資源簡介

2024-2025 學年甘肅省慶陽市高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合 = { | = }, = { | 2 ≤ ≤ 1}，則 ∩ =( )
A. { |0 < ≤ 1} B. { |0 ≤ ≤ 1} C. { | 2 ≤ ≤ 1} D. { | ≤ 1}
2.(9 + 5 )(2 7 )的虛部為( )
A. 43 B. 53 C. 53 D. 53
3.函數 ( ) = cos(2 6 )， ∈ 的最小正周期為( )
A. B. 4 2 C. D. 2
4.等差數列{ }的前 項和為 ，若 9 = 54，則 2 + 8 =( )
A. 18 B. 24 C. 12 D. 32
2 2
5 2.已知雙曲線 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的頂點到漸近線的距離為實軸長的5，則雙曲線 的離心率為( )
A. 43 B.
2 3
3 C.
5
3 D. 3
6 2.( )10 的展開式中
6的系數為( )
A. 180 B. 180 C. 960 D. 960
7.某機構對 2024 年某地銷售的新能源汽車的銷售價格與銷售數量進行統計，銷售價格都不小于 5 萬元，且
小于 30 萬元，銷售價格分為五組：[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)(單位：萬元).統計后制成
如圖所示的頻率分布直方圖，則銷售價格的 80%分位數為( )
A. 26 B. 23 C. 21 D. 19
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8.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若 ′( )是 ( )的導函數， ′′( )是 ′( )
的導函數，則曲線 = ( ) | ″( )|在點( , ( ))處的曲率 = 3 .曲線 = 2 在點(0, (0))處的曲率
(1+( ′( ))2)2
為( )
A. 4 5 525 B. 2 C. 5 D. 2
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數據，甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的線
性相關系數分別為 1 = 0.95， 2 = 0.88， 3 = 0.9， 4 = 0.93，則( )
A.這四人中，丁研究的兩個隨機變量的線性相關程度最高
B.這四人中，乙研究的兩個隨機變量的線性相關程度最低
C.這四人中，甲研究的兩個隨機變量的線性相關程度最高
D.這四人中，甲研究的兩個隨機變量的線性相關程度最低
10.已知函數 ( ) = 3 + 3 2 + 2 + 9，若 ( )有兩個極值點，則實數 的取值可能是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2
11.已知 = ( 1)是定義在 上的奇函數，且 ( + 2) = (2 )，當 ∈ ( 1,2]時， ( ) = 2 + 2，則
( )
A.點( 1,0)為 ( )圖象的一個對稱中心 B. ( 1) = 32
C. ( )的一個周期為 12 D. (2025) = 3
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.在△ 中，角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，已知 = 4， = 2 2， = 4，則 = ______．
13.已知拋物線 ： 2 = 2 ( > 0)的焦點為 ， (1,4)為拋物線 內側一點， 為 上一動點，| | + | |
的最小值為 10，則 = ______．
14.設等比數列{ }

的前 項和為 8 12 ，若 = 6，則 = ______．4 4
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題 13 分)
在數列{ }中， 1 = 3， +1 = 2 + 3．
(1)求 ；
(2)設 =
1
，求數列{ }的前 項和 ．
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16.(本小題 15 分)
3
已知函數 ( ) = 2 +
2 + 2．
(1)若曲線 = ( )在點(1, (1))處的切線方程為 3 + = 0，求 ， ；
(2)若 ( )有三個零點，求實數 的取值范圍．
17.(本小題 15 分)
已知正方形 ，沿 將△ 折起到△ 的位置(如圖)， 為△ 的重心．
(1)在 邊上找一點 ，使得 //平面 ，并求出 的值．
(2)在(1)的條件下，設 ⊥ ．
①證明：平面 ⊥平面 ．
②求平面 與平面 所成角的余弦值．
18.(本小題 17 分)
2 2 2
已知橢圓 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的離心率為3，左、右焦點分別為 1， 2，過點 2且垂直于 軸的直線
10
被橢圓 所截得的線段長為 3．
(1)求橢圓 的方程；
(2)直線 = ( ≠ 0)與橢圓 交于 ， 兩點，連接 1，交橢圓 于點 ，若△ 的面積為 5，求直線
的方程．
19.(本小題 17 分)
在一次闖關游戲中，某一關有 ， ， 三道題.將這三道題按一定順序排好后(如第一道題為 題，第二道題
為 題，第三道題為 題)，玩家開始答題.若第一道題答對，則通過本關，停止答題，若沒有答對，則答第
二道題；若第二道題答對，則通過本關，停止答題，若沒有答對，則答第三道題；若第三道題答對，則通
過本關，若沒有答對，則沒有通過本關.假設每名玩家答對 ， ， 三道題的概率分別為 0.2，0.3，0.5.每次
答題正確與否相互獨立．
(1)求玩家通過這一關的概率．
(2)規定：答對 題積 30 分，答對 題積 20 分，答對 題積 10 分.現有兩種題序可供選擇：①第一道題為
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題，第二道題為 題，第三道題為 題；②第一道題為 題，第二道題為 題，第三道題為 題.為了在本關中
得到更多的積分，應該選擇哪種題序？
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13.12
14.31
15.(1)根據題意， = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + + ( 1)，
所以 = 3 + [5 + 7 + 9 + + (2 + 1)] =
[3+(2 +1)]
2 =
2 + 2 ( ≥ 2)，
又 1 = 3 滿足上式，所以 2 = + 2 ；
(2) 1 1 1 1 1因為 = = ( +2) = 2 ( +2 )，
= 1 1所以 2 (1 3 +
1 1+ + 1 1 ) = 12 4 +2 2 (1 +
1 1 1
2 +1 +2 )
即 =
3
4
2 +3
2( +1)( +2)．
3
16.(1)因為 ( ) = + 22 + 2，
3
所以 ′( ) = 22 + 2 ，
7 7
因為 (1) = 2 ， ′(1) = 2 ，
7 = 3
所以 27 ，
2 = 3 +
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1
解得 = 2；
= 0
(2)因為 ( )有三個零點，
3
即 2 有三個解，
2 + + 2 = 0
顯然 = 0 不是函數的零點，
2所以關于 的方程
2 + +
2 = 0 有三個不同的根，
2
即曲線 = + + 2與直線 = 有三個交點．2
2
令 ( ) = 2，2 + +
( ) = + 1 2 =
3+ 2 2 3 2 2
則 ′ 2 2 =
( 1)+( 1) ( 1)( +2 +2)
，
2 = 2
因為 2 + 2 + 2 > 0，
所以當 ∈ ( ∞,0)，(0,1)時， 1 < 0， ′( ) < 0；
當 ∈ (1, + ∞)時， 1 > 0， ′( ) > 0，
所以 ( )在( ∞,0)，(0,1)上單調遞減，在(1, + ∞)上單調遞增．
7 7
因為 (1) = 2，所以當 > 2時，直線 = 與曲線 = ( )有三個交點，
7
故實數 的取值范圍是( 2 , + ∞)．
17. (1) / / 2解： 當 平面 時， = 3．
證明如下：取 的中點 ，連接 ， ， ，
因為 為△ 2的重心，所以 = = 3，
所以 / / ，
因為 平面 ， 平面 ，
所以 / /平面 ．
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(2)①證明：取 的中點 ，連接 ， ， ，則 ⊥ ， ⊥ ，
因為 / / ， ⊥ ，所以 ⊥ ，
因為 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因為 平面 ，
所以 ⊥ ，
因為 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因為 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
②由①知，直線 ， ， 兩兩垂直，
以 為坐標原點，