資源簡介

7.3.1　離散型隨機變量的均值(強基課梯度進階式教學)
課時目標
1.理解離散型隨機變量的均值的概念和意義,會根據離散型隨機變量的分布列求出均值.
2.掌握離散型隨機變量的均值的性質和兩點分布的均值.
3.會利用離散型隨機變量的均值反映離散型隨機變量的取值水平,解決一些相關的實際問題.
1.離散型隨機變量的均值
(1)定義:一般地,若離散型隨機變量X的分布列如表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
則稱E(X)=　　　　　　　　　　　　　=xipi為隨機變量X的均值或數學期望,數學期望簡稱　　　　.
(2)意義:均值是隨機變量可能取值關于取值概率的　　　　　　,它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的　　　　　.
(3)性質:若X是離散型隨機變量,則:①E(X+b)=　　　　 　　;②E(aX)=　　 　　　;
③E(aX+b)=　　　　　　.
2.兩點分布的均值
一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=　　　　　　　　　　.
微點助解
理解均值要注意三點
(1)離散型隨機變量的均值是算術平均數概念的推廣，是概率意義下的平均，由于離散型隨機變量的所有取值的概率滿足pi=1，所以均值是以概率pi為權數的加權平均數.
(2)E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量，可以取不同的值，但E(X)是X的一個特征數，它是不變的，它描述X取值的平均水平.
(3)E(X)與隨機變量X本身具有相同的單位.
[基點訓練]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)隨機變量X的數學期望E(X)是個變量,其隨X的變化而變化. (　　)
(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平. (　　)
(3)若隨機變量X的數學期望E(X)=2,則E(2X)=4. (　　)
(4)隨機變量X的均值E(X)=. (　　)
2.已知隨機變量X服從兩點分布,且E(X)=0.7,則其成功的概率為 (　　)
A.0 B.1
C.0.3 D.0.7
3.已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
則X的均值E(X)= (　　)
A. B.2
C. D.3
題型(一)　求離散型隨機變量的均值
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　某同學參加射擊比賽, 每人配發3顆子彈. 射擊靶由內環和外環組成, 若擊中內環得8分,擊中外環得4分,脫靶得0分. 該同學每次射擊,脫靶的概率為 ,擊中內環的概率為,擊中外環的概率為,每次射擊結果相互獨立.只有前一發中靶,才能繼續射擊,否則結束比賽.
(1)若已知該同學得分為8分的情況下, 求該同學只射擊了2發子彈的概率;
(2)設該同學最終得分為X,求X的分布列和數學期望E(X) .
聽課記錄:
[思維建模]
求離散型隨機變量X的均值的步驟
(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取值;
(2)求X取每個值時的概率;
(3)寫出X的分布列;
(4)由均值的定義求E(X).
　　[針對訓練]
1.從裝有2個紅球,2個白球和1個黑球的袋中隨機逐一取球,已知每個球被取到的可能性相同.若取后不放回,設取完紅球所需的次數為X,求X的分布列及均值.
題型(二)　離散型隨機變量均值的性質
[例2]　已知隨機變量ξ和η,其中η=10ξ+2,且E(η)=20,若ξ的分布列如下表,則m的值為 (　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B.
C. D.
聽課記錄:
[思維建模]
利用離散型隨機變量均值性質解決問題的思路
　　若給出的隨機變量ξ與X之間的關系為ξ=aX+b,a,b為常數.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,由X的取值計算ξ的取值,對應的概率相等,再由定義法求得E(ξ).
　　[針對訓練]
2.[多選]已知隨機變量X的分布列如下,且E(X)=6.3,則下列結論正確的是 (　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a=7
B.b=0.4
C.E(aX)=44.1
D.E(bX+a)=2.62
3.元宵節廟會上有一種摸球游戲:布袋中有15個大小和形狀均相同的小球,其中白球10個,紅球5個,每次摸出2個球.若摸出的紅球個數為X,則E(5X-5)= (　　)
A.- B.
C.- D.
題型(三)　離散型隨機變量均值的應用
[例3]　某商場回饋消費者,舉辦活動,規則如下:每5位消費者組成一組,每人從A,B,C三個字母中隨機抽取一個,抽取相同字母最少的人每人獲得300元獎勵.(例如:5人中2人選A,2人選B,1人選C,則選擇C的人獲獎;5人中3人選A,1人選B,1人選C,則選擇B和C的人均獲獎;如A,B,C中有一個或兩個字母沒人選擇,則無人獲獎)
(1)若甲和乙在同一組,求甲獲獎的前提下,乙獲獎的概率;
(2)設每組5人中獲獎人數為隨機變量X,求X的分布列和數學期望;
(3)商家提供方案2:將A,B,C三個字母改為A和B兩個字母,其余規則不變,獲獎的每個人獎勵200元.作為消費者,站在每組5人獲取總獎金的數學期望的角度分析,你是否選擇方案2
聽課記錄:
[思維建模]
利用離散型隨機變量求解實際問題的步驟
(1)把實際問題概率模型化;
(2)利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小,并列出分布列;
(3)利用公式求出相應均值;
(4)對照實際意義,根據所求均值下結論.
　　[針對訓練]
4.某地盛產臍橙,該地銷售臍橙按照等級分為四類:珍品、特級、優級和一級(每箱重量為5 kg),某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地,并從采購的這批臍橙中隨機抽取50箱,利用臍橙的等級分類標準得到的數據如表所示:
等級 珍品 特級 優級 一級
箱數 10 15 15 10
(1)用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱,再從抽取的10箱中隨機抽取3箱,ξ表示隨機抽取的3箱中是特級的箱數,求ξ的分布列及均值E(ξ);
(2)利用樣本估計總體,該地提出兩種購銷方案供采購商參考:
方案一:不分等級賣出,價格為20元/kg;
方案二:分等級賣出,分等級的臍橙價格如表所示:
等級 珍品 特級 優級 一級
售價/(元/kg) 25 20 15 10
從采購商節約資金的角度考慮,應該采用哪種方案
7.3.1　離散型隨機變量的均值
課前環節
1.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn　期望　
(2)加權平均數　平均水平　(3)E(X)+b　aE(X)　aE(X)+b　2.0×(1-p)+1×p=p
[基點訓練]
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.選D　設成功的概率為p,則E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.7.故選D.
3.選A　 E(X)=1×+2×+3×=.
課堂環節
[題型(一)]
[例1]　解:(1)記事件A:該同學得分為8分,事件B:該同學只射擊了2發子彈,
由題知P(A)=×+××=,P(AB)=×=,
所以P(B|A)===.
(2)由題知X可能取值為0,4,8,12,16,20,24,
P(X=0)=,P(X=4)=×=,P(X=8)=×+××=,
P(X=12)=××+××+××=,
P(X=16)=××+××+××+××=,
P(X=20)=×××3=,P(X=24)=××=,
所以X的分布列為
X 0 4 8 12 16 20 24
P
E(X)=0×+4×+8×+12×+16×+20×+24×=.
[針對訓練]
1.解:由題意知X的所有可能取值為2,3,4,5.
當X=2時,表示前2次取的都是紅球,
∴P(X=2)==;
當X=3時,表示前2次中取得1個紅球,1個白球或黑球,第3次取紅球,
∴P(X=3)==;
當X=4時,表示前3次中取得1個紅球,2個不是紅球,第4次取得紅球,
∴P(X=4)==;
當X=5時,表示前4次中取得1個紅球,3個不是紅球,第5次取得紅球,
∴P(X=5)==.
∴X的分布列為
X 2 3 4 5
P
∴E(X)=2×+3×+4×+5×=4.
[題型(二)]
[例2]　選A　因為η=10ξ+2,所以E(η)=10E(ξ)+2=20,
所以E(ξ)=,又E(ξ)=1×m+2×+3n+4×=+m+3n①,
且m++n+=1②,由①②,得m=.
[針對訓練]
2.選ABC　由分布列的性質得0.5+0.1+b=1,解得b=0.4,又E(X)=4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3,∴a=7,∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.故選ABC.
3.選A　X的可能取值為0,1,2,則P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以E(X)=0×+1×+2×=,故E(5X-5)=5E(X)-5=-5=-.
[題型(三)]
[例3]　解:(1)設甲獲獎為事件A,乙獲獎為事件B,
P(B|A)===.
(2)X的可能取值為0,1,2,
P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
X的數學期望E(X)=0×+1×+2×=.
(3)選擇方案1獲取獎金總額的數學期望為×300=,
設選擇方案2獲獎人數為Y,Y的可能取值為0,1,2,
則P(Y=0)===,P(Y=1)===,P(Y=2)===,
方案2獲獎人數的數學期望E(Y)=0×+1×+2×=,
選擇方案2獲取獎金總額的數學期望為×200=,
因為>,所以選擇方案2.
[針對訓練]
4.解:(1)用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱,特級品的箱數為10×=3,非特級品的箱數為10-3=7,所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
則P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
則ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(2)方案一的單價為20元/kg,
設方案二的單價為η,則η的均值為
E(η)=25×+20×+15×+10×=17.5,
因為17.5<20,所以從采購商節約資金的角度考慮,應該采用方案二.
4 / 4(共73張PPT)
7.3.1
離散型隨機變量的均值
(強基課——梯度進階式教學)
課時目標
1.理解離散型隨機變量的均值的概念和意義，會根據離散型隨機變量的分布列求出均值.
2.掌握離散型隨機變量的均值的性質和兩點分布的均值.
3.會利用離散型隨機變量的均值反映離散型隨機變量的取值水平，解決一些相關的實際問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環節/預知教材·自主落實主干基礎
課堂環節/題點研究·遷移應用融會貫通
課時跟蹤檢測
課前環節/預知教材·
自主落實主干基礎
1.離散型隨機變量的均值
(1)定義：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
x1p1+x2p2+…+xnpn
期望
(2)意義：均值是隨機變量可能取值關于取值概率的____________，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的__________.
(3)性質：若X是離散型隨機變量，則：①E(X+b)=___________；
②E(aX)=_______；③E(aX+b)=___________.
2.兩點分布的均值
一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)=_________________.
加權平均數
平均水平
E(X)+b
aE(X)
aE(X)+b
0×(1-p)+1×p=p
(2)E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量，可以取不同的值，但E(X)是X的一個特征數，它是不變的，它描述X取值的平均水平.
(3)E(X)與隨機變量X本身具有相同的單位.
基點訓練
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)隨機變量X的數學期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變化. (　　)
(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平. (　　)
(3)若隨機變量X的數學期望E(X)=2，則E(2X)=4. (　　)
(4)隨機變量X的均值E(X)=. (　　)
×　
×　
√　
×
2.已知隨機變量X服從兩點分布，且E(X)=0.7，則其成功的概率為 (　　)
A.0 B.1
C.0.3 D.0.7
解析：設成功的概率為p，則E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.7.故選D.
√
3.已知離散型隨機變量X的分布列為
則X的均值E(X)= (　　)
A.B.2 C. D.3
解析： E(X)=1×+2×+3×=.
X 1 2 3
P
√
課堂環節/題點研究·
遷移應用融會貫通
題型(一)　求離散型隨機變量的均值
[例1]　某同學參加射擊比賽， 每人配發3顆子彈. 射擊靶由內環和外環組成， 若擊中內環得8分，擊中外環得4分，脫靶得0分. 該同學每次射擊，脫靶的概率為 ，擊中內環的概率為，擊中外環的概率為，每次射擊結果相互獨立. 只有前一發中靶，才能繼續射擊，否則結束比賽.
(1)若已知該同學得分為8分的情況下， 求該同學只射擊了2發子彈的概率；
解：記事件A：該同學得分為8分，事件B：該同學只射擊了2發子彈，
由題知P(A)=×+××=，P(AB)=×=，
所以P(B|A)===.
(2)設該同學最終得分為X，求X的分布列和數學期望E(X) .
解：由題知X可能取值為0，4，8，12，16，20，24，
P(X=0)=，P(X=4)=×=，P(X=8)=×+××=，
P(X=12)=××+××+××=，
P(X=16)=××+××+××+××=，
P(X=20)=×××3=，P(X=24)=××=，
所以X的分布列為
X 0 4 8 12 16 20 24
P
E(X)=0×+4×+8×+12×+16×+20×+24×=.
[思維建模]
求離散型隨機變量X的均值的步驟
(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取值；
(2)求X取每個值時的概率；
(3)寫出X的分布列；
(4)由均值的定義求E(X).
針對訓練
1.從裝有2個紅球，2個白球和1個黑球的袋中隨機逐一取球，已知每個球被取到的可能性相同.若取后不放回，設取完紅球所需的次數為X，求X的分布列及均值.
解：由題意知X的所有可能取值為2，3，4，5.
當X=2時，表示前2次取的都是紅球，
∴P(X=2)==；
當X=3時，表示前2次中取得1個紅球，1個白球或黑球，第3次取紅球，
∴P(X=3)==；
當X=4時，表示前3次中取得1個紅球，2個不是紅球，第4次取得紅球，
∴P(X=4)==；
當X=5時，表示前4次中取得1個紅球，3個不是紅球，第5次取得紅球，
∴P(X=5)==.
∴X的分布列為
X 2 3 4 5
P
∴E(X)=2×+3×+4×+5×=4.
題型(二)　離散型隨機變量均值的性質
[例2]　已知隨機變量ξ和η，其中η=10ξ+2，且E(η)=20，若ξ的分布列如下表，則m的值為 (　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A.B. C. D.
√
解析：因為η=10ξ+2，所以E(η)=10E(ξ)+2=20，
所以E(ξ )=，又E(ξ )=1×m+2×+3n+4×=+m+3n①，
且m++n+=1②，由①②，得m=.
[思維建模]
利用離散型隨機變量均值性質解決問題的思路
　　若給出的隨機變量ξ與X之間的關系為ξ=aX+b，a，b為常數.一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，由X的取值計算ξ的取值，對應的概率相等，再由定義法求
針對訓練
2.[多選]已知隨機變量X的分布列如下，且E(X)=6.3，則下列結論正確的是 (　　)
√
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a=7 B.b=0.4
C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62
√
√
解析：由分布列的性質得0.5+0.1+b=1，解得b=0.4，
又E(X)=4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3，∴a=7，
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1，E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.
故選ABC.
3.元宵節廟會上有一種摸球游戲：布袋中有15個大小和形狀均相同的小球，其中白球10個，紅球5個，每次摸出2個球.若摸出的紅球個數為X，則E(5X-5)= (　　)
A.- B.
C.- D.
√
解析：X的可能取值為0，1，2，則P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，所以E(X)=0×+1×+2×=，故E(5X-5)=5E(X)
-5=-5=-.
題型(三)　離散型隨機變量均值的應用
[例3]　某商場回饋消費者，舉辦活動，規則如下：每5位消費者組成一組，每人從A，B，C三個字母中隨機抽取一個，抽取相同字母最少的人每人獲得300元獎勵.(例如：5人中2人選A，2人選B，1人選C，則選擇C的人獲獎；5人中3人選A，1人選B，1人選C，則選擇B和C的人均獲獎；如A，B，C中有一個或兩個字母沒人選擇，則無人獲獎)
(1)若甲和乙在同一組，求甲獲獎的前提下，乙獲獎的概率；
解：設甲獲獎為事件A，乙獲獎為事件B，
P(B|A)===.
(2)設每組5人中獲獎人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望；
解：X的可能取值為0，1，2，
P(X=0)===，
P(X=1)===，
P(X=2)===，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
X的數學期望E(X)=0×+1×+2×=.
(3)商家提供方案2：將A，B，C三個字母改為A和B兩個字母，其余規則不變，獲獎的每個人獎勵200元.作為消費者，站在每組5人獲取總獎金的數學期望的角度分析，你是否選擇方案2
解：選擇方案1獲取獎金總額的數學期望為×300=，
設選擇方案2獲獎人數為Y，Y的可能取值為0，1，2，
則P(Y=0)===，P(Y=1)===，P(Y=2)===，
方案2獲獎人數的數學期望E(Y)=0×+1×+2×=，
選擇方案2獲取獎金總額的數學期望為×200=，
因為>，所以選擇方案2.
[思維建模]
利用離散型隨機變量求解實際問題的步驟
(1)把實際問題概率模型化；
(2)利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出分布列；
(3)利用公式求出相應均值；
(4)對照實際意義，根據所求均值下結論.
針對訓練
4.某地盛產臍橙，該地銷售臍橙按照等級分為四類：珍品、特級、優級和一級(每箱重量為5 kg)，某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機抽取50箱，利用臍橙的等級分類標準得到的數據如表所示：
等級 珍品 特級 優級 一級
箱數 10 15 15 10
(1)用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，ξ表示隨機抽取的3箱中是特級的箱數，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
解：用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，特級品的箱數為10×=3，非特級品的箱數為10-3=7，所以ξ的所有可能取值為0，1，2，3.
則P(ξ=0)==，P(ξ =1)==，
P(ξ =2)==，P(ξ =3)==，
則ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(2)利用樣本估計總體，該地提出兩種購銷方案供采購商參考：
方案一：不分等級賣出，價格為20元/kg；
方案二：分等級賣出，分等級的臍橙價格如表所示：
等級 珍品 特級 優級 一級
售價/(元/kg) 25 20 15 10
從采購商節約資金的角度考慮，應該采用哪種方案
解：方案一的單價為20元/kg，
設方案二的單價為η，則η的均值為
E(η)=25×+20×+15×+10×=17.5，
因為17.5<20，所以從采購商節約資金的角度考慮，應該采用方案二.
課時跟蹤檢測
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A級——綜合提能
1.若隨機變量X的分布列如下(k為常數)，則E(X)=(　　)
√
X 0 1 2
P k 6k 0.3
A.0.6 B.0.9
C.1 D.1.2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
解析：由分布列的性質，得k+6k+0.3=1，解得k=0.1，∴E(X)=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2.故選D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.擲一枚質地均勻的正四面體骰子(四面點數分別為1，2，3，4)，則底面擲出點數的數學期望為 (　　)
A.2 B.2.5
C.3 D.3.5
解析：設底面擲出的點數為X，則X的可能取值為1，2，3，4，且底面擲出每種點數的概率均為，則E(X)=(1+2+3+4)×=2.5，故選B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率為，乙、丙打中的概率均為(0A. B.
C.1 D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：依題意，甲、乙、丙都打中的概率P=××=，解得t=3
(負值舍去)，所以乙打中的概率為.由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，且P(ξ=0)=×=，P(ξ=1)=×+×
=，P(ξ=2)=×=，所以E(ξ)=0×+1×+2×=.故選D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.甲、乙兩名工人在同樣的條件下生產某產品，兩人的日產量相等，每天出廢品的情況如表所示：
則下列結論正確的是 (　　)
工人 甲 乙
廢品數 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
1
5
6
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10
11
12
13
14
3
4
2
A.甲生產的產品質量比乙生產的產品質量好一些
B.乙生產的產品質量比甲生產的產品質量好一些
C.兩人生產的產品質量一樣好
D.無法判斷誰生產的產品質量好一些
√
1
5
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7
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9
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3
4
2
解析：由題知，甲生產的廢品數的期望是0×0.4+1×0.3+2×0.2+3
×0.1=1，乙生產的廢品數的期望是0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9，因為甲生產的廢品數的期望大于乙生產的廢品數的期望，所以乙生產的產品質量比甲生產的產品質量好一些.故選B.
1
5
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7
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3
4
2
5.[多選]隨機變量X和Y，其中Y=12X+7，且E(Y)=34，若X的分布列如表：
則下列正確的是 (　　)
A.E(X)=12 B.E(X)=
C.m= D.n=
X 1 2 3 4
P m n
√
√
√
1
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12
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3
4
2
解析：根據分布列可知m+n=1--=①，因為Y=12X+7，所以E(Y)
=12E(X)+7=34，解得E(X)=，又由分布列可得1×+2×m+3×n+4
×=，整理得2m+3n=②，①②聯立解得m=，n=.
1
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12
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14
3
4
2
6.已知隨機變量X服從兩點分布，且P(X=1)=0.4，設ξ=2X-3，那么E(ξ)=______.
解析：E(X)=1×0.4+0×(1-0.4)=0.4，E(ξ)=2E(X)-3=-2.2.
-2.2
7.隨機變量X的取值為0，1，2，若P(X=0)=，E(X)=1，則P(X=1)=_____.
解析：設P(X=1)=p，因為P(X=0)=，E(X)=1，
故0×+1×p+2×=1，所以p+-2p=1，解得p=.
1
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3
4
2
8.節日期間，某種鮮花的進價是每束2.5元，售價是每束5元，節后對沒有賣出的鮮花以每束1.6元處理.根據前5年節日期間對這種鮮花需求量X(束)的統計(如表)，若進這種鮮花500束在今年節日期間銷售，則利潤的均值是______元.
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
706
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2
解析：節日期間這種鮮花需求量的均值為E(X)=200×0.20+300×0.35+
400×0.30+500×0.15=340(束).設利潤為Y，則Y=5X+1.6×(500-X)-500
×2.5=3.4X-450，所以E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706(元).
1
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3
4
2
9.盒子中裝有5節同品牌的五號電池，其中混有2節廢電池，現在無放回地每次取一節電池檢驗，直到取到好電池為止.求：
(1)抽取次數X的分布列；
解：由題意知，X的可能取值為1，2，3.
P(X=1)=；P(X=2)=×=；
P(X=3)=×=.
1
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所以X的分布列為
X 1 2 3
P
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3
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2
(2)平均抽取多少次可取到好電池.
解：E(X)=1×+2×+3×=1.5，
即平均抽取1.5次可取到好電池.
1
5
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3
4
2
10.將號碼為1，2，3，4的4個小球等可能地放入號碼為1，2，3，4的4個盒子中，每個盒子恰放1個小球.
(1)求1號球不在1號盒中的概率；
解：記事件“1號球不在1號盒中”為A，則P(A)===.
1
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3
4
2
(2)記所放小球號碼與盒子號碼相同的個數為X，不同的個數為Y，求證：E(X)E(Y)>E(XY).
解：證明：X的可能取值為0，1，2，4，且X+Y=4，
P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=4)==，
所以E(X)=0×+1×+2×+4×=1，E(Y)=E(4-X)=4-E(X)=3，
1
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3
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2
X=0時，Y=4，X=4時，Y=0，此時XY=0，則P(XY=0)=+=，
X=1時，Y=3，此時XY=3，P(XY=3)=，
X=2時，Y=2，此時XY=4，P(XY=4)=，
E(XY)=0×+3×+4×=2，
因為E(X)E(Y)=1×3=3，
所以E(X)E(Y)>E(XY).
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2
B級——應用創新
11.[多選]已知隨機變量ξ的分布列如表：
記“函數f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函數”為事件A，則下列結論正確的有(　　)
ξ -1 0 1
P a b
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3
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2
A.E(ξ)=-2a B.E(ξ 2)=
C.P(A)= D.P(A)=
解析：由隨機變量ξ的分布列知，E(ξ)=-a+b，E(ξ 2)=a+b=1-=，所以E(ξ)=-2a，因為“函數f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函數”為事件A，ξ的所有取值為-1，0，1，滿足事件A的ξ的可能取值為-1，1，所以P(A)=.故選ABD.
√
√
√
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3
4
2
12.[多選]設0ξ 0 1 2
P p-p2 p2 1-p
A.E(ξ)隨著p的增大而增大
B.E(ξ)隨著p的增大而減小
C.P(ξ=0)D.P(ξ=2)的值最大
√
√
1
5
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13
14
3
4
2
解析：因為E(ξ)=p2+2-2p，00，故當P(ξ=2)，故D錯誤.故選BC.
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12
13
14
3
4
2
13.甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每人各局取勝的概率均為，現采用五局三勝制，勝3局者贏得全部獎金800元.若前兩局比賽均為甲勝，此時因某種原因比賽中止，為使獎金分配合理，則乙應得的獎金為______元.
100
1
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12
13
14
3
4
2
解析：設甲應得的獎金為X元，則X的可能取值為800，0.
甲贏得比賽有3種情況：①第3局勝，甲贏的概率為；②第3局輸，第4局勝，甲贏的概率為×=；③第3，4局輸，第5局勝，甲贏的概率為×=.∴甲贏的概率為++=，∴E(X)=800×+0×=700，∴乙應得的獎金為800-700=100(元).
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2
14.(2024·北京高考)某保險公司為了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1 000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：
索賠次數 0 1 2 3 4
保單份數 800 100 60 30 10
假設：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.
假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
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2
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；
解：法一：正面計算　記“隨機抽取一份保單，索賠次數不少于2”為事件A，
由索賠次數不少于2，知索賠次數為2，3，4，
所以P(A)===.
1
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4
2
法二：反面計算　記“隨機抽取一份保單，索賠次數不少于2”為事件A，
由索賠次數不少于2，知可利用間接法計算，
則P(A)=1-=.
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2
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
①記X為一份保單的毛利潤，估計X的數學期望E(X)；
②如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與①中E(X)估計值的大小.(結論不要求證明)
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2
解：①由題知X的所有可能取值為0.4，-0.4，-1.2，-2.0，-2.6，
則P(X=0.4)==0.8，P(X=-0.4)==0.1，P(X=-1.2)==0.06，P(X=-2.0)==0.03，P(X=-2.6)==0.01，
故E(X)=0.4×0.8-0.4×0.1-1.2×0.06-2.0×0.03-2.6×0.01=0.122(萬元).
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2
②如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值比①中E(X)估計值大.
證明如下：
設調整保費后一份保單的毛利潤(單位：萬元)為Y，則
對于索賠次數為0的保單，Y=0.4×(1-4%)=0.384，
對于索賠次數為1的保單，Y=0.4×(1+20%)-0.8=-0.32，
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2
對于索賠次數為2的保單，Y=-0.32-0.8=-1.12，
對于索賠次數為3的保單，Y=-1.12-0.8=-1.92，
對于索賠次數為4的保單，Y=-1.92-0.6=-2.52，
故E(Y)=0.384×0.8-0.32×0.1-1.12×0.06-1.92×0.03-2.52×0.01=0.125 2(萬元).
所以E(X)A級——綜合提能
1.若隨機變量X的分布列如下(k為常數),則E(X)= (　　)
X 0 1 2
P k 6k 0.3
A.0.6 B.0.9
C.1 D.1.2
2.擲一枚質地均勻的正四面體骰子(四面點數分別為1,2,3,4),則底面擲出點數的數學期望為 (　　)
A.2 B.2.5
C.3 D.3.5
3.甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率為,乙、丙打中的概率均為(0A. B.
C.1 D.
4.甲、乙兩名工人在同樣的條件下生產某產品,兩人的日產量相等,每天出廢品的情況如表所示:
工人 甲 乙
廢品數 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
則下列結論正確的是 (　　)
A.甲生產的產品質量比乙生產的產品質量好一些
B.乙生產的產品質量比甲生產的產品質量好一些
C.兩人生產的產品質量一樣好
D.無法判斷誰生產的產品質量好一些
5.[多選]隨機變量X和Y,其中Y=12X+7,且E(Y)=34,若X的分布列如表:
X 1 2 3 4
P m n
則下列正確的是 (　　)
A.E(X)=12 B.E(X)=
C.m= D.n=
6.已知隨機變量X服從兩點分布,且P(X=1)=0.4,設ξ=2X-3,那么E(ξ)=　　　　.
7.隨機變量X的取值為0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,則P(X=1)=　　　　.
8.節日期間,某種鮮花的進價是每束2.5元,售價是每束5元,節后對沒有賣出的鮮花以每束1.6元處理.根據前5年節日期間對這種鮮花需求量X(束)的統計(如表),若進這種鮮花500束在今年節日期間銷售,則利潤的均值是　　　　元.
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
9.盒子中裝有5節同品牌的五號電池,其中混有2節廢電池,現在無放回地每次取一節電池檢驗,直到取到好電池為止.求:
(1)抽取次數X的分布列;
(2)平均抽取多少次可取到好電池.
10.將號碼為1,2,3,4的4個小球等可能地放入號碼為1,2,3,4的4個盒子中,每個盒子恰放1個小球.
(1)求1號球不在1號盒中的概率;
(2)記所放小球號碼與盒子號碼相同的個數為X,不同的個數為Y,求證:E(X)E(Y)>E(XY).
B級——應用創新
11.[多選]已知隨機變量ξ的分布列如表:
ξ -1 0 1
P a b
記“函數f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函數”為事件A,則下列結論正確的有 (　　)
A.E(ξ)=-2a B.E(ξ2)=
C.P(A)= D.P(A)=
12.[多選]設0ξ 0 1 2
P p-p2 p2 1-p
A.E(ξ)隨著p的增大而增大
B.E(ξ)隨著p的增大而減小
C.P(ξ=0)D.P(ξ=2)的值最大
13.甲、乙兩人進行乒乓球比賽,每人各局取勝的概率均為,現采用五局三勝制,勝3局者贏得全部獎金800元.若前兩局比賽均為甲勝,此時因某種原因比賽中止,為使獎金分配合理,則乙應得的獎金為　　　　元.
14.(2024·北京高考)某保險公司為了解該公司某種保險產品的索賠情況,從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1 000份,記錄并整理這些保單的索賠情況,獲得數據如下表:
索賠次數 0 1 2 3 4
保單份數 800 100 60 30 10
假設:一份保單的保費為0.4萬元;前三次索賠時,保險公司每次賠償0.8萬元;第四次索賠時,保險公司賠償0.6萬元.
假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率;
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
①記X為一份保單的毛利潤,估計X的數學期望E(X);
②如果無索賠的保單的保費減少4%,有索賠的保單的保費增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與①中E(X)估計值的大小.(結論不要求證明)
課時跟蹤檢測(十七)
1.選D　由分布列的性質,得k+6k+0.3=1,解得k=0.1,∴E(X)=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2.故選D.
2.選B　設底面擲出的點數為X,則X的可能取值為1,2,3,4,且底面擲出每種點數的概率均為,則E(X)=(1+2+3+4)×=2.5,故選B.
3.選D　依題意,甲、乙、丙都打中的概率P=××=,解得t=3(負值舍去),所以乙打中的概率為.由題意可得,ξ的可能取值為0,1,2,且P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=×+×=,P(ξ=2)=×=,所以E(ξ)=0×+1×+2×=.故選D.
4.選B　由題知,甲生產的廢品數的期望是0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙生產的廢品數的期望是0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9,因為甲生產的廢品數的期望大于乙生產的廢品數的期望,所以乙生產的產品質量比甲生產的產品質量好一些.故選B.
5.選BCD　根據分布列可知m+n=1--=①,因為Y=12X+7,所以E(Y)=12E(X)+7=34,解得E(X)=,又由分布列可得1×+2×m+3×n+4×=,整理得2m+3n=②,①②聯立解得m=,n=.
6.解析:E(X)=1×0.4+0×(1-0.4)=0.4,E(ξ)=2E(X)-3=-2.2.
答案:-2.2
7.解析:設P(X=1)=p,因為P(X=0)=,E(X)=1,故0×+1×p+2×=1,所以p+-2p=1,解得p=.
答案:
8.解析:節日期間這種鮮花需求量的均值為E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).設利潤為Y,則Y=5X+1.6×(500-X)-500×2.5=3.4X-450,所以E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706(元).
答案:706
9.解:(1)由題意知,X的可能取值為1,2,3.
P(X=1)=;
P(X=2)=×=;
P(X=3)=×=.
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
(2)E(X)=1×+2×+3×=1.5,
即平均抽取1.5次可取到好電池.
10.解:(1)記事件“1號球不在1號盒中”為A,則P(A)===.
(2)證明:X的可能取值為0,1,2,4,且X+Y=4,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=4)==,
所以E(X)=0×+1×+2×+4×=1,E(Y)=E(4-X)=4-E(X)=3,
X=0時,Y=4,X=4時,Y=0,此時XY=0,則P(XY=0)=+=,
X=1時,Y=3,此時XY=3,P(XY=3)=,
X=2時,Y=2,此時XY=4,P(XY=4)=,
E(XY)=0×+3×+4×=2,
因為E(X)E(Y)=1×3=3,
所以E(X)E(Y)>E(XY).
11.選ABD　由隨機變量ξ的分布列知,E(ξ)=-a+b,E(ξ2)=a+b=1-=,所以E(ξ)=-2a,因為“函數f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函數”為事件A,ξ的所有取值為-1,0,1,滿足事件A的ξ的可能取值為-1,1,所以P(A)=.故選ABD.
12.選BC　因為E(ξ)=p2+2-2p,00,故當P(ξ=2),故D錯誤.故選BC.
13.解析:設甲應得的獎金為X元,則X的可能取值為800,0.
甲贏得比賽有3種情況:①第3局勝,甲贏的概率為;②第3局輸,第4局勝,甲贏的概率為×=;③第3,4局輸,第5局勝,甲贏的概率為×=.∴甲贏的概率為++=,∴E(X)=800×+0×=700,∴乙應得的獎金為800-700=100(元).
答案:100
14.解:(1)法一:正面計算　記“隨機抽取一份保單,索賠次數不少于2”為事件A,
由索賠次數不少于2,知索賠次數為2,3,4,
所以P(A)===.
法二:反面計算　記“隨機抽取一份保單,索賠次數不少于2”為事件A,
由索賠次數不少于2,知可利用間接法計算,則P(A)=1-=.
(2)①由題知X的所有可能取值為0.4,-0.4,-1.2,-2.0,-2.6,
則P(X=0.4)==0.8,
P(X=-0.4)==0.1,
P(X=-1.2)==0.06,
P(X=-2.0)==0.03,
P(X=-2.6)==0.01,
故E(X)=0.4×0.8-0.4×0.1-1.2×0.06-2.0×0.03-2.6×0.01=0.122(萬元).
②如果無索賠的保單的保費減少4%,有索賠的保單的保費增加20%,這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值比①中E(X)估計值大.
證明如下:
設調整保費后一份保單的毛利潤(單位:萬元)為Y,則
對于索賠次數為0的保單,Y=0.4×(1-4%)=0.384,
對于索賠次數為1的保單,Y=0.4×(1+20%)-0.8=-0.32,
對于索賠次數為2的保單,Y=-0.32-0.8=-1.12,
對于索賠次數為3的保單,Y=-1.12-0.8=-1.92,
對于索賠次數為4的保單,Y=-1.92-0.6=-2.52,
故E(Y)=0.384×0.8-0.32×0.1-1.12×0.06-1.92×0.03-2.52×0.01=0.125 2(萬元).
所以E(X)3 / 3

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