資源簡介

階段質量評價(二)　隨機變量及其分布
(時間:120分鐘　滿分:150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.甲擊中目標的概率是,如果擊中贏10分,否則輸11分,用X表示他的得分,則X的均值為 (　　)
A.0.5分 B.-0.5分
C.1分 D.5分
2.已知隨機變量X的分布列為P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常數,則P= (　　)
A. B.
C. D.
3.將兩枚質地均勻的骰子各擲一次,設事件A=“兩個點數互不相同”,B=“出現一個5點”,則P(B|A)= (　　)
A. B.
C. D.
4.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
5.某公司現有員工120人,在榮獲“優秀員工”稱號的85人中,有75人是高級工程師.既沒有榮獲“優秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人,公司將隨機選擇一名員工接受電視新聞節目的采訪,被選中的員工是高級工程師的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
6.長時間玩手機可能影響視力,據調查,某學校學生中,大約有的學生每天玩手機超過1 h,這些人近視率約為,其余學生的近視率約為,現從該校任意調查一名學生,他近視的概率大約是 (　　)
A. B.
C. D.
7.甲、乙兩人進行乒乓球比賽,采用三局兩勝的比賽制度,規定每局比賽都沒有平局(必須分出勝負),若每一局甲贏的概率都是p,且0A.E(X)= B.E(X)>
C.D(X)> D.D(X)<
8.為了提升全民身體素質,學校十分重視學生的體育鍛煉.某校一位籃球運動員進行投籃練習,若他前一球投進,則他后一球投進的概率為,若他前一球投不進,則他后一球投進的概率為.若他第1個球投進的概率為,則他第4個球投進的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
二、多項選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.某工廠加工一種零件,有兩種不同的工藝選擇,用這兩種工藝加工一個零件所需時間t(單位:小時)均近似服從正態分布,用工藝1加工一個零件所用時間X~N(μ1,),用工藝2加工一個零件所用時間Y~N(μ2,),X,Y的正態曲線如圖,則下列結論正確的是 (　　)
A.μ1<μ2,>
B.若加工時間只有a個小時,應選擇工藝2
C.若加工時間只有c個小時,應選擇工藝2
D. t0∈(b,c),P(XP(Y10.設隨機變量ξ的分布列如表所示:
ξ 1 2 3 … 2 023 2 024
P a1 a2 a3 … a2 023 a2 024
則下列說法正確的是 (　　)
A.當{an}為等差數列時,a2+a2 023=
B.數列{an}的通項公式可能為an=
C.當數列{an}滿足an=(n=1,2,…,2 023)時,a2 024=
D.當數列{an}滿足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…,2 024)時,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*)
11.在一次數學學業水平測試中,某市高一全體學生的成績X~N(μ,σ2),且E(X)=80,D(X)=400,規定測試成績不低于60分者為及格,高于120分者為優秀,令P(|X-μ|≤σ)=m,P(|X-μ|≤2σ)=n,則 (　　)
A.μ=80,σ=400
B.從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生,該生測試成績及格但不優秀的概率為
C.從該市高一全體學生中(數量很大)依次抽取兩名學生,這兩名學生恰好有一名測試成績優秀的概率為
D.從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生,在已知該生測試成績及格的條件下,該生測試成績優秀的概率為
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上)
12.甲、乙、丙、丁四名同學報名參加淮南文明城市創建志愿服務活動,服務活動共有“走進社區”“環境監測”“愛心義演”“交通宣傳”四個項目,每人限報其中的一項,記事件A為“四名同學所報項目各不相同”,事件B為“只有甲同學報‘走進社區’項目”,則P(A|B)的值為　　　　.
13.為舒緩高考壓力,某中學高三年級開展了“葵花心語”活動,每個同學選擇一顆葵花種子親自播種在花盆中,四個人為一互助組,每組四人的種子播種在同一花盆中,若盆中至少長出三株花苗,則可評為“陽光小組”.已知每顆種子發芽的概率為0.8,全年級恰好共種了500盆,則大概有　　 　個小組能評為“陽光小組”.(結果保留整數)
14.江先生朝九晚五上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.江先生從家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘.公交車多且路程近一些,但乘坐公交路上經常擁堵,所需時間Y(單位:分鐘)服從正態分布N(33,42),下車后從公交站步行到單位要12分鐘;乘坐地鐵暢通,但路線長且乘客多,所需時間Z(單位:分鐘)服從正態分布N(44,22),下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.有下列說法:①若8:00出門,則乘坐公交上班不會遲到;②若8:02出門,則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大;③若8:06出門,則乘坐公交上班不遲到的可能性更大;④若8:12出門,則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到.從統計的角度分析,以上所有合理說法的序號是　　　　.
附:若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件,甲加工的次品率為6%,乙、丙加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起,已知甲、乙、丙加工的零件數分別占總數的25%,30%,45%.
(1)任取一個零件,求它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,求它是丙車床加工的概率.
16.(15分)某校總務處的主任要購買學校教學用的粉筆,并且有非常明確的判斷一盒粉筆是“優質產品”還是“非優質產品”的方法.某品牌的粉筆整箱出售,每箱共有20盒,根據以往的經驗,其中會有某些盒的粉筆為非優質產品,其余的都為優質產品.并且每箱含有0,1,2盒非優質產品的概率依次為0.7,0.2,0.1.為了購買該品牌的粉筆,校總務處主任設計了一種購買的方案:欲買一箱粉筆,隨機查看該箱中的4盒粉筆,如果沒有非優質產品,則購買,否則不購買.設“買下所查看的一箱粉筆”為事件A,“箱中有i(i=0,1,2)盒粉筆為非優質產品”為事件Bi.
(1)求P(A|B0),P(A|B1),P(A|B2);
(2)隨機查看某一箱該品牌粉筆中的4盒,設X為其中非優質產品的盒數,求X的分布列及期望;
(3)假設購買100箱該品牌粉筆,若按照主任所設計的方案進行購買,箱中每盒粉筆都是優質產品的箱數的期望比隨機購買的箱中每盒粉筆都是優質產品的箱數的期望大10,則所設計的方案有效.討論該方案是否有效.
17.(15分)生產A,B兩種元件,其質量按測試指標劃分為指標大于或等于82為正品,小于82為次品.現隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測,檢測結果統計如下表:
測試 指標 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]
元件A 8 12 40 32 8
元件B 7 18 40 29 6
(1)試分別估計元件A,元件B為正品的概率;
(2)生產一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品則虧損5元;生產一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品則虧損10元.在(1)的前提下,
①記X為生產1件元件A和1件元件B所得的總利潤,求隨機變量X的分布列和數學期望;
②求生產5件元件B所獲得的利潤不少于140元的概率.
18.(17分)品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試,一種通常采用的測試方法如下:拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗,要求其按品質優劣為它們排序;經過一段時間,等其記憶淡忘之后,再讓其品嘗這n瓶酒,并重新按品質優劣為它們排序.這稱為一輪測試,根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.
現設n=4,分別以a1,a2,a3,a4表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號,并令X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|,則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.
(1)寫出X的可能取值的集合.
(2)假設a1,a2,a3,a4等可能地為1,2,3,4的各種排列,求X的分布列.
(3)某品酒師在相繼進行的三輪測試中,都有X≤2.
①試按(2)中的結果,計算出現這種現象的概率(假定各輪測試相互獨立);
②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何 說明理由.
19.(17分)若ξ,η是樣本空間Ω上的兩個離散型隨機變量,則稱(ξ,η)是Ω上的二維離散型隨機變量或二維隨機向量.設(ξ,η)的一切可能取值為(ai,bj),i,j=1,2,…,記pij表示(ai,bj)在Ω中出現的概率,其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)].
(1)將三個相同的小球等可能地放入編號為1,2,3的三個盒子中,記1號盒子中的小球個數為ξ,2號盒子中的小球個數為η,則(ξ,η)是一個二維隨機變量.
①寫出該二維離散型隨機變量(ξ,η)的所有可能取值;
②若(m,n)是①中的值,求P(ξ=m,η=n)(結果用m,n表示);
(2)P(ξ=ai)稱為二維離散型隨機變量(ξ，η)關于ξ的邊緣分布律或邊際分布律，求證：P(ξ=ai)=pij.
階段質量評價(二)
1.選B　E(X)=10×+(-11)×=-0.5.
2.選A　由題意得+++=1,解得a=.所以P=P(X=1)+P(X=2)=×=.故選A.
3.選A　出現點數互不相同的共有n(A)=6×5=30(種),出現一個5點共有n(AB)=5×2=10(種),所以P(B|A)==.
4.選B　由題意得X~B(10,p).因為D(X)=2.4,所以10p·(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因為P(X=4)0.5,所以p=0.6.故選B.
5.選C　如圖,設集合A為“優秀員工”,集合B為“高級工程師”,由題集合A有85個元素,A∩B有75個元素, U(A∪B)里有14個元素,故集合B中有96個元素.故概率p==.故選C.
6.選C　設事件A為“任意調查一名學生,每天玩手機超過1 h”,事件B為“任意調查一名學生,該學生近視”,則P(A)=,P(B|A)=,所以P()=1-P(A)=,P(B|)=,則P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故選C.
7.選D　隨機變量X的可能取值為2,3,P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=p(1-p)p+p(1-p)·(1-p)=2p-2p2,故E(X)=2(2p2-2p+1)+3(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2+,因為08.選B　設該籃球運動員投進第(n-1)(n≥2,n∈N*)個球的概率為Pn-1,則他投進第n個球的概率為Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=+Pn-1,∴Pn-=,又P1-=-=≠0,∴是以為首項,為公比的等比數列,∴Pn-=·=,∴Pn=+(n∈N*),∴P4=.故選B.
9.選AC　對于A,由X~N(μ1,),Y~N(μ2,)及題圖可知X的正態曲線的對稱軸為直線t=μ1=a,Y的正態曲線的對稱軸為直線t=μ2=b,且ac),P(Y≤c)=1-P(Y>c),而P(X>c)>P(Y>c),可知P(X≤c)10.選ABD　設數列a1,a2,a3,…,a2 023,a2 024的前n項和為Sn.對于A,因為{an}為等差數列,所以S2 024==1,則有a2+a2 023=a1+a2 024=,故A正確;對于B,若數列{an}的通項公式為an==,則S2 024=×1-+-+…+-=×=1,符合分布列的性質,故B正確;對于C,因為an=(n=1,2,…,2 023),所以S2 024=+a2 024=1-+a2 024=1,則有a2 024=,故C錯誤;對于D,令Tk=P(ξ≤k)=k2ak,則ak+1=Tk+1-Tk=(k+1)2ak+1-k2ak,故=,所以=(n≥2,n∈N*),即(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*),故D正確.故選ABD.
11.選BCD　對于A,由E(X)=80,D(X)=400,則μ=80,σ2=400,故A錯誤;對于B,由μ=80,σ2=400,則X~N(80,202),則μ-σ=80-20=60,μ+2σ=80+2×20=120,故有P(60≤X≤100)=m,P(40≤X≤120)=n,則P(100≤X≤120)=,則P(60≤X≤120)=+m=,即從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生,該生測試成績及格但不優秀的概率為,故B正確;對于C,P(X>120)=,則從該市高一全體學生中(數量很大)依次抽取兩名學生,這兩名學生恰好有一名測試成績優秀的概率為P=2××=,故C正確;對于D,P(X≥60)=+,又P(X>120)=,故從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生,該生測試成績及格的概率為+,該生測試成績優秀的概率為,則在已知該生測試成績及格的條件下,該生測試成績優秀的概率為=,故D正確.故選BCD.
12.解析:根據題意得P(B)==,P(AB)==,所以P(A|B)==.
答案:
13.解析:由題意知,每一盆至少長出三株花苗包括“恰好長出三株花苗”和“長出四株花苗”兩種情況,其概率為×0.84+×(1-0.8)×0.83=0.819 2,即一盆花苗能被評為“陽光小組”的概率為0.819 2,且被評為“陽光小組”的盆數X服從二項分布B(500,0.819 2),所以500盆花苗中能被評為“陽光小組”的有500×0.819 2=409.6≈410.
答案:410
14.解析:對于說法①,江先生乘坐公交的時間不大于43分鐘才不會遲到,因為P(Y≤43)43)>1-0.998 65=0.001 35,所以“江先生8:00出門,乘坐公交上班遲到”還是有可能發生的,所以說法①不合理.
對于說法②,若江先生乘坐地鐵上班,則其乘坐地鐵的時間不大于48分鐘才不會遲到,因為P(44-4≤Z≤44+4)≈0.954 5,所以P(Z≤48)≈0.5+0.954 5×0.5=0.977 25,所以“江先生8:02出門,乘坐地鐵上班不遲到”發生的可能性約為0.977 25;若江先生乘坐公交上班,則其乘坐公交的時間不大于41分鐘才不會遲到,因為P(33-8≤Y≤33+8)≈0.954 5,所以P(Y≤41)≈0.5+0.954 5×0.5=0.977 25,所以“江先生8:02出門,乘坐公交上班不遲到”發生的可能性約為0.977 25,二者可能性相近,所以說法②不合理.
對于說法③,若江先生乘坐公交上班,則其乘坐公交的時間不大于37分鐘才不會遲到,因為P(33-4≤Y≤33+4)≈0.682 7,所以P(Y≤37)≈0.5+0.5×0.682 7=0.841 35,所以“江先生8:06出門,乘坐公交上班不遲到”發生的可能性約為0.841 35;若江先生乘坐地鐵上班,則其乘坐地鐵的時間不大于44分鐘才不會遲到,因為P(Z≤44)=0.5,所以“江先生8:06出門,乘坐地鐵上班不遲到”發生的可能性為0.5,又0.841 35>0.5,所以說法③合理.
對于說法④,江先生乘坐地鐵的時間不大于38分鐘才不會遲到,因為P(44-6≤Z≤44+6)≈0.997 3,所以P(Z≤38)≈(1-0.997 3)×0.5=0.001 35,所以“江先生8:12出門,乘坐地鐵上班不遲到”發生的可能性約為0.001 35,非常小,所以說法④合理.
所以四個說法中合理的是③④.
答案:③④
15.解:(1)設B=“任取一個零件是次品”,A甲=“零件為甲車床加工”,A乙=“零件為乙車床加工”,A丙=“零件為丙車床加工”,則A甲,A乙,A丙兩兩互斥.
由題意得P(A甲)=0.25,P(A乙)=0.3,P(A丙)=0.45,P(B|A甲)=0.06,P(B|A乙)=P(B|A丙)=0.05,所以P(B)=P(A甲)·P(B|A甲)+P(A乙)P(B|A乙)+P(A丙)·P(B|A丙)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5.
(2)由題意得P(A丙|B)===.
16.解:(1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==.
(2)由題意可知X的可能取值為0,1,2,
P(X=0)=0.7+0.2×+0.1×=,
P(X=1)=0.2×+0.1×=,
P(X=2)=0.1×=.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)由題意知,P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.7×1+0.2×+0.1×=,
按照主任所設計的方案購買的一箱粉筆中,箱中每盒粉筆都是優質產品的概率為P(B0|A)===,
因為100×-100×0.7≈6<10,所以該方案無效.
17.解:(1)元件A為正品的概率約為=.
元件B為正品的概率約為=.
(2)①因為生產1件元件A和1件元件B可以分為四種情況:A正B正,A次B正,A正B次,A次B次.
所以隨機變量X的所有取值為90,45,30,-15.
因為P(X=90)=×=;
P(X=45)=×=;
P(X=30)=×=;
P(X=-15)=×=.
所以隨機變量X的分布列為
X 90 45 30 -15
P
E(X)=90×+45×+30×+(-15)×=66.
②設生產的5件元件B中正品有n件,則次品有(5-n)件.
依題意得50n-10(5-n)≥140,解得n≥.
所以n=4或n=5.
設“生產5件元件B所獲得的利潤不少于140元”為事件A,則P(A)=×+=.
18.解:(1)在1,2,3,4中,奇數與偶數各有兩個,所以a2,a4中的奇數個數等于a1,a3中的偶數個數.因為|1-a1|+|3-a3|與|2-a2|+|4-a4|的奇偶數相同,從而X=(|1-a1|+|3-a3|)+(|2-a2|+|4-a4|)必為偶數.又X的值非負,且易知其值不大于8,故X的可能取值的集合為{0,2,4,6,8}.
(2)可用列表或樹狀圖列出1,2,3,4的24種排列,計算每種排列下的X的值,在等可能的假定下,得到X的分布列為
X 0 2 4 6 8
P
(3)①P(X≤2)=P(X=0)+P(X=2)==.
將三輪測試都有X≤2的概率記為P,則P==.
②P=<是一個很小的概率,這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有X≤2的結果的可能性很小,所以我們認為該品酒師有良好的酒味鑒別功能,不是隨機猜測.
19.解:(1)①該二維離散型隨機變量(ξ,η)的所有可能取值為(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).
②依題意,0≤m+n≤3,P(ξ=m,η=n)=P(ξ=m|η=n)·P(η=n),
顯然P(η=n)=,
則P(ξ=m|η=n)==,所以P(ξ=m,η=n)=··
==.
(2) 證明：由定義及全概率公式知，
P(ξ=ai)=P{(ξ=ai)∩[(η=b1)∪(η=b2)∪…∪(η=bj)∪…]}=P{[(ξ=ai)∩(η=b1)]∪[(ξ=ai)∩(η=b2)]∪…∪[(ξ=ai)∩(η=bj)]∪…}=P[(ξ=ai)∩(η=b1)]+P[(ξ=ai)∩(η=b2)]+…+P[(ξ=ai)∩(η=bj)]+…=P[(ξ=ai)∩(η=bj)]=P(ξ=ai，η=bj)=pij.
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