資源簡介

第2課時　一元線性回歸模型的綜合問題
(深化課題型研究式教學)
課時目標
進一步學習一元線性回歸分析,能用擬合效果分析非線性回歸問題,掌握非線性回歸模型的求解過程.
題型(一)　經驗回歸方程
[例1]　一臺還可以用的機器由于使用的時間較長,按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺陷,每小時生產有缺陷零件的數量隨機器轉速的變化而變化,下表為抽樣試驗結果:
轉速x/(轉/秒) 16 14 12 8
每小時生產有缺陷零件的數量y/個 11 9 8 5
(1)畫出散點圖;
(2)如果變量x和y線性相關,求y關于x的經驗回歸方程=x+;
(3)若實際生產中,允許每小時生產的產品中有缺陷的零件最多有10個,機器的轉速應控制在什么范圍內
聽課記錄:
[思維建模]
求經驗回歸方程的步驟
(1)計算平均數，.
(2)計算xi與yi的積，求xiyi.
(3)計算x.
(4)將結果代入公式＝求.
(5)用=-,求.
(6)寫出經驗回歸方程.
　　[針對訓練]
1.某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究,2023年12月1日至12月5日的晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數如下表所示:
日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日
溫差x/℃ 10 11 13 12 8
發芽數y 23 25 30 26 16
該農科所確定的研究方案如下:先從這5組數據中選取2組,用剩下的3組數據求經驗回歸方程,再用被選取的2組數據進行檢驗.
(1)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據,請根據12月2日至12月4日的數據求y關于x的經驗回歸方程=x+;
(2)若由經驗回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差的絕對值不超過2,則認為得到的經驗回歸方程是可靠的,問(1)中所得到的經驗回歸方程是否可靠
(3)請預測溫差為14 ℃時的發芽率.
題型(二)　線性回歸分析
[例2]　為研究物體質量x(單位:g)對彈簧長度y(單位:cm)的影響,對不同質量的6個物體進行測量,數據如表所示:
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散點圖,并求經驗回歸方程;
(2)求出R2;
(3)進行殘差分析.
聽課記錄:
[思維建模]
對回歸模型進行回歸分析的方法
(1)殘差平方和越小,模型的擬合效果越好.
(2)決定系數R2越大,說明模型的擬合效果越好.
需要注意的是:若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件,則根據題意進行分析檢驗即可.
　　[針對訓練]
2.關于x與y有以下數據:
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
已知x與y線性相關,由最小二乘法得=6.5,
(1)求y與x的經驗回歸方程;
(2)現有第二個線性模型:=7x+17,且R2=0.82.
若與(1)的線性模型比較,哪一個線性模型擬合效果比較好,請說明理由.
題型(三)　非線性回歸分析
[例3]　某地今年上半年患某種傳染病的人數y(人)與月份x(月)之間滿足函數關系,模型為y=aebx,確定這個函數解析式.
月份x/月 1 2 3 4 5 6
人數y/人 52 61 68 74 78 83
聽課記錄:
　　[思維建模]　解決非線性回歸問題的步驟
　　[針對訓練]
3.某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動,活動設置了一段時間的推廣期,由于推廣期內優惠力度較大,越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統計了活動剛推出一周內每天使用掃碼支付的人次,用x表示活動推出的天數,y(單位:十)表示每天使用掃碼支付的人次,統計數據如下表所示:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
根據以上數據,繪制了如下散點圖.
(1)根據散點圖判斷,在推廣期內,y=a+bx與y=c·dx(c,d均為大于零的常數)哪一個更適合作為每天使用掃碼支付的人次y關于活動推出的天數x的回歸方程類型(給出判斷結果即可,不必說明理由);
(2)根據(1)中的判斷結果及表中的數據,求y關于x的回歸方程,并預測活動推出第8天時使用掃碼支付的人次.
參考數據:
xivi 100.54
62.14 1.54 50.12 3.47
其中vi＝lg yi，＝vi.
參考公式：對于一組數據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經驗回歸方程＝u＋中，＝，＝－.
第2課時　一元線性回歸模型的綜合問題
[題型(一)]
[例1]　解:(1)畫出散點圖,如圖所示.
(2) 由題表中數據易得＝12.5，＝8.25，xiyi＝438，x＝660，
所以＝＝≈0.728 6，
=-=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5.
故經驗回歸方程為=0.728 6x-0.857 5.
(3)由題意得0.728 6x-0.857 5≤10,
即x≤≈14.9.
故機器的轉速應不超過14.9轉/秒.
[針對訓練]
1.解: (1)利用12月2日至12月4日的數據，求得＝×(11＋13＋12)＝12，＝×(25＋30＋26)＝27，
(xi－)(yi－)＝(－1)×(－2)＋1×3＋0×(－1)＝5， (xi－)2＝(－1)2＋12＋02＝2，
所以＝＝，
=-=27-×12=-3.
所以y關于x的經驗回歸方程為=x-3.
(2)當x=10時,=×10-3=22,|22-23|<2,
當x=8時,=×8-3=17,|17-16|<2,所以(1)中所得到的經驗回歸方程是可靠的.
(3)當x=14時,=×14-3=32,
所以預測溫差為14 ℃時的發芽率為32%.
[題型(二)]
[例2]　解:(1)散點圖如圖所示,
因為＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
x＝2 275，xiyi＝1 076.2.
計算得≈0.183，≈6.285，
所以所求經驗回歸方程為＝6.285＋0.183x.
(2)列表如下:
yi- 0.05 0.005 -0.08 -0.045 0.04 0.025
yi- -2.24 -1.37 -0.54 0.41 1.41 2.31
所以 (yi－i)2≈0.013 18， (yi－)2＝14.678 4.
所以R2＝1－≈0.999 1.
(3)由殘差表中的數值可以看出第3個樣本點的殘差比較大,需要確認在采集這個數據的時候是否有人為的錯誤,如果有的話,需要糾正數據,重新建立回歸模型;由表中數據可以看出殘差點比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區域中,說明選用的回歸模型的精度較高,由以上分析可知,彈簧長度與物體質量呈線性關系.
[針對訓練]
2.解:(1)依題意設y與x的經驗回歸方程為=6.5x+.
==5,
==50,
∵=6.5x+經過(,),
∴50=6.5×5+,∴=17.5,
∴y與x的經驗回歸方程為=6.5x+17.5.
(2)由(1)的線性模型得yi-與yi-的關系如表:
yi- -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5
yi- -20 -10 10 0 20
所以(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155.(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
所以R＝1－＝1－＝0.845.
由于=0.845,R2=0.82知>R2,
所以(1)的一元線性回歸模型擬合效果比較好.
[題型(三)]
[例3]　解:設u=ln y,c=ln a,得=+x,
則u與x的數據關系如下表:
x 1 2 3 4 5 6
u=ln y 3.951 2 4.110 9 4.219 5 4.304 1 4.356 7 4.418 8
由上表，得xi＝21，ui＝25.361 2，x＝91，
xiui＝90.344 2，＝3.5，≈4.226 9，
所以＝≈0.090 2，
＝－＝4.226 9－0.090 2×3.5＝3.911 2，
所以＝3.911 2＋0.090 2x.
所以y＝e3.911 2·e0.090 2x.
[針對訓練]
3.解: (1)根據題中散點圖可知,y=c·dx更適合作為每天使用掃碼支付的人次y關于活動推出的天數x的回歸方程類型.
(2)對y＝c·dx兩邊同時取常用對數，得lg y＝lg(c·dx)＝lg c＋xlg d.
設lg y＝v，則v＝lg c＋xlg d，
由題表知＝4，x＝140，
∴lg ＝＝＝0.25，lg ＝－lg ＝1.54－4×0.25＝0.54，
∴＝0.54＋0.25x，∴lg ＝0.54＋0.25x，
∴y關于x的回歸方程為＝100.54＋0.25x＝3.47×100.25x.
把x＝8代入上式，得＝3.47×102＝347，
∴預測活動推出第8天時使用掃碼支付的人次為3 470.
4 / 4(共71張PPT)
一元線性回歸模型的綜合問題
(深化課——題型研究式教學)
第2課時
課時目標
進一步學習一元線性回歸分析,能用擬合效果分析非線性回歸問題,掌握非線性回歸模型的求解過程.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　經驗回歸方程
題型(二)　線性回歸分析
題型(三)　非線性回歸分析
4
課時跟蹤檢測
題型(一)　經驗回歸方程
01
[例1]　一臺還可以用的機器由于使用的時間較長,按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺陷,每小時生產有缺陷零件的數量隨機器轉速的變化而變化,下表為抽樣試驗結果:
轉速x/(轉/秒) 16 14 12 8
每小時生產有缺陷 零件的數量y/個 11 9 8 5
(1)畫出散點圖；
解:畫出散點圖,如圖所示.
(2)如果變量x和y線性相關,求y關于x的經驗回歸方程=x+；
=-=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5.
故經驗回歸方程為=0.728 6x-0.857 5.
(3)若實際生產中,允許每小時生產的產品中有缺陷的零件最多有10個,機器的轉速應控制在什么范圍內
解:由題意得0.728 6x-0.857 5≤10,即x≤≈14.9.
故機器的轉速應不超過14.9轉/秒.
針對訓練
1.某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究,2023年12月1日至12月5日的晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數如下表所示:
日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月
5日
溫差x/℃ 10 11 13 12 8
發芽數y 23 25 30 26 16
該農科所確定的研究方案如下:先從這5組數據中選取2組,用剩下的3組數據求經驗回歸方程,再用被選取的2組數據進行檢驗.
(1)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據,請根據12月2日至12月4日的數據求y關于x的經驗回歸方程=x+；
(2)若由經驗回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差的絕對值不超過2,則認為得到的經驗回歸方程是可靠的,問(1)中所得到的經驗回歸方程是否可靠
解：當x=10時,=×10-3=22,|22-23|<2,
當x=8時,=×8-3=17,|17-16|<2,
所以(1)中所得到的經驗回歸方程是可靠的.
(3)請預測溫差為14 ℃時的發芽率.
解：當x=14時,=×14-3=32,
所以預測溫差為14 ℃時的發芽率為32%.
題型(二)　線性回歸分析
02
[例2]　為研究物體質量x(單位:g)對彈簧長度y(單位:cm)的影響,對不同質量的6個物體進行測量,數據如表所示:
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散點圖,并求經驗回歸方程；
解:散點圖如圖所示,
(2)求出R2；
解:列表如下:
yi- 0.05 0.005 -0.08 -0.045 0.04 0.025
yi- -2.24 -1.37 -0.54 0.41 1.41 2.31
(3)進行殘差分析.
解:由殘差表中的數值可以看出第3個樣本點的殘差比較大,需要確認在采集這個數據的時候是否有人為的錯誤,如果有的話,需要糾正數據,重新建立回歸模型；由表中數據可以看出殘差點比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區域中,說明選用的回歸模型的精度較高,由以上分析可知,彈簧長度與物體質量呈線性關系.
[思維建模]
對回歸模型進行回歸分析的方法
(1)殘差平方和越小,模型的擬合效果越好.
(2)決定系數R2越大,說明模型的擬合效果越好.
需要注意的是:若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件,則根據題意進行分析檢驗即可.
針對訓練
2.關于x與y有以下數據:
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
已知x與y線性相關,由最小二乘法得=6.5,
(1)求y與x的經驗回歸方程；
解:依題意設y與x的經驗回歸方程為=6.5x+.
==5,
==50,
∵=6.5x+經過(,),
∴50=6.5×5+,∴=17.5,
∴y與x的經驗回歸方程為=6.5x+17.5.
(2)現有第二個線性模型:=7x+17,且R2=0.82.
若與(1)的線性模型比較,哪一個線性模型擬合效果比較好,請說明理由.
解:由(1)的線性模型得yi -與yi -的關系如表:
yi- -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5
yi- -20 -10 10 0 20
題型(三)　非線性回歸分析
03
[例3]　某地今年上半年患某種傳染病的人數y(人)與月份x(月)之間滿足函數關系,模型為y=aebx,確定這個函數解析式.
月份x/月 1 2 3 4 5 6
人數y/人 52 61 68 74 78 83
解:設u=ln y,c=ln a,得=+x,
則u與x的數據關系如下表:
x 1 2 3 4 5 6
u=ln y 3.951 2 4.110 9 4.219 5 4.304 1 4.356 7 4.418 8
　[思維建模]　解決非線性回歸問題的步驟
針對訓練
3.某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動,活動設置了一段時間的推廣期,由于推廣期內優惠力度較大,越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統計了活動剛推出一周內每天使用掃碼支付的人次,用x表示活動推出的天數,y(單位:十)表示每天使用掃碼支付的人次,統計數據如下表所示:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
根據以上數據,繪制了如下散點圖.
(1)根據散點圖判斷,在推廣期內,y=a+bx與y=c·dx(c,d均為大于零的常數)哪一個更適合作為每天使用掃碼支付的人次y關于活動推出的天數x的回歸方程類型(給出判斷結果即可,不必說明理由)；
解:根據題中散點圖可知,y=c·dx更適合作為每天使用掃碼支付的人次y關于活動推出的天數x的回歸方程類型.
(2)根據(1)中的判斷結果及表中的數據,求y關于x的回歸方程,并預測活動推出第8天時使用掃碼支付的人次.
參考數據:
課時跟蹤檢測
04
1
3
4
5
6
7
8
2
√
1
3
4
5
6
7
8
2
1
5
6
7
8
2
3
4
2.據統計,某產品的市場銷售量y(萬臺)與廣告費用投入x(萬元)之間的對應數據的散點圖如圖所示,由圖可知y與x之間有較強的線性相關關系,其經驗回歸方程是=0.3x+,則的值是(　　)
√
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
1
5
6
7
8
2
3
4
解析:由題可知==5,==4,將,代入經驗回歸方程可得4=0.3×5+ =2.5.
1
5
6
7
8
3
4
2
3.[多選]對于變量x和變量y,數據(-1,-1),(1,1),(x1,y1),(x2,y2),…,(x18,y18)的樣本點的中心為(4.5,9),其經驗回歸方程為=x,若去除前兩個已知樣本點后得到的新的經驗回歸方程為=x+,則對于新的樣本數據,下列說法正確的是(　　)
1
5
6
7
8
3
4
2
A.新的樣本點的中心為(5,10)
B.x與y具有正相關的關系
C.新的經驗回歸方程=x+與經驗回歸方程=x是相同的
D.隨著變量x的增加,變量y的增加速度增大
√
√
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
4.2024年9月1日至23日(日期代碼分別為1,2,…,23),某餐館在區域M內投放廣告單數量y(萬張)與日期代碼x滿足經驗回歸方程=,則=______(精確到小數點后兩位).
參考數據:y1y2y3…y23=e89.7,=12.
0.29
1
5
6
7
8
3
4
2
解析:對=的兩邊取自然對數,得ln =x+0.38,所以ln y與x具有線性相關關系.
因為ln(y1y2y3…y23)=ln e89.7=89.7,所以=3.9,
所以3.9=12+0.38,所以≈0.29.
1
5
6
7
8
3
4
2
5.某學校為了解學生中男生的體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)是否存在線性相關關系,搜集了7位男生的數據,得到如下表格:
序號 1 2 3 4 5 6 7
身高x/cm 166 173 174 178 180 183 185
體重y/kg 57 62 59 71 67 75 78
1
5
6
7
8
3
4
2
根據表中數據計算得到y關于x的經驗回歸方程為=x-136.55.
(1)=_______；
1.15
解析:由題表中數據可得,
==177,==67,
所以67=×177-136.55,解得=1.15.
1
5
6
7
8
3
4
2
良好
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
6.高考復習經過二輪“見多識廣”之后,為了研究考前“限時搶分”強化訓練次數x與答題正確率y(%)的關系,對某校高三某班學生進行了關注統計,得到如下表所示數據:
x 1 2 3 4
y 20 30 50 60
(1)求y關于x的經驗回歸方程,并預測答題正確率是100%的強化訓練次數(保留整數)；
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
所以=-=40-14×2.5=5,
所以所求經驗回歸方程是=14x+5.
令100=14x+5,解得x≈7.
所以預測答題正確率是100%的強化訓練次數為7.
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
解：經計算知,這四組數據的“強化均值”分別為5,6,8,9,其平均數是7,所以“強化均值”的標準差是s==<2,
所以這個班的強化訓練有效.
1
5
6
7
8
3
4
2
7.某鄉政府為提高當地農民的收入,指導農民種植藥材,并取得了較好的效果.以下是某農戶近5年種植藥材的平均收入的統計數據:
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代碼x 1 2 3 4 5
平均收入 y/千元 59 61 64 68 73
1
5
6
7
8
3
4
2
(1)根據表中數據,現有y=a+bx與y=c+dx2兩種模型可以擬合y與x之間的關系,請分別求出兩種模型的回歸方程；(結果保留一位小數)
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
1
5
6
7
8
3
4
2
解：對于=3.5x+54.5,其殘差平方和為(59-58)2+(61-61.5)2+(64-65)2
+(68-68.5)2+(73-72)2=3.5.
對于=0.6x2+58.4,其殘差平方和為(59-59)2+(61-60.8)2+(64-63.8)2+
(68-68)2+(73-73.4)2=0.24.
因為0.24<3.5,所以模型=0.6x2+58.4的擬合效果更好.
當x=7時,=0.6×72+58.4=87.8,故預測2025年該農戶種植藥材的平均收入為87.8千元,即8.78萬元.
1
5
6
7
8
3
4
2
8.大氣污染物PM2.5(大氣中直徑小于或等于2.5 μm的顆粒物)的濃度超過一定的限度會影響人的身體健康.為了研究PM2.5的濃度受車流量影響的程度,某校數學建模社團選擇了學校附近5個監測點,統計每個監測點24 h內的車流量x(單位:千輛),同時在低空相同的高度測定每個監測點該時間段內的PM2.5的平均濃度y(單位:μg/m3),得到的數據如表所示:
監測點編號 1 2 3 4 5
車流量x/千輛 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9
PM2.5的平均 濃度y/(μg/m3) 66 72 113 34 35
1
5
6
7
8
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(1)建立y關于x的一元線性回歸模型,并用樣本相關系數加以說明(一般地,樣本相關系數的絕對值在0.75以上(含0.75)認為線性相關性較強,否則認為線性相關性較弱)；
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解：令115x-74≤68.6,得x≤1.24,
故估計車流量控制的最大值為1.24千輛.課時跟蹤檢測(二十五)　一元線性回歸模型的綜合問題
1．已知變量x，y之間具有線性相關關系，其經驗回歸方程為＝－3＋x，若xi＝20，yi＝30，則的值為(　　)
A.1 B.3
C.-3 D.-1
2.據統計,某產品的市場銷售量y(萬臺)與廣告費用投入x(萬元)之間的對應數據的散點圖如圖所示,由圖可知y與x之間有較強的線性相關關系,其經驗回歸方程是=0.3x+,則的值是 (　　)
A.2.5 B.3
C.3.5 D.4
3.[多選]對于變量x和變量y,數據(-1,-1),(1,1),(x1,y1),(x2,y2),…,(x18,y18)的樣本點的中心為(4.5,9),其經驗回歸方程為=x,若去除前兩個已知樣本點后得到的新的經驗回歸方程為=x+,則對于新的樣本數據,下列說法正確的是 (　　)
A.新的樣本點的中心為(5,10)
B.x與y具有正相關的關系
C.新的經驗回歸方程=x+與經驗回歸方程=x是相同的
D.隨著變量x的增加,變量y的增加速度增大
4.2024年9月1日至23日(日期代碼分別為1,2,…,23),某餐館在區域M內投放廣告單數量y(萬張)與日期代碼x滿足經驗回歸方程=,則=　　　　(精確到小數點后兩位).
參考數據:y1y2y3…y23=e89.7,=12.
5.某學校為了解學生中男生的體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)是否存在線性相關關系,搜集了7位男生的數據,得到如下表格:
序號 1 2 3 4 5 6 7
身高x/cm 166 173 174 178 180 183 185
體重y/kg 57 62 59 71 67 75 78
根據表中數據計算得到y關于x的經驗回歸方程為=x-136.55.
(1)=　　　　;
(2)已知決定系數R2＝1－，當R2≥0.9時，模型的擬合效果非常好，當0.8參考數據： (yi－i)2＝52.36.
6.高考復習經過二輪“見多識廣”之后,為了研究考前“限時搶分”強化訓練次數x與答題正確率y(%)的關系,對某校高三某班學生進行了關注統計,得到如下表所示數據:
x 1 2 3 4
y 20 30 50 60
(1)求y關于x的經驗回歸方程,并預測答題正確率是100%的強化訓練次數(保留整數);
(2)現用(i=1,2,3,4)表示統計數據的“強化均值”(保留整數),若“強化均值”的標準差在區間[0,2)內,則強化訓練有效,請問這個班的強化訓練是否有效
附：經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－，樣本數據x1，x2，…，xn的標準差為s＝.
7.某鄉政府為提高當地農民的收入,指導農民種植藥材,并取得了較好的效果.以下是某農戶近5年種植藥材的平均收入的統計數據:
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代碼x 1 2 3 4 5
平均收入 y/千元 59 61 64 68 73
(1)根據表中數據,現有y=a+bx與y=c+dx2兩種模型可以擬合y與x之間的關系,請分別求出兩種模型的回歸方程;(結果保留一位小數)
(2)統計學中常通過比較殘差的平方和來比較兩個模型的擬合效果,請根據殘差平方和說明上述兩個模型哪一個的擬合效果更好,并據此預測2025年該農戶種植藥材的平均收入.
參考數據： (ti－)(yi－)＝217， (ti－)2＝374，其中ti＝x.
參考公式：經驗回歸方程＝x＋中，＝，＝－.
8.大氣污染物PM2.5(大氣中直徑小于或等于2.5 μm的顆粒物)的濃度超過一定的限度會影響人的身體健康.為了研究PM2.5的濃度受車流量影響的程度,某校數學建模社團選擇了學校附近5個監測點,統計每個監測點24 h內的車流量x(單位:千輛),同時在低空相同的高度測定每個監測點該時間段內的PM2.5的平均濃度y(單位:μg/m3),得到的數據如表所示:
監測點編號 1 2 3 4 5
車流量x/千輛 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9
PM2.5的平均 濃度y/(μg/m3) 66 72 113 34 35
(1)建立y關于x的一元線性回歸模型,并用樣本相關系數加以說明(一般地,樣本相關系數的絕對值在0.75以上(含0.75)認為線性相關性較強,否則認為線性相關性較弱);
(2)我國規定空氣中PM2.5的濃度安全標準為24 h平均濃度為75 μg/m3,該地為使PM2.5 24 h平均濃度不超過68.6 μg/m3,擬對車流量作適當控制,請你根據本題數據估計車流量控制的最大值.
參考公式：在經驗回歸方程＝x＋中，＝，＝－；樣本相關系數r＝.
課時跟蹤檢測(二十五)
1. 選B　因為xi＝20，所以＝＝2，因為yi＝30，所以＝＝3，又因為樣本點中心(，)在回歸直線＝－3＋x上，所以＝－3＋，即3＝－3＋2，解得＝3，故選B.
2.選A　由題可知==5,==4,將,代入經驗回歸方程可得4=0.3×5+ =2.5.
3. 選AB　對于A，由題意得－1＋1＋x1＋x2＋…＋x18＝4.5×20，－1＋1＋y1＋y2＋…＋y18＝9×20，所以x1＋x2＋…＋x18＝90，y1＋y2＋…＋y18＝180，所以＝5，＝10，所以新的樣本點的中心為(5,10)，故A正確．對于B，易知＝x過點(4.5,9)，所以9＝4.5×，解得＝2，所以x與y具有正相關的關系，故B正確．對于C，根據最小二乘估計可得＝＝2，化簡得xiyi＝2x＋2，所以0＝＝＝2＋≠2，所以新的經驗回歸方程＝0x＋與經驗回歸方程＝x不相同，故C錯誤．對于D，因為經驗回歸方程為直線方程，所以隨著變量x的增加，變量y的增加速度不變，故D錯誤．故選AB.
4.解析:對=的兩邊取自然對數,得ln =x+0.38,所以ln y與x具有線性相關關系.
因為ln(y1y2y3…y23)=ln e89.7=89.7,所以=3.9,
所以3.9=12+0.38,所以≈0.29.
答案:0.29
5.解析:(1)由題表中數據可得,
==177,==67,
所以67=×177-136.55,解得=1.15.
(2)由(1)知＝67，故 (yi－)2＝(－10)2＋(－5)2＋(－8)2＋42＋02＋82＋112＝390，
則有R2=1-≈0.87,
因為0.8<0.87<0.9,
所以該經驗回歸方程對應模型的擬合效果良好.
答案:(1)1.15　(2)良好
6.解:(1)由所給數據計算得=2.5,=40,xiyi-4　=70,-4=5,
所以==14,
所以=-=40-14×2.5=5,
所以所求經驗回歸方程是=14x+5.
令100=14x+5,解得x≈7.
所以預測答題正確率是100%的強化訓練次數為7.
(2)經計算知,這四組數據的“強化均值”分別為5,6,8,9,其平均數是7,所以“強化均值”的標準差是
s=
=<2,
所以這個班的強化訓練有效.
7.解: (1)由題表得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(59＋61＋64＋68＋73)＝65，
所以 (xi－)(yi－)＝35， (xi－)2＝10，
所以＝＝＝3.5，
＝－＝65－3.5×3＝54.5.
設t＝x2，則y＝c＋dx2＝c＋dt，
易得＝×(12＋22＋32＋42＋52)＝11，
＝＝≈0.6，
所以＝－≈65－0.6×11＝58.4.
所以兩種模型的回歸方程分別為＝3.5x＋54.5，＝0.6x2＋58.4.
(2)對于=3.5x+54.5,其殘差平方和為(59-58)2+(61-61.5)2+(64-65)2+(68-68.5)2+(73-72)2=3.5.
對于=0.6x2+58.4,其殘差平方和為(59-59)2+(61-60.8)2+(64-63.8)2+(68-68)2+(73-73.4)2=0.24.
因為0.24<3.5,所以模型=0.6x2+58.4的擬合效果更好.
當x=7時,=0.6×72+58.4=87.8,故預測2025年該農戶種植藥材的平均收入為87.8千元,即8.78萬元.
8.解: (1)由題表得＝＝1.2，＝＝64，
xiyi＝1.3×66＋1.2×72＋1.6×113＋1.0×34＋0.9×35＝418.5，
x＝1.32＋1.22＋1.62＋1.02＋0.92＝7.5，
y＝662＋722＋1132＋342＋352＝24 690，
所以＝＝＝115，＝－＝64－115×1.2＝－74，
所以＝115x－74.
樣本相關系數r＝＝≈0.97.
因為|0.97|>0.75，
所以y與x的線性相關性較強．
(2)令115x-74≤68.6,得x≤1.24,
故估計車流量控制的最大值為1.24千輛.
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