1)P(B|A)與P(A|B)意義不同,由條件概率的定義可知P(B|A)表示在事件A已經發生的條件下事件B發生的條件概率;而P(A|B)表示在事件B已經發生的條件下事件A發生的條件概率.
(2)P(B|A)與P(AB),P(A)三者互不相同,P(B|A)是在事件A已經發生的條件下,事件B發生的概率,P(AB)表示事件A與B同時發生的概率,P(A)是事件A的概率,P(B|A)與P(B)不一定相等.
[基點訓練]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)P(B|A)(2)事件A發生的條件下,事件B發生,相當于A,B同時發生. (　　)
(3)P(A|A)=0. (　　)
(4)P(B|A)=P(A|B). (　　)
2.已知P(AB)=,P(A)=,則P(B|A)為 (　　)
A. B.
C. D.
3.夏季里,每天甲、乙兩地下雨的概率分別為,,且兩地同時下雨的概率為,則在夏季的一天里,在乙地下雨的條件下,甲地也下雨的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
4.將一枚質地均勻的硬幣拋擲2次,設事件A為“第一次出現正面”,事件B為“第二次出現正面”,求P(A|B)與P(B|A).
題型(一)　條件概率的概念
[例1]　下列命題是條件概率的為 (　　)
A.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,各投籃一次都投中的概率
B.有10件產品,其中3件次品,抽2件產品進行檢驗,恰好抽到一件次品的概率
C.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率
D.小明上學路上要過四個路口,每個路口遇到紅燈的概率都是,小明在一次上學途中遇到紅燈的概率
聽課記錄:
[思維建模]
　　判斷是不是條件概率,主要看一個事件的發生是不是在另一個事件發生的條件下進行的.
　　[針對訓練]
1.[多選]下列命題是條件概率的為 (　　)
A.某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學生運動會,每人參加一不同的項目,已知一名女生獲得冠軍,則高一的女生獲得冠軍的概率
B.擲一枚骰子,求擲出的點數為3的概率
C.在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張,已知抽到梅花的條件下,求抽到的是梅花5的概率
D.商場進行抽獎活動,某位顧客中獎的概率
2.若P()=,P(B|A)=,則P(AB)= (　　)
A. B.
C. D.
題型(二)　求條件概率
方法1　利用定義求條件概率
[例2]　(1)(2023·全國甲卷)某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰,50%的同學愛好滑雪,70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學,若該同學愛好滑雪,則該同學也愛好滑冰的概率為 (　　)
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.4
(2)現有4名男生,2名女生,從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動,在男生甲被選中的條件下,女生乙也被選中的概率為　　　　.
聽課記錄:
[思維建模]
利用定義計算條件概率的步驟
(1)分別計算概率P(AB)和P(A).
(2)代入公式得P(B|A)=.這個公式適用于一般情形,其中AB表示A,B同時發生.
　　
[針對訓練]
3.太行山脈有很多優美的旅游景點.現有甲、乙兩位游客慕名來到太行山脈,都準備從C,D,E,F4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩.設事件A為“甲和乙至少一人選擇C”,事件B為“甲和乙選擇的景點不同”,則條件概率P(B|A)= (　　)
A. B.
C. D.
4.已知甲同學從學校的4個科技類社團,3個藝術類社團,2個體育類社團中選擇報名參加,若甲報名了兩個社團,則在僅有一個是科技類社團的條件下,另一個是體育類社團的概率為 (　　)
A. B. C. D.
方法2　縮小樣本空間求條件概率
[例3]　集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從集合A中任取一個數,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇數的條件下,求乙抽到的數比甲抽到的數大的概率.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
1.本例條件不變,求乙抽到偶數的概率.
2.本例條件“若甲先取(不放回),乙后取”變為“若甲先取(放回),乙后取”.事件A為“甲抽到的數大于4”,事件B為“甲、乙抽到的兩數之和等于7”,求P(B|A).
[思維建模]
利用縮小樣本空間法求條件概率的步驟
(1)縮:將原來的樣本空間Ω縮小為事件A,原來的事件B縮小為AB.
(2)數:數出A中事件AB所包含的樣本點數.
(3)算:利用P(B|A)=求得結果.
　　[針對訓練]
5.一個盒子內裝有4個產品,其中3個一等品,1個二等品,從中取兩次,每次任取1個,進行不放回抽取.設事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,試求條件概率P(B|A).
第1課時　條件概率
課前環節
[基點訓練]
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.B
3.選C　記事件A為甲地下雨,事件B為乙地下雨,則P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(A|B)===.故選C.
4.解:由題意可知,事件A包含的樣本點為(正,正),(正,反),事件B包含的樣本點為(正,正),(反,正),事件AB所包含的樣本點為(正,正),所以P(A|B)==,P(B|A)==.
課堂環節
[題型(一)]
[例1]　選C　由條件概率的定義:某一事件已發生的條件下,另一事件發生的概率.選項A,甲、乙各投籃一次都投中的概率,不是條件概率;選項B,抽2件產品恰好抽到一件次品,不是條件概率;選項C,甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率,是條件概率;選項D,一次上學途中遇到紅燈的概率,不是條件概率.
[針對訓練]
1.AC
2.選C　∵P()=,∴P(A)=1-=,又P(B|A)=,則P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.
[題型(二)]
[例2]　解析:
(1)法一　如圖,左圓表示愛好滑冰的學生所占比例,右圓表示愛好滑雪的學生所占比例,A表示愛好滑冰且不愛好滑雪的學生所占比例,B表示既愛好滑冰又愛好滑雪的學生所占比例,C表示愛好滑雪且不愛好滑冰的學生所占比例,則0.6+0.5-B=0.7,所以B=0.4,C=0.5-0.4=0.1.所以若該學生愛好滑雪,則他也愛好滑冰的概率為==0.8,故選A.
法二　令事件A,B分別表示該學生愛好滑冰、該學生愛好滑雪,事件C表示該學生愛好滑雪的條件下也愛好滑冰,則P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4,所以P(C)=P(A|B)===0.8,故選A.
(2)設事件A表示“男生甲被選中”,事件B表示“女生乙被選中”,則由題意可得P(A)==,P(AB)==,∴P(B|A)==.故在男生甲被選中的條件下,女生乙也被選中的概率為.
答案:(1)A　(2)
[針對訓練]
3.選D　由題意知兩位游客從4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩,共有4×4=16種,其中事件A的情況有4×4-3×3=7種,事件A和事件B共同發生的情況有2×3=6種,所以P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)===.
4.選B　設事件A為“所報的兩個社團中僅有一個是科技類”,事件B為“所報兩個社團中有一個是體育類”,則P(A)==,P(AB)==,則P(B|A)==.
[例3]　解:將甲抽到數字a,乙抽到數字b,記為(a,b),甲抽到奇數的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15種情況.在這15種情況中,乙抽到的數比甲抽到的數大的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9種情況,所以所求概率為P==.
[變式拓展]
1.解:在甲抽到奇數的情形中,乙抽到偶數的情形有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9種情況,所以所求概率為P==.
2.解:甲抽到的數大于4的情形有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12種情況,其中甲、乙抽到的兩數之和等于7的情形有(5,2),(6,1),共2種情況.所以P(B|A)==.
[針對訓練]
5.解:將3個一等品編號為1,2,3,二等品編號為4,以(i,j)表示第一次、第二次分別取得第i號、第j號產品,則試驗的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件A有9個樣本點,事件AB有6個樣本點,P(B|A)===.
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7.1.1
條件概率
條件概率
(強基課——梯度進階式教學)
第1課時
課時目標
結合古典概型，了解條件概率的定義；利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環節/預知教材·自主落實主干基礎
課堂環節/題點研究·遷移應用融會貫通
課時跟蹤檢測
課前環節/預知教材·
自主落實主干基礎
條件概率的概念
一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)=_________為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率.
微點助解
(1)P(B|A)與P(A|B)意義不同，由條件概率的定義可知P(B|A)表示在事件A已經發生的條件下事件B發生的條件概率；而P(A|B)表示在事件B已經發生的條件下事件A發生的條件概率.
(2)P(B|A)與P(AB)，P(A)三者互不相同，P(B|A)是在事件A已經發生的條件下，事件B發生的概率，P(AB)表示事件A與B同時發生的概率，P(A)是事件A的概率，P(B|A)與P(B)不一定相等.
基點訓練
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)P(B|A)(2)事件A發生的條件下，事件B發生，相當于A，B同時發生. (　　)
(3)P(A|A)=0. (　　)
(4)P(B|A)=P(A|B). (　　)
×　
√　
×　
×
2.已知P(AB)=，P(A)=，則P(B|A)為(　　)
A. B.
C. D.
√
3.夏季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為，且兩地同時下雨的概率為，則在夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為(　　)
A.B. C. D.
解析：記事件A為甲地下雨，事件B為乙地下雨，則P(A)=，P(B)=，P(AB)=，所以P(A|B)===.故選C.
√
4.將一枚質地均勻的硬幣拋擲2次，設事件A為“第一次出現正面”，事件B為“第二次出現正面”，求P(A|B)與P(B|A).
解：由題意可知，事件A包含的樣本點為(正，正)，(正，反)，事件B包含的樣本點為(正，正)，(反，正)，事件AB所包含的樣本點為(正，正)，所以P(A|B)==，P(B|A)==.
課堂環節/題點研究·
遷移應用融會貫通
題型(一)　條件概率的概念
[例1]　下列命題是條件概率的為 (　　)
A.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率
B.有10件產品，其中3件次品，抽2件產品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
C.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率
D.小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學途中遇到紅燈的概率
√
解析：由條件概率的定義：某一事件已發生的條件下，另一事件發生的概率.選項A，甲、乙各投籃一次都投中的概率，不是條件概率；選項B，抽2件產品恰好抽到一件次品，不是條件概率；選項C，甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率，是條件概率；選項D，一次上學途中遇到紅燈的概率，不是條件概率.
[思維建模]
判斷是不是條件概率，主要看一個事件的發生是不是在另一個事件發生的條件下進行的.
針對訓練
1.[多選]下列命題是條件概率的為 (　　)
A.某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學生運動會，每人參加一不同的項目，已知一名女生獲得冠軍，則高一的女生獲得冠軍的概率
B.擲一枚骰子，求擲出的點數為3的概率
C.在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張，已知抽到梅花的條件下，求抽到的是梅花5的概率
D.商場進行抽獎活動，某位顧客中獎的概率
√
√
2.若P()=，P(B|A)=，則P(AB)=(　　)
A. B. C. D.
解析：∵P()=，∴P(A)=1-=，又P(B|A)=，
則P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.
√
題型(二)　求條件概率
方法1　利用定義求條件概率 　
[例2]　(1)(2023·全國甲卷)某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為(　　)
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.4
√
解析：法一　如圖，左圓表示愛好滑冰的學生所占比
例，右圓表示愛好滑雪的學生所占比例，A表示愛好
滑冰且不愛好滑雪的學生所占比例，B表示既愛好滑
冰又愛好滑雪的學生所占比例，C表示愛好滑雪且不愛好滑冰的學生所占比例，則0.6+0.5-B=0.7，所以B=0.4，C=0.5-0.4=0.1.所以若該學生愛好滑雪，則他也愛好滑冰的概率為==0.8，故選A.
法二　令事件A，B分別表示該學生愛好滑冰、該學生愛好滑雪，事件C表示該學生愛好滑雪的條件下也愛好滑冰，則P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4，所以P(C)=P(A|B)===0.8，故選A.
(2)現有4名男生，2名女生，從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的條件下，女生乙也被選中的概率為　　　　.
解析：設事件A表示“男生甲被選中”，事件B表示“女生乙被選中”，則由題意可得P(A)==，P(AB)==，∴P(B|A)==.故在男生甲被選中的條件下，女生乙也被選中的概率為.
[思維建模]
利用定義計算條件概率的步驟
(1)分別計算概率P(AB)和P(A).
(2)代入公式得P(B|A)=.這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發生.
針對訓練
3.太行山脈有很多優美的旅游景點.現有甲、乙兩位游客慕名來到太行山脈，都準備從C，D，E，F4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩.設事件A為“甲和乙至少一人選擇C”，事件B為“甲和乙選擇的景點不同”，則條件概率P(B|A)= (　　)
A.B. C. D.
√
解析：由題意知兩位游客從4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩，共有4×4=16種，其中事件A的情況有4×4-3×3=7種，事件A和事件B共同發生的情況有2×3=6種，所以P(A)=，P(AB)==，所以P(B|A)===.
4.已知甲同學從學校的4個科技類社團，3個藝術類社團，2個體育類社團中選擇報名參加，若甲報名了兩個社團，則在僅有一個是科技類社團的條件下，另一個是體育類社團的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
√
解析：設事件A為“所報的兩個社團中僅有一個是科技類”，事件B為“所報兩個社團中有一個是體育類”，則P(A)==，P(AB)==，則P(B|A)==.
方法2　縮小樣本空間求條件概率 　
[例3]　集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙兩人各從集合A中任取一個數，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數的條件下，求乙抽到的數比甲抽到的數大的概率.
解：將甲抽到數字a，乙抽到數字b，記為(a，b)，甲抽到奇數的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15種情況.在這15種情況中，乙抽到的數比甲抽到的數大的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9種情況，所以所求概率為P==.
變式拓展
1.本例條件不變，求乙抽到偶數的概率.
解：在甲抽到奇數的情形中，乙抽到偶數的情形有(1，2)，(1，4)，
(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9種情況，所以所求概率為P==.
2.本例條件“若甲先取(不放回)，乙后取”變為“若甲先取(放回)，乙后取”.事件A為“甲抽到的數大于4”，事件B為“甲、乙抽到的兩數之和等于7”，求P(B|A).
解：甲抽到的數大于4的情形有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12種情況，其中甲、乙抽到的兩數之和等于7的情形有(5，2)，(6，1)，共2種情況.所以P(B|A)==.
[思維建模]
利用縮小樣本空間法求條件概率的步驟
(1)縮：將原來的樣本空間Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為AB.
(2)數：數出A中事件AB所包含的樣本點數.
(3)算：利用P(B|A)=求得結果.
針對訓練
5.一個盒子內裝有4個產品，其中3個一等品，1個二等品，從中取兩次，每次任取1個，進行不放回抽取.設事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”，試求條件概率P(B|A).
解：將3個一等品編號為1，2，3，二等品編號為4，以(i，j)表示第一次、第二次分別取得第i號、第j號產品，則試驗的樣本空間Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9個樣本點，事件AB有6個樣本點，P(B|A)===.
課時跟蹤檢測
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A級——綜合提能
1.設A，B為兩個事件，且P(A)>0，若P(AB)=，P(A)=，則P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
解析：P(B|A)===.
√
1
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13
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2
3
4
2.某校開展了課后延時服務，要求張老師在每個星期的周一至周五選兩天參加課后延時服務，則張老師在周二參加課后延時服務的條件下，周三也參加課后延時服務的概率為 (　　)
A.B. C. D.
解析：張老師在周二參加課后延時服務的條件下，周一至周五還剩余4天，張老師周三也參加課后延時服務的概率P=.
√
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6
7
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10
11
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3
4
2
3.有7件產品，其中4件正品，3件次品，現不放回從中取2件產品，每次一件，則在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為 (　　)
A.B. C. D.
解析：設“第一次取得次品”為事件A，“第二次取得正品”為事件B，則P(AB)==，P(A)==，所以P(B|A)==×=.故選B.
√
1
5
6
7
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3
4
2
4.[多選]下列說法不正確的是 (　　)
A.P(B|A)B.P(B|A)=是可能的
C.P(B|A)=P(A|B)
D.P(A|A)=1
√
√
1
5
6
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9
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3
4
2
解析：由條件概率公式P(B|A)=及01
5
6
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3
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2
5.質數(prime number)又稱素數，一個大于1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除，則這個數為質數.數學上把相差為2的兩個素數叫做“孿生素數”，如：3和5，5和7，…，那么，如果我們在不超過30的自然數中，隨機選取兩個不同的數，記事件A：這兩個數都是素數；事件B：這兩個數不是孿生素數，則P(B|A)= (　　)
A. B.
C. D.
√
1
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解析：不超過30的自然數有31個，其中素數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，孿生素數有3和5，5和7，11和13，17和19，共4組.所以P(A)==，P(AB)==，所以P(B|A)===.
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6.設A，B為兩個事件，若事件A和事件B同時發生的概率為，在事件B發生的前提下，事件A發生的概率為，則事件B發生的概率為　　　　.
解析：因為P(A|B)=，
而P(AB)=，P(A|B)=，
所以P(B)===.
7.某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚上值班的概率為　　　　.
解析：設事件A為“周日值班”，事件B為“周六值班”，則P(A)==，P(AB)==，故P(B|A)==.
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4
2
8.某校高三(1)班有學生40人，其中共青團員15人.全班平均分成4個小組，其中第一組有共青團員4人.從該班任選一人作學生代表.
(1)求選到的是第一組學生的概率；
解：設事件A表示“選到第一組學生”，事件B表示“選到共青團員”.
由題意，得P(A)==.
1
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14
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4
2
(2)已知選到的是共青團員，求他是第一組學生的概率.
解：設事件A表示“選到第一組學生”，事件B表示“選到共青團員”.
法一　要求的是在事件B發生的條件下，事件A發生的概率P(A|B).不難理解，在事件B發生的條件下(即以所選到的學生是共青團員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇.因此，P(A|B)=.
法二　P(B)==，P(AB)==，
所以P(A|B)==.
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9.袋子中裝有標號為1，2，3，4，5，6，7的7個大小、顏色完全相同的小球，從中不放回地摸兩次球，每次一個，求第一次摸出奇數號球，第二次摸出偶數號球的概率是多少
解：設“第一次摸出奇數號球”為事件B，“第二次摸出偶數號球”為事件A，“第一次摸出奇數號球同時第二次摸出偶數號球”為事件AB，
從7個球中不放回地摸兩次球，樣本點總數為=7×6=42，
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事件B含有的樣本點數為=4×6=24，于是P(B)==，
事件AB含有的樣本點數為=4×3=12，于是P(AB)==，
由條件概率公式，得P(A|B)===，
所以第一次摸出奇數號球，第二次摸出偶數號球的概率為.
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B級——應用創新
10.某校舉辦中學生乒乓球運動會，高一年級初步推選3名女生和4名男生參賽，并從中隨機選取3人組成代表隊參賽，在代表隊中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析：用A表示事件“代表隊中既有男生又有女生”，B表示事件“女生甲被選中”，則在代表隊中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為P(B|A).∵n(A)=--=30，n(AB)=+=8+6=14，∴P(B|A)===.
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11.已知桌上放有3本語文書和3本數學書.小明現從這6本書中任意抽取3本書，事件A表示“至少抽到1本數學書”，事件B表示“抽到語文書和數學書”，則P(B|A)等于 (　　)
A. B.
C. D.
√
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解析：由題意得n(A)=-=20-1=19，n(AB)=+=18，由條件概率的公式得P(B|A)==.
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12.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數，事件A為“第一次取到的是奇數”，B為“第二次取到的數是3的整數倍”，則P(B|A)等于 (　　)
A. B.
C. D.
√
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解析：由題意得P(A)=，事件AB為“第一次取到的是奇數且第二次取到的數是3的整數倍”，若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有2×2+3×3
=13(個)樣本點，則P(AB)==，由條件概率的定義，得P(B|A)
==.
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13.(2024·天津高考)A，B，C，D，E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為　　　　；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為　　　　.
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解析：由題意知甲選到A的概率P==.記“乙選擇A活動”為事件M，“乙選擇B活動”為事件N，則P(M)==，P(MN)==，所以P(N|M)===.
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14.某超市為了調查顧客單次購物金額與年齡的關系，從年齡在[20，70]內的顧客中，隨機抽取了100人，調查結果如表：
年齡段類型 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
單次購物金 額滿188元 8 15 23 15 9
單次購物 金額不滿 188元 2 3 5 9 11
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(1)為了回饋顧客，超市準備開展對單次購物金額滿188元的每位顧客贈送1個環保購物袋的活動.若活動當日該超市預計有5 000人購物，由頻率估計概率，預計活動當日該超市應準備多少個環保購物袋
解：由題表可知，單次購物金額滿188元的有8+15+23+15+9=70人，
所以單次購物金額滿188元的頻率為=，所以 5 000人中，單次購物金額滿188元的大約有5 000×=3 500人，故需準備3 500個環保購物袋.
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(2)在上面抽取的100人中，隨機依次抽取2人，已知第1次抽到的顧客單次購物金額不滿188元，求第2次抽到的顧客單次購物金額滿188元的概率.
解：記事件A為“第1次抽到的顧客單次購物金額不滿188元”，記事件B為“第2次抽到的顧客單次購物金額滿188元”，
所以P(A)==，P(AB)=×=，所以P(B|A)===，
故第2次抽到的顧客單次購物金額滿188元的概率為.課時跟蹤檢測(十二)　條件概率
A級——綜合提能
1.設A,B為兩個事件,且P(A)>0,若P(AB)=,P(A)=,則P(B|A)等于 (　　)
A. B.
C. D.
2.某校開展了課后延時服務,要求張老師在每個星期的周一至周五選兩天參加課后延時服務,則張老師在周二參加課后延時服務的條件下,周三也參加課后延時服務的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
3.有7件產品,其中4件正品,3件次品,現不放回從中取2件產品,每次一件,則在第一次取得次品的條件下,第二次取得正品的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
4.[多選]下列說法不正確的是 (　　)
A.P(B|A)B.P(B|A)=是可能的
C.P(B|A)=P(A|B)
D.P(A|A)=1
5.質數(prime number)又稱素數,一個大于1的自然數,除了1和它本身外,不能被其他自然數整除,則這個數為質數.數學上把相差為2的兩個素數叫做“孿生素數”,如:3和5,5和7,…,那么,如果我們在不超過30的自然數中,隨機選取兩個不同的數,記事件A:這兩個數都是素數;事件B:這兩個數不是孿生素數,則P(B|A)= (　　)
A. B.
C. D.
6.設A,B為兩個事件,若事件A和事件B同時發生的概率為,在事件B發生的前提下,事件A發生的概率為,則事件B發生的概率為　　　　.
7.某人一周晚上值2次班,在已知他周日一定值班的條件下,他在周六晚上值班的概率為　　　　.
8.某校高三(1)班有學生40人,其中共青團員15人.全班平均分成4個小組,其中第一組有共青團員4人.從該班任選一人作學生代表.
(1)求選到的是第一組學生的概率;
(2)已知選到的是共青團員,求他是第一組學生的概率.
9.袋子中裝有標號為1,2,3,4,5,6,7的7個大小、顏色完全相同的小球,從中不放回地摸兩次球,每次一個,求第一次摸出奇數號球,第二次摸出偶數號球的概率是多少
B級——應用創新
10.某校舉辦中學生乒乓球運動會,高一年級初步推選3名女生和4名男生參賽,并從中隨機選取3人組成代表隊參賽,在代表隊中既有男生又有女生的條件下,女生甲被選中的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
11.已知桌上放有3本語文書和3本數學書.小明現從這6本書中任意抽取3本書,事件A表示“至少抽到1本數學書”,事件B表示“抽到語文書和數學書”,則P(B|A)等于 (　　)
A. B.
C. D.
12.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2個數,事件A為“第一次取到的是奇數”,B為“第二次取到的數是3的整數倍”,則P(B|A)等于 (　　)
A. B.
C. D.
13.(2024·天津高考)A,B,C,D,E五種活動,甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為　　　　;已知乙選了A活動,他再選擇B活動的概率為　　　　.
14.某超市為了調查顧客單次購物金額與年齡的關系,從年齡在[20,70]內的顧客中,隨機抽取了100人,調查結果如表:
年齡段類型 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
單次購物金 額滿188元 8 15 23 15 9
單次購物 金額不滿 188元 2 3 5 9 11
(1)為了回饋顧客,超市準備開展對單次購物金額滿188元的每位顧客贈送1個環保購物袋的活動.若活動當日該超市預計有5 000人購物,由頻率估計概率,預計活動當日該超市應準備多少個環保購物袋
(2)在上面抽取的100人中,隨機依次抽取2人,已知第1次抽到的顧客單次購物金額不滿188元,求第2次抽到的顧客單次購物金額滿188元的概率.
課時跟蹤檢測(十二)
1.選A　P(B|A)===.
2.選B　張老師在周二參加課后延時服務的條件下,周一至周五還剩余4天,張老師周三也參加課后延時服務的概率P=.
3.選B　設“第一次取得次品”為事件A,“第二次取得正品”為事件B,則P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)==×=.故選B.
4.選AC　由條件概率公式P(B|A)=及05.選D　不超過30的自然數有31個,其中素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個,孿生素數有3和5,5和7,11和13,17和19,共4組.所以P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)===.
6.解析:因為P(A|B)=,而P(AB)=,P(A|B)=,所以P(B)===.
答案:
7.解析:設事件A為“周日值班”,事件B為“周六值班”,則P(A)==,P(AB)==,故P(B|A)==.
答案:
8.解:設事件A表示“選到第一組學生”,事件B表示“選到共青團員”.
(1)由題意,得P(A)==.
(2)法一　要求的是在事件B發生的條件下,事件A發生的概率P(A|B).不難理解,在事件B發生的條件下(即以所選到的學生是共青團員為前提),有15種不同的選擇,其中屬于第一組的有4種選擇.因此,P(A|B)=.
法二　P(B)==,P(AB)==,所以P(A|B)==.
9.解:設“第一次摸出奇數號球”為事件B,“第二次摸出偶數號球”為事件A,“第一次摸出奇數號球同時第二次摸出偶數號球”為事件AB,
從7個球中不放回地摸兩次球,樣本點總數為=7×6=42,
事件B含有的樣本點數為=4×6=24,于是P(B)==,
事件AB含有的樣本點數為=4×3=12,于是P(AB)==,
由條件概率公式,得P(A|B)===,
所以第一次摸出奇數號球,第二次摸出偶數號球的概率為.
10.選B　用A表示事件“代表隊中既有男生又有女生”,B表示事件“女生甲被選中”,則在代表隊中既有男生又有女生的條件下,女生甲被選中的概率為P(B|A).∵n(A)=--=30,n(AB)=+=8+6=14,∴P(B|A)===.
11.選D　由題意得n(A)=-=20-1=19,n(AB)=+=18,由條件概率的公式得P(B|A)==.
12.選B　由題意得P(A)=,事件AB為“第一次取到的是奇數且第二次取到的數是3的整數倍”,若第一次取到的為3或9,第二次有2種情況;若第一次取到的為1,5,7,第二次有3種情況,故共有2×2+3×3=13(個)樣本點,則P(AB)==,由條件概率的定義,得P(B|A)==.
13.解析:由題意知甲選到A的概率P==.記“乙選擇A活動”為事件M,“乙選擇B活動”為事件N,則P(M)==,P(MN)==,所以P(N|M)===.
答案:　
14.解:(1)由題表可知,單次購物金額滿188元的有8+15+23+15+9=70人,
所以單次購物金額滿188元的頻率為=,所以 5 000人中,單次購物金額滿188元的大約有5 000×=3 500人,故需準備3 500個環保購物袋.
(2)記事件A為“第1次抽到的顧客單次購物金額不滿188元”,記事件B為“第2次抽到的顧客單次購物金額滿188元”,
所以P(A)==,P(AB)=×=,所以P(B|A)===,
故第2次抽到的顧客單次購物金額滿188元的概率為.
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