資源簡介

模塊綜合檢測
(時間:120分鐘　滿分:150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.從不同品牌的4部手機和不同品牌的5臺電腦中任意選取3個,其中手機和電腦都選到的不同選法種數為 (　　)
A.140 B.84
C.35 D.70
2.某工廠有甲、乙兩條生產線生產同一型號的機械零件,產品的尺寸分別記為X,Y,已知X,Y均服從正態分布,且X~N(μ1,),Y~N(μ2,),其正態曲線如圖所示,則下列結論正確的是 (　　)
A.甲生產線產品的穩定性高于乙生產線產品的穩定性
B.甲生產線產品的穩定性低于乙生產線產品的穩定性
C.甲生產線產品尺寸的平均值大于乙生產線產品尺寸的平均值
D.甲生產線產品尺寸的平均值小于乙生產線產品尺寸的平均值
3.(x+2y)(x+y)5的展開式中x3y3的系數為 (　　)
A.10 B.20
C.30 D.40
4.設隨機變量X,Y滿足Y=3X-1,X~B,則D(Y)= (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
5.已知在所有男子中有5%患有色盲癥,在所有女子中有0.25%患有色盲癥,現隨機抽一人發現其患色盲癥,則此人為男子的概率為(設男子和女子的人數相等) (　　)
A. B.
C. D.
6.已知(2-x)2 024=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 024(x+1)2 024,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 024|= (　　)
A.24 048 B.1
C.22 024 D.0
7.用5種不同顏色給圖中5個車站的候車牌(E,A,B,C,D)染色,要求相鄰的兩個車站間的候車牌不同色,則不同的染色方法有 (　　)
A.120種 B.180種
C.360種 D.420種
8.已知(1+x)9=a0+a1(2x+1)+a2(2x+1)2+…+a9(2x+1)9,隨機變量ξ~B(32,p),其中p=a1,則E(ξ)= (　　)
A. B.
C. D.
二、多項選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.下列關于(a-b)11的展開式的說法,正確的是 (　　)
A.展開式中的二項式系數之和為2 048
B.展開式中只有第6項的二項式系數最大
C.展開式中第6項和第7項的二項式系數最大
D.展開式中第6項的系數最小
10.在一次滿分為150分的數學測試中,某校共有800名學生參加,學生的成績X(單位:分)服從正態分布N(110,100),其中90分為及格線,120分為優秀線,則下列說法正確的是 (　　)
附:若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.該校學生數學成績的期望為110
B.該校學生數學成績的標準差為100
C.該校學生數學成績在140分以上的人數大于5
D.該校學生數學成績的及格率超過0.97
11.骰子通常作為桌上游戲的小道具.最常見的骰子是六面骰,它是一個質地均勻的正方體,六個面上分別寫有數字1,2,3,4,5,6.現有一款闖關游戲,共有4關,規則如下:在第n關要拋擲六面骰n次,每次觀察向上面的點數并做記錄,如果這n次拋擲所出現的點數之和大于2n+n,則算闖過第n關,n=1,2,3,4.假定每次闖關互不影響,則 (　　)
A.直接挑戰第2關并過關的概率為
B.連續挑戰前兩關并過關的概率為
C.若直接挑戰第3關,設A=“三個點數之和等于15”,B=“至少出現一個5點”,則P(A|B)=
D.若直接挑戰第4關,則過關的概率是
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上)
12.某“防震減災科普示范學校”組織4名男生、6名女生志愿者到社區進行防震減災圖片宣講,若這些選派學生只考慮性別,則派往甲社區宣講的3人中至少有2名男生的概率為　　　　.
13.設a∈Z,且0≤a≤16,若42 025+a能被17整除,則a的值為　　　　.
14.有6個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中不放回地隨機抽取3次,每次取1個球.記m為前兩次取出的球上數字的平均值,n為取出的三個球上數字的平均值,則m與n的差的絕對值不超過的概率是　　　　.
四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)已知的展開式中所有系數之和比(3-x)n的展開式中所有系數之和大240.
(1)求的展開式中的常數項(用數字作答);
(2)求的展開式的二項式系數之和(用數字作答).
16.(15分)某工廠進行生產線智能化升級改造,升級改造后,從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗,數據如下:
優級品 合格品 不合格品 合計
甲車間 26 24 0 50
乙車間 70 28 2 100
合計 96 52 2 150
(1)填寫如下列聯表:
優級品 非優級品 合計
甲車間
乙車間
合計
能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異 能否有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異
(2)已知升級改造前該工廠產品的優級品率p=0.5,設為升級改造后抽取的n件產品的優級品率.如果>p+1.65,則認為該工廠產品的優級品率提高了,根據抽取的150件產品的數據,能否認為生產線智能化升級改造后,該工廠產品的優級品率提高了 (≈12.247)
附:χ2=
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
17.(15分)某工廠生產一種產品,測得相關數據如下表所示:
尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88
質量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
質量與尺寸 的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
(1)若按照檢測標準,合格產品的質量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關系式y=c·xd(c,d為大于0的常數),求y關于x的回歸方程;
(2)已知產品的收益z(單位:千元)與產品尺寸和質量的關系式為z=2y-0.32x,根據(1)中求得的回歸方程分析,當產品的尺寸x約為何值時,收益z的預測值最大(結果用整數表示).
參考數據： (ln xi·ln yi)≈75.3，ln xi≈24.6，ln yi≈18.3， (ln xi)2≈101.4，e≈2.718 3.
參考公式：對于樣本(vi，ui)(i＝1,2，…，n)，其經驗回歸直線＝v＋的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝＝，＝－.
18.(17分)某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成,比賽具體規則如下:第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次,若3次都未投中,則該隊被淘汰,比賽成員為0分;若至少投中一次,則該隊進入第二階段,由該隊的另一名隊員投籃3次,每次投中得5分,未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.
(2)假設0①為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大,應該由誰參加第一階段比賽
②為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大,應該由誰參加第一階段比賽
19.(17分)甲、乙、丙三人參加競答游戲,一輪三個題目,每人回答一題,為體現公平,制訂如下規則:
①第一輪回答順序為甲、乙、丙,第二輪回答順序為乙、丙、甲,第三輪回答順序為丙、甲、乙,第四輪回答順序為甲、乙、丙,……,后面按此規律依次向下進行;
②當一人回答不正確時,競答結束,最后一個回答正確的人勝出.
已知每次甲回答正確的概率為,乙回答正確的概率為,丙回答正確的概率為,三人回答每個問題相互獨立.
(1)求一輪中三人全部回答正確的概率;
(2)分別求甲在第一輪、第二輪、第三輪勝出的概率;
(3)記Pn為甲在第n輪勝出的概率,Qn為乙在第n輪勝出的概率,求Pn與Qn,并比較Pn與Qn的大小.
模塊綜合檢測
1.選D　根據題意,從不同品牌的4部手機和不同品牌的5臺電腦中任意選取3個,不同的選法共有=84(種),其中只有手機的選法有=4(種),只有電腦的選法有=10(種),則手機和電腦都選到的不同選法有84-4-10=70(種).故選D.
2.A
3.選C　(x+y)5的展開式的通項為Tr+1=x5-ryr,r=0,1,2,…,5,令5-r=2,得r=3,令5-r=3,得r=2,所以展開式中x3y3的系數為+2=30,故選C.
4.選A　因為X~B,所以D(X)=2××=,又Y=3X-1,所以D(Y)=D(3X-1)=32D(X)=4.
5.選B　設A表示“此人為男子”,B表示“此人為女子”,C表示“此人患色盲癥”,則P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.002 5,P(A)=0.5,P(B)=0.5,由貝葉斯公式可得P(A|C)=
==.
6.選A　令t=x+1,可得x=t-1,則[2-(t-1)]2 024=(3-t)2 024=a0+a1t+a2t2+…+a2 024t2 024,令t=-1,得a0-a1+a2-…+a2 024=(3+1)2 024=24 048.二項式(3-t)2 024的展開式的通項為Tr+1=·32 024-r·(-t)r,則ar=·32 024-r·(-1)r.當r為奇數時,ar<0,當r為偶數時,ar>0,因此,|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 024|=a0-a1+a2-…+a2 024=24 048.故選A.
7.選D　用3種顏色涂色,則有=60種方法;用4種顏色涂色,則有=240種方法;用5種顏色涂色,則有=120種方法.所以共有60+240+120=420種不同的染色方法.故選D.
8. 選A　令2x+1=t,則x=,所以由(1+x)9=a0+a1(2x+1)+a2(2x+1)2+…+a9(2x+1)9,得=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,則通項Tr+1==·t9-r.令9-r=1,得r=8,所以a1==.所以p=a1=.因為隨機變量ξ~B(32,p),所以E(ξ)=32p=32×=.
9.選ACD　對于A,二項式系數之和為211=2 048,故A正確;對于B、C,展開式共12項,中間第6,7項的二項式系數最大,故B錯誤,C正確;對于D,展開式中的第k+1項為Tk+1=(-1)ka11-kbk,k=0,1,…,11.易知當k=5時,該項的系數最小.故D正確.故選ACD.
10.選AD　因為學生的成績X(單位:分)服從正態分布N(110,100),所以該校學生數學成績的期望為110,故A正確;該校學生數學成績的標準差為10,故B錯誤;該校學生數學成績在140分以上的概率P=≈=0.001 35,所以該校學生數學成績在140分以上的人數為0.001 35×800≈1,故C錯誤;該校學生數學成績的及格率為0.5+≈0.5+=0.977 25>0.97,故D正確.故選AD.
11.選ACD　對于A,22+2=6,所以兩次點數之和應大于6,即直接挑戰第2關并過關的概率為P1===,故A正確;對于B,21+1=3,所以挑戰第一關過關的概率P2=,則連續挑戰前兩關并過關的概率為P=P1P2=×=,故B錯誤;對于C,由題意可知,拋擲3次的樣本點有63=216(個),拋擲3次至少出現一個5點的共有63-53=216-125=91(個),故P(B)=,而事件AB包括:含5,5,5的1種,含4,5,6的有6種,共7種,故P(AB)=,所以P(A|B)==×=,故C正確;對于D,當n=4時,2n+n=24+4=20,樣本點有64個,而“4次點數之和大于20”包含以下35種情況:含5,5,5,6的有4種,含5,5,6,6的有6種,含6,6,6,6的有1種,含4,6,6,6的有4種,含5,6,6,6的有4種,含4,5,6,6的有12種,含3,6,6,6的有4種,所以P4==,故D正確.故選ACD.
12.解析:派往甲社區宣講的3人中至少有2名男生的概率P===.
答案:
13.解析:42 025+a=4×161 012+a=4×(17-1)1 012+a=4×(×171 012-×171 011+×171 010-×171 009+…-×17+1)+a,它除以17的余數為4×1+a,由于它能被17整除,a∈Z且0≤a≤16,所以a=13.
答案:13
14.解析:從6個不同的球中不放回地抽取3次,共有=120種,設前兩個球的號碼為a,b,第三個球的號碼為c,則≤,故|2c-(a+b)|≤3,故-3≤2c-(a+b)≤3,故a+b-3≤2c≤a+b+3, 若c=1,則a+b≤5,則(a,b)為(2,3),(3,2),故有2種,若c=2,則1≤a+b≤7,則(a,b)為(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種,若c=3,則3≤a+b≤9,則(a,b)為(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),
(2,6),(4,5),(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),故有16種,若c=4,則5≤a+b≤11,同理有16種,若c=5,則7≤a+b≤13,同理有10種,若c=6,則9≤a+b≤15,同理有2種,故m與n的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數為2×(2+10+16)=56,故所求概率為=.
答案:
15.解:因為的展開式中所有系數之和比(3-x)n的展開式中所有系數之和大240,
所以22n=2n+240,解得2n=16,n=4.
(1)=,
Tr+1=x8-r=x8-2r,
由8-2r=0,得r=4.
所以展開式中的常數項為=70.
(2)=,展開式的二項式系數之和為++++=24=16.
16.解:(1)根據題意可得列聯表:
優級品 非優級品 合計
甲車間 26 24 50
乙車間 70 30 100
合計 96 54 150
可得χ2===4.687 5,因為3.841<4.687 5<6.635,
所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異,沒有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異.
(2)由題意可知,生產線智能化升級改造后,該工廠產品的優級品的頻率為=0.64,
用頻率估計概率可得=0.64,又因為升級改造前該工廠產品的優級品率p=0.5,則p+1.65=0.5+1.65≈0.5+1.65×≈0.567,
可知>p+1.65,
所以可以認為生產線智能化升級改造后,該工廠產品的優級品率提高了.
17.解: (1)對y＝c·xd(c，d>0)兩邊取自然對數，得ln y＝ln c＋dln x.
令vi＝ln xi，ui＝ln yi，則u＝dv＋ln c.
由題意得＝
＝
≈＝＝，
ln ＝－＝－×≈－×＝1，所以＝e，所以y關于x的回歸方程為＝e·x.
(2)由(1)得=e·,
所以z=2e-0.32x=-0.32()2+2e.
令t=,則當t=時,z取得最大值,此時x=≈≈72,
所以當產品的尺寸約為72 mm時,收益z的預測值最大.
18.解:(1)甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分,則甲第一階段至少投中1次,乙第二階段也至少投中1次,∴比賽成績不少于5分的概率P=(1-0.63)·(1-0.53)=0.686.
(2)①若甲先參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為P甲=[1-(1-p)3]q3,
若乙先參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為P乙=[1-(1-q)3]p3,
∵0∴P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)·[(1-p)(1-q)-1]>0,
∴P甲>P乙,應該由甲參加第一階段比賽.
②若甲先參加第一階段比賽,比賽成績X的所有可能取值為0,5,10,15,
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]q·(1-q)2,
P(X=10)=[1-(1-p)3]·q2(1-q),
P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,
∴E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)·q.
若乙先參加第一階段比賽,比賽成績Y的所有可能取值為0,5,10,15,
同理E(Y)=15(q3-3q2+3q)·p.
∴E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3),
∵00,
∴應該由甲參加第一階段比賽.
19.解:(1)設“一輪中三人全部回答正確”為事件M,則P(M)=××=.
(2)甲在第一輪勝出的概率為×=.
甲在第二輪勝出,說明第一輪、第二輪中三人都回答正確,第三輪中丙回答錯誤,
故甲在第二輪勝出的概率為×=.
同理,甲在第三輪勝出的概率為×××=×=.
(3)由(2)知P1=,P2=×=,P3=×=.由題意得P4=×P1=×=,P5=×P2=×,P6=×P3=×,P7=×P1=,….
所以當n=3k(k∈N*)時,Pn=×;
當n=3k+1(k∈N*)時,Pn=;
當n=3k+2(k∈N*)時,Pn=×.
同理可得,當n=3k(k∈N*)時,Qn=×;
當n=3k+1(k∈N*)時,Qn=;
當n=3k+2(k∈N*)時,Qn=×.所以當n=3k(k∈N*)時,Pn>Qn;
當n=3k+1(k∈N*)時,Pn=Qn;
當n=3k+2(k∈N*)時,Pn5 / 5

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