資源簡介

7.4.1　二項分布(強基課梯度進階式教學)
課時目標
1.掌握n重伯努利試驗的概念,掌握二項分布及其數字特征.
2.理解n重伯努利試驗的模型,能用二項分布解決簡單的實際問題.
　
1.n重伯努利試驗
定義 只包含　　　　可能結果的試驗叫做伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為　　　　　　　.
特征 (1)同一個伯努利試驗重復做n次; (2)各次試驗的結果相互　　　.
注意點 在相同條件下,n重伯努利試驗是有放回地抽樣試驗.
2.二項分布的概念
一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發生的概率為p(0如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作　　　　　　　　.
微點助解
兩點分布與二項分布的聯系
(1)兩點分布與二項分布的隨機變量都只有兩個可能結果.
(2)兩點分布是n=1時的二項分布.
3.二項分布的均值和方差
(1)若X服從兩點分布,則E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.
(2)若X~B(n,p),則E(X)=　　　　,D(X)=　　　　　　.
[基點訓練]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)在n重伯努利試驗中,各次試驗結果之間沒有影響. (　　)
(2)在n重伯努利試驗中,各次試驗成功的概率可以不同. (　　)
(3)在n重伯努利試驗中,事件A恰好發生k次與事件A恰好在第k次發生不一樣. (　　)
(4)某同學投籃的命中率為0.6,他10次投籃命中的次數X是一個隨機變量,且X~B(10,0.6). (　　)
(5)若X~B(5,0.4),則E(X)=2,D(X)=3. (　　)
2.若X~B(10,0.8),則P(X=8)等于 (　　)
A.×0.88×0.22 B.×0.82×0.28
C.0.88×0.22 D.0.82×0.28
3.已知隨機變量X服從二項分布B,則E(X)= (　　)
A.4 B.
C.2 D.1
題型(一)　n重伯努利試驗
[例1]　某公園種植了4棵棕櫚樹,各棵棕櫚樹成活與否是相互獨立的,且成活率均為,設ξ為成活棕櫚樹的棵數.
(1)求ξ的分布列;
(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活,則需要補種,求需要補種棕櫚樹的概率.
聽課記錄:
[思維建模]
n重伯努利試驗概率求解的關注點
(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式,相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.
(2)運用n重伯努利試驗的概率公式求概率時,首先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗,判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的,并且每次試驗的結果只有兩種(即要么發生,要么不發生),在任何一次試驗中某一事件發生的概率都相等,然后用相關公式求概率.
　　[針對訓練]
1.某射手進行射擊訓練,假設每次射擊擊中目標的概率為,且每次射擊的結果互不影響,已知射手射擊了5次,求:
(1)其中只在第一、三、五次擊中目標的概率;
(2)其中恰有3次擊中目標的概率;
(3)其中恰有3次連續擊中目標,而其他兩次沒有擊中目標的概率.
題型(二)　二項分布的均值與方差
[例2]　為防止風沙危害,某地決定建設防護綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳的成活與否是相互獨立的,成活率為p,設X為成活沙柳的株數,均值E(X)為3,標準差為.
(1)求n和p的值,并寫出X的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補種,求需要補種沙柳的概率.
聽課記錄:
[思維建模]
　　解決此類問題第一步是判斷隨機變量X服從什么分布,第二步代入相應的公式求解.若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p);若X服從二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).
　　[針對訓練]
2.已知隨機變量X~B(6,p),且E(X)+D(X)=,則p= (　　)
A. B.
C. D.
3.某一中學生心理咨詢中心服務電話的接通率為,某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心,且每人只撥打一次.
(1)求他們中成功咨詢的人數X的分布列;
(2)求E(X)與D(X)的值.
題型(三)　二項分布的實際應用
[例3]　春節期間,某超市準備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎.活動如下:一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,且顧客有放回地抽取3次.超市設計了兩種抽獎方案.
方案一:若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券.
方案二:若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎.
(1)現有兩位顧客均獲得抽獎機會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;
(2)若某顧客獲得抽獎機會.
①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數學期望;
②為了吸引顧客消費,讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動
聽課記錄:
[思維建模]
二項分布的實際應用問題的求解步驟
(1)根據題意設出隨機變量.
(2)判斷隨機變量是否服從二項分布.
(3)求出參數n和p的值.
(4)根據二項分布的均值、方差的計算公式求解.
　　[針對訓練]
4.“綠水青山就是金山銀山”是習近平總書記于2005年8月在浙江湖州安吉考察時提出的科學論斷.為提高學生環保意識,某校決定在高一,高二年級開展環保知識測試,已知高一,高二年級每個學生通過測試的概率分別為,.
(1)從高二年級隨機抽取6人參加測試,求通過測試的人數不多于4人的概率;
(2)若兩個年級各選派部分學生參加測試,高二年級通過測試人數的標準差為,則高一年級至少選派多少人參加測試,才能使其通過測試人數的均值不低于高二年級.
7.4.1　二項分布
課前環節
1.兩個　n重伯努利試驗　獨立
2.pk(1-p)n-k　X~B(n,p)
3.(1)p　p(1-p)　(2)np　np(1-p)
[基點訓練]
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2.選A　∵X~B(10,0.8),∴P(X=8)=×0.88×0.22,故選A.
3.選C　由隨機變量X服從二項分布B,可得E(X)=np=4×=2.
課堂環節
[題型(一)]
[例1]　解:(1)易知ξ所有可能的取值為0,1,2,3,4,
且P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)記“需要補種棕櫚樹”為事件A,由(1)得,
P(A)=P(ξ≤2)=++=,
所以需要補種棕櫚樹的概率為.
[針對訓練]
1.解:(1)該射手射擊了5次,其中只在第一、三、五次擊中目標,相當于射擊了5次,在第一、三、五次擊中目標,在第二、四次沒有擊中目標,所以只有一種情況,又因為各次射擊的結果互不影響,
故所求概率為P=××××=.
(2)因為各次射擊的結果互不影響,所以符合n次獨立重復試驗的概率模型.該射手射擊了5次,其中恰有3次擊中目標的概率為P=××=.
(3)該射手射擊了5次,其中恰有3次連續擊中目標,而其他兩次沒有擊中目標,把3次連續擊中目標看成一個整體,可得共有種情況.故所求概率為P=××=.
[題型(二)]
[例2]　解:由題意知,X~B(n,p),P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.
(1)由E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=,
得1-p=,從而n=6,p=.
X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)記A=“需要補種沙柳”,則P(A)=P(X≤3),
得P(A)=+++=或P(A)=1-P(X>3)=1-++=,
所以需要補種沙柳的概率為.
[針對訓練]
2.選C　因為隨機變量X~B(6,p),所以E(X)=6p,D(X)=6p(1-p),因為E(X)+D(X)=,所以6p+6p(1-p)=,解得p=或p=(舍去).
3.解:(1)依題意知X~B,且P(X=k)=××,k=0,1,2,3.
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=×=.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)由X~B及二項分布的性質得,
E(X)=np=3×=,
D(X)=np(1-p)=3××=.
[題型(三)]
[例3]　解:(1)選擇方案一,則每一次摸到紅球的概率為p==,
設“每位顧客獲得180元返金券”為事件A,則P(A)==,
所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率P=P(A)·P(A)=×=.
(2)①若選擇抽獎方案一,則每一次摸到紅球的概率為,每一次摸到白球的概率為.
設獲得返金券金額為X元,則可能的取值為60,100,140,180,
則P(X=60)==,
P(X=100)==,
P(X=140)==,
P(X=180)==,
所以該顧客獲得返金券金額的數學期望為E(X)=60×+100×+140×+180×=100(元).
若選擇抽獎方案二,設三次摸球的過程中,摸到紅球的次數為Y,
最終獲得返金券的金額為Z元,則Y~B,故E(Y)=3×=1,
所以該顧客獲得返金券金額的數學期望為E(Z)=E(80Y)=80(元).
②由①得E(X)>E(Z),所以該超市應選擇方案一.
[針對訓練]
4.解:(1)設高二年級參加測試人數為n,通過測試人數為X,則X~B,由題意得,n=6,
∴P(X≤4)=1-P(X=5)-P(X=6)
=1--=.
(2)D(X)=n××=,
∵==,∴n=50,
∴E(X)=,
設高一年級參加測試人數為m,通過測試人數為Y,則Y~B,易知E(Y)=,
由題意,E(Y)≥E(X),即≥,
得m≥=55,
∴高一年級至少派56人參加測試,才能使其通過測試人數的均值不低于高二年級.
1 / 3(共74張PPT)
7.4.1
二項分布
(強基課——梯度進階式教學)
課時目標
1.掌握n重伯努利試驗的概念，掌握二項分布及其數字特征.
2.理解n重伯努利試驗的模型，能用二項分布解決簡單的實際問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環節/預知教材·自主落實主干基礎
課堂環節/題點研究·遷移應用融會貫通
課時跟蹤檢測
課前環節/預知教材·
自主落實主干基礎
1.n重伯努利試驗
定義 只包含_____可能結果的試驗叫做伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為__________________.
特征 (1)同一個伯努利試驗重復做n次；
(2)各次試驗的結果相互_____.
注意點 在相同條件下，n重伯努利試驗是有放回地抽樣試驗.
兩個
n重伯努利試驗
獨立
2.二項分布的概念
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0=_____________，k=0，1，2，…，n.
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作____________.
pk·(1-p)n-k
X~B(n，p)
微點助解
兩點分布與二項分布的聯系
(1)兩點分布與二項分布的隨機變量都只有兩個可能結果.
(2)兩點分布是n=1時的二項分布.
3.二項分布的均值和方差
(1)若X服從兩點分布，則E(X)=____，D(X)=_________.
(2)若X~B(n，p)，則E(X)=____，D(X)=________.
p
p(1-p)
np
np(1-p)
基點訓練
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)在n重伯努利試驗中，各次試驗結果之間沒有影響. (　　)
(2)在n重伯努利試驗中，各次試驗成功的概率可以不同. (　　)
(3)在n重伯努利試驗中，事件A恰好發生k次與事件A恰好在第k次發生不一樣. (　　)
√　
×　
√　
(4)某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃命中的次數X是一個隨機變量，且X~B(10，0.6). (　　)
(5)若X~B(5，0.4)，則E(X)=2，D(X)=3. (　　)
√　
×
2.若X~B(10，0.8)，則P(X=8)等于 (　　)
A.×0.88×0.22 B.×0.82×0.28
C.0.88×0.22 D.0.82×0.28
解析：∵X~B(10，0.8)，∴P(X=8)=×0.88×0.22，故選A.
√
3.已知隨機變量X服從二項分布B，則E(X)=(　　)
A.4 B.
C.2 D.1
解析：由隨機變量X服從二項分布B，可得E(X)=np=4×=2.
√
課堂環節/題點研究·
遷移應用融會貫通
題型(一)　n重伯努利試驗
[例1]　某公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨立的，且成活率均為，設ξ為成活棕櫚樹的棵數.
(1)求ξ的分布列；
解：易知ξ所有可能的取值為0，1，2，3，4，
且P(ξ=0)==，
P(ξ =1)==，
P(ξ =2)==，
P(ξ =3)==，
P(ξ =4)==，
所以ξ 的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補種，求需要補種棕櫚樹的概率.
解：記“需要補種棕櫚樹”為事件A，由(1)得，
P(A)=P(ξ≤2)=++=，
所以需要補種棕櫚樹的概率為.
[思維建模]
n重伯努利試驗概率求解的關注點
(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.
(2)運用n重伯努利試驗的概率公式求概率時，首先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗，判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的，并且每次試驗的結果只有兩種(即要么發生，要么不發生)，在任何一次試驗中某一事件發生的概率都相等，然后用相關公式求概率.
針對訓練
1.某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且每次射擊的結果互不影響，已知射手射擊了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次擊中目標的概率；
解：該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標，相當于射擊了5次，在第一、三、五次擊中目標，在第二、四次沒有擊中目標，所以只有一種情況，又因為各次射擊的結果互不影響，故所求概率為P=××××=.
(2)其中恰有3次擊中目標的概率；
解：因為各次射擊的結果互不影響，所以符合n次獨立重復試驗的概率模型.該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標的概率為P=×
×=.
(3)其中恰有3次連續擊中目標，而其他兩次沒有擊中目標的概率.
解：該射手射擊了5次，其中恰有3次連續擊中目標，而其他兩次沒有擊中目標，把3次連續擊中目標看成一個整體，可得共有種情況.故所求概率為P=××=.
題型(二)　二項分布的均值與方差
[例2]　為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設X為成活沙柳的株數，均值E(X)為3，標準差為.
(1)求n和p的值，并寫出X的分布列；
解：由題意知，X~B(n，p)，P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，…，n.
由E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=，得1-p=，從而n=6，p=.X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率.
解：由題意知，X~B(n，p)，P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，…，n.
記A=“需要補種沙柳”，則P(A)=P(X≤3)，得P(A)=+++=
，
所以需要補種沙柳的概率為.
　[思維建模]
　解決此類問題第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步代入相應的公式求解.若X服從兩點分布，則E(X)=p，D(X)=p(1-p)；若X服從二項分布，即X~B(n，p)，則E(X)=np，D(X)=np(1-p).
針對訓練
2.已知隨機變量X~B(6，p)，且E(X)+D(X)=，則p=(　　)
A.B.C. D.
解析：因為隨機變量X~B(6，p)，所以E(X)=6p，D(X)=6p(1-p)，因為E(X)+D(X)=，所以6p+6p(1-p)=，解得p=或p=(舍去).
√
3.某一中學生心理咨詢中心服務電話的接通率為，某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心，且每人只撥打一次.
(1)求他們中成功咨詢的人數X的分布列；
解：依題意知X~B，且P(X=k)=××，k=0，1，2，3.
P(X=0)=××=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)求E(X)與D(X)的值.
解：由X~B及二項分布的性質得，
E(X)=np=3×=，
D(X)=np(1-p)=3××=.
題型(三)　二項分布的實際應用
[例3]　春節期間，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎.活動如下：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，且顧客有放回地抽取3次.超市設計了兩種抽獎方案.
方案一：若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券.
方案二：若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎.
(1)現有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；
解：選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為p==，
設“每位顧客獲得180元返金券”為事件A，則P(A)==，
所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率P=P(A)·P(A)=×=.
(2)若某顧客獲得抽獎機會.
①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數學期望；
②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動
解： ①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.
設獲得返金券金額為X元，則可能的取值為60，100，140，180，
則P(X=60)==，P(X=100)==，
P(X=140)==，P(X=180)==，
所以該顧客獲得返金券金額的數學期望為E(X)=60×+100×+140×+180×=100(元).
若選擇抽獎方案二，設三次摸球的過程中，摸到紅球的次數為Y，
最終獲得返金券的金額為Z元，則Y~B，故E(Y)=3×=1，
所以該顧客獲得返金券金額的數學期望為E(Z)=E(80Y)=80(元).
②由①得E(X)>E(Z)，所以該超市應選擇方案一.
[思維建模]
二項分布的實際應用問題的求解步驟
(1)根據題意設出隨機變量.
(2)判斷隨機變量是否服從二項分布.
(3)求出參數n和p的值.
(4)根據二項分布的均值、方差的計算公式求解.　　
針對訓練
4.“綠水青山就是金山銀山”是習近平總書記于2005年8月在浙江湖州安吉考察時提出的科學論斷.為提高學生環保意識，某校決定在高一，高二年級開展環保知識測試，已知高一，高二年級每個學生通過測試的概率分別為.
(1)從高二年級隨機抽取6人參加測試，求通過測試的人數不多于4人的概率；
解：設高二年級參加測試人數為n，通過測試人數為X，則X~B，由題意得，n=6，
∴P(X≤4)=1-P(X=5)-P(X=6)
=1--=.
(2)若兩個年級各選派部分學生參加測試，高二年級通過測試人數的標準差為，則高一年級至少選派多少人參加測試，才能使其通過測試人數的均值不低于高二年級.
解：D(X)=n××=，
∵==，∴n=50，
∴E(X)=，
設高一年級參加測試人數為m，通過測試人數為Y，則Y~B，易知E(Y)=，
由題意，E(Y)≥E(X)，即≥，
得m≥=55，
∴高一年級至少派56人參加測試，才能使其通過測試人數的均值不低于高二年級.
課時跟蹤檢測
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A級——綜合提能
1.在4重伯努利試驗中，若事件A至少發生1次的概率為，則事件A在1次試驗中發生的概率為(　　)
A. B.
C. D.
√
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
解析：設事件A在一次試驗中發生的概率為p，由題意得1-p0(1-p)4
=，所以1-p=，p=.
1
5
6
7
8
9
10
11
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14
2
3
4
2.已知隨機變量X~B(2，p)，P(X=1)=，則E=(　　)
A. B.
C. D.2
解析：依題意，P(X=1)=·p·(1-p)=2·p·(1-p)=，解得p=，所以E(X)=2×=1，所以E=E(X)=×1=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2 min，則這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間Y的均值為(　　)
A. B.1
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：遇到紅燈的次數X~B，∴E(X)=4×=，∴E(Y)=E(2X)=2×=.
1
5
6
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11
12
13
14
3
4
2
4.[多選]設隨機變量ξ ~B(2，p)，η~B(3，p)，若P(ξ ≥1)=，則(　　)
A.p= B.E(ξ )=
C.D(η)=1 D.P(η≥2)=
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
3
4
2
解析：由P(ξ =0)+P(ξ ≥1)=1，則P(ξ=0)=p0(1-p)2=，可得p=，所以E(ξ )=2×=，D(η)=3××=，P(η≥2)=p2(1-p)1+p3(1-p)0
=+=.
1
5
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3
4
2
5.已知某籃球運動員每次罰球命中的概率為0.4，該運動員進行罰球練習(每次罰球互不影響)，則在罰球命中兩次停止時，罰球次數恰為4的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：設運動員罰球一次“命中”記為事件A，則P(A)=0.4，P()=0.6.命中兩次停止時，罰球次數恰為4，說明第4次命中，前3次命中1次，故所求概率為0.4×0.62×0.4=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.如果隨機變量ξ ~B(n，p)，且E(ξ )=10，D(ξ )=8，則p等于_____.
解析：由題意得，E(ξ )=np=10，D(ξ )=np(1-p)=8，解得p=0.2.
0.2
7.小李上班的路上有4個紅綠燈路口，假如他走到每個紅綠燈路口遇到綠燈的概率為，則他在上班的路上至少遇到2次綠燈的概率為_____.
解析：4次均不是綠燈的概率為××=，3次不是綠燈的概率為××=，∴至少遇到2次綠燈的概率為1--=.
1
5
6
7
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2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.一個箱子中裝有形狀完全相同的5個白球和n(n∈N*)個黑球，現從中有放回地摸取4次，每次都是隨機摸取一球，設摸得白球個數為X，若D(X)=1，則E(X)=____.
解析：有放回地摸取4次，每次隨機摸取一球是白球的概率相等，設為p，而摸取1次即為一次試驗，只有兩個不同結果，因此，X~B(4，p)，則D(X)=4(1-p)p=1，解得p=，所以E(X)=4p=2.
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.某運動員投籃命中率為p=0.6.
(1)求投籃1次時命中次數X的均值；
解：投籃1次，命中次數X的分布列為
X 0 1
P 0.4 0.6
則E(X)=0.6.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)求重復5次投籃時，命中次數Y的均值.
解：由題意，重復5次投籃，命中的次數Y服從二項分布，
即Y~B(5，0.6)，則E(Y)=np=5×0.6=3.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.小明參加社區組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次，擊中區域甲的概率是，擊中區域乙的概率是，擊中區域丙的概率是，區域甲、乙、丙均沒有重復的部分.這次射擊比賽獲獎規則是：若擊中區域甲則獲一等獎；若擊中區域乙則有一半的機會獲得二等獎，有一半的機會獲得三等獎；若擊中區域丙則獲得三等獎；若擊中上述三個區域以外的區域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優秀射擊手”稱號.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(1)求小明射擊1次獲得“優秀射擊手”稱號的概率；
解：記“射擊一次獲得‘優秀射擊手’稱號”為事件A，“射擊一次獲得一等獎”為事件B，“射擊一次獲得二等獎”為事件C，所以有A=B∪C，所以P(B)=，P(C)=×=，所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)
=+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結果相互獨立，設獲三等獎的次數為X，求X的分布列和數學期望.
解：獲得三等獎的次數為X，X的可能取值為0，1，2，3，4；
記“獲得三等獎”為事件D，所以P(D)=+×=，
所以P(X=0)==，
P(X=1)===，
1
5
6
7
8
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14
3
4
2
P(X=2)===，
P(X=3)===，
P(X=4)==，
所以X的分布列為
1
5
6
7
8
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10
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14
3
4
2
X 0 1 2 3 4
P
顯然X~B，E(X)=4×=1.
1
5
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7
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10
11
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13
14
3
4
2
B級——應用創新
11.A，B兩組各有3人獨立的破譯某密碼，A組每個人成功破譯出該密碼的概率為p1，B組每個人成功破譯出該密碼的概率為p2，記A，B兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為X，Y，若0A.E(X)>E(Y)，D(X)E(Y)，D(X)>D(Y)
C.E(X)D(Y)
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：由題意可知，X服從二項分布B(3，p1)，所以E(X)=3p1，D(X)=3p1(1-p1).同理，Y服從二項分布B(3，p2)，所以E(Y)=3p2，D(Y)=3p2(1-p2).因為0對于二次函數y=3p(1-p)，對稱軸p=，所以在上函數單調遞增，所以當01
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.已知離散型隨機變量X服從二項分布B(n，p)，其中n∈N*，0A.a+b=1
B.p=時，a=b
C.0D.√
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
3
4
2
解析：對于A，由概率的基本性質可知，a+b=1，故A正確；對于B，由p=時，離散型隨機變量X服從二項分布B，
則P(X=k)=(k=0，1，2，3，…，n)，
所以a=(+++…)=×2n-1=，b=(+++…)=×2n-1=，所以a=b，故B正確；
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
對于C、D，a==，當0故C正確，當1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.切比雪夫不等式是19世紀俄國數學家切比雪夫(1821.5~1894.12)在研究統計規律時發現的，其內容是：對于任一隨機變量X，若其數學期望E(X)和方差D(X)均存在，則對任意正實數ε，有P(|X-E(X)|<ε)≥1-.根據該不等式可以對事件|X-E(X)|<ε的概率作出估計.在數字通信中，信號是由數字“0”和“1”組成的序列，現連續發射信號n次，每次發射信號“0”和“1”是等可能的.記發射信號“1”的次數為隨機變量X，為了至少有98%的把握使發射信號“1”的頻率在區間(0.4，0.6)內，估計信號發射次數n的值至少為_________.
1 250
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：由題意知X~B，所以E(X)=0.5n，D(X)=0.25n，
若0.4<<0.6，則0.4n即-0.1n由切比雪夫不等式P(|X-0.5n|<0.1n)≥1-知，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
要使得至少有98%的把握使發射信號“1”的頻率在區間(0.4，0.6)內，
則1-≥0.98，解得n≥1 250，
所以估計信號發射次數n的最小值為1 250.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.某學校舉辦了精彩紛呈的數學文化節活動，其中有兩個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎.游戲規則如下：拋擲一枚質地均勻的骰子一次，出現3的倍數，則一次上三級臺階，否則上兩級臺階，再重復以上步驟，當參加游戲的學生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結束.規定：從平地開始，結束時學生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認定游戲失敗.
1
5
6
7
8
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13
14
3
4
2
(1)某學生拋擲三次骰子后，按游戲規則位于第X級臺階，求X的分布列及數學期望E(X)；
解：由題意可知，每次擲骰子上兩級臺階的概率為=，上三級臺階的概率為=，
且X的可能取值為6，7，8，9，設Y=X-6，
則Y~B，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
則有P(X=6)=P(Y=0)==，
P(X=7)=P(Y=1)=××=，
P(X=8)=P(Y=2)=××=，
P(X=9)=P(Y=3)==，
所以X的分布列為
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
X 6 7 8 9
P
X的數學期望E(X)=6×+7×+8×+9×=7.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)①求一位同學參加游戲，他不能獲得獎品的概率；
②若甲、乙兩位學生參加游戲，求恰有一人獲得獎品的概率.
解：①因為位于第10級臺階則認定游戲失敗，無法獲得獎品，
結合題意可知，若學生位于第10級臺階，則投擲3次后，學生位于第7級臺階，投擲第4次上三級臺階，所以不能獲得獎品的概率為P1=
×××=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
②甲、乙兩位學生參加游戲，恰有一人獲得獎品的概率P=××=.課時跟蹤檢測(十九)　二項分布
A級——綜合提能
1.在4重伯努利試驗中,若事件A至少發生1次的概率為,則事件A在1次試驗中發生的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知隨機變量X~B(2,p),P(X=1)=,則E= (　　)
A. B.
C. D.2
3.某學生在上學路上要經過4個路口,假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是,遇到紅燈時停留的時間都是2 min,則這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間Y的均值為 (　　)
A. B.1
C. D.
4.[多選]設隨機變量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=,則 (　　)
A.p= B.E(ξ)=
C.D(η)=1 D.P(η≥2)=
5.已知某籃球運動員每次罰球命中的概率為0.4,該運動員進行罰球練習(每次罰球互不影響),則在罰球命中兩次停止時,罰球次數恰為4的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
6.如果隨機變量ξ~B(n,p),且E(ξ)=10,D(ξ)=8,則p等于　　　　.
7.小李上班的路上有4個紅綠燈路口,假如他走到每個紅綠燈路口遇到綠燈的概率為,則他在上班的路上至少遇到2次綠燈的概率為　　　　.
8.一個箱子中裝有形狀完全相同的5個白球和n(n∈N*)個黑球,現從中有放回地摸取4次,每次都是隨機摸取一球,設摸得白球個數為X,若D(X)=1,則E(X)=　　　　.
9.某運動員投籃命中率為p=0.6.
(1)求投籃1次時命中次數X的均值;
(2)求重復5次投籃時,命中次數Y的均值.
10.小明參加社區組織的射擊比賽活動,已知小明射擊一次,擊中區域甲的概率是,擊中區域乙的概率是,擊中區域丙的概率是,區域甲、乙、丙均沒有重復的部分.這次射擊比賽獲獎規則是:若擊中區域甲則獲一等獎;若擊中區域乙則有一半的機會獲得二等獎,有一半的機會獲得三等獎;若擊中區域丙則獲得三等獎;若擊中上述三個區域以外的區域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優秀射擊手”稱號.
(1)求小明射擊1次獲得“優秀射擊手”稱號的概率;
(2)小明在比賽中射擊4次,每次射擊的結果相互獨立,設獲三等獎的次數為X,求X的分布列和數學期望.
B級——應用創新
11.A,B兩組各有3人獨立的破譯某密碼,A組每個人成功破譯出該密碼的概率為p1,B組每個人成功破譯出該密碼的概率為p2,記A,B兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為X,Y,若0A.E(X)>E(Y),D(X)B.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)
C.E(X)D.E(X)D(Y)
12.已知離散型隨機變量X服從二項分布B(n,p),其中n∈N*,0A.a+b=1
B.p=時,a=b
C.0D.13.切比雪夫不等式是19世紀俄國數學家切比雪夫(1821.5~1894.12)在研究統計規律時發現的,其內容是:對于任一隨機變量X,若其數學期望E(X)和方差D(X)均存在,則對任意正實數ε,有P(|X-E(X)|<ε)≥1-.根據該不等式可以對事件|X-E(X)|<ε的概率作出估計.在數字通信中,信號是由數字“0”和“1”組成的序列,現連續發射信號n次,每次發射信號“0”和“1”是等可能的.記發射信號“1”的次數為隨機變量X,為了至少有98%的把握使發射信號“1”的頻率在區間(0.4,0.6)內,估計信號發射次數n的值至少為　　　　.
14.某學校舉辦了精彩紛呈的數學文化節活動,其中有兩個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎.游戲規則如下:拋擲一枚質地均勻的骰子一次,出現3的倍數,則一次上三級臺階,否則上兩級臺階,再重復以上步驟,當參加游戲的學生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結束.規定:從平地開始,結束時學生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物,位于第9級臺階可獲得一套智力玩具,位于第10級臺階則認定游戲失敗.
(1)某學生拋擲三次骰子后,按游戲規則位于第X級臺階,求X的分布列及數學期望E(X);
(2)①求一位同學參加游戲,他不能獲得獎品的概率;
②若甲、乙兩位學生參加游戲,求恰有一人獲得獎品的概率.
課時跟蹤檢測(十九)
1.選A　設事件A在一次試驗中發生的概率為p,由題意得1-p0(1-p)4=,所以1-p=,p=.
2.選A　依題意,P(X=1)=·p·(1-p)=2·p·(1-p)=,解得p=,所以E(X)=2×=1,所以E=E(X)=×1=.
3.選D　遇到紅燈的次數X~B,∴E(X)=4×=,∴E(Y)=E(2X)=2×=.
4.選ABD　由P(ξ=0)+P(ξ≥1)=1,則P(ξ=0)=p0(1-p)2=,可得p=,所以E(ξ)=2×=,D(η)=3××=,P(η≥2)=p2(1-p)1+p3(1-p)0=+=.
5.選C　設運動員罰球一次“命中”記為事件A,則P(A)=0.4,P()=0.6.命中兩次停止時,罰球次數恰為4,說明第4次命中,前3次命中1次,故所求概率為0.4×0.62×0.4=.
6.解析:由題意得,E(ξ)=np=10,D(ξ)=np(1-p)=8,解得p=0.2.
答案:0.2
7.解析:4次均不是綠燈的概率為××=,3次不是綠燈的概率為××=,∴至少遇到2次綠燈的概率為1--=.
答案:
8.解析:有放回地摸取4次,每次隨機摸取一球是白球的概率相等,設為p,而摸取1次即為一次試驗,只有兩個不同結果,因此,X~B(4,p),則D(X)=4(1-p)p=1,解得p=,所以E(X)=4p=2.
答案:2
9.解:(1)投籃1次,命中次數X的分布列為
X 0 1
P 0.4 0.6
則E(X)=0.6.
(2)由題意,重復5次投籃,命中的次數Y服從二項分布,即Y~B(5,0.6),則E(Y)=np=5×0.6=3.
10.解:(1)記“射擊一次獲得‘優秀射擊手’稱號”為事件A,“射擊一次獲得一等獎”為事件B,“射擊一次獲得二等獎”為事件C,所以有A=B∪C,所以P(B)=,P(C)=×=,所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=.
(2)獲得三等獎的次數為X,X的可能取值為0,1,2,3,4;
記“獲得三等獎”為事件D,所以P(D)=+×=,
所以P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
P(X=4)==,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
顯然X~B,E(X)=4×=1.
11.選C　由題意可知,X服從二項分布B(3,p1),所以E(X)=3p1,D(X)=3p1(1-p1).同理,Y服從二項分布B(3,p2),所以E(Y)=3p2,D(Y)=3p2(1-p2).因為012.選D　對于A,由概率的基本性質可知,a+b=1,故A正確;對于B,由p=時,離散型隨機變量X服從二項分布B,則P(X=k)=·(k=0,1,2,3,…,n),所以a=(+++…)=×2n-1=,b=(+++…)=×2n-1=,所以a=b,故B正確;對于C、D,a==,當013.解析:由題意知X~B,所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25n,
若0.4<<0.6,則0.4n即-0.1n要使得至少有98%的把握使發射信號“1”的頻率在區間(0.4,0.6)內,
則1-≥0.98,解得n≥1 250,
所以估計信號發射次數n的最小值為1 250.
答案:1 250
14.解:(1)由題意可知,每次擲骰子上兩級臺階的概率為=,上三級臺階的概率為=,
且X的可能取值為6,7,8,9,
設Y=X-6,則Y~B,
則有P(X=6)=P(Y=0)==,
P(X=7)=P(Y=1)=××=,
P(X=8)=P(Y=2)=××=,
P(X=9)=P(Y=3)==,
所以X的分布列為
X 6 7 8 9
P
X的數學期望E(X)=6×+7×+8×+9×=7.
(2)①因為位于第10級臺階則認定游戲失敗,無法獲得獎品,
結合題意可知,若學生位于第10級臺階,則投擲3次后,學生位于第7級臺階,投擲第4次上三級臺階,所以不能獲得獎品的概率為P1=×××=.
②甲、乙兩位學生參加游戲,恰有一人獲得獎品的概率P=××=.
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