資源簡介

板塊綜合融會(huì)　離散型隨機(jī)變量及其分布列
(習(xí)題課小結(jié)評(píng)價(jià)式教學(xué))
[建構(gòu)知識(shí)體系]
[融通學(xué)科素養(yǎng)]
1.浸潤的核心素養(yǎng)
(1)通過解決統(tǒng)計(jì)圖表與隨機(jī)變量的均值、方差的綜合問題,重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).
(2)在學(xué)習(xí)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別過程中,重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.滲透的數(shù)學(xué)思想
(1)涉及數(shù)形結(jié)合的題目主要是統(tǒng)計(jì)圖表和隨機(jī)變量的分布列的綜合問題,要仔細(xì)觀察統(tǒng)計(jì)圖表,以便從中提取信息用以后續(xù)計(jì)算.
(2)在涉及概率問題的計(jì)算時(shí),要注意轉(zhuǎn)化為古典概型問題或相互獨(dú)立事件的概率問題,體現(xiàn)了化歸的思想方法.
融通點(diǎn)(一)　超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別
[例1]　某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,對該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如下表:
分組區(qū)間 (單位:克) (490, 495] (495, 500] (500, 505] (505, 510] (510, 515]
產(chǎn)品件數(shù) 3 4 7 5 1
包裝質(zhì)量在(495,510]克的產(chǎn)品為一等品,其余為二等品.
(1)估計(jì)從該流水線上任取一件產(chǎn)品為一等品的概率;
(2)從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列;
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列;試比較期望E(X)與期望E(Y)的大小.(結(jié)論不要求證明)
聽課記錄:
　　[思維建模]　二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨別方法
二項(xiàng)分布 超幾何分布
特點(diǎn) 在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品
概率 公式 P(X=k)=·pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n P(X=k)=,k=0,1,2,…,m(m=min{n,M},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*)
期望、方差 公式 E(X)=np, D(X)=np(1-p) E(X)=, D(X)=
當(dāng)N→+∞時(shí),超幾何分布近似為二項(xiàng)分布
　
　[針對訓(xùn)練]
1.在10件產(chǎn)品中有2件次品,連續(xù)抽3次,每次抽1件,求:
(1)不放回抽樣時(shí),抽取次品數(shù)X的均值;
(2)放回抽樣時(shí),抽取次品數(shù)Y的均值與方差.
2.某校高一年級(jí)舉行數(shù)學(xué)史知識(shí)競賽,每個(gè)同學(xué)從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對,3道不能答對;小王每道答對的概率均為p(0(1)分別求小張,小王答對題目數(shù)的分布列;
(2)若預(yù)測小張答對題目數(shù)多于小王答對題目數(shù),求p的取值范圍.
融通點(diǎn)(二)　與互斥、獨(dú)立事件有關(guān)的分布列的均值與方差
　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目,節(jié)目組準(zhǔn)備了A,B兩組歌曲的主旋律制成的鈴聲,隨機(jī)從A,B兩組歌曲中各播放兩首歌曲的主旋律制成的鈴聲,該嘉賓根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.已知該嘉賓猜對A組中每首歌曲的歌名的概率均是,猜對B組中每首歌曲的歌名的概率均是,且猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立.
(1)求該嘉賓至少猜對兩首歌曲的歌名的概率;
(2)若嘉賓猜對一首A組歌曲的歌名得1分,猜對一首B組歌曲的歌名得2分,猜錯(cuò)均得0分,記該嘉賓累計(jì)得分為X,求X的分布列與均值.
聽課記錄:
[思維建模]
　　若隨機(jī)變量取某一值的概率較為復(fù)雜或不好求解時(shí),可以利用分布列的性質(zhì)求其概率.
　　[針對訓(xùn)練]
3.為了促進(jìn)消費(fèi),某商場針對會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng):每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元,90元,100元的A,B,C三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換,每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶各有1 000積分,且甲兌換A,B,C三種商品的概率分別為,,,乙兌換A,B,C三種商品的概率分別為,,,且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率;
(2)記X為兩人兌換商品后的積分總余額,求X的分布列與均值.
融通點(diǎn)(三)　概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合
[例3]　某學(xué)校隨機(jī)抽取了高三年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間(單位:h),將樣本數(shù)據(jù)分成[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8]五個(gè)組,并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)已知該校高三年級(jí)共有600名學(xué)生,根據(jù)甲班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),估計(jì)該校高三年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù);
(2)已知這兩個(gè)班級(jí)各有40名學(xué)生,從甲、乙兩個(gè)班級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,記抽到的甲班學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和均值;
(3)記甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差分別為,,試比較與的大小.(只需寫出結(jié)論)
聽課記錄:
[思維建模]
　　求與統(tǒng)計(jì)有關(guān)的分布列問題,常借助題設(shè)條件運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式、二項(xiàng)分布的計(jì)算公式、超幾何分布的計(jì)算公式及均值的公式求解,或借助題設(shè)條件運(yùn)用頻率分布直方圖和分布列求解.
　　[針對訓(xùn)練]
4.某市為爭創(chuàng)“文明城市”,現(xiàn)對城市的主要路口進(jìn)行“文明騎車”的道路監(jiān)管,為了解市民對該項(xiàng)目的滿意度,分別從不同地區(qū)隨機(jī)抽取了200名市民對該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分,繪制如下頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)用頻率作為概率的估計(jì)值,現(xiàn)從該城市市民中隨機(jī)抽取4人進(jìn)一步了解情況,用X表示抽到的評(píng)分在90分以上的人數(shù),求X的分布列及均值E(X).
板塊綜合融會(huì)　離散型隨機(jī)變量及其分布列
[融通點(diǎn)(一)]
[例1]　解:(1)樣本中的產(chǎn)品件數(shù)為3+4+7+5+1=20,包裝質(zhì)量在(495,510]克的產(chǎn)品件數(shù)為4+7+5=16,故從該流水線上任取一件產(chǎn)品為一等品的概率P==.
(2)依題意,得X的可能取值為0,1,2,
P(X=2)==,P(X=1)==,P(X=0)==.
故X的分布列為
X 0 1 2
P
(3)由(2)可得E(X)=0×+1×+2×=,
依題意得Y~B,且Y的可能取值為0,1,2,
則P(Y=2)==,P(Y=1)=××=,P(Y=0)==.
故Y的分布列為
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=2×=,E(Y)=E(X).
[針對訓(xùn)練]
1.解:(1)法一　由題意知X的可能取值為0,1,2.
P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==.
∴隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
法二　由題意知P(X=k)=(k=0,1,2),
∴隨機(jī)變量X服從超幾何分布,n=3,M=2,N=10,∴E(X)===.
(2)由題意知抽取1次取到次品的概率為=,
隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布B,
∴E(Y)=3×=,D(Y)=3××=.
2.解:(1)設(shè)小張答對的題目數(shù)為X,可知隨機(jī)變量X服從超幾何分布,X的取值分別為1,2,3,4.有P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
P(X=4)===,
故小張答對的題目數(shù)X的分布列為
X 1 2 3 4
P
設(shè)小王答對的題目數(shù)為Y,可知隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布Y~B(4,p),Y的取值分別為0,1,2,3,4,
有P(Y=0)=(1-p)4,
P(Y=1)=(1-p)3p=4p(1-p)3,
P(Y=2)=(1-p)2p2=6p2(1-p)2,
P(Y=3)=(1-p)p3=4p3(1-p),
P(Y=4)=p4.
故小王答對的題目數(shù)Y的分布列為
Y 0 1 2 3 4
P (1-p)4 4p(1-p)3 6p2(1-p)2 4p3(1-p) p4
(2)由(1)可知E(X)=1×+2×+3×+4×=,而Y~B,所以E(Y)=4p,
若預(yù)測小張答對的題目數(shù)多于小王答對的題目數(shù),
則E(X)>E(Y),即>4p,可得0[融通點(diǎn)(二)]
[例2]　解:(1)該嘉賓一首歌曲的歌名都沒有猜對的概率P1=×=;
該嘉賓只猜對一首歌曲的歌名的概率P2=×××+×××=.
故該嘉賓至少猜對兩首歌曲的歌名的概率P=1-P1-P2=.
(2)由題意可得X的所有可能取值分別是0,1,2,3,4,5,6.
沒有猜對A組中每首歌曲的歌名的概率為1-=,沒有猜對B組中每首歌曲的歌名的概率是1-=,
則P(X=0)=×=,
P(X=1)=×××=,
P(X=2)=×+×××=,
P(X=3)=×××××=,
P(X=4)=×××+×=,
P(X=5)=×××=,
P(X=6)=×=.
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5 6
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=.
[針對訓(xùn)練]
3.解:(1)由題可知,甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為×+×+×=.
(2)由題意知,兌換A,B,C三種商品所需的積分分別為800,900,1 000,
則X的取值可能為0,100,200,300,400,
P(X=0)=×=,
P(X=100)=×+×=,
P(X=200)=×+×+×=,
P(X=300)=×+×=,
P(X=400)=×=,
則X的分布列為
X 0 100 200 300 400
P
E(X)=0×+100×+200×+300×+400×=250.
[融通點(diǎn)(三)]
[例3]　解:(1)由甲班頻率分布直方圖知,甲班每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的頻率為(0.500+0.250+0.050)×1=0.8.故該校高三年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)約為0.8×600=480.
(2)甲班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)約為40×0.050×1=2,乙班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)約為40×0.100×1=4,
所以兩個(gè)班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的學(xué)生共6人.從中隨機(jī)抽取3人,則抽到的甲班學(xué)生人數(shù)X的可能取值為0,1,2,且X服從超幾何分布,
則P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
法一　E(X)=0×+1×+2×=1.
法二　E(X)==1.
(3)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間的頻率分布直方圖上來看,甲班的數(shù)據(jù)比較集中,乙班的數(shù)據(jù)相比甲班較為分散,故<.
[針對訓(xùn)練]
4.解:(1)在頻率分布直方圖中,所有矩形的面積之和為1,則(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1,解得a=0.025.
(2)因?yàn)樵u(píng)分在90分以上的市民所占的頻率為0.025×10=0.25,
由題意可知,X~B,
所以P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××=,
P(X=4)==,
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=4×=1.
1 / 3(共80張PPT)
板塊綜合融會(huì) 離散型隨機(jī)變量及其分布列
(習(xí)題課——小結(jié)評(píng)價(jià)式教學(xué))
[建構(gòu)知識(shí)體系]
[融通學(xué)科素養(yǎng)]
1.浸潤的核心素養(yǎng)
(1)通過解決統(tǒng)計(jì)圖表與隨機(jī)變量的均值、方差的綜合問題，重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).
(2)在學(xué)習(xí)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別過程中，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.滲透的數(shù)學(xué)思想
(1)涉及數(shù)形結(jié)合的題目主要是統(tǒng)計(jì)圖表和隨機(jī)變量的分布列的綜合問題，要仔細(xì)觀察統(tǒng)計(jì)圖表，以便從中提取信息用以后續(xù)計(jì)算.
(2)在涉及概率問題的計(jì)算時(shí)，要注意轉(zhuǎn)化為古典概型問題或相互獨(dú)立事件的概率問題，體現(xiàn)了化歸的思想方法.
CONTENTS
目錄
1
2
3
融通點(diǎn)(一)　超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別
融通點(diǎn)(二)　與互斥、獨(dú)立事件有關(guān)的分布列的均值與方差
融通點(diǎn)(三)　概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合
4
課時(shí)跟蹤檢測
融通點(diǎn)(一)　超幾何分布與
二項(xiàng)分布的區(qū)別
01
[例1]　某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，對該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
分組區(qū)間 (單位：克) (490，495] (495，500] (500，505] (505，510] (510，515]
產(chǎn)品件數(shù) 3 4 7 5 1
包裝質(zhì)量在(495，510]克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品.
(1)估計(jì)從該流水線上任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；
解：樣本中的產(chǎn)品件數(shù)為3+4+7+5+1=20，包裝質(zhì)量在(495，510]克的產(chǎn)品件數(shù)為4+7+5=16，故從該流水線上任取一件產(chǎn)品為一等品的概率P==.
(2)從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
解：依題意，得X的可能取值為0，1，2，
P(X=2)==，P(X=1)==，
P(X=0)==.故X的分布列為
X 0 1 2
P
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列；試比較期望E(X)與期望E(Y)的大小.(結(jié)論不要求證明)
解：由(2)可得E(X)=0×+1×+2×=，
依題意得Y~B，且Y的可能取值為0，1，2，
則P(Y=2)==，P(Y=1)=××=，P(Y=0)==.
故Y的分布列為
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=2×=，E(Y)=E(X).
　　[思維建模]　二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨別方法
二項(xiàng)分布 超幾何分布
特點(diǎn) 在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品
概率 公式 P(X=k)=·pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n P(X=k)=，k=0，1，2，…，m(m=min{n，M}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)
期望、 方差公式 E(X)=np， D(X)=np(1-p) E(X)=，
D(X)=
當(dāng)N→+∞時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布
續(xù)表
1.在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)X的均值；
解：法一　由題意知X的可能取值為0，1，2.
P(X=0)==；P(X=1)==；
P(X=2)==.
針對訓(xùn)練
∴隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
法二　由題意知P(X=k)=(k=0，1，2)，
∴隨機(jī)變量X服從超幾何分布，n=3，M=2，N=10，∴E(X)===.
(2)放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)Y的均值與方差.
解：由題意知抽取1次取到次品的概率為=，
隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布B，∴E(Y)=3×=，D(Y)=3××=.
2.某校高一年級(jí)舉行數(shù)學(xué)史知識(shí)競賽，每個(gè)同學(xué)從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對，3道不能答對；小王每道答對的概率均為p(0(1)分別求小張，小王答對題目數(shù)的分布列；
解：設(shè)小張答對的題目數(shù)為X，可知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X的取值分別為1，2，3，4.有P(X=1)===，
P(X=2)===，
P(X=3)===，
P(X=4)===，
故小張答對的題目數(shù)X的分布列為
X 1 2 3 4
P
設(shè)小王答對的題目數(shù)為Y，可知隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布Y~B(4，p)，Y的取值分別為0，1，2，3，4，
有P(Y=0)=(1-p)4，
P(Y=1)=(1-p)3p=4p(1-p)3，
P(Y=2)=(1-p)2p2=6p2(1-p)2，
P(Y=3)=(1-p)p3=4p3(1-p)，
P(Y=4)=p4.
故小王答對的題目數(shù)Y的分布列為
Y 0 1 2 3 4
P (1-p)4 4p(1-p)3 6p2(1-p)2 4p3(1-p) p4
(2)若預(yù)測小張答對題目數(shù)多于小王答對題目數(shù)，求p的取值范圍.
解：由(1)可知E(X)=1×+2×+3×+4×=，而Y~B，所以E(Y)=4p，
若預(yù)測小張答對的題目數(shù)多于小王答對的題目數(shù)，
則E(X)>E(Y)，即>4p，可得0故p的取值范圍是.
融通點(diǎn)(二)　與互斥、獨(dú)立事件有關(guān)的分布列的均值與方差
02
[例2]　猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，節(jié)目組準(zhǔn)備了A，B兩組歌曲的主旋律制成的鈴聲，隨機(jī)從A，B兩組歌曲中各播放兩首歌曲的主旋律制成的鈴聲，該嘉賓根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.已知該嘉賓猜對A組中每首歌曲的歌名的概率均是，猜對B組中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立.
(1)求該嘉賓至少猜對兩首歌曲的歌名的概率；
解：該嘉賓一首歌曲的歌名都沒有猜對的概率P1=×=；
該嘉賓只猜對一首歌曲的歌名的概率P2=×××+×××=.
故該嘉賓至少猜對兩首歌曲的歌名的概率P=1-P1-P2=.
(2)若嘉賓猜對一首A組歌曲的歌名得1分，猜對一首B組歌曲的歌名得2分，猜錯(cuò)均得0分，記該嘉賓累計(jì)得分為X，求X的分布列與均值.
解：由題意可得X的所有可能取值分別是0，1，2，3，4，5，6.
沒有猜對A組中每首歌曲的歌名的概率為1-=，沒有猜對B組中每首歌曲的歌名的概率是1-=，
則P(X=0)=×=，
P(X=1)=×××=，
P(X=2)=×+×××=，
P(X=3)=×××××=，
P(X=4)=×××+×=，
P(X=5)=×××=，
P(X=6)=×=.
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5 6
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=.
[思維建模]　　
若隨機(jī)變量取某一值的概率較為復(fù)雜或不好求解時(shí)，可以利用分布列的性質(zhì)求其概率.
針對訓(xùn)練
3.為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場針對會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元，90元，100元的A，B，C三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶各有1 000積分，且甲兌換A，B，C三種商品的概率分別為，乙兌換A，B，C三種商品的概率分別為，且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；
解：由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為×+×+
×=.
(2)記X為兩人兌換商品后的積分總余額，求X的分布列與均值.
解：由題意知，兌換A，B，C三種商品所需的積分分別為800，900，1 000，
則X的取值可能為0，100，200，300，400，
P(X=0)=×=，
P(X=100)=×+×=，
P(X=200)=×+×+×=，
P(X=300)=×+×=，
P(X=400)=×=，
則X的分布列為
X 0 100 200 300 400
P
E(X)=0×+100×+200×+300×+400×=250.
融通點(diǎn)(三)　概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合
03
[例3]　某學(xué)校隨機(jī)抽取了高三年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：h)，將樣本數(shù)據(jù)分成[3，4)，[4，5)，
[5，6)，[6，7)，[7，8]五個(gè)組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)已知該校高三年級(jí)共有600名學(xué)生，根據(jù)甲班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該校高三年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)；
解：由甲班頻率分布直方圖知，甲班每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的頻率為(0.500+0.250+0.050)×1=0.8.故該校高三年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)約為0.8×600=480.
(2)已知這兩個(gè)班級(jí)各有40名學(xué)生，從甲、乙兩個(gè)班級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記抽到的甲班學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和均值；
解：甲班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)約為40×0.050×1=2，乙班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)約為40×0.100×1=4，
所以兩個(gè)班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的學(xué)生共6人.從中隨機(jī)抽取3人，則抽到的甲班學(xué)生人數(shù)X的可能取值為0，1，2，且X服從超幾何分布，
則P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
法一　E(X)=0×+1×+2×=1.
法二　E(X)==1.
(3)記甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差分別為，試比較與的大小.(只需寫出結(jié)論)
解：從甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間的頻率分布直方圖上來看，甲班的數(shù)據(jù)比較集中，乙班的數(shù)據(jù)相比甲班較為分散，故<.
[思維建模]
求與統(tǒng)計(jì)有關(guān)的分布列問題，常借助題設(shè)條件運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式、二項(xiàng)分布的計(jì)算公式、超幾何分布的計(jì)算公式及均值的公式求解，或借助題設(shè)條件運(yùn)用頻率分布直方圖和分布列求解.
針對訓(xùn)練
4.某市為爭創(chuàng)“文明城市”，現(xiàn)對城市的主要路口進(jìn)行“文明騎車”的道路監(jiān)管，為了解市民對該項(xiàng)目的滿意度，分別從不同地區(qū)隨機(jī)抽取了200名市民對該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分，繪制如下頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值；
解：在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1，
則(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1，解得a=0.025.
(2)用頻率作為概率的估計(jì)值，現(xiàn)從該城市市民中隨機(jī)抽取4人進(jìn)一步了解情況，用X表示抽到的評(píng)分在90分以上的人數(shù)，求X的分布列及均值E(X).
解：因?yàn)樵u(píng)分在90分以上的市民所占的頻率為0.025×10=0.25，
由題意可知，X~B，
所以P(X=0)==，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=××=，
P(X=4)==，
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=4×=1.
課時(shí)跟蹤檢測
03
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A級(jí)——綜合提能
1.某一供電網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)用電單位，每個(gè)單位在一天中用電的機(jī)會(huì)都是p，則供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個(gè)數(shù)是(　　)
A.np(1-p) B.np
C.n D.p(1-p)
解析：∵用電單位的個(gè)數(shù)X~B(n，p)，
∴E(X)=np.
√
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2.若隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則E(X)等于 (　　)
√
X 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A.B. C. D.
解析：因?yàn)?x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1，所以x=，因此E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×=.
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3.某機(jī)械研究所對新研發(fā)的某批次機(jī)械元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，隨機(jī)抽查的200個(gè)機(jī)械元件情況如表所示：
若以頻率視為概率，現(xiàn)從該批次機(jī)械元件中隨機(jī)抽取3個(gè)，則至少有2個(gè)元件的使用壽命在30天以上的概率為 (　　)
使用時(shí) 間/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
個(gè)數(shù) 10 40 80 50 20
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A. B.
C. D.
解析：由題表可知元件使用壽命在30天以上的概率為=，則所求概率為××+=.
√
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4.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則D(X)的值為 (　　)
A.B. C. D.1
√
X 0 1 2
P m
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解析：由分布列的性質(zhì)，知+m+=1，∴m=.∴E(X)=0×+1×+2×=1，D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2
×=.
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5.已知X是離散型隨機(jī)變量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1A. B.
C.3 D.
√
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解析：∵E(X)=x1+x2=，∴x2=4-2x1，
又D(X)=×+×=，x11
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6.李明參加某大會(huì)的青年志愿者選拔，在已知備選的10道題中，李明能答對其中的6道，規(guī)定考試從備選題中隨機(jī)地抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才能入選.則李明入選的概率為______.
解析：設(shè)所選3題中李明能答對的題數(shù)為X，則X服從參數(shù)為N=10，M=6，n=3的超幾何分布，且P(X=k)=(k=0，1，2，3)，故所求概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
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7.某校為了增強(qiáng)學(xué)生對傳統(tǒng)文化的繼承和發(fā)揚(yáng)，組織了一場類似《詩詞大會(huì)》PK賽(共4局)，A，B兩隊(duì)各由4名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名選手PK，除第三局勝者得2分外，其余各勝者均得1分，每局的負(fù)者得0分.假設(shè)每局比賽A隊(duì)選手獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為_______.
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解析：比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的情況有三種，
第一種：A隊(duì)全勝，概率為=.
第二種：A隊(duì)三勝一負(fù)，概率為××=.
第三種：A隊(duì)勝第三局，另外三局一勝二負(fù)，
概率為×××=.
所以比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為++=.
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8.五一臨近，某火車站有三個(gè)安檢入口，每個(gè)安檢入口每天通過的旅客人數(shù)(單位：人)超過1 100人的概率不低于0.2，假設(shè)三個(gè)安檢入口均能正常工作，則這三個(gè)安檢入口每天至少有兩個(gè)超過1 100人的概率最少為______.
0.104
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解析：由題意可知旅客人數(shù)X超過1 100人的概率不低于0.2，即P(X>1 100)
≥0.2，所以這三個(gè)安檢入口每天至少有兩個(gè)超過1 100人的概率最少為P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104.
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9.某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量的分組區(qū)間為[490，495)，[495，500)，…，[510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.
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(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求抽取的40件產(chǎn)品中重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
解：重量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3，
所以重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件).
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(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列，并求其均值；
解：重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0，1，2，X服從超幾何分布.
則P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，
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所以X的分布列為
X 0 1 2
P
X的均值為
法一　E(X)=0×+1×+2×=.
法二　E(X)==.
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(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.
解：根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的重量超過505克的概率為=.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗(yàn)，重量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0，1，2，且Y~B，
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P(Y=k)=××，k=0，1，2，
所以P(Y=0)=×=，
P(Y=1)=××=，
P(Y=2)=×=.
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所以Y的分布列為
Y 0 1 2
P
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10.某學(xué)生需依次進(jìn)行身體體能和外語兩個(gè)項(xiàng)目的考核，每個(gè)項(xiàng)目只有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，補(bǔ)考不及格者不能進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目的考核(即淘汰).若該學(xué)生身體體能考核合格的概率是，外語考核合格的概率是，假設(shè)每一次考核是否合格互不影響，該生不放棄每一次考核的機(jī)會(huì).用X表示其參加補(bǔ)考的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的均值與方差.
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解：X的可能取值為0，1，2.
設(shè)“該學(xué)生第一次、第二次身體體能考核合格”分別為事件A1，A2，“第一次、第二次外語考核合格”分別為事件B1，B2，
則P(X=0)=P(A1B1)=×=，
P(X=2)=P(A2B2)+P(A2)
=×××+×××=.
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根據(jù)分布列的性質(zhì)，可知P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=，D(X)=×+×+×=.
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B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表，若D(ξ-1)=，則E(ξ-1)=(　　)
A. B.-C.-或- D.或-
√
ξ -1 0 1
P a c
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解析：由題意得，a+c=，a∈，E(ξ)=-2a+.若D(ξ-1)=，則D(ξ)=，所以a++
=，整理得，12a2-8a+1=0，解得a=或a=，所以E(ξ)=-2a+=-或，E(ξ-1)=E(ξ)-1=-或-.
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12.[多選]某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位數(shù)中ak(k=1，2，3，4，5)出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記X=a1+a2+a3+a4+a5，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)(　　)
A.X服從超幾何分布 B.P(X=1)=
C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)=
√
√
√
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解析：由二進(jìn)制數(shù)A的特點(diǎn)知，每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不影響，故X的可能取值有0，1，2，3，4，5，且X的取值表示1出現(xiàn)的次數(shù)，由二項(xiàng)分布的定義，可得X~B，故A錯(cuò)誤；故P(X=1)==，故B正確；因?yàn)閄~B，所以E(X)=5×=，D(X)=5××=，故C、D正確.故選BCD.
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13.2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶.某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異.在某地的兩類人群中各隨機(jī)抽取20人的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
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利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值a，將該指標(biāo)小于a的人判定為陽性，大于或等于a的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(a)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(a).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計(jì)概率.
(1)當(dāng)臨界值a=20時(shí)，求漏診率p(a)和誤診率q(a)；
解：由頻率分布直方圖可知p(20)=0.02×5=0.1，q(20)=0.01×5=0.05.
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(2)從指標(biāo)在區(qū)間[20，25]樣本中隨機(jī)抽取2人，記隨機(jī)變量X為未患病者的人數(shù)，求X的分布列和均值；
解：樣本中患病者在指標(biāo)為區(qū)間[20，25]的人數(shù)是20×0.02×5=2，未患病者在指標(biāo)為區(qū)間[20，25]的人數(shù)是20×0.03×5=3，總?cè)藬?shù)為5.
X可能的取值為0，1，2.
P(X=0)==，P(X=1)==，
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P(X=2)==.
隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2
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E(X)=0×+1×+2×=.
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(3)在該地患病者占全部人口的5%的情況下，記f(a)為該地診斷結(jié)果不符合真實(shí)情況的概率.當(dāng)a∈[20，25]時(shí)，直接寫出使得f(a)取最小值時(shí)的a的值.
解：由題意得，f(a)=q(a)×95%+p(a)×5%，
a∈[20，25]時(shí)，令a=t+20(t=0，1，2，3，4，5)，
則q(a)=5×，
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p(a)=5×，
所以f(a)=g(t)=5××95%+5×
×5%，則關(guān)于t的一次函數(shù)的系數(shù)為5(0.03×19%-0.02×1%)>0，
故g(t)單調(diào)遞增，故當(dāng)t=0即a=20時(shí)，f(a)取最小值.課時(shí)跟蹤檢測(二十一)　離散型隨機(jī)變量及其分布列
A級(jí)——綜合提能
1.某一供電網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)用電單位,每個(gè)單位在一天中用電的機(jī)會(huì)都是p,則供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個(gè)數(shù)是 (　　)
A.np(1-p) B.np
C.n D.p(1-p)
2.若隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則E(X)等于 (　　)
X 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A. B.
C. D.
3.某機(jī)械研究所對新研發(fā)的某批次機(jī)械元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查,隨機(jī)抽查的200個(gè)機(jī)械元件情況如表所示:
使用時(shí) 間/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
個(gè)數(shù) 10 40 80 50 20
若以頻率視為概率,現(xiàn)從該批次機(jī)械元件中隨機(jī)抽取3個(gè),則至少有2個(gè)元件的使用壽命在30天以上的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
4.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2
P m
則D(X)的值為 (　　)
A. B.
C. D.1
5.已知X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1A. B.
C.3 D.
6.李明參加某大會(huì)的青年志愿者選拔,在已知備選的10道題中,李明能答對其中的6道,規(guī)定考試從備選題中隨機(jī)地抽出3題進(jìn)行測試,至少答對2題才能入選.則李明入選的概率為　　　　.
7.某校為了增強(qiáng)學(xué)生對傳統(tǒng)文化的繼承和發(fā)揚(yáng),組織了一場類似《詩詞大會(huì)》PK賽(共4局),A,B兩隊(duì)各由4名選手組成,每局兩隊(duì)各派一名選手PK,除第三局勝者得2分外,其余各勝者均得1分,每局的負(fù)者得0分.假設(shè)每局比賽A隊(duì)選手獲勝的概率均為,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為　　　　.
8.五一臨近,某火車站有三個(gè)安檢入口,每個(gè)安檢入口每天通過的旅客人數(shù)(單位:人)超過1 100人的概率不低于0.2,假設(shè)三個(gè)安檢入口均能正常工作,則這三個(gè)安檢入口每天至少有兩個(gè)超過1 100人的概率最少為　　　.
9.某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為[490,495),[495,500),…,[510,515],由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求抽取的40件產(chǎn)品中重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列,并求其均值;
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列.
10.某學(xué)生需依次進(jìn)行身體體能和外語兩個(gè)項(xiàng)目的考核,每個(gè)項(xiàng)目只有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì),補(bǔ)考不及格者不能進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目的考核(即淘汰).若該學(xué)生身體體能考核合格的概率是,外語考核合格的概率是,假設(shè)每一次考核是否合格互不影響,該生不放棄每一次考核的機(jī)會(huì).用X表示其參加補(bǔ)考的次數(shù),求隨機(jī)變量X的均值與方差.
B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表,若D(ξ-1)=,則E(ξ-1)= (　　)
ξ -1 0 1
P a c
A. B.-
C.-或- D.或-
12.[多選]某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4a5(例如10 100),其中A的各位數(shù)中ak(k=1,2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為,記X=a1+a2+a3+a4+a5,則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí) (　　)
A.X服從超幾何分布 B.P(X=1)=
C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)=
13.2023年冬,甲型流感病毒來勢洶洶.某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異.在某地的兩類人群中各隨機(jī)抽取20人的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值a,將該指標(biāo)小于a的人判定為陽性,大于或等于a的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(a);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(a).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,用頻率估計(jì)概率.
(1)當(dāng)臨界值a=20時(shí),求漏診率p(a)和誤診率q(a);
(2)從指標(biāo)在區(qū)間[20,25]樣本中隨機(jī)抽取2人,記隨機(jī)變量X為未患病者的人數(shù),求X的分布列和均值;
(3)在該地患病者占全部人口的5%的情況下,記f(a)為該地診斷結(jié)果不符合真實(shí)情況的概率.當(dāng)a∈[20,25]時(shí),直接寫出使得f(a)取最小值時(shí)的a的值.
課時(shí)跟蹤檢測(二十一)
1.選B　∵用電單位的個(gè)數(shù)X~B(n,p),
∴E(X)=np.
2.選C　因?yàn)?x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1,所以x=,因此E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×=.
3.選D　由題表可知元件使用壽命在30天以上的概率為=,則所求概率為××+=.
4.選B　由分布列的性質(zhì),知+m+=1,∴m=.∴E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
5.選C　∵E(X)=x1+x2=,∴x2=4-2x1,又D(X)=×+×=,x16.解析:設(shè)所選3題中李明能答對的題數(shù)為X,則X服從參數(shù)為N=10,M=6,n=3的超幾何分布,且P(X=k)=(k=0,1,2,3),故所求概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
答案:
7.解析:比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的情況有三種,
第一種:A隊(duì)全勝,概率為=.
第二種:A隊(duì)三勝一負(fù),概率為××=.
第三種:A隊(duì)勝第三局,另外三局一勝二負(fù),概率為×××=.
所以比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為++=.
答案:
8.解析:由題意可知旅客人數(shù)X超過1 100人的概率不低于0.2,即P(X>1 100)≥0.2,所以這三個(gè)安檢入口每天至少有兩個(gè)超過1 100人的概率最少為P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104.
答案:0.104
9.解:(1)重量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,
所以重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件).
(2)重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件,則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件,X的取值為0,1,2,X服從超幾何分布.
則P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
X的均值為
法一　E(X)=0×+1×+2×=.
法二　E(X)==.
(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,取一件產(chǎn)品,該產(chǎn)品的重量超過505克的概率為=.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響,該問題可看成2重伯努利試驗(yàn),重量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2,且Y~B,P(Y=k)=××,k=0,1,2,
所以P(Y=0)=×=,
P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=×=.
所以Y的分布列為
Y 0 1 2
P
10.解:X的可能取值為0,1,2.
設(shè)“該學(xué)生第一次、第二次身體體能考核合格”分別為事件A1,A2,“第一次、第二次外語考核合格”分別為事件B1,B2,
則P(X=0)=P(A1B1)=×=,
P(X=2)=P(A2B2)+P(A2)
=×××+×××=.
根據(jù)分布列的性質(zhì),可知P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=.
11.選C　由題意得,a+c=,a∈,E(ξ)=-2a+.若D(ξ-1)=,則D(ξ)=,所以a+-2a+2+-a-2a+-12=,整理得,12a2-8a+1=0,解得a=或a=,所以E(ξ)=-2a+=-或,E(ξ-1)=E(ξ)-1=-或-.
12.選BCD　由二進(jìn)制數(shù)A的特點(diǎn)知,每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0,1且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不影響,故X的可能取值有0,1,2,3,4,5,且X的取值表示1出現(xiàn)的次數(shù),由二項(xiàng)分布的定義,可得X~B,故A錯(cuò)誤;故P(X=1)==,故B正確;因?yàn)閄~B,所以E(X)=5×=,D(X)=5××=,故C、D正確.故選BCD.
13.解:(1)由頻率分布直方圖可知p(20)=0.02×5=0.1,q(20)=0.01×5=0.05.
(2)樣本中患病者在指標(biāo)為區(qū)間[20,25]的人數(shù)是20×0.02×5=2,未患病者在指標(biāo)為區(qū)間[20,25]的人數(shù)是20×0.03×5=3,總?cè)藬?shù)為5.
X可能的取值為0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)由題意得,f(a)=q(a)×95%+p(a)×5%,a∈[20,25]時(shí),令a=t+20(t=0,1,2,3,4,5),
則q(a)=5×,
p(a)=5×,
所以f(a)=g(t)=5×0.01+0.03××95%+5××5%,則關(guān)于t的一次函數(shù)的系數(shù)為5(0.03×19%-0.02×1%)>0,故g(t)單調(diào)遞增,故當(dāng)t=0即a=20時(shí),f(a)取最小值.
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