資源簡介

7.1.2　全概率公式(強基課梯度進階式教學)
課時目標
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推導全概率公式.
2.理解全概率公式,并會利用全概率公式計算概率.
3.了解貝葉斯公式,并會簡單應用.
1.全概率公式
(1)定義:一般地,設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B Ω,有　　　　　　　　　　.
(2)全概率公式實質上是條件概率性質的推廣形式:
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).
2.貝葉斯公式*
設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n.
微點助解
條件概率、全概率公式、貝葉斯公式之間的關系
條件概率P(B|A)=乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)
　　　　　 　全概率公式
　　　 P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
　　　　 　　貝葉斯公式
P(Ai|B)= ，i=1，2，…，n
[基點訓練]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)全概率公式為概率論中的重要公式,它將對一個復雜事件A的概率求解問題,轉化為在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題. (　　)
(2)所研究的事件試驗前提或前一步驟有多種可能,在這多種可能中,均有所研究的事件發生,這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式. (　　)
(3)全概率公式用于求復雜事件的概率,是求最后結果的概率. (　　)
(4)全概率公式中樣本空間Ω中的事件Ai需滿足的條件為Ai=Ω. (　　)
(5)若P(A)>0,P()>0,則P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|). (　　)
2.已知某手機專賣店只售賣甲、乙兩種品牌的智能手機,其占有率和優質率的信息如表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
優質率 95% 90%
從該專賣店中隨機購買一部智能手機,則買到的是優質品的概率是 (　　)
A.93% B.94%
C.95% D.96%
3.一電器商店出售兩家工廠生產的平板電腦,甲廠的平板電腦占70%,乙廠的平板電腦占30%.甲廠平板電腦的合格率為95%,乙廠平板電腦的合格率為80%,則該商店所售平板電腦的合格率為　　　　.
題型(一)　全概率公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　長假期間,某人從甲地到乙地駕車出行.已知共有3條路可選,第一條路堵車的概率為,第二條路堵車的概率為,第三條路堵車的概率為.求從甲地到乙地堵車的概率.
聽課記錄:
[思維建模]
兩個事件的全概率問題求解策略
(1)拆分:將樣本空間拆分成互斥的兩部分,如A1,A2(或A與).
(2)計算:利用乘法公式計算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
　　[針對訓練]
1.已知A,B為兩個隨機事件,0A. B.
C. D.
2.某批麥種中,一等麥種占80%,二等麥種占20%,等麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6,0.2,則這批麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率為 (　　)
A.0.48 B.0.52
C.0.56 D.0.65
題型(二)　全概率公式的實際應用
[例2]　為了考查學生對高中數學知識的掌握程度,準備了甲、乙兩個不透明紙箱.其中,甲箱中有2道概念敘述題,2道計算題;乙箱中有2道概念敘述題,3道計算題(所有題目均不相同).現有A,B兩個同學來抽題回答,每個同學在甲或乙兩個紙箱中逐個隨機抽取兩道題作答.每個同學先抽取1道題作答,答完題目后不放回,再抽取一道題作答(不在題目上作答).兩道題答題結束后,再將這兩道題目放回原紙箱.
(1)如果A同學從甲箱中抽取兩道題,求第二題抽到的是概念敘述題的概率;
(2)如果A同學從甲箱中抽取兩道題,解答完后,誤把題目放到了乙箱中.B同學接著抽取題目回答,若他從乙箱中抽取兩道題目,求第一個題目抽取概念敘述題的概率.
聽課記錄:
[思維建模]
　　當直接求事件A發生的概率不易求出時,可以采用化整為零的方式,即把事件A分解,然后借助全概率公式間接求出事件A發生的概率.
　　[針對訓練]
3.設甲袋中有4個白球和4個紅球,乙袋中有1個白球和2個紅球(每個球除顏色以外均相同).
(1)從甲袋中取4個球,求這4個球中恰好有3個紅球的概率;
(2)先從乙袋中取2個球放入甲袋,再從甲袋中取2個球,求從甲袋中取出的是2個紅球的概率.
題型(三)　貝葉斯公式*
[例3]　玻璃杯整箱出售,共3箱,每箱20只.假設各箱含有0,1,2只殘次品的概率對應為0.8,0.1和0.1.一顧客欲購買一箱玻璃杯,在購買時,售貨員隨意取一箱,而顧客隨機查看4只玻璃杯,若無殘次品,則買下該箱玻璃杯;否則不買.設事件A表示“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”,事件Bi表示“箱中恰好有i(i=0,1,2)只殘次品”,求:
(1)顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A);
(2)在顧客買下的一箱中,沒有殘次品的概率P(B0|A).
聽課記錄:
[思維建模]
　　若隨機試驗可以看成分兩個階段進行,且第一階段的各試驗具體結果怎樣未知,那么:(1)如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率,則用全概率公式;(2)如果第二個階段的某一個結果是已知的,要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率,一般用貝葉斯公式,要熟記這個特征.
　　[針對訓練]
4.某一地區患有癌癥的人占0.005,患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95,正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.04.現抽查了一個人,試驗反應是陽性,則此人是癌癥患者的概率有多大
7.1.2　全概率公式
課前環節
1.(1)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
[基點訓練]
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
2.選A　買到的是優質品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.
3.解析:設事件A=“合格平板電腦”,事件B=“甲廠平板電腦”,事件C=“乙廠平板電腦”,則P(B)=70%=0.7,P(A|B)=95%=0.95,P(C)=30%=0.3,P(A|C)=80%=0.8,P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.7×0.95+0.3×0.8=0.905.故該商店所售平板電腦的合格率為90.5%.
答案:90.5%
課堂環節
[題型(一)]
[例1]　解:設事件Bi(i=1,2,3)表示“走第i條路”,事件A表示“堵車”.
則P(B1)=P(B2)=P(B3)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
所以從甲地到乙地堵車的概率為.
[針對訓練]
1.選D　由題意可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.7P(A)+0.3P()=0.7P(A)+0.3[1-P(A)],即0.4=0.4P(A)+0.3,解得P(A)=.
2.選B　設“種植一等麥種和二等麥種”的事件分別為A1,A2,“所結麥穗含有50粒以上麥粒”為事件B,依題意,得P(A1)=0.8,P(A2)=0.2,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.2,由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故選B.
[題型(二)]
[例2]　解:(1)設Ai表示“第i次從甲箱中抽到概念敘述題”,i=1,2,
則P(A1)=,P(A2|A1)=,P(A2|)=,
所以第二題抽到的是概念敘述題的概率
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()·P(A2|)=×+×=.
(2)設事件B1表示“A同學從甲箱中取出的兩道題都是概念敘述題”,事件B2表示“A同學從甲箱中取出的兩道題都是計算題”,事件B3表示“A同學從甲箱中取出1道概念敘述題、1道計算題”,事件C表示“B同學從乙箱中抽取兩道題目,第一個題目抽取概念敘述題”,
則P(B1)==,P(B2)==,
P(B3)===,
P(C|B1)==,
P(C|B2)==,
P(C|B3)==,
所以P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)·P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=×+×+×=.
[針對訓練]
3.解:(1)依題意知,從甲袋8個球中取4個球有種取法,其中4個球中恰好有3個紅球,
即恰好有3個紅球、1個白球,有種取法,
所以4個球中恰好有3個紅球的概率
P==.
(2)記A1為“從乙袋中取出1個紅球、1個白球”,A2為“從乙袋中取出2個紅球”,B為“從甲袋中取出2個紅球”,
則P(A1)==,P(A2)==,
P(B|A1)==,
P(B|A2)==,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=×+×=.
[題型(三)]
[例3]　解:(1)由題設可知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,
且P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==,
所以P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8×1+0.1×+0.1×=.
即顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為.
(2)因為P(B0|A)===,所以在顧客買下的一箱中,沒有殘次品的概率是.
[針對訓練]
4.解:設“抽查的人患有癌癥”為事件C,“試驗反應為陽性”為事件A,則“抽查的人不患癌癥”為事件,
已知P(C)=0.005,P()=0.995,
P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,
由貝葉斯公式得
P(C|A)=
=≈0.106 6.
所以此人是癌癥患者的概率約為0.106 6.
3 / 3(共64張PPT)
7.1.2　
全概率公式
(強基課——梯度進階式教學)
課時目標
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推導全概率公式.
2.理解全概率公式，并會利用全概率公式計算概率.
3.了解貝葉斯公式，并會簡單應用.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環節/預知教材·自主落實主干基礎
課堂環節/題點研究·遷移應用融會貫通
課時跟蹤檢測
課前環節/預知教材·
自主落實主干基礎
1.全概率公式
(1)定義：一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，有_______________________
(2)全概率公式實質上是條件概率性質的推廣形式：P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).
2.貝葉斯公式*
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)== ，i=1，2，…，n.
微點助解
條件概率、全概率公式、貝葉斯公式之間的關系
條件概率P(B|A)= 乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式
貝葉斯公式
基點訓練
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率求解問題，轉化為在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題. (　　)
(2)所研究的事件試驗前提或前一步驟有多種可能，在這多種可能中，均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式. (　　)
√　
√　　
×
√
(3)全概率公式用于求復雜事件的概率，是求最后結果的概率. (　　)
√
2.已知某手機專賣店只售賣甲、乙兩種品牌的智能手機，其占有率和優質率的信息如表所示.
從該專賣店中隨機購買一部智能手機，則買到的是優質品的概率是 (　　)
A.93% B.94% C.95% D.96%
解析：買到的是優質品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
優質率 95% 90%
√
3.一電器商店出售兩家工廠生產的平板電腦，甲廠的平板電腦占70%，乙廠的平板電腦占30%.甲廠平板電腦的合格率為95%，乙廠平板電腦的合格率為80%，則該商店所售平板電腦的合格率為　　　　.
解析：設事件A=“合格平板電腦”，事件B=“甲廠平板電腦”，事件C=“乙廠平板電腦”，則P(B)=70%=0.7，P(A|B)=95%=0.95，P(C)
=30%=0.3，P(A|C)=80%=0.8，P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.7×
0.95+0.3×0.8=0.905.故該商店所售平板電腦的合格率為90.5%.
90.5%
課堂環節/題點研究·
遷移應用融會貫通
題型(一)　全概率公式
[例1]　長假期間，某人從甲地到乙地駕車出行.已知共有3條路可選，第一條路堵車的概率為，第二條路堵車的概率為，第三條路堵車的概率為.求從甲地到乙地堵車的概率.
解：設事件Bi(i=1，2，3)表示“走第i條路”，事件A表示“堵車”.
則P(B1)=P(B2)=P(B3)=，P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=，
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
所以從甲地到乙地堵車的概率為.
[思維建模]
兩個事件的全概率問題求解策略
(1)拆分：將樣本空間拆分成互斥的兩部分，如A1，A2(或A與).
(2)計算：利用乘法公式計算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
針對訓練
1.已知A，B為兩個隨機事件，0A.B. C. D.
解析：由題意可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.7P(A)+0.3P()=0.7P
(A)+0.3[1-P(A)]，即0.4=0.4P(A)+0.3，解得P(A)=.
√
2.某批麥種中，一等麥種占80%，二等麥種占20%，等麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率為 (　　)
A.0.48 B.0.52
C.0.56 D.0.65
√
解析：設“種植一等麥種和二等麥種”的事件分別為A1，A2，“所結麥穗含有50粒以上麥粒”為事件B，依題意，得P(A1)=0.8，P(A2)=0.2，
P(B|A1)=0.6，P(B|A2)=0.2，由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)
+P(A2)P(B|A2)=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故選B.
題型(二)　全概率公式的實際應用
[例2]　為了考查學生對高中數學知識的掌握程度，準備了甲、乙兩個不透明紙箱.其中，甲箱中有2道概念敘述題，2道計算題；乙箱中有2道概念敘述題，3道計算題(所有題目均不相同).現有A，B兩個同學來抽題回答，每個同學在甲或乙兩個紙箱中逐個隨機抽取兩道題作答.每個同學先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答(不在題目上作答).兩道題答題結束后，再將這兩道題目放回原紙箱.
(1)如果A同學從甲箱中抽取兩道題，求第二題抽到的是概念敘述題的概率；
解：設Ai表示“第i次從甲箱中抽到概念敘述題”，i=1，2，
則P(A1)=，P(A2|A1)=，P(A2|)=，
所以第二題抽到的是概念敘述題的概率
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=.
(2)如果A同學從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中.B同學接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個題目抽取概念敘述題的概率.
解：設事件B1表示“A同學從甲箱中取出的兩道題都是概念敘述題”，事件B2表示“A同學從甲箱中取出的兩道題都是計算題”，事件B3表示“A同學從甲箱中取出1道概念敘述題、1道計算題”，事件C表示“B同學從乙箱中抽取兩道題目，第一個題目抽取概念敘述題”，
則P(B1)==，P(B2)==，
P(B3)===，
P(C|B1)==，
P(C|B2)==，
P(C|B3)==，
所以P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=×+×+×=.
[思維建模]
當直接求事件A發生的概率不易求出時，可以采用化整為零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式間接求出事件A發生的概率.
針對訓練
3.設甲袋中有4個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球(每個球除顏色以外均相同).
(1)從甲袋中取4個球，求這4個球中恰好有3個紅球的概率；
解：依題意知，從甲袋8個球中取4個球有種取法，其中4個球中恰好有3個紅球，
即恰好有3個紅球、1個白球，有種取法，
所以4個球中恰好有3個紅球的概率P==.
(2)先從乙袋中取2個球放入甲袋，再從甲袋中取2個球，求從甲袋中取出的是2個紅球的概率.
解：記A1為“從乙袋中取出1個紅球、1個白球”，A2為“從乙袋中取出2個紅球”，B為“從甲袋中取出2個紅球”，
則P(A1)==，P(A2)==，
P(B|A1)==，P(B|A2)==，
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
題型(三)　貝葉斯公式*
[例3]　玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假設各箱含有0，1，2只殘次品的概率對應為0.8，0.1和0.1.一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機查看4只玻璃杯，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯；否則不買.設事件A表示“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i(i=0，1，2)只殘次品”，求：
(1)顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A)；
解：由題設可知，P(B0)=0.8，P(B1)=0.1，P(B2)=0.1，且P(A|B0)=1，P(A|B1)==，P(A|B2)==，
所以P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8×1+0.1×+
0.1×=.
即顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為.
(2)在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率P(B0|A).
解：因為P(B0|A)===，所以在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率是.
[思維建模]
若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗具體結果怎樣未知，那么：(1)如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率，則用全概率公式；(2)如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，要熟記這個特征.
針對訓練
4.某一地區患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.04.現抽查了一個人，試驗反應是陽性，則此人是癌癥患者的概率有多大
解：設“抽查的人患有癌癥”為事件C，“試驗反應為陽性”為事件A，則“抽查的人不患癌癥”為事件，
已知P(C)=0.005，P()=0.995，
P(A|C)=0.95，P(A|)=0.04，
由貝葉斯公式得
P(C|A)=
=≈0.106 6.
所以此人是癌癥患者的概率約為0.106 6.
課時跟蹤檢測
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A級——綜合提能
1.在3張彩票中有2張有獎，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為(　　)
A.B. C. D.
解析：設“甲中獎”為A事件，“乙中獎”為B事件，則P(B)=P(B|A)
P(A)+P(B|)P()=×+×=，故選B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.已知P(A)=，P()=，P(B|A)=0，P(B)=，則P(B|)=(　　)
A.B. C. D.
解析：由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×0+×
P(B|)=，解得P(B|)=，故選B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規則隨機
運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由兩個倉組
成，某粒子作布朗運動時，每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結束.已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為 (　　)
A.B. C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：設從i號倉出發最終從1號倉出的概率為Pi，
所以解得P1=.
1
5
6
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11
12
13
14
3
4
2
4.某陶瓷廠上釉車間有A，B兩條生產線，現隨機對這兩條生產線所生產的產品進行抽檢，抽檢A生產線的產品的概率為，抽檢B生產線的產品的概率為.經過大量數據分析得A生產線的次品率為12%，如果本次抽檢得到的產品為次品的概率為10%，據此估計B生產線的次品率為(　　)
A.9% B.8.67%
C.8% D.6%
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：設事件N為“抽檢得到的產品為次品”，事件M1，M2分別表示抽檢A，B兩條生產線的產品，則P(M1)=，P(M2)=，P(N|M1)=0.12，設P(N|M2)=p，因此P(N)=P(N|M1)P(M1)+P(N|M2)P(M2)=0.12×+p×
=0.1，解得p=0.06，所以估計B生產線的次品率為6%.
1
5
6
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9
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12
13
14
3
4
2
5.[多選]若0A.P(A|B)=
B.P(AB)=P(A)P(B|A)
C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
D.P(A|B)=
√
√
√
1
5
6
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8
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解析：由條件概率的計算公式知A錯誤，B、C顯然正確.
因為P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)，
所以P(A|B)==，知D正確.
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6.現有分別來自三個地區的10名、15名和25名考生的報名表，其中女生報名表分別為3份、7份和5份，隨機地取一個地區的報名表，則所取到的是女生報名表的概率為　　　　.
解析：依題意，隨機地取一個地區的報名表選到每個地區的概率為，所以取到的是女生報名表的概率為×+×+×=.
7.某初級中學初一、初二、初三的學生人數比例為2∶1∶1，假設該中學初一、初二、初三的學生閱讀完《三國演義》的概率分別為0.2，0.3，p(01
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[0.3，0.4]
解析：若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生，則這名學生閱讀完《三國演義》的概率為0.2×+0.3×+p×=
0.175+0.25p≤0.275，解得p≤0.4，因為該中學初三的學生閱讀完《三國演義》的概率不低于初二的學生閱讀完《三國演義》的概率，所以p≥0.3，故p的取值范圍是[0.3，0.4].
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8.甲袋中有3個白球，2個黑球，乙袋中有4個白球，4個黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為　　　.
解析：設事件A表示“從乙袋中取出的是白球”，事件Bi表示“從甲袋中取出的兩球恰有i個白球”，i=0，1，2.由全概率公式得P(A)=P(B0)
P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=·+·+·=.
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9.甲、乙兩名同學分別與同一臺智能機器人進行象棋比賽.在一輪比賽中，如果甲單獨與機器人比賽，戰勝機器人的概率為；如果乙單獨與機器人比賽，戰勝機器人的概率為.
(1)甲單獨與機器人進行三輪比賽，求甲至少有兩輪獲勝的概率；
解：設“甲至少有兩輪獲勝”為事件A，
則P(A)=3××+=.
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(2)在甲、乙兩人中任選一人與機器人進行一輪比賽，求戰勝機器人的概率.
解：設“選中甲與機器人比賽”為事件A1，“選中乙與機器人比賽”為事件A2，“戰勝機器人”為事件B，
根據題意得P(A1)=P(A2)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
所以戰勝機器人的概率為.
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10.第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元.ChatGPT所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中.某學習小組設計了如下問題進行探究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球.
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(1)從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，求2個球都是紅球的概率；
解：記事件A表示“抽出的2個球中有紅球”，事件B表示“兩個球都是紅球”，
則P(A)=1-=，P(AB)==，
故P(B|A)===.
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(2)拋一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4，從甲箱中隨機抽出1個球；如果點數大于等于5，從乙箱中隨機抽出1個球.求抽到的球是紅球的概率；
解：設事件C表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件D表示“抽到紅球”，
則P(C)==，P()==，P(D|C)=，P(D|)=，
可得P(D)=P(CD)+P(D)=P(C)P(D|C)+P()P(D|)=×+×=.
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(3)在(2)的條件下，若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率.
解：在(2)的條件下P(C|D)===.
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B級——應用創新
11.盒中有a個紅球，b個黑球，現隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
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解析：設事件A=“第一次抽出的是黑球”，事件B=“第二次抽出的是黑球”，則B=AB+B，由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
由題意P(A)=，P(B|A)=，P()=，P(B|)=，
所以P(B)=+=.
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12.[多選]有3臺車床加工同一型號的零件. 第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起. 已知第1，2，3臺車床的零件數分別占總數的25%，30%，45%. 則下列結論正確的是 (　　)
A.任取一個零件，它是第1臺車床加工的次品的概率為0.06
B.任取一個零件，它是次品的概率為0.052 5
C.如果取到的零件是次品，它是第2臺車床加工的概率為
D.如果取到的零件不是第3臺車床加工的，它是次品的概率為
√
√
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解析：根據題意，設任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件A，B，C，該零件為次品為事件D，則P(A)=0.25，P(B)=0.3，P(C)=0.45，P(D|A)=0.06，P(D|B)=P(D|C)=0.05，對于A，任取一個零件，它是第1臺車床加工的次品的概率P(AD)=P(A)P(D|A)=0.06×0.25=0.015，故A錯誤；對于B，任取一個零件是次品的概率P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+
P(C)P(D|C)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.052 5，故B正確；
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對于C，如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率P(B|D)
====，故C正確；對于D，記取到的零件不是第3臺車床加工的為事件E，則P(E)=0.25+0.3=0.55，則P(DE)=P(A)P(D|A)
+P(B)P(D|B)=0.06×0.25+0.05×0.3=0.03，所以P(D|E)===，
即如果取到的零件不是第3臺車床加工的，它是次品的概率為，故D正確.
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13.若甲盒中有5個紅球、3個白球、2個黑球，乙盒中有x個紅球、2個白球、3個黑球，現從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，設B= “從乙盒中取出的球是紅球”，若P(B)≤，則x的最大值為　　.
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解析：設A=從甲盒中取出的球是紅球，則P(A)==，P()=，P(B|A)
=，P(B|)=，則P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×
=.所以≤，即x≤.因為x是正整數，所以x≤7.所以x的
最大值為7.
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14.甲、乙、丙、丁四名選手進行象棋比賽，已知甲和乙是專業選手，丙和丁是業余選手.已知專業選手對業余選手時專業選手獲勝的概率為0.7、業余選手獲勝的概率為0.3，專業選手對專業選手時每人獲勝的概率均為0.5，業余選手對業余選手時每人獲勝的概率均為0.5，比賽規則為第一輪隨機安排兩兩對賽，勝者進入第二輪，負者淘汰；第二輪勝者為第一名.
(1)求選手甲和丁在第一輪對賽的概率；
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解：由題意，第一輪的對賽的所有情況有
①甲乙，丙丁；②甲丙，乙丁；③甲丁，乙丙，共三種情況，
故甲和丁在第一輪對賽的概率為.
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(2)求選手甲和丁在第二輪對賽的概率；
解：由(1)，第一輪的對賽的所有情況有三種.
①甲乙，丙丁：甲和丁在第二輪對賽，則甲、丁分別戰勝對手，
故甲和丁在第二輪對賽的概率為0.5×0.5=0.25；
②甲丙，乙丁：甲和丁在第二輪對賽，則甲、丁分別戰勝對手，
故甲和丁在第二輪對賽的概率為0.7×0.3=0.21；
③甲丁，乙丙：甲和丁在第二輪對賽的概率為0.
故甲和丁在第二輪對賽的概率為×0.25+×0.21+×0=.
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(3)現有兩種比賽方案，
方案一：第一輪安排專業選手與專業選手對賽；
方案二：第一輪安排業余選手與專業選手對賽.
比較兩種方案中業余選手獲得第一名的概率的大小，并解釋結果.
解：方案一：第一輪安排專業選手與專業選手對賽：
則第二輪必定為專業選手與業余選手對賽，則業余選手獲得第一名的概率為0.3.
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方案二：第一輪安排業余選手與專業選手對賽：
第二輪為全專業選手的概率為0.7×0.7=0.49，則業余選手獲得第一名的概率為0.49×0=0.
第二輪為全業余選手的概率為0.3×0.3=0.09，則業余選手獲得第一名的概率為0.09×1=0.09.
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第二輪為一個專業選手與一個業余選手的概率為0.7×0.3+0.3
×0.7=0.42，此時業余選手獲得第一名的概率為0.42×0.3=0.126.
綜上業余選手獲得第一名的概率為0+0.09+0.126=0.216.
所以方案一中業余選手獲得第一名的概率大于方案二中業余選手獲得第一名的概率.課時跟蹤檢測(十四)　全概率公式
A級——綜合提能
1.在3張彩票中有2張有獎,甲、乙兩人先后從中各任取一張,則乙中獎的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知P(A)=,P()=,P(B|A)=0,P(B)=,則P(B|)= (　　)
A. B.
C. D.
3.“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規則隨機運動,在如圖所示的試驗容器中,容器由兩個倉組成,某粒子作布朗運動時,每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外,一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲,此時試驗結束.已知該粒子初始位置在1號倉,則試驗結束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
4.某陶瓷廠上釉車間有A,B兩條生產線,現隨機對這兩條生產線所生產的產品進行抽檢,抽檢A生產線的產品的概率為,抽檢B生產線的產品的概率為.經過大量數據分析得A生產線的次品率為12%,如果本次抽檢得到的產品為次品的概率為10%,據此估計B生產線的次品率為 (　　)
A.9% B.8.67%
C.8% D.6%
5.[多選]若0A.P(A|B)=
B.P(AB)=P(A)P(B|A)
C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
D.P(A|B)=
6.現有分別來自三個地區的10名、15名和25名考生的報名表,其中女生報名表分別為3份、7份和5份,隨機地取一個地區的報名表,則所取到的是女生報名表的概率為　　　　.
7.某初級中學初一、初二、初三的學生人數比例為2∶1∶1,假設該中學初一、初二、初三的學生閱讀完《三國演義》的概率分別為0.2,0.3,p(08.甲袋中有3個白球,2個黑球,乙袋中有4個白球,4個黑球,今從甲袋中任取2球放入乙袋,再從乙袋中任取一球,則該球是白球的概率為　　　.
9.甲、乙兩名同學分別與同一臺智能機器人進行象棋比賽.在一輪比賽中,如果甲單獨與機器人比賽,戰勝機器人的概率為;如果乙單獨與機器人比賽,戰勝機器人的概率為.
(1)甲單獨與機器人進行三輪比賽,求甲至少有兩輪獲勝的概率;
(2)在甲、乙兩人中任選一人與機器人進行一輪比賽,求戰勝機器人的概率.
10.第三次人工智能浪潮滾滾而來,以ChatGPT發布為里程碑,開辟了人機自然交流的新紀元.ChatGPT所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論,概率就被廣泛應用于ChatGPT中.某學習小組設計了如下問題進行探究:甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球,其中甲箱中有3個紅球、2個白球,乙箱中有4個紅球、1個白球.
(1)從甲箱中隨機抽出2個球,在已知抽到紅球的條件下,求2個球都是紅球的概率;
(2)拋一枚質地均勻的骰子,如果點數小于等于4,從甲箱中隨機抽出1個球;如果點數大于等于5,從乙箱中隨機抽出1個球.求抽到的球是紅球的概率;
(3)在(2)的條件下,若抽到的是紅球,求它是來自乙箱的概率.
B級——應用創新
11.盒中有a個紅球,b個黑球,現隨機地從中取出一個,觀察其顏色后放回,并加上同色球c個,再從盒中抽取一球,則第二次抽出的是黑球的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
12.[多選]有3臺車床加工同一型號的零件. 第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起. 已知第1,2,3臺車床的零件數分別占總數的25%,30%,45%. 則下列結論正確的是 (　　)
A.任取一個零件,它是第1臺車床加工的次品的概率為0.06
B.任取一個零件,它是次品的概率為0.052 5
C.如果取到的零件是次品,它是第2臺車床加工的概率為
D.如果取到的零件不是第3臺車床加工的,它是次品的概率為
13.若甲盒中有5個紅球、3個白球、2個黑球,乙盒中有x個紅球、2個白球、3個黑球,現從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒,再從乙盒中隨機取出一個球,設B= “從乙盒中取出的球是紅球”,若P(B)≤,則x的最大值為　　　　.
14.甲、乙、丙、丁四名選手進行象棋比賽,已知甲和乙是專業選手,丙和丁是業余選手.已知專業選手對業余選手時專業選手獲勝的概率為0.7、業余選手獲勝的概率為0.3,專業選手對專業選手時每人獲勝的概率均為0.5,業余選手對業余選手時每人獲勝的概率均為0.5,比賽規則為第一輪隨機安排兩兩對賽,勝者進入第二輪,負者淘汰;第二輪勝者為第一名.
(1)求選手甲和丁在第一輪對賽的概率;
(2)求選手甲和丁在第二輪對賽的概率;
(3)現有兩種比賽方案,
方案一:第一輪安排專業選手與專業選手對賽;
方案二:第一輪安排業余選手與專業選手對賽.
比較兩種方案中業余選手獲得第一名的概率的大小,并解釋結果.
課時跟蹤檢測(十四)
1.選B　設“甲中獎”為A事件,“乙中獎”為B事件,則P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=,故選B.
2.選B　由全概率公式得P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=×0+×P(B|)=,解得P(B|)=,故選B.
3.選C　設從i號倉出發最終從1號倉出的概率為Pi,所以解得P1=.
4.選D　設事件N為“抽檢得到的產品為次品”,事件M1,M2分別表示抽檢A,B兩條生產線的產品,則P(M1)=,P(M2)=,P(N|M1)=0.12,設P(N|M2)=p,因此P(N)=P(N|M1)·P(M1)+P(N|M2)P(M2)=0.12×+p×=0.1,解得p=0.06,所以估計B生產線的次品率為6%.
5.選BCD　由條件概率的計算公式知A錯誤,B、C顯然正確.因為P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),所以P(A|B)==,知D正確.
6.解析:依題意,隨機地取一個地區的報名表選到每個地區的概率為,所以取到的是女生報名表的概率為×+×+×=.
答案:
7.解析:若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生,則這名學生閱讀完《三國演義》的概率為0.2×+0.3×+p×=0.175+0.25p≤0.275,解得p≤0.4,因為該中學初三的學生閱讀完《三國演義》的概率不低于初二的學生閱讀完《三國演義》的概率,所以p≥0.3,故p的取值范圍是[0.3,0.4].
答案:[0.3,0.4]
8.解析:設事件A表示“從乙袋中取出的是白球”,事件Bi表示“從甲袋中取出的兩球恰有i個白球”,i=0,1,2.由全概率公式得P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=·+·+·=.
答案:
9.解:(1)設“甲至少有兩輪獲勝”為事件A,則P(A)=3××+=.
(2)設“選中甲與機器人比賽”為事件A1,“選中乙與機器人比賽”為事件A2,“戰勝機器人”為事件B,
根據題意得P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
所以戰勝機器人的概率為.
10.解:(1)記事件A表示“抽出的2個球中有紅球”,事件B表示“兩個球都是紅球”,
則P(A)=1-=,P(AB)==,
故P(B|A)===.
(2)設事件C表示“從乙箱中抽球”,則事件表示“從甲箱中抽球”,事件D表示“抽到紅球”,
則P(C)==,P()==,
P(D|C)=,P(D|)=,
可得P(D)=P(CD)+P(D)=P(C)·P(D|C)+P()P(D|)=×+×=.
(3)在(2)的條件下
P(C|D)===.
11.選C　設事件A=“第一次抽出的是黑球”,事件B=“第二次抽出的是黑球”,則B=AB+B,由全概率公式得P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|).由題意P(A)=,P(B|A)=,P()=,P(B|)=,所以P(B)=+=.
12.選BCD　根據題意,設任取一個零件,由第1,2,3臺車床加工為事件A,B,C,該零件為次品為事件D,則P(A)=0.25,P(B)=0.3,P(C)=0.45,P(D|A)=0.06,P(D|B)=P(D|C)=0.05,對于A,任取一個零件,它是第1臺車床加工的次品的概率P(AD)=P(A)P(D|A)=0.06×0.25=0.015,故A錯誤;對于B,任取一個零件是次品的概率P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.052 5,故B正確;對于C,如果取到的零件是次品,且是第2臺車床加工的概率P(B|D)====,故C正確;對于D,記取到的零件不是第3臺車床加工的為事件E,則P(E)=0.25+0.3=0.55,則P(DE)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)=0.06×0.25+0.05×0.3=0.03,所以P(D|E)===,即如果取到的零件不是第3臺車床加工的,它是次品的概率為,故D正確.
13.解析:設A=從甲盒中取出的球是紅球,則P(A)==,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,則P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.所以≤,即x≤.因為x是正整數,所以x≤7.所以x的最大值為7.
答案:7
14.解:(1)由題意,第一輪的對賽的所有情況有①甲乙,丙丁;②甲丙,乙丁;③甲丁,乙丙,共三種情況,
故甲和丁在第一輪對賽的概率為.
(2)由(1),第一輪的對賽的所有情況有三種.
①甲乙,丙丁:甲和丁在第二輪對賽,則甲、丁分別戰勝對手,
故甲和丁在第二輪對賽的概率為0.5×0.5=0.25;
②甲丙,乙丁:甲和丁在第二輪對賽,則甲、丁分別戰勝對手,
故甲和丁在第二輪對賽的概率為0.7×0.3=0.21;
③甲丁,乙丙:甲和丁在第二輪對賽的概率為0.
故甲和丁在第二輪對賽的概率為×0.25+×0.21+×0=.
(3)方案一:第一輪安排專業選手與專業選手對賽:
則第二輪必定為專業選手與業余選手對賽,則業余選手獲得第一名的概率為0.3.
方案二:第一輪安排業余選手與專業選手對賽:
第二輪為全專業選手的概率為0.7×0.7=0.49,則業余選手獲得第一名的概率為0.49×0=0.
第二輪為全業余選手的概率為0.3×0.3=0.09,則業余選手獲得第一名的概率為0.09×1=0.09.
第二輪為一個專業選手與一個業余選手的概率為0.7×0.3+0.3×0.7=0.42,此時業余選手獲得第一名的概率為0.42×0.3=0.126.
綜上業余選手獲得第一名的概率為0+0.09+0.126=0.216.
所以方案一中業余選手獲得第一名的概率大于方案二中業余選手獲得第一名的概率.
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