資源簡(jiǎn)介

(共63張PPT)
7.4.2　
正態(tài)分布
(強(qiáng)基課 ——梯度進(jìn)階式教學(xué))
課時(shí)目標(biāo)
1.了解正態(tài)曲線和正態(tài)分布的概念，能借助正態(tài)曲線理解正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線表示的意義.
2.了解變量落在區(qū)間[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]的概率大小，會(huì)根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)的概率；會(huì)用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環(huán)節(jié)/預(yù)知教材·自主落實(shí)主干基礎(chǔ)
課堂環(huán)節(jié)/題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融會(huì)貫通
課時(shí)跟蹤檢測(cè)
課前環(huán)節(jié)/預(yù)知教材·
自主落實(shí)主干基礎(chǔ)
1.正態(tài)曲線
我們稱(chēng)f(x)=________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為_(kāi)______________，稱(chēng)它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)___________.
正態(tài)密度函數(shù)
正態(tài)曲線
2.正態(tài)分布
(1)若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ，σ2).特別地，當(dāng)μ=___ ，σ=___時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.
(2)若X~N(μ，σ2)，則E(X)=____，D(X)=____.
0
1
μ
σ2
3.正態(tài)曲線的特點(diǎn)
(1)非負(fù)性：對(duì) x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的______.
(2)定值性：曲線與x軸之間的面積為_(kāi)___.
(3)對(duì)稱(chēng)性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線______對(duì)稱(chēng).
(4)最大值：曲線在______處達(dá)到峰值.
(5)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近___軸.
上方
1
x=μ
x=μ
x
微點(diǎn)助解
(1)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.
(2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.
4.3σ原則
(1)假設(shè)X~N(μ，σ2)，可以證明：對(duì)給定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ) 是一個(gè)只與k有關(guān)的定值.特別地，
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
(2)盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-∞，+∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間外取值的概率大約只有________，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.
(3)在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3σ原則.
0.002 7
基點(diǎn)訓(xùn)練
1.設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)=，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(　　)
A.10與8 B.10與2
C.8與10 D.2與10
√
2.函數(shù)f(x)=(其中μ<0)的圖象可能為(　　)
解析：函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=μ，因?yàn)棣?0，所以排除B、D；又正態(tài)曲線位于x軸上方，因此排除C，故選A.
√
3.在正態(tài)分布N中，數(shù)據(jù)落在[-2，2]內(nèi)的概率為_(kāi)_________.
解析：由題可得μ=0，σ=，P(-2≤X≤2)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
0.997 3
課堂環(huán)節(jié)/題點(diǎn)研究·
遷移應(yīng)用融會(huì)貫通
題型(一)　正態(tài)曲線
[例1]　已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線如圖所示，則總體的均值μ=_____，方差σ2=____.
20
2
解析：從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對(duì)稱(chēng)，最大值是，所以=，解得σ=，因此總體的均值μ=20，方差σ2=()2=2.
[思維建模]
正態(tài)曲線中μ，σ的認(rèn)識(shí)
利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實(shí)質(zhì)，主要有兩點(diǎn)：
一是對(duì)稱(chēng)軸x=μ，二是最值.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入便可求出相應(yīng)的解析式.
針對(duì)訓(xùn)練
1.[多選]某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)X(單位：分)服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=·，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分
B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同
C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同
D.這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為10
√
√
√
解析：由函數(shù)解析式知這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，故A、D正確.因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線x=80對(duì)稱(chēng)，所以分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在40分以下的人數(shù)相同，分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，故B錯(cuò)誤，C正確.
2.若一個(gè)正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為，求該正態(tài)密度函數(shù)的解析式.
解：由于該正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，
所以正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即μ=0，
又該函數(shù)的最大值是，
所以=，解得σ=4.
故所求正態(tài)密度函數(shù)的解析式為f(x)=，x∈(-∞，+∞).
題型(二)　正態(tài)分布的概率計(jì)算
[例2]　設(shè)ξ~N(1，22)，試求：
(1)P(-1≤ξ≤3)；
解：∵ξ~N(1，22)，∴μ=1，σ=2.
P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)P(3≤ξ≤5).
解：∵ξ~N(1，22)，∴μ=1，σ=2.
∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1)，
∴P(3≤ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)]=[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ
≤1+2)]=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=
0.135 9.
[變式拓展]
　若本例條件不變，求P(ξ>5).
解：P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)]=[1-P(1-4≤ξ≤1+4)]=[1-P
(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
[思維建模]
利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法
(1)對(duì)稱(chēng)法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間概率相等.如：
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)的概率分別是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
針對(duì)訓(xùn)練
3.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，若P(ξ>3)=0.18，則P(1≤ξ≤2)= (　　)
A.0.18 B.0.32
C.0.68 D.0.82
解析：易知正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，所以P(1≤ξ≤2)=P(ξ≤2)-P(ξ<1)=P(ξ≤2)-P(ξ>3)=0.5-0.18=0.32.故選B.
√
4.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)[多選]為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬(wàn)元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8，0.12)，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(，s2)，則(　　)
(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
√
√
解析：依題可知X~N(1.8，0.12)，Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5，C正確，D錯(cuò)誤；P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)，因?yàn)镻(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2，B正確，A錯(cuò)誤.故選BC.
題型(三)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
[例3]　有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20，4).若這批零件共有5 000個(gè)，試求：
(1)這批零件中尺寸在18~22 mm間的零件所占的百分比；
解：∵X~N(20，4)，∴μ=20，σ=2，
∴μ-σ=18，μ+σ=22，于是尺寸在18~22 mm間的零件所占的百分比大約是68.27%.
(2)若規(guī)定尺寸在24~26 mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)
解：∵μ-3σ=14，μ+3σ=26，μ-2σ=16，μ+2σ=24，
∴尺寸在14~26 mm間的零件所占的百分比大約是99.73%，而尺寸在16~24 mm間的零件所占的百分比大約是95.45%.
∴尺寸在24~26 mm間的零件所占的百分比大約是=2.14%.
因此尺寸在24~26 mm間的零件大約5 000×2.14%≈107(個(gè)).
∴這批零件中不合格的零件大約有107個(gè).
[思維建模]
正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ-3σ，μ+3σ]之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格.判斷的根據(jù)是概率較小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.
針對(duì)訓(xùn)練
5.假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500，52)(單位：g)，該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱(chēng)得其質(zhì)量均大于515 g.
(1)求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于515 g的概率為多少；
解：設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來(lái)的食鹽質(zhì)量為X g，由題意可知X~N(500，52).
由于515=500+3×5，所以根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性與“3σ原則”可知，P(X>515)=P(|X-3×5|>500)≈×0.3%=0.15%.
(2)檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷是否合理 請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：檢測(cè)員的判斷是合理的.因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由(1)可知，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都大于515 g的概率約為0.15%×0.15%
=2.25×10-6，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，檢測(cè)員的判斷是合理的.
課時(shí)跟蹤檢測(cè)
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A級(jí)——綜合提能
1.某市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)
曲線如圖所示，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.甲科總體成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差最小
B.丙科總體成績(jī)的平均數(shù)最小
C.乙科總體成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中
D.甲、乙、丙三科成績(jī)的平均數(shù)不相同
√
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2.已知隨機(jī)變量X~N(0，1)，則X在區(qū)間(-∞，-2)內(nèi)取值的概率約為 (　　)
A.0.954 B.0.046
C.0.977 D.0.023
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3.為了解某地高中男生的身體發(fā)育狀況，隨機(jī)抽取
1 000名男生測(cè)量他們的體重，測(cè)量的結(jié)果表明他
們的體重X(單位：kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，正
態(tài)曲線如圖所示.若體重落在區(qū)間[58.5，62.5]內(nèi)屬于正常情況，則在這
1 000名男生中不屬于正常情況的人數(shù)約是 (　　)
A.954 B.819
C.683 D.317
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解析：由題意可知，μ=60.5，σ=2，故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤
μ+σ)≈0.682 7，從而不屬于正常情況的人數(shù)約是1 000×(1-0.682 7)≈317.
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4.某工廠制造的某種機(jī)器零件的尺寸X~N(100，0.01)，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10 000個(gè)零件，尺寸在[99.8，99.9]內(nèi)的個(gè)數(shù)約為 (　　)
A.2 718 B.1 359
C.430 D.215
√
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解析：因?yàn)閄~N(100，0.01)，所以μ=100，σ=0.1，
則P(99.8≤X≤99.9)=P(μ-2σ≤X≤μ-σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-
P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.故隨機(jī)抽取的10 000個(gè)零件中尺寸在[99.8，99.9]內(nèi)的個(gè)數(shù)約為10 000×0.135 9=1 359.
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5.[多選]已知某高校學(xué)生每周閱讀時(shí)間X(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布N(9，4)，則下列說(shuō)法正確的是(附：若X~N(μ，σ2)，則P(μ-σA.該校學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間為9小時(shí)
B.該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4
C.該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)的人數(shù)占0.15%
D.若該校有10 000名學(xué)生，則每周閱讀時(shí)間在3~5小時(shí)的人數(shù)約為210
√
√
√
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解析：因?yàn)閄~N(9，4)，所以該校學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間為9小時(shí)，每周閱讀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為2，故A正確，B錯(cuò)誤；該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)的人數(shù)占×100%=×100%
=×100%=0.15%，故C正確；每周閱讀時(shí)間在3~5小時(shí)的人數(shù)占[P(3μ+2σ)]×100%=×(0.997-0.955)×100%=2.1%，則每周閱讀時(shí)間在3~5小時(shí)的人數(shù)約為2.1%×10 000=210，故D正確.故選ACD.
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6.若隨機(jī)變量ξ~N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)=0.4，則P(ξ>11)=______.
解析：由P(9≤ξ≤11)=0.4且正態(tài)曲線以直線x=μ=10為對(duì)稱(chēng)軸知，P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4，即P(10≤ξ≤11)=0.2，
又P(ξ≥10)=0.5，所以P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.
0.3
7.若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.設(shè)ξ~N(1，σ2)，且P(ξ>3)≈0.158 65，則σ=___.
解析：因?yàn)镻(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7，所以P(ξ>μ+σ)≈×(1-0.682 7)
=0.158 65.因?yàn)棣蝵N(1，σ2)，P(ξ>1+σ)≈0.158 65，所以1+σ=3，即σ=2.
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8.據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì)，在某市的公務(wù)員考試中，考生的綜合評(píng)分X服從正態(tài)分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的綜合評(píng)分為80分，則該考生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑赺____名.
解析：依題意，P(60-20≤X≤60+20)≈0.954 5，P(X>80)≈(1-0.954 5)
≈0.022 8，
故成績(jī)高于80分的考生人數(shù)約為10 000×0.022 8=228.所以該考生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑?29名.
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9.已知隨機(jī)變量X~N(μ，σ2)，且其正態(tài)曲線在(-∞，80)上單調(diào)遞增，在(80，+∞)上單調(diào)遞減，且P(72≤X≤88)≈0.682 7.
(1)求參數(shù)μ，σ的值；
解：由于正態(tài)曲線在(-∞，80)上單調(diào)遞增，在(80，+∞)上單調(diào)遞減，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱(chēng)，即參數(shù)μ=80.又P(72≤X≤88)≈0.682 7.
結(jié)合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，可知σ=8.
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(2)求P(64≤X≤72).
解：因?yàn)镻(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954 5.
P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(72≤X≤88)≈0.682 7，
所以P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈×(0.954 5-0.682 7)
=0.135 9.
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10.某校積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，組織全校學(xué)生加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練，規(guī)定該校男生投擲實(shí)心球6.9米達(dá)標(biāo)，女生投擲實(shí)心球6.2米達(dá)標(biāo)，并擬定投擲實(shí)心球的考試方案為每位學(xué)生可以投擲3次，一旦達(dá)標(biāo)就不用再投.從該校任選5名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，如果有2人不達(dá)標(biāo)的概率超過(guò)0.1，則該校學(xué)生還需加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練.已知該校男生投擲實(shí)心球的米數(shù)ξ1服從正態(tài)分布N(6.9，0.25)，女生投擲實(shí)心球的米數(shù)ξ2服從正態(tài)分布N(6.2，0.16).
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(1)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明該校學(xué)生是否還需加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練；
解：由該校男生投擲實(shí)心球的米數(shù)ξ1服從正態(tài)分布N(6.9，0.25)，女生投擲實(shí)心球的米數(shù)ξ2服從正態(tài)分布N(6.2，0.16)，可知該校男生和女生達(dá)標(biāo)的概率均為，不達(dá)標(biāo)的概率均為，所以選5人進(jìn)行測(cè)試時(shí)，有2人不達(dá)標(biāo)的概率為×=>0.1，
所以該校學(xué)生還需加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練.
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(2)為提高學(xué)生考試達(dá)標(biāo)率，該校決定加強(qiáng)訓(xùn)練，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練后，該校女生投擲實(shí)心球的米數(shù)X服從正態(tài)分布N(6.516，0.16)，且P(X≤
6.832)=0.785.此時(shí)，請(qǐng)判斷該校女生投擲實(shí)心球的考試達(dá)標(biāo)率能否達(dá)到99%，并說(shuō)明理由.(取的值為2.15)
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解：由題意知X~N(6.516，0.16)，P(X≤6.832)=0.785，
即P(X≤6.516+0.316)=0.785，
所以P(X≥6.2)=P(X≥6.516-0.316)=P(X≤6.832)=0.785，
所以女生的達(dá)標(biāo)率為[1-(1-0.785)3]×100%=(1-0.2153)×100%
=×100%=99%，所以該校女生投擲實(shí)心球的考試達(dá)標(biāo)率能達(dá)到99%.
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B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.[多選]如圖是正態(tài)分布N(0，1)的正態(tài)曲線圖，下列
選項(xiàng)表示圖中陰影部分面積的為(注：Φ(a)=P(X≤a))
(　　)
A.-Φ(-a) B.Φ(1-a)
C.Φ(a)- D.Φ(0)
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解析：因?yàn)棣?-a)=P(X≤-a)，所以題圖中陰影部分的面積為-P(X≤-a)
=-Φ(-a)，又根據(jù)性質(zhì)Φ(-a)+Φ(a)=1，可得-Φ(-a)=-[1-Φ(a)]=Φ(a)-.所以A、C正確.
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12.[多選]若隨機(jī)變量ξ~N(0，1)，φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，則下列等式成立的是 (　　)
A.φ(-x)=1-φ(x)
B.φ(2x)=2φ(x)
C.P(|ξ|D.P(|ξ|>x)=2-φ(x)
√
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解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，
所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，如圖所示.又φ(x)
=P(ξ≤x)，x>0，根據(jù)曲線的對(duì)稱(chēng)性，所以φ(-x)=
P(ξ≥x)=1-φ(x)，所以A正確；φ(2x)=P(ξ≤2x)，2φ(x)=2P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，故B錯(cuò)誤；P(|ξ|=2φ(x)-1，所以C正確；P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-φ(x)+φ(-x)
=1-φ(x)+1-φ(x)=2-2φ(x)，所以D錯(cuò)誤.故選AC.
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13.[多選]某農(nóng)戶貸款承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚，種植紅玫瑰和白玫瑰后銷(xiāo)售.若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷(xiāo)售量分別服從正態(tài)分布N(μ，302)和N(280，402)，則下列結(jié)論正確的是(附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ-σA.若紅玫瑰日銷(xiāo)售量在(μ-30，280)內(nèi)的概率是0.682 6，則紅玫瑰日銷(xiāo)售量平均為250
B.白玫瑰日銷(xiāo)售量在(240，+∞)內(nèi)的概率約為0.841 3
C.白玫瑰日銷(xiāo)售量在(320，+∞)內(nèi)的概率約為0.341 3
D.紅玫瑰日銷(xiāo)售量比白玫瑰日銷(xiāo)售量更集中
√
√
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解析：對(duì)于A，由題意得μ+30=280，解得μ=250，故紅玫瑰日銷(xiāo)售量平均為250，故A正確；對(duì)于B，設(shè)白玫瑰的日銷(xiāo)售量為X，則X~N(280，402)，令μ2=280，σ2=40，所以P(X>240)=P(X>μ2-σ2)=P(μ2-σ2+≈0.682 6+=0.841 3，P(X>320)=
≈=0.158 7，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，
∵紅玫瑰日銷(xiāo)售量的方差為900，白玫瑰日銷(xiāo)售量的方差為1 600，
∴紅玫瑰日銷(xiāo)售量比白玫瑰日銷(xiāo)售量更集中，故D正確.故選ABD.
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14.為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試.高三全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)X(單位：分)近似服從正態(tài)分布N(100，17.52).已知成績(jī)?cè)?17.5分以上的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績(jī)?cè)?2.5分以下的概率為_(kāi)______，如果成績(jī)?cè)?35分以上的為特別優(yōu)秀，那么本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有_____人.
附：若X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96.
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解析：由題意得P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=P(X<μ)-≈0.5-
=0.16，因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于直線x=100對(duì)稱(chēng)，所以P(X>117.5)=P(X<82.5)
=0.16，因?yàn)槌煽?jī)?cè)?17.5分以上的學(xué)生有80人，所以本次高三考生總?cè)藬?shù)約為=500.又P(X>135)=P(X>μ+2σ)=P(X>μ)-≈0.5-
=0.02，所以本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有500×0.02=10(人).
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15.某車(chē)間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑Z(單位：cm)的數(shù)據(jù)如下：97，97，98，102，105，107，108，109，113，114.設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ.
(1)求μ與σ；
解：由題意得μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105，
σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36，∴σ=6.
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(2)假設(shè)這批零件的內(nèi)徑Z(單位：cm)服從正態(tài)分布N(μ，σ2).
①?gòu)倪@批零件中隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)這5個(gè)零件中內(nèi)徑小于87 cm的個(gè)數(shù)為X，求E(4X+3)；
②若該車(chē)間又新購(gòu)一臺(tái)設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑(單位：cm)分別為86，95，103，109，118，以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試 說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù)：若X~N(μ，σ2)，則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤
X≤μ+3σ)≈0.997 3，0.997 34≈0.99.
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解：①由(1)得Z~N(105，36)，∴P(Z<87)=P(Z<μ-3σ)=P(Z<μ)
-≈0.5-=0.001 35，
∴X~B(5，0.001 35)，∴E(4X+3)=4E(X)+3=4×5×0.001 35+3=3.027.
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②需要.理由如下：
∵P(87≤Z≤123)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3，∴5個(gè)零件中恰有1個(gè)零件的內(nèi)徑不在[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)的概率為×0.997 34×(1-0.997 3)
≈5×0.99×0.002 7=0.013 365.
∵86 [87，123]，∴試生產(chǎn)的5個(gè)零件中出現(xiàn)了1個(gè)零件的內(nèi)徑不在[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)，出現(xiàn)的頻率為0.2，大概是0.013 365的15倍，根據(jù)3σ原則，這臺(tái)設(shè)備需要進(jìn)一步調(diào)試.7.5　正態(tài)分布(強(qiáng)基課梯度進(jìn)階式教學(xué))
課時(shí)目標(biāo)
1.了解正態(tài)曲線和正態(tài)分布的概念,能借助正態(tài)曲線理解正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線表示的意義.
2.了解變量落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]的概率大小,會(huì)根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)的概率;會(huì)用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題.
1.正態(tài)曲線
我們稱(chēng)f(x)=　　　　　　,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),為　　　　　　　,稱(chēng)它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱(chēng)　　　　　　.
2.正態(tài)分布
(1)若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為X~N(μ,σ2).特別地,當(dāng)μ=　　　　,σ=　　　時(shí),稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.
(2)若X~N(μ,σ2),則E(X)=　　　,D(X)=　　　.
3.正態(tài)曲線的特點(diǎn)
(1)非負(fù)性:對(duì) x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的　　　.
(2)定值性:曲線與x軸之間的面積為　　　.
(3)對(duì)稱(chēng)性:曲線是單峰的,它關(guān)于直線　　　　對(duì)稱(chēng).
(4)最大值:曲線在　　　　處達(dá)到峰值.
(5)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí),曲線無(wú)限接近　　　軸.
微點(diǎn)助解
(1)當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖①.
(2)當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,σ較小時(shí)曲線“瘦高”,表示隨機(jī)變量X的分布比較集中;σ較大時(shí),曲線“矮胖”,表示隨機(jī)變量X的分布比較分散,如圖②.
4.3σ原則
(1)假設(shè)X~N(μ,σ2),可以證明:對(duì)給定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ) 是一個(gè)只與k有關(guān)的定值.特別地,
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
(2)盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-∞,+∞),但在一次試驗(yàn)中,X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有　　　　,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.
(3)在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3σ原則.
[基點(diǎn)訓(xùn)練]
1.設(shè)有一正態(tài)總體,它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=,則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是 (　　)
A.10與8 B.10與2
C.8與10 D.2與10
2.函數(shù)f(x)=(其中μ<0)的圖象可能為 (　　)
3.在正態(tài)分布N中,數(shù)據(jù)落在[-2,2]內(nèi)的概率為　　　　.
題型(一)　正態(tài)曲線
[例1]　已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示,則總體的均值μ=　　　　,方差σ2=　　　　.
聽(tīng)課記錄:
[思維建模]
正態(tài)曲線中μ,σ的認(rèn)識(shí)
利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式,應(yīng)抓住圖象的實(shí)質(zhì),主要有兩點(diǎn):
一是對(duì)稱(chēng)軸x=μ,二是最值.這兩點(diǎn)確定以后,相應(yīng)參數(shù)μ,σ便確定了,代入便可求出相應(yīng)的解析式.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
1.[多選]某市組織一次高三調(diào)研考試,考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)X(單位:分)服從正態(tài)分布,其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=·,則下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分
B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同
C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同
D.這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為10
2.若一個(gè)正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),且該函數(shù)的最大值為,求該正態(tài)密度函數(shù)的解析式.
題型(二)　正態(tài)分布的概率計(jì)算
[例2]　設(shè)ξ~N(1,22),試求:
(1)P(-1≤ξ≤3);
(2)P(3≤ξ≤5).
聽(tīng)課記錄:
　　[變式拓展]
　若本例條件不變,求P(ξ>5).
[思維建模]
利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法
(1)對(duì)稱(chēng)法:由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)的,且概率的和為1,故關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間概率相等.如:
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法:利用X落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的概率分別是0.682 7,0.954 5,0.997 3求解.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
3.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(ξ>3)=0.18,則P(1≤ξ≤2)= (　　)
A.0.18 B.0.32
C.0.68 D.0.82
4.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)[多選]為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位:萬(wàn)元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值=2.1,樣本方差s2=0.01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(,s2),則 (　　)
(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2
B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5
D.P(Y>2)<0.8
題型(三)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
[例3]　有一種精密零件,其尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布N(20,4).若這批零件共有5 000個(gè),試求:
(1)這批零件中尺寸在18~22 mm間的零件所占的百分比;
(2)若規(guī)定尺寸在24~26 mm間的零件不合格,則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)
聽(tīng)課記錄:
[思維建模]
正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
解題時(shí),應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi),否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格.判斷的根據(jù)是概率較小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的,而一旦發(fā)生了,就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
5.假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線,正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500,52)(單位:g),該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽,稱(chēng)得其質(zhì)量均大于515 g.
(1)求正常情況下,任意抽取一包食鹽,質(zhì)量大于515 g的概率為多少;
(2)檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果,判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,要求立即停產(chǎn)檢修,檢測(cè)員的判斷是否合理 請(qǐng)說(shuō)明理由.
7.5　正態(tài)分布
課前環(huán)節(jié)
1.　正態(tài)密度函數(shù)　正態(tài)曲線　2.(1)0　1　(2)μ　σ2　3.(1)上方　(2)1　(3)x=μ　(4)x=μ　(5)x　4.(2)0.002 7
[基點(diǎn)訓(xùn)練]
1.B
2.選A　函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=μ,因?yàn)棣?0,所以排除B、D;又正態(tài)曲線位于x軸上方,因此排除C,故選A.
3.解析:由題可得μ=0,σ=,P(-2≤X≤2)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
答案:0.997 3
課堂環(huán)節(jié)
[題型(一)]
[例1]　解析:從給出的正態(tài)曲線可知,該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對(duì)稱(chēng),最大值是,所以=,解得σ=,因此總體的均值μ=20,方差σ2=()2=2.
答案:20　2
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.選ACD　由函數(shù)解析式知這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分,標(biāo)準(zhǔn)差為10,故A、D正確.因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線x=80對(duì)稱(chēng),所以分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在40分以下的人數(shù)相同,分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同,故B錯(cuò)誤,C正確.
2.解:由于該正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),
所以正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即μ=0,
又該函數(shù)的最大值是,
所以=,解得σ=4.
故所求正態(tài)密度函數(shù)的解析式為f(x)=,x∈(-∞,+∞).
[題型(二)]
[例2]　解:∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2.
(1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1),
∴P(3≤ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)]=[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)]=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
[變式拓展]
解:P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)]=[1-P(1-4≤ξ≤1+4)]=[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
[針對(duì)訓(xùn)練]
3.選B　易知正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,所以P(1≤ξ≤2)=P(ξ≤2)-P(ξ<1)=P(ξ≤2)-P(ξ>3)=0.5-0.18=0.32.故選B.
4.選BC　依題可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正確,D錯(cuò)誤;P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因?yàn)镻(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2,而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2,B正確,A錯(cuò)誤.故選BC.
[題型(三)]
[例3]　解:(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,
∴μ-σ=18,μ+σ=22,于是尺寸在18~22 mm間的零件所占的百分比大約是68.27%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴尺寸在14~26 mm間的零件所占的百分比大約是99.73%,而尺寸在16~24 mm間的零件所占的百分比大約是95.45%.
∴尺寸在24~26 mm間的零件所占的百分比大約是=2.14%.
因此尺寸在24~26 mm間的零件大約5 000×2.14%≈107(個(gè)).
∴這批零件中不合格的零件大約有107個(gè).
[針對(duì)訓(xùn)練]
5.解:(1)設(shè)正常情況下,該生產(chǎn)線上包裝出來(lái)的食鹽質(zhì)量為X g,由題意可知X~N(500,52).
由于515=500+3×5,所以根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性與“3σ原則”可知,P(X>515)=P(|X-3×5|>500)≈×0.3%=0.15%.
(2)檢測(cè)員的判斷是合理的.因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話,由(1)可知,隨機(jī)抽取兩包檢查,質(zhì)量都大于515 g的概率約為0.15%×0.15%=2.25×10-6,幾乎為零,但這樣的事件竟然發(fā)生了,所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常,檢測(cè)員的判斷是合理的.
1 / 4課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二十二)　正態(tài)分布\
A級(jí)——綜合提能
1.某市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)曲線如圖所示,下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.甲科總體成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差最小
B.丙科總體成績(jī)的平均數(shù)最小
C.乙科總體成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中
D.甲、乙、丙三科成績(jī)的平均數(shù)不相同
2.已知隨機(jī)變量X~N(0,1),則X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率約為 (　　)
A.0.954 B.0.046
C.0.977 D.0.023
3.為了解某地高中男生的身體發(fā)育狀況,隨機(jī)抽取1 000名男生測(cè)量他們的體重,測(cè)量的結(jié)果表明他們的體重X(單位:kg)服從正態(tài)分布N(μ,22),正態(tài)曲線如圖所示.若體重落在區(qū)間[58.5,62.5]內(nèi)屬于正常情況,則在這1 000名男生中不屬于正常情況的人數(shù)約是 (　　)
A.954 B.819
C.683 D.317
4.某工廠制造的某種機(jī)器零件的尺寸X~N(100,0.01),現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10 000個(gè)零件,尺寸在[99.8,99.9]內(nèi)的個(gè)數(shù)約為 (　　)
A.2 718 B.1 359
C.430 D.215
5.[多選]已知某高校學(xué)生每周閱讀時(shí)間X(單位:小時(shí))服從正態(tài)分布N(9,4),則下列說(shuō)法正確的是(附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σA.該校學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間為9小時(shí)
B.該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4
C.該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)的人數(shù)占0.15%
D.若該校有10 000名學(xué)生,則每周閱讀時(shí)間在3~5小時(shí)的人數(shù)約為210
6.若隨機(jī)變量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,則P(ξ>11)=　　　　.
7.若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.設(shè)ξ~N(1,σ2),且P(ξ>3)≈0.158 65,則σ=　　　　.
8.據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì),在某市的公務(wù)員考試中,考生的綜合評(píng)分X服從正態(tài)分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的綜合評(píng)分為80分,則該考生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑凇　　　∶?
9.已知隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且其正態(tài)曲線在(-∞,80)上單調(diào)遞增,在(80,+∞)上單調(diào)遞減,且P(72≤X≤88)≈0.682 7.
(1)求參數(shù)μ,σ的值;
(2)求P(64≤X≤72).
10.某校積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,組織全校學(xué)生加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練,規(guī)定該校男生投擲實(shí)心球6.9米達(dá)標(biāo),女生投擲實(shí)心球6.2米達(dá)標(biāo),并擬定投擲實(shí)心球的考試方案為每位學(xué)生可以投擲3次,一旦達(dá)標(biāo)就不用再投.從該校任選5名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,如果有2人不達(dá)標(biāo)的概率超過(guò)0.1,則該校學(xué)生還需加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練.已知該校男生投擲實(shí)心球的米數(shù)ξ1服從正態(tài)分布N(6.9,0.25),女生投擲實(shí)心球的米數(shù)ξ2服從正態(tài)分布N(6.2,0.16).
(1)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算,說(shuō)明該校學(xué)生是否還需加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練;
(2)為提高學(xué)生考試達(dá)標(biāo)率,該校決定加強(qiáng)訓(xùn)練,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練后,該校女生投擲實(shí)心球的米數(shù)X服從正態(tài)分布N(6.516,0.16),且P(X≤6.832)=0.785.此時(shí),請(qǐng)判斷該校女生投擲實(shí)心球的考試達(dá)標(biāo)率能否達(dá)到99%,并說(shuō)明理由.(取的值為2.15)
B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.[多選]如圖是正態(tài)分布N(0,1)的正態(tài)曲線圖,下列選項(xiàng)表示圖中陰影部分面積的為(注:Φ(a)=P(X≤a)) (　　)
A.-Φ(-a) B.Φ(1-a)
C.Φ(a)- D.Φ(0)
12.[多選]若隨機(jī)變量ξ~N(0,1),φ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,則下列等式成立的是 (　　)
A.φ(-x)=1-φ(x)
B.φ(2x)=2φ(x)
C.P(|ξ|D.P(|ξ|>x)=2-φ(x)
13.[多選]某農(nóng)戶貸款承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚,種植紅玫瑰和白玫瑰后銷(xiāo)售.若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷(xiāo)售量分別服從正態(tài)分布N(μ,302)和N(280,402),則下列結(jié)論正確的是(附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σA.若紅玫瑰日銷(xiāo)售量在(μ-30,280)內(nèi)的概率是0.682 6,則紅玫瑰日銷(xiāo)售量平均為250
B.白玫瑰日銷(xiāo)售量在(240,+∞)內(nèi)的概率約為0.841 3
C.白玫瑰日銷(xiāo)售量在(320,+∞)內(nèi)的概率約為0.341 3
D.紅玫瑰日銷(xiāo)售量比白玫瑰日銷(xiāo)售量更集中
14.為了解高三復(fù)習(xí)備考情況,某校組織了一次階段考試.高三全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)X(單位:分)近似服從正態(tài)分布N(100,17.52).已知成績(jī)?cè)?17.5分以上的學(xué)生有80人,則此次參加考試的學(xué)生成績(jī)?cè)?2.5分以下的概率為　　　　,如果成績(jī)?cè)?35分以上的為特別優(yōu)秀,那么本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有　　　　人.
附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96.
15.某車(chē)間生產(chǎn)一批零件,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)零件,測(cè)量其內(nèi)徑Z(單位:cm)的數(shù)據(jù)如下:97,97,98,102,105,107,108,109,113,114.設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為μ,標(biāo)準(zhǔn)差為σ.
(1)求μ與σ;
(2)假設(shè)這批零件的內(nèi)徑Z(單位:cm)服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
①?gòu)倪@批零件中隨機(jī)抽取5個(gè),設(shè)這5個(gè)零件中內(nèi)徑小于87 cm的個(gè)數(shù)為X,求E(4X+3);
②若該車(chē)間又新購(gòu)一臺(tái)設(shè)備,安裝調(diào)試后,試生產(chǎn)了5個(gè)零件,測(cè)量其內(nèi)徑(單位:cm)分別為86,95,103,109,118,以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn),這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試 說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.997 34≈0.99.
課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二十二)
1.A　2.D
3.選D　由題意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,從而不屬于正常情況的人數(shù)約是1 000×(1-0.682 7)≈317.
4.選B　因?yàn)閄~N(100,0.01),所以μ=100,σ=0.1,則P(99.8≤X≤99.9)=P(μ-2σ≤X≤μ-σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.故隨機(jī)抽取的10 000個(gè)零件中尺寸在[99.8,99.9]內(nèi)的個(gè)數(shù)約為10 000×0.135 9=1 359.
5.選ACD　因?yàn)閄~N(9,4),所以該校學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間為9小時(shí),每周閱讀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為2,故A正確,B錯(cuò)誤;該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)的人數(shù)占×100%=×100%=×100%=0.15%,故C正確;每周閱讀時(shí)間在3~5小時(shí)的人數(shù)占[P(36.解析:由P(9≤ξ≤11)=0.4且正態(tài)曲線以直線x=μ=10為對(duì)稱(chēng)軸知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4,即P(10≤ξ≤11)=0.2,又P(ξ≥10)=0.5,所以P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.
答案:0.3
7.解析:因?yàn)镻(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,所以P(ξ>μ+σ)≈×(1-0.682 7)=0.158 65.因?yàn)棣蝵N(1,σ2),P(ξ>1+σ)≈0.158 65,所以1+σ=3,即σ=2.
答案:2
8.解析:依題意,P(60-20≤X≤60+20)≈0.954 5,P(X>80)≈(1-0.954 5)≈0.022 8,
故成績(jī)高于80分的考生人數(shù)約為10 000×0.022 8=228.所以該考生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑?29名.
答案:229
9.解:(1)由于正態(tài)曲線在(-∞,80)上單調(diào)遞增,在(80,+∞)上單調(diào)遞減,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱(chēng),即參數(shù)μ=80.又P(72≤X≤88)≈0.682 7.
結(jié)合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,可知σ=8.
(2)因?yàn)镻(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954 5.
P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(72≤X≤88)≈0.682 7,所以P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
10.解:(1)由該校男生投擲實(shí)心球的米數(shù)ξ1服從正態(tài)分布N(6.9,0.25),女生投擲實(shí)心球的米數(shù)ξ2服從正態(tài)分布N(6.2,0.16),可知該校男生和女生達(dá)標(biāo)的概率均為,不達(dá)標(biāo)的概率均為,所以選5人進(jìn)行測(cè)試時(shí),有2人不達(dá)標(biāo)的概率為×=>0.1,
所以該校學(xué)生還需加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練.
(2)由題意知X~N(6.516,0.16),P(X≤6.832)=0.785,即P(X≤6.516+0.316)=0.785,
所以P(X≥6.2)=P(X≥6.516-0.316)=P(X≤6.832)=0.785,
所以女生的達(dá)標(biāo)率為[1-(1-0.785)3]×100%=(1-0.2153)×100%=×100%=99%,所以該校女生投擲實(shí)心球的考試達(dá)標(biāo)率能達(dá)到99%.
11.選AC　因?yàn)棣?-a)=P(X≤-a),所以題圖中陰影部分的面積為-P(X≤-a)=-Φ(-a),又根據(jù)性質(zhì)Φ(-a)+Φ(a)=1,可得-Φ(-a)=-[1-Φ(a)]=Φ(a)-.所以A、C正確.
12.選AC　因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng),如圖所示.又φ(x)=P(ξ≤x),x>0,根據(jù)曲線的對(duì)稱(chēng)性,所以φ(-x)=P(ξ≥x)=1-φ(x),所以A正確;φ(2x)=P(ξ≤2x),2φ(x)=2P(ξ≤x),所以φ(2x)≠2φ(x),故B錯(cuò)誤;P(|ξ|x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-φ(x)+φ(-x)=1-φ(x)+1-φ(x)=2-2φ(x),所以D錯(cuò)誤.故選AC.
13.選ABD　對(duì)于A,由題意得μ+30=280,解得μ=250,故紅玫瑰日銷(xiāo)售量平均為250,故A正確;對(duì)于B,設(shè)白玫瑰的日銷(xiāo)售量為X,則X~N(280,402),令μ2=280,σ2=40,所以P(X>240)=P(X>μ2-σ2)=P(μ2-σ2320)=≈=0.158 7,故B正確,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,∵紅玫瑰日銷(xiāo)售量的方差為900,白玫瑰日銷(xiāo)售量的方差為1 600,∴紅玫瑰日銷(xiāo)售量比白玫瑰日銷(xiāo)售量更集中,故D正確.故選ABD.
14.解析:由題意得P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=P(X<μ)-≈0.5-=0.16,因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于直線x=100對(duì)稱(chēng),所以P(X>117.5)=P(X<82.5)=0.16,因?yàn)槌煽?jī)?cè)?17.5分以上的學(xué)生有80人,所以本次高三考生總?cè)藬?shù)約為=500.又P(X>135)=P(X>μ+2σ)=P(X>μ)-≈0.5-=0.02,所以本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有500×0.02=10(人).
答案:0.16　10
15.解:(1)由題意得μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105,
σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36,∴σ=6.
(2)①由(1)得Z~N(105,36),∴P(Z<87)=P(Z<μ-3σ)=P(Z<μ)-≈0.5-=0.001 35,
∴X~B(5,0.001 35),∴E(4X+3)=4E(X)+3=4×5×0.001 35+3=3.027.
②需要.理由如下:
∵P(87≤Z≤123)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,∴5個(gè)零件中恰有1個(gè)零件的內(nèi)徑不在[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的概率為×0.997 34×(1-0.997 3)≈5×0.99×0.002 7=0.013 365.
∵86 [87,123],∴試生產(chǎn)的5個(gè)零件中出現(xiàn)了1個(gè)零件的內(nèi)徑不在[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi),出現(xiàn)的頻率為0.2,大概是0.013 365的15倍,根據(jù)3σ原則,這臺(tái)設(shè)備需要進(jìn)一步調(diào)試.
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