資源簡介

階段質量評價(三)　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
(時間:120分鐘　滿分:150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知經(jīng)驗回歸方程=x+,其中=3,且樣本點的中心為(1,2),則經(jīng)驗回歸方程為 (　　)
A.=x+3 B.=-2x+3
C.=-x+3 D.=x-3
2.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的散點圖分析x與y之間是否存在線性相關關系,若求得其經(jīng)驗回歸方程為=0.85x-85.7,則在樣本點(165,57)處的殘差為 (　　)
A.54.55 B.2.45
C.3.45 D.111.55
3.如圖所示的5個數(shù)據(jù),去掉點D(3,10)后,下列說法錯誤的是 (　　)
A.樣本相關系數(shù)r變大
B.殘差平方和變大
C.R2變大
D.解釋變量x與響應變量y的相關性變強
4.為考察某種藥物預防某疾病的效果,進行動物試驗,得到如下列聯(lián)表:
單位:只
患病 未患病 合計
服藥 10 45 55
未服藥 20 30 50
合計 30 75 105
則下列說法正確的是 (　　)
附: χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
A.有95%的把握認為藥物有效
B.有95%的把握認為藥物無效
C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為藥物無效
D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為藥物有效
5.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽試驗,由試驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖:
由此散點圖,在10 ℃至40 ℃之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是 (　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
6.某學校開展研究性學習活動,某同學獲得一組試驗數(shù)據(jù)如下:(1.99,1.5),(3,4.04),(4,7.5),(5.1,12),(6.12,18.01).對于這組數(shù)據(jù),現(xiàn)在給出以下擬合曲線,其中擬合程度最好的是 (　　)
A.y=2x-2 B.y=
C.y=log2x D.y=(x2-1)
7.為了研究某班學生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關系,從該班隨機抽取10名學生,根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系,設其經(jīng)驗回歸方程為=x+.已知xi=225,yi=1 600,=4.該班某學生的腳長為24,據(jù)此估計其身高為 (　　)
A.160 B.163
C.166 D.170
8.已知由成對樣本數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,n求得的經(jīng)驗回歸方程為=1.5x+0.5,且=3,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個樣本點(1.2,2.2)和(4.8,7.8)的殘差較大,去除后重新求得的經(jīng)驗回歸直線l的斜率為1.2,則去除后 (　　)
A.新的經(jīng)驗回歸方程為=1.2x+1.5
B.y的估計值的增加速度比原來變快
C.變量x與y具有正相關關系
D.樣本點(2,3.75)的殘差為0.05
二、多項選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.下列說法正確的是 (　　)
A.若變量x和y之間的樣本相關系數(shù)為r=-0.992,則變量x和y之間的負相關性很強
B.用決定系數(shù)R2來比較兩個模型擬合效果時,R2越大,殘差平方和越小,模型的擬合效果越好
C.在經(jīng)驗回歸方程=2-3.5x中,當解釋變量每增加1個單位時,響應變量平均減少3.5個單位
D.經(jīng)驗回歸直線=x+至少經(jīng)過點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個
10.千百年來,我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化,總結了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗,并將這些經(jīng)驗編成諺語,如“天上鉤鉤云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走,雨在半夜后”,觀察了地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣,得到如下2×2列聯(lián)表(單位:天),并計算得到χ2≈19.05,下列小波對地區(qū)A天氣的判斷正確的是 (　　)
日落云里走 夜晚天氣
下雨 未下雨
出現(xiàn) 25 5
未出現(xiàn) 25 45
參考公式:χ2=
臨界值參照表:
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.夜晚下雨的概率約為
B.未出現(xiàn)“日落云里走”,夜晚下雨的概率約為
C.根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,認為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關
D.出現(xiàn)“日落云里走”, 根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,可以認為夜晚會下雨
11.某班級學生開展課外數(shù)學探究活動,將一杯冷水從冰箱中取出后靜置,在25 ℃的室溫下測量水溫y(單位:℃)隨時間x(單位:min)的變化關系,在測量了15個數(shù)據(jù)后,根據(jù)這些數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,15)得到如下散點圖:
現(xiàn)需要選擇合適的回歸模型進行回歸分析,則根據(jù)散點圖,合適的回歸模型有(注:c1,c2均為常數(shù)) (　　)
A.y=25-c1 B.y=25+
C.y=25- D.y=c1(x-25)+c2
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上)
12.某藝術館為了研究學生性別和喜歡國畫之間的聯(lián)系,隨機抽取80名學生進行調查(其中有男生50名,女生30名),并繪制等高堆積條形圖(如圖所示),則這80名學生中喜歡國畫的人數(shù)為　　　　.
13.若一組觀測值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之間滿足yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),若ei恒為0,則R2為　　　　.
14.用模型y=aebx擬合一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,7),其中x1+x2+…+x7=6,設z=ln y,變換后的經(jīng)驗回歸方程為=x+5,則y1y2…y7=　　　　.
四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)某學校高二年級為調查本年度參加學業(yè)水平考試的學生是否需要年級提供幫助,從高二年級隨機調查了50名學生,其中有20名男同學,下圖是根據(jù)樣本的調查結果繪制的等高堆積條形圖.
(1)根據(jù)已知條件與等高堆積條形圖完成下面的2×2列聯(lián)表:
單位:名
男同學 女同學 合計
需要幫助
不需要幫助
合計
(2)根據(jù)(1)中的2×2列聯(lián)表及α=0.010的獨立性檢驗,分析該校高二年級學生本年度參加學業(yè)水平考試需要年級提供幫助是否與性別有關.
附: χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
16.(15分)2024年某市開展了“尋找身邊的好老師”活動,某中學積極行動,認真落實,通過微信關注評選“身邊的好老師”,并對選出的五位“好老師”的班主任的工作年限和被關注數(shù)量進行了統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
班主任工作年限 x(單位:年) 4 6 8 10 12
被關注數(shù)量 y(單位:百人) 10 20 40 60 50
(1)若“好老師”的被關注數(shù)量y與其班主任的工作年限x滿足經(jīng)驗回歸方程,試求=x+,并就此分析:“好老師”的班主任工作年限為15年時被關注的數(shù)量;
(2)若用(i=1,2,3,4,5)表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)時被關注數(shù)量的“即時均值”(四舍五入到整數(shù)),從“即時均值”中任選2組,求這2組數(shù)據(jù)之和小于8的概率.
17.(15分)某商場經(jīng)營一批進價是30元/臺的小商品,在市場調查中發(fā)現(xiàn),此商品的銷售單價x(x取整數(shù))(元)與日銷售量y(臺)之間有如下關系:
x(元) 35 40 45 50
y(臺) 56 41 28 11
(1)畫出散點圖,并判斷y與x是否具有線性相關關系;
(2)求日銷售量y對銷售單價x的經(jīng)驗回歸方程;
(3)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元,根據(jù)(2)寫出P關于x的函數(shù)關系式,并預測當銷售單價x為多少元時,才能獲得最大日銷售利潤.
18.(17分)某大型企業(yè)對其產(chǎn)品進行研發(fā)與創(chuàng)新,根據(jù)市場調研與模擬,得到研發(fā)投入x(億元)與研發(fā)創(chuàng)新的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66
當017時,確定y與x滿足的經(jīng)驗回歸方程為=-0.7x+.
(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較當0回歸模型 模型① 模型②
回歸方程 ＝4.1x＋11.8 ＝21.3－14.4
(yi－i)2 182.4 79.2
(2)為鼓勵科技創(chuàng)新,當研發(fā)的投入不少于20億元時,國家給予公司補貼收益10億元,以回歸方程為預測依據(jù),比較研發(fā)投入17億元與20億元時公司實際收益的大小;
(3)研發(fā)改造后,該公司F產(chǎn)品的效率X大幅提高,X服從正態(tài)分布N(0.52,0.012),公司對研發(fā)團隊的獎勵方案如下:若F產(chǎn)品的效率不超過50%,不予獎勵；若F產(chǎn)品的效率超過50%但不超過53%,每件F產(chǎn)品獎勵2萬元；若F產(chǎn)品的效率超過53%,每件F產(chǎn)品獎勵5萬元.求每件F產(chǎn)品獲得獎勵的數(shù)學期望(保留兩位小數(shù)).
附：①決定系數(shù)R2＝1－；②＝＝，＝－；③若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ19.(17分)某班級共有50名同學(男女各占一半),為弘揚傳統(tǒng)文化,班委組織了“古詩詞男女對抗賽”,將同學隨機分成25組,每組男、女同學各一名,每名同學均回答同樣的五個不同問題,答對一題得一分,答錯或不答得零分,滿分為5分.最后25組同學得分如表:
組別號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
男同學 得分 5 4 5 5 4 5 5 4 4 4 5 5 4
女同學 得分 4 3 4 5 5 5 4 5 5 5 5 3 5
分差 1 1 1 0 -1 0 1 -1 -1 -1 0 2 -1
組別號 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
男同學 得分 4 3 4 4 4 4 5 5 5 4 3 3
女同學 得分 5 3 4 5 4 3 5 5 3 4 5 5
分差 -1 0 0 -1 0 1 0 0 2 0 -2 -2
(1)完成2×2列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.1的獨立性檢驗,分析該次對抗賽是否得滿分與性別是否有關;
(2)某課題研究小組假設各組男、女同學分差服從正態(tài)分布N(μ,σ2),首先根據(jù)前20組男、女同學的分差確定μ和σ,然后根據(jù)后面5組同學的分差來檢驗模型,檢驗方法是:記后面5組男、女同學分差與μ的差的絕對值分別為xi(i=1,2,3,4,5),若出現(xiàn)下列兩種情況之一,則不接受該模型,否則接受該模型.
①存在xi≥3σ;
②記滿足2σ該課題研究小組是否會接受該模型
參考公式和數(shù)據(jù):χ2=,≈0.894,≈0.949,0.9575≈0.803,43×0.9574≈36,432×0.9573≈1 621;若X~N(μ,σ2),則P(μ-2σα 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
階段質量評價(三)
1.選C　因為經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心,所以2=+3,解得=-1,所以經(jīng)驗回歸方程為=-x+3.
2.選B　把x=165代入=0.85x-85.7,得=0.85×165-85.7=54.55,所以在樣本點(165,57)處的殘差為57-54.55=2.45.故選B.
3.選B　由題中散點圖知去掉點D后,x與y的相關性變強,且為正相關,所以r變大,R2變大,殘差平方和變小.
4.選A　根據(jù)題中列聯(lián)表,計算得χ2==≈6.109,由6.109>3.841=x0.05且6.109<6.635=x0.01可知,有95%的把握認為藥物有效.故選A.
5.選D　觀察散點圖可知,散點用光滑曲線連接起來后比較接近對數(shù)型函數(shù)的圖象,故選D.
6.選D　直線y=2x-2是均勻變化的,不符合要求;指數(shù)函數(shù)y=是單調遞減的,不符合要求;對數(shù)函數(shù)y=log2x的增長緩慢,不符合要求;將各組數(shù)據(jù)代入選項D中,基本符合要求.
7.選C　由題意可知=22.5,=160,∴160=4×22.5+,解得=70,∴=4x+70,∴當x=24時,=4×24+70=166.故選C.
8.選C　∵=3,去除前的經(jīng)驗回歸方程為=1.5x+0.5,∴=5.設重新求得的經(jīng)驗回歸直線l的方程為=+x,則=1.2,∴變量x與y具有正相關關系,故C正確.設新的成對樣本數(shù)據(jù)為(x'i,y'i),i=1,2,…,n-2,x'i的平均值為',y'i的平均值為',則(n-2)'=n-(1.2+4.8)=3n-6=3(n-2),(n-2)'=n-(2.2+7.8)=5n-10=5(n-2),故'=3,'=5,∴='-'=5-1.2×3=1.4.故新的經(jīng)驗回歸方程為=1.2x+1.4,故A錯誤.∵1.2<1.5,∴去除后y的估計值的增加速度比原來變慢,故B錯誤.把x=2代入新的經(jīng)驗回歸方程中,得=3.8,∴樣本點(2,3.75)的殘差為3.75-3.8=-0.05,故D錯誤.故選C.
9.ABC
10.選ABC　由列聯(lián)表知,100天中有50天下雨,50天未下雨,因此夜晚下雨的概率約為=,A正確;未出現(xiàn)“日落云里走”,夜晚下雨的概率約為=,B正確;χ2=≈19.05>6.635,因此根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,認為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關,C正確,D錯誤.故選ABC.
11.選AC　題中散點圖的特點是y隨x的增加而增加,增加的速度越來越慢,且y<25.對于A,當c1>0,c2>0時符合題意;對于B,y=25+≥25,不符合題意;對于C,當c1>0,c2>0時符合題意;對于D,y=c1(x-25)+c2的增長速度保持不變,不符合題意.故選AC.
12.解析:由等高堆積條形圖可知,男生中喜歡國畫的占80%,女生中喜歡國畫的占60%,則這80名學生中喜歡國畫的人數(shù)為50×80%+30×60%=58.
答案:58
13.解析:ei恒為0,說明隨機誤差對yi貢獻為0,這時候變量x,y之間是函數(shù)關系,故R2=1.
答案:1
14.解析:因為x1+x2+…+x7=6,所以==,所以=+5=+5=,即===,所以ln(y1y2…y7)=41,即y1y2…y7=e41.
答案:e41
15.解:(1)由題意知調查的50名學生中有20名男同學,30名女同學.
由題中等高堆積條形圖可知,男同學中需要幫助的有4人,不需要幫助的有16人,女同學中需要幫助的有3人,不需要幫助的有27人.
則2×2列聯(lián)表為
單位:名
男同學 女同學 合計
需要幫助 4 3 7
不需要幫助 16 27 43
合計 20 30 50
(2)零假設H0:該校高二年級學生本年度參加學業(yè)水平考試需要年級提供幫助與性別無關.經(jīng)計算得χ2=≈0.997<6.635=x0.010,
依據(jù)α=0.010的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此認為H0成立,即認為該校高二年級學生本年度參加學業(yè)水平考試需要年級提供幫助與性別無關.
16.解:(1)由題意得=8,=36,
==6,
=36-48=-12,所以=6x-12,
當x=15時,=6×15-12=78(百人)=7 800(人).
(2)這5組統(tǒng)計數(shù)據(jù),被關注數(shù)量的“即時均值”分別為3,3,5,6,4.
從5組“即時均值”任選2組,共有=10種情況,其中2組數(shù)據(jù)之和小于8為(3,3),(3,4),(3,4)共3種情況,所以這2組數(shù)據(jù)之和小于8的概率為.
17.解:(1)散點圖如圖所示,從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近,因此兩個變量線性相關.
(2) 因為＝×(35＋40＋45＋50)＝42.5，
＝×(56＋41＋28＋11)＝34，
xiyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410，
x＝352＋402＋452＋502＝7 350，
所以＝＝＝≈－3.
＝－＝34－(－3)×42.5＝161.5.
所以經(jīng)驗回歸方程為＝161.5－3x.
(3)依題意,有P=(161.5-3x)(x-30)=-3x2+251.5x-4 845=-3+-4 845.
所以當x=≈42時,P有最大值,約為426元.即預測當銷售單價為42元時,能獲得最大日銷售利潤.
18.解: (1)由題表得182.4>79.2，即>，所以模型①的決定系數(shù)小于模型②的決定系數(shù)，說明回歸模型②的擬合精度更高、更可靠．
當x＝17時，＝21.3×－14.4≈21.3×4.1－14.4＝72.93.
所以預測該企業(yè)對產(chǎn)品研發(fā)的投入為17億元時的直接收益為72.93億元．
(2)當x>17時,由已知可得
-20==3,
-60==7.2,
所以=23,=67.2,
所以=+0.7=67.2+0.7×23=83.3,
所以當x>17時,y與x滿足的經(jīng)驗回歸方程為=-0.7x+83.3.
當x=20時,=-0.7×20+83.3=69.3.
所以當x=20時,實際收益的預測值為69.3+10=79.3(億元),因為79.3>72.93,
所以研發(fā)投入20億元時公司的實際收益更大.
(3)因為P(0.52-0.02所以P(X>0.50)≈0.5+=0.977 2,P(X≤0.50)=1-P(X>0.50)=0.022 8,
因為P(0.52-0.01所以P(X>0.53)≈0.5-=0.158 7,
所以P(0.50設每件F產(chǎn)品獲得的獎勵為Y萬元,則Y的分布列為
Y 0 2 5
P 0.022 8 0.818 5 0.158 7
所以E(Y)=0×0.022 8+2×0.818 5+5×0.158 7≈2.43(萬元).
19.解:(1)2×2列聯(lián)表如下:
單位:名
男同學 女同學 合計
對抗賽得滿分 10 14 24
對抗賽未得滿分 15 11 26
合計 25 25 50
零假設H0:該次對抗賽是否得滿分與性別無關,經(jīng)計算得χ2=≈1.282<2.706=x0.1,依據(jù)α=0.1的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此認為H0成立,即認為該次對抗賽是否得滿分與性別無關.
(2)由題意知μ=0,σ2=0.8.
所以x1=0,x2=2,x3=0,x4=2,x5=2.
因為2σ=2×≈2×0.894=1.788,3σ=3×≈3×0.894=2.682,
所以不存在xi≥3σ.
因為滿足2σ當X~N(μ,σ2)時,P(μ-3σ設從服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的總體中任意取5個個體,其中值在區(qū)間(μ-3σ,μ-2σ)∪(μ+2σ,μ+3σ)內(nèi)的個體數(shù)為Y,則Y~B(5,0.043),
所以P(Y≥3)=1-0.9575-×0.043×0.9574-×0.0432×0.9573≈1-0.803-5×0.001×36-10×10-6×1 621=0.000 79<0.003.
綜上,第②種情況出現(xiàn),所以該課題研究小組不會接受該模型.
2 / 7

展開更多......

收起↑