資源簡介

8.2　一元線性回歸模型及其應用
第1課時　一元線性回歸模型及其應用(概念課逐點理清式教學)
課時目標
1.了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法,建立一元線性回歸模型進行預測.
2.了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念.
3.會通過殘差分析一元線性回歸模型的擬合效果.
逐點清(一)　一元線性回歸模型
[多維度理解]
　　我們稱為Y關于x的　　　　　　　模型.其中,Y稱為　　　　或　　　　　　,x稱為　　　　或　　　　　;a和b為模型的未知參數,a稱為　　　參數,b稱為　　　　參數;e是Y與bx+a之間的　　　　　.
[細微點練明]
1.[多選]在線性回歸模型Y=bx+a+e中,下列說法不正確的是 (　　)
A.Y=bx+a+e是一次函數
B.響應變量Y是由解釋變量x唯一確定的
C.響應變量Y除了受解釋變量x的影響外,可能還受到其他因素的影響,這些因素會導致隨機誤差e的產生
D.隨機誤差e是由于計算不準確造成的,可通過精確計算避免隨機誤差e的產生
2.某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程=bx+a+e(單位:億元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年該地區財政收入10億元,則今年支出預計不會超過　　　　億.
3.判斷下列變量間哪些能用函數模型刻畫,哪些能用回歸模型刻畫
(1)某公司的銷售收入和廣告支出;
(2)某城市寫字樓的出租率和每平方米月租金;
(3)航空公司的顧客投訴次數和航班正點率;
(4)某地區的人均消費水平和人均國內生產總值(GDP);
(5)學生期末考試成績和考前用于復習的時間;
(6)一輛汽車在某段路程中的行駛速度和行駛時間;
(7)正方形的面積與周長.
逐點清(二)　最小二乘法和經驗回歸方程
[多維度理解]
　　我們將=x+稱為Y關于x的　　　　　　　　　　　,也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式,其圖形稱為　　　　　　　　　　.這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估計,其中
微點助解
(1)經驗回歸直線過點(,).
(2)經驗回歸直線的截距和斜率都是通過樣本估計而得的,存在著誤差,這種誤差可能導致預報結果的偏差.
(3)經驗回歸方程=+x中的表示x增加1個單位時,y的平均變化量為,而表示y不隨x的變化而變化的部分.
[細微點練明]
1.某單位為了了解辦公樓用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關系,隨機統計了四個工作日的用電量與當天平均氣溫,并制作了對照表:
氣溫x/℃ 18 13 10 -1
用電量y/度 24 34 38 64
由表中數據得到經驗回歸方程=-2x+,則當氣溫為-3 ℃時,預測用電量為 (　　)
A.68度 B.66度
C.28度 D.12度
2.若根據變量x與y的對應關系(如表),求得y關于x的經驗回歸方程為=6.5x+17.5,則表中m的值為 (　　)
x 2 4 5 6 8
y 30 40 m 50 70
A.60 B.55
C.50 D.45
3.某地隨著經濟的發展,居民收入逐年增長,該地一銀行連續五年年底的儲蓄存款情況如表所示.
年份x 2019 2020 2021 2022 2023
儲蓄存款額 y/千億元 5 6 7 8 10
為了計算方便,工作人員將上表的數據進行了處理,令t=x-2 018,z=y-5,得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1)作z關于t的散點圖,求z關于t的經驗回歸方程;
(2)通過(1)中的方程,求出y關于x的回歸方程.
逐點清(三)　線性回歸分析
[多維度理解]
1.殘差與殘差分析
(1)對于響應變量Y,通過觀測得到的數據稱為觀測值,通過經驗回歸方程得到的稱為預測值,觀測值減去預測值所得到的差稱為　　　.殘差是隨機誤差的估計結果,通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果,以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等,這方面工作稱為　　　　　.
(2)殘差圖中,若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域內,帶狀區域　　　,則說明擬合效果越好.
微點助解
　　在使用經驗回歸方程進行預測時,需要注意的問題:
(1)經驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體.
(2)所建立的經驗回歸方程一般都有時效性.
(3)解釋變量的取值不能離樣本數據的范圍太遠.一般解釋變量的取值在樣本數據范圍內,經驗回歸方程的預報效果會比較好,超出這個范圍越遠,預報的效果越差.
(4)不能期望經驗回歸方程得到的預報值就是響應變量的精確值.
2.決定系數
(1)殘差平方和 (yi-)2越　　　,模型的擬合效果越　　　.
(2) R2的計算公式為R2＝1－.在R2表達式中， (yi－)2與經驗回歸方程無關，殘差平方和 (yi－i)2與經驗回歸方程有關．因此R2越大,表示殘差平方和　　　,即模型的擬合效果　　　;R2越小,表示殘差平方和越大,即模型的擬合效果　　　.
[細微點練明]
1.[多選]對變量y和x的一組成對樣本數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)進行回歸分析,建立回歸模型,則 (　　)
A.殘差平方和越大,模型的擬合效果越好
B.在做線性回歸分析時,殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回歸效果越好
C.用決定系數R2來刻畫回歸效果,R2越小,說明模型的擬合效果越好
D.若y和x的樣本相關系數r=-0.95,則y和x之間具有很強的負線性相關關系
2.對變量x,y進行回歸分析時,依據得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖,則下列模型擬合精度最高的是 (　　)
3.已知一系列樣本點(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的經驗回歸方程為=2x+a,若樣本點(r,1)與(1,s)的殘差相同,則有 (　　)
A.r=s B.s=2r
C.s=-2r+3 D.s=2r+1
4.假定小麥基本苗數x與成熟期有效穗y之間存在相關關系,今測得5組數據如下:
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法計算得經驗回歸方程=0.29x+34.7.
(1)計算各組殘差,并計算殘差平方和;
(2)求R2,并說明回歸模型擬合效果的好壞.
第1課時　一元線性回歸模型及其應用
[逐點清(一)]
[多維度理解]　一元線性回歸　因變量　響應變量　自變量　解釋變量　截距　斜率　隨機誤差
[細微點練明]
1.選ABD　對于A,線性回歸模型Y=bx+a+e中,方程表示的不是確定性關系,因此不是一次函數,所以A錯誤;對于B,響應變量Y不是由解釋變量x唯一確定的,所以B錯誤;對于C,響應變量Y除了受解釋變量x的影響外,可能還受到其他因素的影響,這些因素會導致隨機誤差e的產生,所以C正確;對于D,隨機誤差是不能避免的,只能將誤差縮小,所以D錯誤.
2.解析:由題設,=0.8x+2+e,∴當x=10時,=10+e,又|e|≤0.5,即-0.5≤e≤0.5,∴9.5≤≤10.5,故今年支出預計不會超過10.5億.
答案:10.5
3.解:(1)(2)(3)(4)(5)屬于回歸模型,(6)(7)屬于函數模型.
[逐點清(二)]
[多維度理解]　經驗回歸方程　經驗回歸直線　-
[細微點練明]
1.選B　由表中數據可知==10,==40,所以經驗回歸直線=-2x+過點(10,40),即40=-2×10+,得=60,則經驗回歸方程為=-2x+60,當x=-3時,=-2×(-3)+60=66.
2.選A　由表中數據,得=×(2+4+5+6+8)=5,=×(30+40+m+50+70)=38+,因為經驗回歸直線=6.5x+17.5過點,所以38+=6.5×5+17.5,解得m=60.
3.解:(1)作散點圖,直觀看z與t具有線性相關關系.
根據z關于t的表格數據,得
=×(1+2+3+4+5)=3,
=×(0+1+2+3+5)=2.2,
且tizi＝45，t＝55，
所以＝＝＝1.2，＝－＝2.2－1.2×3＝－1.4.
所以z關于t的經驗回歸方程為=1.2t-1.4.
(2)由(1)知=1.2t-1.4,代入t=x-2 018,z=y-5,得-5=1.2(x-2 018)-1.4,即=1.2x-2 418.
故y關于x的回歸方程為=1.2x-2 418.
[逐點清(三)]
[多維度理解]　1.(1)殘差　殘差分析　(2)越窄　2.(1)小　好　(2)越小　越好　越差
[細微點練明]
1.選BD　因為殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,故A錯誤;在做線性回歸分析時,殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回歸效果越好,故B正確;因為決定系數R2越接近1,說明模型的擬合效果越好,故C錯誤;由樣本相關系數為負且接近-1,可知y和x之間具有很強的負線性相關關系,故D正確.
2.選A　用殘差圖判斷模型的擬合效果,殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中,說明這樣的模型比較合適,帶狀區域的寬度越窄,說明模型的擬合精度越高.
3.選C　樣本點(r,1)的殘差為1-2r-a,樣本點(1,s)的殘差為s-a-2.依題意得1-2r-a=s-a-2,故s=-2r+3.
4.解: (1)由i＝xi＋，可以算得i＝yi－i.
分別為1＝0.35，2＝0.718，3＝－0.5，4＝－2.214，5＝1.624，所以殘差平方和為 (i)2≈8.43.
(2)因為 (yi－)2＝50.18，
故R2＝1－≈1－≈0.832，
所以回歸模型的擬合效果較好．
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8.2
一元線性回歸模型及其應用
一元線性回歸模型及其應用
(概念課——逐點理清式教學)
第1課時
課時目標
1.了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法,建立一元線性回歸模型進行預測.
2.了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念.
3.會通過殘差分析一元線性回歸模型的擬合效果.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　一元線性回歸模型
逐點清(二)　最小二乘法和
經驗回歸方程
逐點清(三)　線性回歸分析
4
課時跟蹤檢測
逐點清(一)　一元線性回歸模型
01
多維度理解
我們稱為Y關于x的______________模型.其中,Y稱為_________或___________,x稱為________或___________；a和b為模型的未知參數,a稱為______參數,b稱為_______參數；e是Y與bx+a之間的___________.
一元線性回歸
因變量
響應變量
自變量
解釋變量
截距
斜率
隨機誤差
細微點練明
1.[多選]在線性回歸模型Y=bx+a+e中,下列說法不正確的是 (　　)
A.Y=bx+a+e是一次函數
B.響應變量Y是由解釋變量x唯一確定的
C.響應變量Y除了受解釋變量x的影響外,可能還受到其他因素的影響,這些因素會導致隨機誤差e的產生
D.隨機誤差e是由于計算不準確造成的,可通過精確計算避免隨機誤差e的產生
√
√
√
解析:對于A,線性回歸模型Y=bx+a+e中,方程表示的不是確定性關系,因此不是一次函數,所以A錯誤；對于B,響應變量Y不是由解釋變量x唯一確定的,所以B錯誤；對于C,響應變量Y除了受解釋變量x的影響外,可能還受到其他因素的影響,這些因素會導致隨機誤差e的產生,所以C正確；對于D,隨機誤差是不能避免的,只能將誤差縮小,所以D錯誤.
2.某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程=bx+a+e(單位:億元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年該地區財政收入10億元,則今年支出預計不會超過_______億.
解析:由題設,=0.8x+2+e,∴當x=10時,=10+e,又|e|≤0.5,即-0.5≤e≤0.5,
∴9.5≤≤10.5,故今年支出預計不會超過10.5億.
10.5
3.判斷下列變量間哪些能用函數模型刻畫,哪些能用回歸模型刻畫
(1)某公司的銷售收入和廣告支出；
(2)某城市寫字樓的出租率和每平方米月租金；
(3)航空公司的顧客投訴次數和航班正點率；
(4)某地區的人均消費水平和人均國內生產總值(GDP)；
(5)學生期末考試成績和考前用于復習的時間；
(6)一輛汽車在某段路程中的行駛速度和行駛時間；
(7)正方形的面積與周長.
解:(1)(2)(3)(4)(5)屬于回歸模型,(6)(7)屬于函數模型.
逐點清(二)　最小二乘法和
經驗回歸方程
02
多維度理解
我們將=x+稱為Y關于x的________________,也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式,其圖形稱為________________.這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估計, 其中
經驗回歸方程
經驗回歸直線
微點助解
(1)經驗回歸直線過點(,).
(2)經驗回歸直線的截距和斜率都是通過樣本估計而得的,存在著誤差,這種誤差可能導致預報結果的偏差.
(3)經驗回歸方程=+x中的表示x增加1個單位時,y的平均變化量為,而表示y不隨x的變化而變化的部分.
細微點練明
1.某單位為了了解辦公樓用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關系,隨機統計了四個工作日的用電量與當天平均氣溫,并制作了對照表:
由表中數據得到經驗回歸方程=-2x+,則當氣溫為-3 ℃時,預測用電量為(　　)
A.68度 B.66度 C.28度 D.12度
氣溫x/℃ 18 13 10 -1
用電量y/度 24 34 38 64
√
解析:由表中數據可知==10,==40,所以經驗回歸直線=-2x+過點(10,40),即40=-2×10+,得=60,則經驗回歸方程為=-2x+60,當x=-3時,=-2×(-3)+60=66.
2.若根據變量x與y的對應關系(如表),求得y關于x的經驗回歸方程為=6.5x+17.5,則表中m的值為(　　)
√
x 2 4 5 6 8
y 30 40 m 50 70
A.60 B.55
C.50 D.45
解析:由表中數據,得=×(2+4+5+6+8)=5,=×(30+40+m+50+70)
=38+,因為經驗回歸直線=6.5x+17.5過點,
所以38+=6.5×5+17.5,解得m=60.
3.某地隨著經濟的發展,居民收入逐年增長,該地一銀行連續五年年底的儲蓄存款情況如表所示.
年份x 2019 2020 2021 2022 2023
儲蓄存款額 y/千億元 5 6 7 8 10
為了計算方便,工作人員將上表的數據進行了處理,令t=x-2 018,z=y-5,得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1)作z關于t的散點圖,求z關于t的經驗回歸方程；
解:作散點圖,直觀看z與t具有線性相關關系.
根據z關于t的表格數據,
得=×(1+2+3+4+5)=3,
=×(0+1+2+3+5)=2.2,
(2)通過(1)中的方程,求出y關于x的回歸方程.
解:由(1)知=1.2t-1.4,代入t=x-2 018,z=y-5,
得-5=1.2(x-2 018)-1.4,
即=1.2x-2 418.
故y關于x的回歸方程為=1.2x-2 418.
逐點清(三)　線性回歸分析
03
多維度理解
1.殘差與殘差分析
(1)對于響應變量Y,通過觀測得到的數據稱為觀測值,通過經驗回歸方程得到的稱為預測值,觀測值減去預測值所得到的差稱為______.殘差是隨機誤差的估計結果,通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果,以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等,這方面工作稱為___________.
(2)殘差圖中,若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域內,帶狀區域_____,則說明擬合效果越好.
殘差
殘差分析
越窄
微點助解
　　在使用經驗回歸方程進行預測時,需要注意的問題:
(1)經驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體.
(2)所建立的經驗回歸方程一般都有時效性.
(3)解釋變量的取值不能離樣本數據的范圍太遠.一般解釋變量的取值在樣本數據范圍內,經驗回歸方程的預報效果會比較好,超出這個范圍越遠,預報的效果越差.
(4)不能期望經驗回歸方程得到的預報值就是響應變量的精確值.
R2越大,表示殘差平方和______,即模型的擬合效果_____；R2越小,表示殘差平方和越大,即模型的擬合效果______.
小
好
越小
越好
越差
1.[多選]對變量y和x的一組成對樣本數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)進行回歸分析,建立回歸模型,則 (　　)
A.殘差平方和越大,模型的擬合效果越好
B.在做線性回歸分析時,殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回歸效果越好
C.用決定系數R2來刻畫回歸效果,R2越小,說明模型的擬合效果越好
D.若y和x的樣本相關系數r=-0.95,則y和x之間具有很強的負線性相關關系
細微點練明
√
√
解析:因為殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,故A錯誤；在做線性回歸分析時,殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回歸效果越好,故B正確；因為決定系數R2越接近1,說明模型的擬合效果越好,故C錯誤；由樣本相關系數為負且接近-1,可知y和x之間具有很強的負線性相關關系,故D正確.
2.對變量x,y進行回歸分析時,依據得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖,則下列模型擬合精度最高的是 (　　)
√
解析:用殘差圖判斷模型的擬合效果,殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中,說明這樣的模型比較合適,帶狀區域的寬度越窄,說明模型的擬合精度越高.
3.已知一系列樣本點(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的經驗回歸方程為=2x+a,若樣本點(r,1)與(1,s)的殘差相同,則有(　　)
A.r=s B.s=2r
C.s=-2r+3 D.s=2r+1
解析:樣本點(r,1)的殘差為1-2r-a,樣本點(1,s)的殘差為s-a-2.依題意得1-2r-a=s-a-2,故s=-2r+3.
√
4.假定小麥基本苗數x與成熟期有效穗y之間存在相關關系,今測得5組數據如下:
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法計算得經驗回歸方程=0.29x+34.7.
(1)計算各組殘差,并計算殘差平方和；
(2)求R2,并說明回歸模型擬合效果的好壞.
課時跟蹤檢測
04
1
3
4
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6
7
8
9
10
11
12
2
1.在兩個變量y與x的回歸模型中,分別選擇了4個不同的模型,它們的R2如下,其中擬合效果最好的模型是 (　　)
√
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
R2 0.98 0.80 0.50 0.25
A.模型1 B.模型2
C.模型3 D.模型4
解析:決定系數R2=0.98最大,擬合效果最好.
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2
3
4
2.在一次試驗中,測得(x,y)的四組值分別是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y關于x的經驗回歸方程為 (　　)
A.=x+1 B.=x+2
C.=2x+1 D.=x-1
解析:易求=2.5,=3.5,且=1,所以=3.5-1×2.5=1,因此經驗回歸方程為=x+1.
√
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3
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2
3.兩個線性相關變量x與y的統計數據如表所示:
其經驗回歸方程是=x+40,則相對應于點(11,5)的殘差為(　　)
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
√
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
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3
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2
解析:由于=x+40過樣本中心點(10,8),所以8=10+40,則=-3.2,因此=-3.2x+40.當x=11時,=-3.2×11+40=4.8,所以殘差=5-=5-4.8=0.2.
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4.根據變量Y和x的成對樣本數據,由一元線性回歸模型
得到經驗回歸方程=x+,對應的殘差如圖所示,模型誤差(　　)
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3
4
2
A.滿足一元線性回歸模型的所有假設
B.滿足回歸模型E(e)=0的假設
C.滿足回歸模型D(e)=σ2的假設
D.不滿足回歸模型E(e)=0和D(e)=σ2的假設
解析:由殘差圖可以看出,圖中的殘差點不能擬合成一條直線,且不滿足D(e)=σ2.
√
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2
5.[多選]已知變量x,y之間的經驗回歸方程為=-0.7x+10.3,且變量x,y之間的一組相關數據如下表所示,則下列說法正確的是(　　)
√
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.變量x,y之間呈負相關關系
B.m=4
C.可以預測,當x=11時,y約為2.6
D.由表格數據知,該經驗回歸直線必過點(9,4)
√
√
1
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3
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2
解析:由=-0.7x+10.3,得=-0.7,故x,y呈負相關關系,則A正確.
==9,=-0.7×9+10.3=4=,解得m=5,B錯誤.當x=11時,y的預測值為2.6,故C正確.=9,=4,故經驗回歸直線必過點(9,4),
則D正確.
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2
7.[多選]設(x1,y1),(x2,y2),…,(x2 024,y2 024)是變量x和y的2 024
個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的
經驗回歸直線,如圖所示,下列結論正確的是 (　　)
A.直線l過點(,)
B.直線l過點(x1 012,y1 012)
C.x和y的樣本相關系數在區間[-1,0)上
D.因為2 024是偶數,所以分布在直線l兩側的樣本點的個數一定相同
√
√
1
5
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解析:經驗回歸直線一定過樣本中心點,但不一定過某個樣本點,故A正確,B錯誤；由題圖可知x和y的樣本相關系數在區間[-1,0)上,故C正確；不能因為2 024是偶數就斷定分布在直線l兩側的樣本點的個數相同,故D錯誤.
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8.[多選]已知兩個變量y與x線性相關,為研究其具體的線性關系進行了10次試驗.試驗中不慎丟失2個數據點,根據剩余的8個數據點求得的經驗回歸方程為=3x+4.5,且=4,又增加了2次試驗,得到2個數據點(2,11),
(6,22),根據這10個數據點重新求得經驗回歸方程為=mx+n(其中m,
n∈R),則(　　)
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A.變量y與x正相關
B.m<3
C.n<4.5
D.經驗回歸直線=mx+n經過點(4,16.5)
√
√
√
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解析:設A(2,11),B(6,22),由kAB=<3,而8個數據點的經驗回歸
方程中=3,∴0==16.5,∴經驗回歸直線過定點(4,16.5),
則16.5=4m+n,n=16.5-4m,0<16.5,即4.51
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9.為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系,下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位:h)與當天投籃命中率y之間的關系:
時間x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李這5天的平均投籃命中率為______,用線性回歸分析的方法,預測小李該月6號打6 h籃球的投籃命中率為_______.
0.5
0.53
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解析:===0.5,==3.由公式得=0.01,從而=-=0.5-0.01×3=0.47,所以經驗回歸方程為=0.47+0.01x,所以當x=6時,=0.47+0.01×6=0.53.
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10.某工廠為研究某種產品產量x(噸)與所需某種原料y(噸)的相關性,在生產過程中收集4組對應數據(x,y)如表所示:
x 3 4 6 7
y 2.5 3 4 m
根據表中數據,得出y關于x的經驗回歸方程為=0.7x+.據此計算出在樣本(4,3)處的殘差為-0.15,則表中m的值為______.
5.9
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解析:根據樣本(4,3)處的殘差為-0.15,即3-(0.7×4+)=-0.15,可得=0.35,故經驗回歸方程為=0.7x+0.35,又由樣本數據的平均數為=
=5,=,所以0.7×5+0.35=,解得m=5.9.
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(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；
解：由于變量y的值隨x值的增加而增加(=0.3>0),故x與y之間是正相關.
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解：將x=7代入經驗回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為=0.3×7-0.4=1.7(千元).
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12.假設關于某設備的使用年限x(單位:年)和支出的維修費用y(單位:萬元),有如表的統計資料:
使用年限x/年 2 3 4 5 6
維修費用y/萬元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由資料知y對x呈線性相關關系,試求:
(1)經驗回歸方程=x+；
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(2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少
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(3)計算殘差平方和；
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(4)求R2并說明模型的擬合效果.課時跟蹤檢測(二十四)　一元線性回歸模型及其應用
1.在兩個變量y與x的回歸模型中,分別選擇了4個不同的模型,它們的R2如下,其中擬合效果最好的模型是 (　　)
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
R2 0.98 0.80 0.50 0.25
A.模型1 B.模型2
C.模型3 D.模型4
2.在一次試驗中,測得(x,y)的四組值分別是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y關于x的經驗回歸方程為 (　　)
A.=x+1 B.=x+2
C.=2x+1 D.=x-1
3.兩個線性相關變量x與y的統計數據如表所示:
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
其經驗回歸方程是=x+40,則相對應于點(11,5)的殘差為 (　　)
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
4.根據變量Y和x的成對樣本數據,由一元線性回歸模型得到經驗回歸方程=x+,對應的殘差如圖所示,模型誤差 (　　)
A.滿足一元線性回歸模型的所有假設
B.滿足回歸模型E(e)=0的假設
C.滿足回歸模型D(e)=σ2的假設
D.不滿足回歸模型E(e)=0和D(e)=σ2的假設
5.[多選]已知變量x,y之間的經驗回歸方程為=-0.7x+10.3,且變量x,y之間的一組相關數據如下表所示,則下列說法正確的是 (　　)
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.變量x,y之間呈負相關關系
B.m=4
C.可以預測,當x=11時,y約為2.6
D.由表格數據知,該經驗回歸直線必過點(9,4)
6.為了研究某班學生的聽力成績x(單位:分)與筆試成績y(單位:分)的關系,從該班隨機抽取20名學生,根據散點圖發現x與y之間有線性關系,設其經驗回歸方程為=x+,已知xi＝400，yi＝1 580，=-1,若該班某學生的聽力成績為26,據此估計其筆試成績約為 (　　)
A.99 B.101 C.103 D.105
7.[多選]設(x1,y1),(x2,y2),…,(x2 024,y2 024)是變量x和y的2 024個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的經驗回歸直線,如圖所示,下列結論正確的是 (　　)
A.直線l過點(,)
B.直線l過點(x1 012,y1 012)
C.x和y的樣本相關系數在區間[-1,0)上
D.因為2 024是偶數,所以分布在直線l兩側的樣本點的個數一定相同
8.[多選]已知兩個變量y與x線性相關,為研究其具體的線性關系進行了10次試驗.試驗中不慎丟失2個數據點,根據剩余的8個數據點求得的經驗回歸方程為=3x+4.5,且=4,又增加了2次試驗,得到2個數據點(2,11),(6,22),根據這10個數據點重新求得經驗回歸方程為=mx+n(其中m,n∈R),則 (　　)
A.變量y與x正相關
B.m<3
C.n<4.5
D.經驗回歸直線=mx+n經過點(4,16.5)
9.為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系,下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位:h)與當天投籃命中率y之間的關系:
時間x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李這5天的平均投籃命中率為　　　　,用線性回歸分析的方法,預測小李該月6號打6 h籃球的投籃命中率為　　　　.
10.某工廠為研究某種產品產量x(噸)與所需某種原料y(噸)的相關性,在生產過程中收集4組對應數據(x,y)如表所示:
x 3 4 6 7
y 2.5 3 4 m
根據表中數據,得出y關于x的經驗回歸方程為=0.7x+.據此計算出在樣本(4,3)處的殘差為-0.15,則表中m的值為　　　　.
11.從某居民區隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數據資料, 算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720.
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的經驗回歸方程=x+;
(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關;
(3)若該居民區某家庭月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄.
附：經驗回歸方程＝x＋中，＝，＝－，其中，為樣本平均值．
12.假設關于某設備的使用年限x(單位:年)和支出的維修費用y(單位:萬元),有如表的統計資料:
使用年限x/年 2 3 4 5 6
維修費用y/萬元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由資料知y對x呈線性相關關系,試求:
(1)經驗回歸方程=x+;
(2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少
(3)計算殘差平方和;
(4)求R2并說明模型的擬合效果.
參考數據：xiyi＝112.3， (yi－)2＝15.78.
課時跟蹤檢測(二十四)
1.選A　決定系數R2=0.98最大,擬合效果最好.
2.選A　易求=2.5,=3.5,且=1,所以=3.5-1×2.5=1,因此經驗回歸方程為=x+1.
3.選B　由于=x+40過樣本中心點(10,8),所以8=10+40,則=-3.2,因此=-3.2x+40.當x=11時,=-3.2×11+40=4.8,所以殘差=5-=5-4.8=0.2.
4.選D　由殘差圖可以看出,圖中的殘差點不能擬合成一條直線,且不滿足D(e)=σ2.
5.選ACD　由=-0.7x+10.3,得=-0.7,故x,y呈負相關關系,則A正確.==9,=-0.7×9+10.3=4=,解得m=5,B錯誤.當x=11時,y的預測值為2.6,故C正確.=9,=4,故經驗回歸直線必過點(9,4),則D正確.
6. 選C　xi＝400，故＝＝20；yi＝1 580，故＝＝79，故點(20,79)在經驗回歸直線上，即79＝20－1，得＝4，即＝4x－1，當x＝26時，代入計算得到＝103.
7.選AC　經驗回歸直線一定過樣本中心點,但不一定過某個樣本點,故A正確,B錯誤;由題圖可知x和y的樣本相關系數在區間[-1,0)上,故C正確;不能因為2 024是偶數就斷定分布在直線l兩側的樣本點的個數相同,故D錯誤.
8.選ABD　設A(2,11),B(6,22),由kAB=<3,而8個數據點的經驗回歸方程中=3,∴09.解析:===0.5,==3.由公式得=0.01,從而=-=0.5-0.01×3=0.47,所以經驗回歸方程為=0.47+0.01x,所以當x=6時,=0.47+0.01×6=0.53.
答案:0.5　0.53
10.解析:根據樣本(4,3)處的殘差為-0.15,即3-(0.7×4+)=-0.15,可得=0.35,故經驗回歸方程為=0.7x+0.35,又由樣本數據的平均數為==5,=,所以0.7×5+0.35=,解得m=5.9.
答案:5.9
11.解: (1)由題意，知n＝10，＝xi＝＝8，
＝yi＝＝2，
又x－102＝720－10×82＝80，
xiyi－10　＝184－10×8×2＝24，則＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求經驗回歸方程為＝0.3x－0.4.
(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(=0.3>0),故x與y之間是正相關.
(3)將x=7代入經驗回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為=0.3×7-0.4=1.7(千元).
12.解: (1)由統計表格，易知＝4，＝5，x＝90.
又xiyi＝112.3.
設經驗回歸方程為＝x＋，
于是有＝＝＝1.23，＝－＝5－1.23×4＝0.08，
所以經驗回歸方程是＝1.23x＋0.08.
(2)當x=10時,=1.23×10+0.08=12.38,
估計使用年限為10年時維修費用是12.38萬元.
(3)因為1＝2.46＋0.08＝2.54，
2＝3.77，3＝5，4＝6.23，5＝7.46，
所以殘差平方和 (yi－i)2＝0.651.
(4)R2＝1－＝1－≈0.958 7，
模型的擬合效果較好．
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