資源簡介

7.4.2　超幾何分布(強基課梯度進階式教學)
課時目標
1.通過具體實例,了解超幾何分布及其均值.
2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.超幾何分布的概念
一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數,則X的分布列為P(X=k)=　　　　　,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
微點助解
(1)在超幾何分布的模型中,“任取n件”應理解為“不放回地一次取一件,連續取n件”.
(2)超幾何分布的特點:①不放回抽樣;②考察對象分兩類;③實質是古典概型.
2.超幾何分布的均值
一般地,當隨機變量X服從參數為N,M,n的超幾何分布時,其均值為E(X)=.
[基點訓練]
1.[多選]下列隨機變量中,服從超幾何分布的有 (　　)
A.在10件產品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,記取到的次品數為X
B.從3臺甲型冰箱和2臺乙型冰箱中任取2臺,記X表示所取的2臺冰箱中甲型冰箱的臺數
C.一名學生騎自行車上學,途中有6個交通崗,記此學生遇到紅燈的個數為隨機變量X
D.從10名男生、5名女生中選3人參加植樹活動,其中男生人數記為X
2.已知8名學生中有5名男生,從中選出4名代表,記選出的代表中男生人數為X,則P(X=3)= (　　)
A. B.
C. D.1
3.設50個產品中有10個次品,任取產品20個,取到的次品可能有X個,則E(X)= (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
4.袋中有3個紅球,7個白球,這些球除顏色不同外其余完全相同,從中無放回地任取5個,取出幾個紅球就得幾分,則平均得　　　　分.
題型(一)　超幾何分布的概念
[例1]　[多選]下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是 (　　)
A.將一枚硬幣連拋3次,正面向上的次數X
B.從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部,選出女生的人數為X
C.某射手的命中率為0.8,現對目標射擊1次,記命中目標的次數為X
D.盒中有4個白球和3個黑球,每次從中摸出1球且不放回,X是首次摸出黑球時的總次數
聽課記錄:
[思維建模]
判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,應看三點
(1)總體是否可分為兩類明確的對象(多類對象可轉化為兩類對象).
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數.
　　[針對訓練]
1.[多選]下列隨機變量中,服從超幾何分布的有 (　　)
A.拋擲三枚骰子,向上的點數是6的骰子的個數X
B.有一批種子的發芽率為70%,任取10顆種子做發芽試驗,試驗中發芽的種子的個數X
C.盒子中有3個紅球、4個黃球、5個藍球,任取3個球,不是紅球的個數X
D.某班級有男生25人,女生20人.選派4名學生參加學校組織的活動,其中女生的人數X
題型(二)　超幾何分布的概率
[例2]　某校高一、高二的學生組隊參加辯論賽,高一推薦了3名男生、2名女生,高二推薦了3名男生、4名女生.推薦的學生一起參加集訓,最終從參加集訓的男生中隨機抽取3人,女生中隨機抽取3人組成代表隊.
(1)求高一至少有1名學生入選代表隊的概率;
(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數,求X的分布列.
聽課記錄:
[思維建模]
(1)在產品抽樣檢驗中,如果采用的是不放回抽樣,則抽到的次品數服從超幾何分布.
(2)如果隨機變量X服從超幾何分布,只需代入公式即可求得相應概率,關鍵是明確隨機變量X的所有取值.
　　[針對訓練]
2.老師要從10篇課文中隨機抽3篇不同的課文讓同學背誦,規定至少要背出其中2篇才能及格.某位同學只能背誦其中的6篇,求:
(1)抽到他能背誦的課文的數量的分布列;
(2)他能及格的概率.
題型(三)　超幾何分布的實際應用
[例3]　某種水果按照果徑大小可分為四類:標準果、優質果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個,利用水果的等級分類標準得到的數據如下:
等級 標準果 優質果 精品果 禮品果
個數 10 30 40 20
(1)用樣本估計總體,果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考:
方案1:不分類賣出,單價為20元/kg.
方案2:分類賣出,分類后的水果售價如下表:
等級 標準果 優質果 精品果 禮品果
售價(元/kg) 16 18 22 24
從采購商的角度考慮,應該采用哪種方案較好 并說明理由.
(2)從這100個水果中用分層隨機抽樣的方法抽取10個,再從抽取的10個水果中隨機抽取3個,X表示抽取到精品果的數量,求X的分布列及均值E(X).
聽課記錄:
[思維建模]
求超幾何分布均值的步驟
(1)驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定參數N,M,n的值.
(2)利用超幾何分布的均值公式求解.
　　[針對訓練]
3.一袋中裝有50個白球,45個黑球,5個紅球,現從中隨機抽取20個球,則取出的紅球個數ξ的數學期望為　　　　　.
4.某學校共有1 000名學生,其中男生400人,為了解該校學生在學校的月消費情況,采取分層隨機抽樣的方法隨機抽取了100名學生進行調查,月消費金額分布在450~950之間.根據調查的結果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖如圖所示,將月消費金額不低于750元的學生稱為“高消費群”.
(1)求a的值;
(2)現采用分層隨機抽樣的方式從月消費金額落在[550,650),[750,850)內的兩組學生中抽取10人,再從這10人中隨機抽取3人,記被抽取的3名學生中屬于“高消費群”的學生人數為隨機變量X,求X的分布列及數學期望.
7.4.2　超幾何分布
課前環節
1.
[基點訓練]
1.選ABD　依據超幾何分布定義可知,A、B、D中隨機變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題,故隨機變量X不服從超幾何分布.
2.選B　X=3表示選出的4個代表中有3個男生1個女生,則P(X=3)==.
3.選A　由題意,得E(X)==4,故選A.
4.解析:用X表示所得分數,則X也是取得的紅球數,X服從超幾何分布,于是E(X)=n·=5×=1.5(分).
答案:1.5
課堂環節
[題型(一)]
[例1]　選ACD　由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布,故選ACD.
[針對訓練]
1.選CD　A、B是伯努利試驗問題,服從二項分布,不服從超幾何分布,故A、B不符合題意;C、D符合超幾何分布的特征,樣本都可分為兩類,隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數,服從超幾何分布.
[題型(二)]
[例2]　解:(1)高一、高二共推薦6名男生和6名女生,
高一沒有學生入選代表隊的概率為==,所以高一至少有1名學生入選代表隊的概率為1-=.
(2)根據題意知,X的所有可能取值為1,2,3.
P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
[針對訓練]
2.解:(1)設該同學抽到能背誦的課文篇數為X,X的可能取值為0,1,2,3,
則X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,3,用表格表示為
X 0 1 2 3
P
(2)及格的概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
[題型(三)]
[例3]　解:(1)角度一:設方案2的單價為ξ,則單價的均值為E(ξ)=16×+18×+22×+24×=20.6(元).
因為E(ξ)>20,所以從采購商的采購資金成本角度考慮,采取方案1比較好.
角度二:設方案2的單價為ξ,則單價的均值為E(ξ)=16×+18×+22×+24×=20.6(元),
雖然E(ξ)>20,E(ξ)-20=0.6,
但從采購商后期對水果分類的人力資源和時間成本角度考慮,采取方案2較好.
(2)用分層隨機抽樣的方法從100個水果中抽取10個,則其中精品果4個,非精品果6個.
現從中抽取3個,則精品果的數量X服從超幾何分布,X所有可能的取值為0,1,2,3.
則P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
[針對訓練]
3.解析:袋中球的總數為50+45+5=100,根據題意可知,隨機抽取的20個球中紅球的個數ξ服從超幾何分布.因為N=100,M=5,n=20,所以E(ξ)===1.
答案:1
4.解:(1)由題意知100×(0.001 5+a+0.002 5+0.001 5+0.001)=1,解得a=0.003 5.
(2)由題意,從[550,650)中抽取7人,從[750,850)中抽取3人.
隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=k)=(k=0,1,2,3),
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以隨機變量X的數學期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
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7.4.2　
超幾何分布
(強基課——梯度進階式教學)
課時目標
1.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值.
2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.

CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環節/預知教材·自主落實主干基礎
課堂環節/題點研究·遷移應用融會貫通
課時跟蹤檢測
課前環節/預知教材·
自主落實主干基礎
1.超幾何分布的概念
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=________，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
微點助解
(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應理解為“不放回地一次取一件，連續取n件”.
(2)超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實質是古典概型.
2.超幾何分布的均值
一般地，當隨機變量X服從參數為N，M，n的超幾何分布時，其均值為E(X)=.
基點訓練
1.[多選]下列隨機變量中，服從超幾何分布的有 (　　)
A.在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數為X
B.從3臺甲型冰箱和2臺乙型冰箱中任取2臺，記X表示所取的2臺冰箱中甲型冰箱的臺數
C.一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的個數為隨機變量X
D.從10名男生、5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數記為X
√
√
√
解析：依據超幾何分布定義可知，A、B、D中隨機變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變量X不服從超幾何分布.
2.已知8名學生中有5名男生，從中選出4名代表，記選出的代表中男生人數為X，則P(X=3)= (　　)
A.B. C. D.1
解析：X=3表示選出的4個代表中有3個男生1個女生，則P(X=3)==.
√
3.設50個產品中有10個次品，任取產品20個，取到的次品可能有X個，則E(X)= (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
解析：由題意，得E(X)==4，故選A.
√
4.袋中有3個紅球，7個白球，這些球除顏色不同外其余完全相同，從中無放回地任取5個，取出幾個紅球就得幾分，則平均得_____分.
解析：用X表示所得分數，則X也是取得的紅球數，X服從超幾何分布，于是E(X)=n·=5×=1.5(分).
1.5
課堂環節/題點研究·
遷移應用融會貫通
題型(一)　超幾何分布的概念
[例1]　[多選]下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是 (　　)
A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數X
B.從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部，選出女生的人數為X
C.某射手的命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中目標的次數為X
D.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數
解析：由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選ACD.
√
√
√
[思維建模]
判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布，應看三點
(1)總體是否可分為兩類明確的對象(多類對象可轉化為兩類對象).
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數.
針對訓練
1.[多選]下列隨機變量中，服從超幾何分布的有 (　　)
A.拋擲三枚骰子，向上的點數是6的骰子的個數X
B.有一批種子的發芽率為70%，任取10顆種子做發芽試驗，試驗中發芽的種子的個數X
C.盒子中有3個紅球、4個黃球、5個藍球，任取3個球，不是紅球的個數X
D.某班級有男生25人，女生20人.選派4名學生參加學校組織的活動，其中女生的人數X
√
√
解析：A、B是伯努利試驗問題，服從二項分布，不服從超幾何分布，故A、B不符合題意；C、D符合超幾何分布的特征，樣本都可分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數，服從超幾何分布.
題型(二)　超幾何分布的概率
[例2]　某校高一、高二的學生組隊參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生.推薦的學生一起參加集訓，最終從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊.
(1)求高一至少有1名學生入選代表隊的概率；
解：高一、高二共推薦6名男生和6名女生，
高一沒有學生入選代表隊的概率為==，所以高一至少有1名學生入選代表隊的概率為1-=.
(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數，求X的分布列.
解：根據題意知，X的所有可能取值為1，2，3.
P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
[思維建模]
(1)在產品抽樣檢驗中，如果采用的是不放回抽樣，則抽到的次品數服從超幾何分布.
(2)如果隨機變量X服從超幾何分布，只需代入公式即可求得相應概率，關鍵是明確隨機變量X的所有取值.
針對訓練
2.老師要從10篇課文中隨機抽3篇不同的課文讓同學背誦，規定至少要背出其中2篇才能及格.某位同學只能背誦其中的6篇，求：
(1)抽到他能背誦的課文的數量的分布列；
解：設該同學抽到能背誦的課文篇數為X，X的可能取值為0，1，2，3，
則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，3，用表格表示為
X 0 1 2 3
P
(2)他能及格的概率.
解：及格的概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
題型(三)　超幾何分布的實際應用
[例3]　某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優質果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數據如下：
等級 標準果 優質果 精品果 禮品果
個數 10 30 40 20
(1)用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考：
方案1：不分類賣出，單價為20元/kg.
方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下表：
等級 標準果 優質果 精品果 禮品果
售價(元/kg) 16 18 22 24
從采購商的角度考慮，應該采用哪種方案較好 并說明理由.
解：角度一：設方案2的單價為ξ，則單價的均值為E(ξ)=16×+18×+22×+24×=20.6(元).
因為E(ξ )>20，所以從采購商的采購資金成本角度考慮，
采取方案1比較好.
角度二：設方案2的單價為ξ，則單價的均值為E(ξ)=16×+18×+22×+24×=20.6(元)，
雖然E(ξ )>20，E(ξ)-20=0.6，
但從采購商后期對水果分類的人力資源和時間成本角度考慮，采取方案2較好.
(2)從這100個水果中用分層隨機抽樣的方法抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機抽取3個，X表示抽取到精品果的數量，求X的分布列及均值E(X).
解：用分層隨機抽樣的方法從100個水果中抽取10個，則其中精品果4個，非精品果6個.
現從中抽取3個，則精品果的數量X服從超幾何分布，X所有可能的取值為0，1，2，3.
則P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
[思維建模]
求超幾何分布均值的步驟
(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N，M，n的值.
(2)利用超幾何分布的均值公式求解.　
針對訓練
3.一袋中裝有50個白球，45個黑球，5個紅球，現從中隨機抽取20個球，則取出的紅球個數ξ 的數學期望為____.
解析：袋中球的總數為50+45+5=100，根據題意可知，隨機抽取的20個球中紅球的個數ξ 服從超幾何分布.因為N=100，M=5，n=20，所以E(ξ )===1.
1
4.某學校共有1 000名學生，其中男生400人，為了解該校學生在學校的月消費情況，采取分層隨機抽樣的方法隨機抽取了100名學生進行調查，月消費金額分布在450~950之間.根據調查的結果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖如圖所示，將月消費金額不低于750元的學生稱為“高消費群”.
(1)求a的值；
解：由題意知100×(0.001 5+a+0.002 5+0.001 5+0.001)=1，
解得a=0.003 5.
(2)現采用分層隨機抽樣的方式從月消費金額落在[550，650)，[750，850)內的兩組學生中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“高消費群”的學生人數為隨機變量X，求X的分布列及數學期望.
解：由題意，從[550，650)中抽取7人，從[750，850)中抽取3人.
隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X=k)=(k=0，1，2，3)，
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以隨機變量X的數學期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
課時跟蹤檢測
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A級——綜合提能
1.設10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格品的件數，則P(X=1)=(　　)
A.B. C. D.
解析：根據超幾何分布的概率公式有P(X=1)===，故選D.
√
1
5
6
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8
9
10
11
12
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2
3
4
2.一批產品共50件，次品率為4%，從中任取10件，則抽得1件次品的概率是 (　　)
A.0.032 B.0.33
C.0.016 D.0.16
√
1
5
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2
3
4
解析：由已知得，50件產品中次品的件數為50×4%=2，所以隨機試驗從50件產品中任取10件的樣本空間中的樣本點的個數為，隨機事件抽得1件次品所包含的樣本點的個數為，所以隨機事件抽得1件次品的概率P==≈0.33.故選B.
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2
3.某冷飲店的冰激凌在一天中銷量為200個，三種口味各自銷量如表所示.從賣出的冰激凌中隨機抽取10個，記其中草莓味的個數為X，則E(X)= (　　)
冰激凌口味 草莓味 巧克力味 原味
銷量/個 40 60 100
A.5 B.3
C.2 D.1
√
1
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2
解析：已知X表示抽取賣出的冰激凌中草莓味的個數，則X服從超幾何分布，且N=200，M=40，n=10，所以E(X)===2.故選C.
1
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2
4.某學習小組共12人，其中有5名是“三好學生”，現從該小組中任選5人參加競賽，用ξ表示這5人中“三好學生”的人數，則下列概率等于的是(　　)
A.P(ξ =1) B.P(ξ≤1)
C.P(ξ ≥1) D.P(ξ≤2)
√
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解析：由題意可得，P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，∴P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.故選B.
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5.[多選]在一個袋中裝有質地、大小均一樣的6個黑球，4個白球，現從中任取4個小球，設取出的4個小球中白球的個數為X，則下列結論正確的是 (　　)
A.P(X=2)=
B.隨機變量X服從二項分布
C.隨機變量X服從超幾何分布
D.E(X)=
√
√
√
1
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解析：隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，P(X=k)=，k∈N，k≤4，因此隨機變量X服從超幾何分布，B錯誤，C正確；P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，P(X=4)==，A正確；E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=，D正確.
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2
6.袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球，取到1個紅球得3分，取到1個黑球得1分，設得分為隨機變量X，則P(X≥8)=____.
解析：由題意知P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1--=.
7.一口袋中有大小完全相同的黑球、白球共7個(白球不少于2個)，從中任取2個球，已知取到白球個數的數學期望為，則口袋中白球的個數為_____.
解析：設口袋中有白球x個，取出的2個球中所含白球個數為ξ，則ξ服從超幾何分布，由超幾何分布的均值公式，得E(ξ)==，解得x=3.
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2
8.已知口袋中裝有n(n>1)個紅球和2個黃球，從中任取2個球(取到每個球都是等可能的)，用隨機變量X表示取到黃球的個數，X的分布列如下表所示，則X的均值為______.
X 0 1 2
P a b
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2
解析：由題意可得P(X=1)===，解得n=2或n=1(舍去)，
則a=P(X=0)==，b=P(X=2)==，即X的分布列為
X 0 1 2
P
故X的均值E(X)=0×+1×+2×=1.
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2
9.一個袋中裝有6個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1，2，3；黑球有2個，編號為1，2；白球有1個，編號為1.現從袋中依次隨機抽取3個球.
(1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率；
解：從袋中一次隨機抽取3個球，樣本點總數n==20，取出的3個球的顏色都不相同包含的樣本點的個數為=6，所以取出的3個球的顏色都不相同的概率P==.
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2
(2)記取得1號球的個數為隨機變量X，求隨機變量X的分布列.
解：由題意知X=0，1，2，3.
則P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
1
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2
10.從5名男生和3名女生中任選3人參加奧數訓練，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數.
(1)求“所選3人中女生人數X>1”的概率；
解：P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
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2
(2)求X的分布列及均值.
解：X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)==，
1
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2
P(X=3)==，所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×==.
1
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4
2
B級——應用創新
11.已知在10件產品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數為ξ，已知P(ξ=1)=，且該產品的次品率不超過40%，則這10件產品的次品率為(　　)
A.10% B.20%
C.30% D.40%
√
1
5
6
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2
解析：設10件產品中有x件次品，則P(ξ=1)===，所以x=2或x=8.因為次品率不超過40%，所以x=2，所以次品率為=20%.
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12.[多選]袋中有8個大小相同的球，其中5個黑球，3個白球，現從中任取3個球，記隨機變量X為其中白球的個數，隨機變量Y為其中黑球的個數，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出3個球的總得分，則下列結論正確的是 (　　)
A.P(|Z-5|≤1)= 　B.E(X)C.D(X)=D(Y) 　D.E(Z)=
√
√
√
1
5
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3
4
2
解析：X，Y均服從超幾何分布，且X+Y=3，Z=2X+Y=3+X，P(X=k)
=，k=0，1，2，3，對選項A，P(|Z-5|≤1)=P(|X-2|≤1)=1-P(X=0)
=1-=，錯誤；對選項B，E(X)=3×=，E(Y)=3-E(X)=，正確；對選項C，D(Y)=D(3-X)=D(X)，正確；對選項D，E(Z)=3+E(X)=3+
=，正確.故選BCD.
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3
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2
13.袋中有4個紅球，m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為ξ，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則m-n=_____；E(ξ )= ____.
1　
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3
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2
解析：由題意可得，P(ξ=2)===，化簡得(m+n)2
+7(m+n)-60=0，得m+n=5(m+n=-12舍去).又取出的兩個球為一紅一黃的概率P===，解得m=3，故n=2.所以m-n=1.易知ξ的所有可能取值為0，1，2，且P(ξ=2)=，P(ξ =1)==，P(ξ =0)==，所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
1
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2
14.某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案，考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規定：至少正確完成其中2題便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.
(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的分布列，并計算均值；
1
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3
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2
解：設考生甲正確完成實驗操作的題數為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3，
P(ξ =1)==，P(ξ =2)==，
P(ξ=3)==，
1
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2
所以ξ的分布列為
ξ 1 2 3
P
則E(ξ)=1×+2×+3×=2.
設考生乙正確完成實驗操作的題數為η，易知η~B，
1
5
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2
所以P(η=0)==，
P(η=1)==，
P(η=2)==，
P(η=3)==.
1
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2
所以η的分布列為
η 0 1 2 3
P
所以E(η)=3×=2.
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14
3
4
2
(2)試用統計知識分析比較兩考生的實驗操作能力.
解：由(1)，知E( ξ )=E(η)=2，D( ξ )=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=，
D(η)=3××=，P(ξ≥2)=+=，P(η≥2)=+=.
所以D(ξ)P(η≥2)，
1
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3
4
2
故從正確完成實驗操作的題數的均值方面分析，兩人水平相當；
從正確完成實驗操作的題數的方差方面分析，甲的水平更穩定；
從至少正確完成2題的概率方面分析，甲通過的可能性更大.
因此甲的實驗操作能力較強.課時跟蹤檢測(二十)　超幾何分布
A級——綜合提能
1.設10件同類型的零件中有2件是不合格品,從其中任取3件,以X表示取出的3件中的不合格品的件數,則P(X=1)= (　　)
A. B.
C. D.
2.一批產品共50件,次品率為4%,從中任取10件,則抽得1件次品的概率是 (　　)
A.0.032 B.0.33
C.0.016 D.0.16
3.某冷飲店的冰激凌在一天中銷量為200個,三種口味各自銷量如表所示.從賣出的冰激凌中隨機抽取10個,記其中草莓味的個數為X,則E(X)= (　　)
冰激凌口味 草莓味 巧克力味 原味
銷量/個 40 60 100
A.5 B.3
C.2 D.1
4.某學習小組共12人,其中有5名是“三好學生”,現從該小組中任選5人參加競賽,用ξ表示這5人中“三好學生”的人數,則下列概率等于的是 (　　)
A.P(ξ=1) B.P(ξ≤1)
C.P(ξ≥1) D.P(ξ≤2)
5.[多選]在一個袋中裝有質地、大小均一樣的6個黑球,4個白球,現從中任取4個小球,設取出的4個小球中白球的個數為X,則下列結論正確的是 (　　)
A.P(X=2)=
B.隨機變量X服從二項分布
C.隨機變量X服從超幾何分布
D.E(X)=
6.袋中裝有5個紅球和4個黑球,從袋中任取4個球,取到1個紅球得3分,取到1個黑球得1分,設得分為隨機變量X,則P(X≥8)=　　　　.
7.一口袋中有大小完全相同的黑球、白球共7個(白球不少于2個),從中任取2個球,已知取到白球個數的數學期望為,則口袋中白球的個數為　　　　.
8.已知口袋中裝有n(n>1)個紅球和2個黃球,從中任取2個球(取到每個球都是等可能的),用隨機變量X表示取到黃球的個數,X的分布列如下表所示,則X的均值為　　　　.
X 0 1 2
P a b
9.一個袋中裝有6個形狀大小完全相同的小球,其中紅球有3個,編號為1,2,3;黑球有2個,編號為1,2;白球有1個,編號為1.現從袋中依次隨機抽取3個球.
(1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率;
(2)記取得1號球的個數為隨機變量X,求隨機變量X的分布列.
10.從5名男生和3名女生中任選3人參加奧數訓練,設隨機變量X表示所選3人中女生的人數.
(1)求“所選3人中女生人數X>1”的概率;
(2)求X的分布列及均值.
B級——應用創新
11.已知在10件產品中可能存在次品,從中抽取2件檢查,其中次品數為ξ,已知P(ξ=1)=,且該產品的次品率不超過40%,則這10件產品的次品率為 (　　)
A.10% 　B.20%
C.30% 　D.40%
12.[多選]袋中有8個大小相同的球,其中5個黑球,3個白球,現從中任取3個球,記隨機變量X為其中白球的個數,隨機變量Y為其中黑球的個數,若取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分,隨機變量Z為取出3個球的總得分,則下列結論正確的是 (　　)
A.P(|Z-5|≤1)= 　B.E(X)C.D(X)=D(Y) 　D.E(Z)=
13.袋中有4個紅球,m個黃球,n個綠球.現從中任取兩個球,記取出的紅球數為ξ,若取出的兩個球都是紅球的概率為,一紅一黃的概率為,則m-n=　　　　;E(ξ)=　　　　.
14.某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案,考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作,規定:至少正確完成其中2題便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.
(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的分布列,并計算均值;
(2)試用統計知識分析比較兩考生的實驗操作能力.
課時跟蹤檢測(二十)
1.選D　根據超幾何分布的概率公式有P(X=1)===,故選D.
2.選B　由已知得,50件產品中次品的件數為50×4%=2,所以隨機試驗從50件產品中任取10件的樣本空間中的樣本點的個數為,隨機事件抽得1件次品所包含的樣本點的個數為,所以隨機事件抽得1件次品的概率P==≈0.33.故選B.
3.選C　已知X表示抽取賣出的冰激凌中草莓味的個數,則X服從超幾何分布,且N=200,M=40,n=10,所以E(X)===2.故選C.
4.選B　由題意可得,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,∴P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.故選B.
5.選ACD　隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4,P(X=k)=,k∈N,k≤4,因此隨機變量X服從超幾何分布,B錯誤,C正確;P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,A正確;E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=,D正確.
6.解析:由題意知P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1--=.
答案:
7.解析:設口袋中有白球x個,取出的2個球中所含白球個數為ξ,則ξ服從超幾何分布,由超幾何分布的均值公式,得E(ξ)==,解得x=3.
答案:3
8.解析:由題意可得P(X=1)===,解得n=2或n=1(舍去),則a=P(X=0)==,
b=P(X=2)==,即X的分布列為
X 0 1 2
P
故X的均值E(X)=0×+1×+2×=1.
答案:1
9.解:(1)從袋中一次隨機抽取3個球,樣本點總數n==20,取出的3個球的顏色都不相同包含的樣本點的個數為=6,所以取出的3個球的顏色都不相同的概率P==.
(2)由題意知X=0,1,2,3.
則P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
10.解:(1)P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×==.
11.選B　設10件產品中有x件次品,則P(ξ=1)===,所以x=2或x=8.因為次品率不超過40%,所以x=2,所以次品率為=20%.
12.選BCD　X,Y均服從超幾何分布,且X+Y=3,Z=2X+Y=3+X,P(X=k)=,k=0,1,2,3,對選項A,P(|Z-5|≤1)=P(|X-2|≤1)=1-P(X=0)=1-=,錯誤;對選項B,E(X)=3×=,E(Y)=3-E(X)=,正確;對選項C,D(Y)=D(3-X)=D(X),正確;對選項D,E(Z)=3+E(X)=3+=,正確.故選BCD.
13.解析:由題意可得,P(ξ=2)===,化簡得(m+n)2+7(m+n)-60=0,得m+n=5(m+n=-12舍去).又取出的兩個球為一紅一黃的概率P===,解得m=3,故n=2.所以m-n=1.易知ξ的所有可能取值為0,1,2,且P(ξ=2)=,P(ξ=1)==,P(ξ=0)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
答案:1　
14.解:(1)設考生甲正確完成實驗操作的題數為ξ,則ξ的可能取值為1,2,3,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列為
ξ 1 2 3
P
則E(ξ)=1×+2×+3×=2.
設考生乙正確完成實驗操作的題數為η,易知η~B,
所以P(η=0)==,
P(η=1)==,
P(η=2)==,
P(η=3)==.
所以η的分布列為
η 0 1 2 3
P
所以E(η)=3×=2.
(2)由(1),知E(ξ)=E(η)=2,D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=,
D(η)=3××=,P(ξ≥2)=+=,P(η≥2)=+=.
所以D(ξ)P(η≥2),
故從正確完成實驗操作的題數的均值方面分析,兩人水平相當;
從正確完成實驗操作的題數的方差方面分析,甲的水平更穩定;
從至少正確完成2題的概率方面分析,甲通過的可能性更大.因此甲的實驗操作能力較強.
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