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湖南省長沙市師大附中梅溪湖中學2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（2024七下·長沙期末）已知是二元一次方程的解，則k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：依題意，
解得：
故答案為：D．
【分析】使二元一次方程的左右兩邊相等的未知數的值就是該二元一次方程的解，據此將代入二元一次方程y-kx=7，得到關于k的一元一次方程，解該一元一次方程即可求出k的值.
2．（2024七下·長沙期末）不等式的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】解一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式，
系數化為1得：，
解集表示在數軸上，如圖所示：
故答案為：B．
【分析】先利用一元一次不等式的計算方法及步驟（先移項并合并同類項，再系數化為“1”即可）分析求出解集，再在數軸上表示出解集即可.
3．（2024七下·長沙期末） 一個七邊形的內角和等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】多邊形的內角和公式
【解析】【解答】解：由題意得七邊形的內角和為（7-2）×180°=900°，
故答案為：B
【分析】根據多邊形的內角和公式結合題意進行計算即可求解。
4．（2024七下·長沙期末）若，則下列不等式正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合題意；
∴，
故B符合題意；
∴，
故C不符合題意；
∴，
故D不符合題意；
故答案為：B．
【分析】根據不等式的性質逐項進行判斷即可求出答案.
5．（2024七下·長沙期末） 下列長度的四根木棒中，能與長度分別為2cm和5cm長的木棒構成三角形的是（　　）
A．3cm B．4cm C．7cm D．8cm
【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：設第三根木棒的長為，
根據三角形的三邊關系可得，，即：．
∴能與長度分別為2cm和5cm長的木棒構成三角形的是4cm．
故答案為：B．
【分析】根據三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可得，即可得到答案．
6．（2024七下·長沙期末）如圖，在中，，平分，，，則的面積是（　　）
A．12 B．8 C．24 D．11
【答案】A
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質
【解析】【解答】解：過D作于E，如圖所示：
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴
故答案為：A．
【分析】過D作于E，先利用角平分線的性質可得，再利用三角形的面積公式求出答案即可.
7．（2024七下·長沙期末）下列調查中，適宜采用全面調查方式的是（　　）
A．了解某種燈泡的使用壽命
B．了解一批冷飲的質量是否合格
C．檢測神舟十九號飛船的零件
D．了解全國九年級學生的視力情況
【答案】C
【知識點】全面調查與抽樣調查
【解析】【解答】解：A．了解某種燈泡的使用壽命，適合采用抽樣調查的方式，故本選項不合題意；
B．了解一批冷飲的質量是否合格，適合采用抽樣調查的方式，故本選項不合題意；
C．檢測神舟十九號飛船的零件，適合采用全面調查的方式，故本選項符合題意；
D．了解全國九年級學生的視力情況，適合采用抽樣調查的方式，故本選項不合題意．
故選：C．
【分析】
本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇全面調查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行全面調查、全面調查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用全面調查．由全面調查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似．
8．（2024七下·長沙期末）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，還需添加一個條件才能使△ABC≌△DEC，則不能添加的一組條件是（　　）
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE
C．∠A＝∠D D．AC＝DC
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC與△DEC中，AB＝DE，∠B＝∠E，
若BC＝EC，則可依據SAS證明△ABC≌△DEC，故A選項不符合題意；
若∠ACD＝∠BCE，可得∠ACB=∠DCE，則可依據AAS證明△ABC≌△DEC，故B選項不符合題意；
若∠A＝∠D，則可依據AAS證明△ABC≌△DEC，故C選項不符合題意；
若AC＝DC，則不能證明△ABC≌△DEC，故D選項符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等）、SAS（兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等）、AAS（兩角及其一角對應的邊相等的兩個三角形全等）、SSS（三邊分別相等的兩個三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜邊和直角邊對應相等的兩個三角形全等）逐項分析判斷即可.
9．（2024七下·長沙期末）如圖三角形紙片，剪去角后，得到一個四邊形，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：如圖，
∵ ∠A=60°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∠1=∠A+∠ACB
∠2=∠A+∠ABC
∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=60°+180°
=240°.
故選：C．
【分析】
利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和進行求解。
10．（2024七下·長沙期末）口味蝦、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是長沙著名的小吃，某興趣小組在班級發動了一項“舌尖上的長沙-我最喜歡的長沙小吃”調查活動，發現結果滿足以下三個條件：、
（1）喜歡嗦螺的人數少于喜歡口味蝦的人數；
（2）喜歡嗦螺的人數多于喜歡臭豆腐的人數；
（3）喜歡臭豆腐的人數的3倍多于喜歡口味蝦的人數．
若喜歡臭豆腐的人數為6，則喜歡嗦螺的人數的最大值為（　　）
A．16 B．6 C．17 D．7
【答案】A
【知識點】一元一次不等式組的應用
【解析】【解答】解：設喜歡嗦螺的人數是x，喜歡口味蝦的人數是y，
根據喜歡臭豆腐的人數是6人，
結合題意有：，且x和y都是正整數，
解得：，且x和y都是正整數，
即喜歡口味蝦的人數最多為17人，則喜歡嗦螺的人數最多為16人.
故答案為：A.
【分析】設喜歡嗦螺的人數是x，喜歡口味蝦的人數是y，根據條件(1)可得x6，根據條件(3)可得6×3>y，聯立可得x、y的范圍，然后結合x、y為正整數進行判斷即可.
二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（2024七下·長沙期末）已知，滿足方程組則　 　．
【答案】8
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
得，，
故答案為：．
【分析】
本題考查了加減消元法解二元一次方程組，將兩式相加即可求解．
12．（2024七下·長沙期末）x的與5的差不大于2，用不等式表示為　 　．
【答案】-5≤2
【知識點】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由題意得，-5≤2．
故答案為：-5≤2．
【分析】根據題干中不等的關系式直接列出不等式即可.
13．（2024七下·長沙期末）如圖，在中，分別是的高線和角平分線，若與構成的角為，則　 　度．
【答案】80
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中， ， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴
在中，，
∴
故答案為：．
【分析】先利用三角形的內角和及角的運算求出，再利用角平分線的定義可得，最后利用三角形的內角和求出∠C的度數即可.
14．（2024七下·長沙期末）如圖，若，，，則的長是　 　．
【答案】2
【知識點】三角形全等及其性質；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：，
故答案為：2．
【分析】先利用線段的和差求出AB的長，再利用全等三角形的性質可得DE的長，最后利用線段的和差求出BD的長即可.
15．（2024七下·長沙期末）如圖，在中，，點到三邊的距離相等，則的度數為　 　．
【答案】
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的判定；直角三角形的性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵點到三邊的距離相等，
∴點在的角平分線上，即與都是的角平分線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度數為．
故答案為：．
【分析】先利用角平分線的定義可得，，再利用角的運算和等量代換可得.
16．（2024七下·長沙期末）關于x的不等式組恰有三個整數解，則的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式組恰有三個整數解，
∴三個整數解為3、2、1，
∴，
故答案為：．
【分析】將字母m作為常數，根據解不等式的步驟分別解出各個不等式的解集，由不等式組有3個整數解可得三個整數解為3、2、1，從而確定出的范圍即可．
三、解答題（共9小題，滿分72分，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23每題9分，第24、25題每題10分）
17．（2024七下·長沙期末）計算：．
【答案】解：
【知識點】實數的運算
【解析】【分析】先利用有理數的乘方，二次根式、立方根和絕對值的性質化簡，再計算加減即可.
18．（2024七下·長沙期末）解不等式組：
【答案】解：
解①得：，
解②得：，
∴原不等式組的解集是：．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別解出兩個不等式的解集，再取解集的公共部分即可.
19．（2024七下·長沙期末）為了慶祝成都大運會勝利閉幕，我市某中學舉行了大運會相關知識的競賽，賽后隨機抽查部分參賽同學成績（滿分為100分），并制作成圖表如下．
分數段 頻數 頻率
請根據以上圖表提供的信息，解答下列問題：
（1）表中的數______；
（2）請在圖中補全頻數分布直方圖；
（3）若繪制扇形統計圖，分數段所對應扇形的圓心角的度數是______；
（4）全校共有名學生參加比賽，估計該校成績不低于分的學生有多少人？
【答案】（1）
（2）解：（人），
∴（人），
補全頻數分布直方圖如圖，
（3）
（4）解：，
∴估計該校成績不低于分的學生有人．
【知識點】頻數與頻率；頻數（率）分布直方圖；扇形統計圖；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：，
故答案為：；
（3）解：，
故答案為：.
【分析】（1）根據頻率統計表中的數據列出算式求解即可；
（2）先求出m的值，再作出條形統計圖即可；
（3）先求出“”的百分比，再乘以360°即可；
（4）先求出“成績不低于分”的百分比，再乘以800可得答案.
（1）解：，
故答案為：；
（2）解：（人），
∴（人），
補全頻數分布直方圖如圖，
（3）解：，
故答案為：；
（4）解：，
∴估計該校成績不低于分的學生有人．
20．（2024七下·長沙期末）已知關于x，y的方程組，其中a是實數．
（1）若，求a的值；
（2）若方程組的解也是方程的一個解，求的值；
【答案】（1）解：∵，
∴可得，
解得：；
（2）解：，得：，
解得：，
把代入①得：
解得：
∵方程組的解也是方程的一個解，
∴
解得：，
∴
【知識點】二元一次方程的解；解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，靈活運用加減消元法是解題的關鍵．
（1）根據x=y得出0=2a+1，然后可求出a的值；
（2）先解方程組得出y=a-2，x=3a-1，根據方程組的解也是方程x-5y=3的一個解，把y=a-2，x=3a-1，代入x-5y=3 ，求出a=3，然后再把a=3代入計算即可．
21．（2024七下·長沙期末）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面積．
【答案】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE=DF，DE=4，
∴DF=4，
∵AC=16，
∴△ADC的面積是×AC×DF=×16×4=32．
【知識點】三角形的面積；直角三角形全等的判定-HL；角平分線的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”證出Rt△BED≌Rt△CFD，再利用全等三角形的性質可得DE=DF，結合DE⊥AB，DF⊥AC，即可證出AD平分∠BAC；
（2）先求出DF=4，再結合AC=16，利用三角形的面積公式求解即可.
22．（2024七下·長沙期末）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，現決定購買獲得茅盾文學獎的甲，乙兩種書共100本，已知購買4本甲種書和2本乙種書共需200元；購買6本甲種書和4本乙種書共需330元．
（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；
（2）若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3103元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？
【答案】（1）解：設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，
根據題意得：，
解得：．
答：甲種書的單價是35元，乙種書的單價是30元.
（2）解：設該校購買甲種書m本，則購買乙種書本，
根據題意得：，
解得：，且為整數，
m的最大值為20，
答：該校最多可以購買甲種書20本．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，根據“ 購買4本甲種書和2本乙種書共需200元；購買6本甲種書和4本乙種書共需330元 ”列出方程組，再求解即可；
（2）設該校購買甲種書m本，則購買乙種書本，根據“ 購買以上兩種書的總費用不超過3103元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，
根據題意得：，
解得：．
答：甲種書的單價是35元，乙種書的單價是30元；
（2）設該校購買甲種書m本，則購買乙種書本，
根據題意得：，
解得：，且為整數，
m的最大值為20，
答：該校最多可以購買甲種書20本．
23．（2024七下·長沙期末）如圖，，垂足為F．
（1）求證：；
（2）若，求四邊形的面積；
（3）求的度數．
【答案】（1）證明：∵，即，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，且，則，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為32.
（3）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴的度數為．
【知識點】三角形的面積；三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的運算和等量代換可得，再利用“SAS”證出即可；
（2）先證出，再利用三角形的面積公式求出，從而得解；
（3）先利用全等三角形的性質可得，再利用角的運算和等量代換可得的度數為．
（1）證明：∵，即，
∴，且，
∴；
（2）解：∵，且，
則，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為32；
（3）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴的度數為．
24．（2024七下·長沙期末）定義：關于的二元一次方程（其中）中的常數項與未知數系數互換，得到的方程叫“變更方程”，例如：的”變更方程”為．
（1）方程與它的“變更方程”組成的方程組的解為______；
（2）已知關于的二元一次方程的系數滿足，且與它的“變更方程”組成的方程組的解恰好是關于的二元一次方程的一個解，求代數式的值；
（3）已知整數滿足條件，并且是關于的二元一次方程的“變更方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：根據題意，的”變更方程”為，
∴聯立方程組得，，
解得：，
∵，則，
∴，即，
∵是二元一次方程的一個解，
∴，則，
∴
.
（3）解：是關于的二元一次方程的“變更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，則，
∵是整數，
∴．
【知識點】二元一次方程的解；二元一次方程組的解；解一元一次不等式組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】（1）解：與它的“變更方程”為，
∴聯立方程組為，
解得，，
故答案為：.
【分析】（1）利用“變更方程”的定義可得，再求解即可；
（2）先聯立方程組求出方程組的解，再根據“是二元一次方程的一個解”可得，則，最后將其代入計算即可；
（3）先聯立方程組求出方程組的解，再結合“”可得，求出，再結合，求解即可.
（1）解：與它的“變更方程”為，
∴聯立方程組為，
解得，，
故答案為：；
（2）解：根據題意，的”變更方程”為，
∴聯立方程組得，，
解得，，
∵，則，
∴，即，
∵是二元一次方程的一個解，
∴，則，
∴
；
（3）解：是關于的二元一次方程的“變更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，則，
∵是整數，
∴．
25．（2024七下·長沙期末）在平面直角坐標系中，點的坐標是，點的坐標是，點是軸正半軸上的一個動點（不與重合），過點作交直線于．交軸于．
（1）如圖，當點的坐標是時，求點的坐標；
（2）連接，當點在軸正半軸上運動時，的大小是否會發生變化，如果不變，求出的值，如果改變，請說明理由．
（3）當在之間且時，是射線上一點，且，動點從點出發，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，同時動點從點出發，沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，當點到達點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當與全等時，求t的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴.
（2）解：如圖所示，過點作于點，作于點，
∴，且，
∴四邊形是矩形，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是角平分線，
∴，
∴當點在軸正半軸上運動時，的大小不會發生變化，即.
（3）解：解：已知，
∴，，且，
∴在中，，
∴，
由（1）的證明可得，，
∴，
∴，
∴，
如圖所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點是每秒1個單位，點是每秒4個單位，
∴，，則點從的時間為：，
第一種情況，當在上時，，則，
∴，且，
∴，
解得，；
第二種情況，當在的延長線上時，如圖所示，
∵，且，即，
∴，
∴不存在；
綜上所述，當與全等時，．
【知識點】坐標與圖形性質；三角形全等及其性質；三角形全等的判定；一元一次方程的實際應用-幾何問題；三角形-動點問題
【解析】【分析】（1）先利用角的運算和等量代換可得，再利用“ASA”證出，利用全等三角形的性質可得，再結合OE=2，從而可得點C的坐標；
（2）過點作于點，作于點，先利用“AAS”證出，可得，再利用“HL”證出，可得，最后利用角平分線的定義可得，從而得解；
（3）先求出點F的坐標，再分類討論：①當在上時，，②當在的延長線上時，先分別畫出圖形再利用方程求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
（2）解：如圖所示，過點作于點，作于點，
∴，且，
∴四邊形是矩形，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是角平分線，
∴，
∴當點在軸正半軸上運動時，的大小不會發生變化，即；
（3）解：已知，
∴，，且，
∴在中，，
∴，
由（1）的證明可得，，
∴，則，
∴，
如圖所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點是每秒1個單位，點是每秒4個單位，
∴，，則點從的時間為：，
第一種情況，當在上時，，則，
∴，且，
∴，
解得，；
第二中情況，當在的延長線上時，如圖所示，
∵，且，即，
∴，
∴不存在；
綜上所述，當與全等時，．
1 / 1湖南省長沙市師大附中梅溪湖中學2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（2024七下·長沙期末）已知是二元一次方程的解，則k的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·長沙期末）不等式的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·長沙期末） 一個七邊形的內角和等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·長沙期末）若，則下列不等式正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·長沙期末） 下列長度的四根木棒中，能與長度分別為2cm和5cm長的木棒構成三角形的是（　　）
A．3cm B．4cm C．7cm D．8cm
6．（2024七下·長沙期末）如圖，在中，，平分，，，則的面積是（　　）
A．12 B．8 C．24 D．11
7．（2024七下·長沙期末）下列調查中，適宜采用全面調查方式的是（　　）
A．了解某種燈泡的使用壽命
B．了解一批冷飲的質量是否合格
C．檢測神舟十九號飛船的零件
D．了解全國九年級學生的視力情況
8．（2024七下·長沙期末）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，還需添加一個條件才能使△ABC≌△DEC，則不能添加的一組條件是（　　）
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE
C．∠A＝∠D D．AC＝DC
9．（2024七下·長沙期末）如圖三角形紙片，剪去角后，得到一個四邊形，則（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·長沙期末）口味蝦、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是長沙著名的小吃，某興趣小組在班級發動了一項“舌尖上的長沙-我最喜歡的長沙小吃”調查活動，發現結果滿足以下三個條件：、
（1）喜歡嗦螺的人數少于喜歡口味蝦的人數；
（2）喜歡嗦螺的人數多于喜歡臭豆腐的人數；
（3）喜歡臭豆腐的人數的3倍多于喜歡口味蝦的人數．
若喜歡臭豆腐的人數為6，則喜歡嗦螺的人數的最大值為（　　）
A．16 B．6 C．17 D．7
二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（2024七下·長沙期末）已知，滿足方程組則　 　．
12．（2024七下·長沙期末）x的與5的差不大于2，用不等式表示為　 　．
13．（2024七下·長沙期末）如圖，在中，分別是的高線和角平分線，若與構成的角為，則　 　度．
14．（2024七下·長沙期末）如圖，若，，，則的長是　 　．
15．（2024七下·長沙期末）如圖，在中，，點到三邊的距離相等，則的度數為　 　．
16．（2024七下·長沙期末）關于x的不等式組恰有三個整數解，則的取值范圍是　 　．
三、解答題（共9小題，滿分72分，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23每題9分，第24、25題每題10分）
17．（2024七下·長沙期末）計算：．
18．（2024七下·長沙期末）解不等式組：
19．（2024七下·長沙期末）為了慶祝成都大運會勝利閉幕，我市某中學舉行了大運會相關知識的競賽，賽后隨機抽查部分參賽同學成績（滿分為100分），并制作成圖表如下．
分數段 頻數 頻率
請根據以上圖表提供的信息，解答下列問題：
（1）表中的數______；
（2）請在圖中補全頻數分布直方圖；
（3）若繪制扇形統計圖，分數段所對應扇形的圓心角的度數是______；
（4）全校共有名學生參加比賽，估計該校成績不低于分的學生有多少人？
20．（2024七下·長沙期末）已知關于x，y的方程組，其中a是實數．
（1）若，求a的值；
（2）若方程組的解也是方程的一個解，求的值；
21．（2024七下·長沙期末）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面積．
22．（2024七下·長沙期末）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，現決定購買獲得茅盾文學獎的甲，乙兩種書共100本，已知購買4本甲種書和2本乙種書共需200元；購買6本甲種書和4本乙種書共需330元．
（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；
（2）若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3103元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？
23．（2024七下·長沙期末）如圖，，垂足為F．
（1）求證：；
（2）若，求四邊形的面積；
（3）求的度數．
24．（2024七下·長沙期末）定義：關于的二元一次方程（其中）中的常數項與未知數系數互換，得到的方程叫“變更方程”，例如：的”變更方程”為．
（1）方程與它的“變更方程”組成的方程組的解為______；
（2）已知關于的二元一次方程的系數滿足，且與它的“變更方程”組成的方程組的解恰好是關于的二元一次方程的一個解，求代數式的值；
（3）已知整數滿足條件，并且是關于的二元一次方程的“變更方程”，求的值．
25．（2024七下·長沙期末）在平面直角坐標系中，點的坐標是，點的坐標是，點是軸正半軸上的一個動點（不與重合），過點作交直線于．交軸于．
（1）如圖，當點的坐標是時，求點的坐標；
（2）連接，當點在軸正半軸上運動時，的大小是否會發生變化，如果不變，求出的值，如果改變，請說明理由．
（3）當在之間且時，是射線上一點，且，動點從點出發，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，同時動點從點出發，沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，當點到達點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當與全等時，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：依題意，
解得：
故答案為：D．
【分析】使二元一次方程的左右兩邊相等的未知數的值就是該二元一次方程的解，據此將代入二元一次方程y-kx=7，得到關于k的一元一次方程，解該一元一次方程即可求出k的值.
2．【答案】B
【知識點】解一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式，
系數化為1得：，
解集表示在數軸上，如圖所示：
故答案為：B．
【分析】先利用一元一次不等式的計算方法及步驟（先移項并合并同類項，再系數化為“1”即可）分析求出解集，再在數軸上表示出解集即可.
3．【答案】B
【知識點】多邊形的內角和公式
【解析】【解答】解：由題意得七邊形的內角和為（7-2）×180°=900°，
故答案為：B
【分析】根據多邊形的內角和公式結合題意進行計算即可求解。
4．【答案】B
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合題意；
∴，
故B符合題意；
∴，
故C不符合題意；
∴，
故D不符合題意；
故答案為：B．
【分析】根據不等式的性質逐項進行判斷即可求出答案.
5．【答案】B
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：設第三根木棒的長為，
根據三角形的三邊關系可得，，即：．
∴能與長度分別為2cm和5cm長的木棒構成三角形的是4cm．
故答案為：B．
【分析】根據三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可得，即可得到答案．
6．【答案】A
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質
【解析】【解答】解：過D作于E，如圖所示：
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴
故答案為：A．
【分析】過D作于E，先利用角平分線的性質可得，再利用三角形的面積公式求出答案即可.
7．【答案】C
【知識點】全面調查與抽樣調查
【解析】【解答】解：A．了解某種燈泡的使用壽命，適合采用抽樣調查的方式，故本選項不合題意；
B．了解一批冷飲的質量是否合格，適合采用抽樣調查的方式，故本選項不合題意；
C．檢測神舟十九號飛船的零件，適合采用全面調查的方式，故本選項符合題意；
D．了解全國九年級學生的視力情況，適合采用抽樣調查的方式，故本選項不合題意．
故選：C．
【分析】
本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇全面調查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行全面調查、全面調查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用全面調查．由全面調查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似．
8．【答案】D
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC與△DEC中，AB＝DE，∠B＝∠E，
若BC＝EC，則可依據SAS證明△ABC≌△DEC，故A選項不符合題意；
若∠ACD＝∠BCE，可得∠ACB=∠DCE，則可依據AAS證明△ABC≌△DEC，故B選項不符合題意；
若∠A＝∠D，則可依據AAS證明△ABC≌△DEC，故C選項不符合題意；
若AC＝DC，則不能證明△ABC≌△DEC，故D選項符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等）、SAS（兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等）、AAS（兩角及其一角對應的邊相等的兩個三角形全等）、SSS（三邊分別相等的兩個三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜邊和直角邊對應相等的兩個三角形全等）逐項分析判斷即可.
9．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：如圖，
∵ ∠A=60°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∠1=∠A+∠ACB
∠2=∠A+∠ABC
∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=60°+180°
=240°.
故選：C．
【分析】
利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和進行求解。
10．【答案】A
【知識點】一元一次不等式組的應用
【解析】【解答】解：設喜歡嗦螺的人數是x，喜歡口味蝦的人數是y，
根據喜歡臭豆腐的人數是6人，
結合題意有：，且x和y都是正整數，
解得：，且x和y都是正整數，
即喜歡口味蝦的人數最多為17人，則喜歡嗦螺的人數最多為16人.
故答案為：A.
【分析】設喜歡嗦螺的人數是x，喜歡口味蝦的人數是y，根據條件(1)可得x6，根據條件(3)可得6×3>y，聯立可得x、y的范圍，然后結合x、y為正整數進行判斷即可.
11．【答案】8
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
得，，
故答案為：．
【分析】
本題考查了加減消元法解二元一次方程組，將兩式相加即可求解．
12．【答案】-5≤2
【知識點】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由題意得，-5≤2．
故答案為：-5≤2．
【分析】根據題干中不等的關系式直接列出不等式即可.
13．【答案】80
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中， ， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴
在中，，
∴
故答案為：．
【分析】先利用三角形的內角和及角的運算求出，再利用角平分線的定義可得，最后利用三角形的內角和求出∠C的度數即可.
14．【答案】2
【知識點】三角形全等及其性質；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：，
故答案為：2．
【分析】先利用線段的和差求出AB的長，再利用全等三角形的性質可得DE的長，最后利用線段的和差求出BD的長即可.
15．【答案】
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的判定；直角三角形的性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵點到三邊的距離相等，
∴點在的角平分線上，即與都是的角平分線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度數為．
故答案為：．
【分析】先利用角平分線的定義可得，，再利用角的運算和等量代換可得.
16．【答案】
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式組恰有三個整數解，
∴三個整數解為3、2、1，
∴，
故答案為：．
【分析】將字母m作為常數，根據解不等式的步驟分別解出各個不等式的解集，由不等式組有3個整數解可得三個整數解為3、2、1，從而確定出的范圍即可．
17．【答案】解：
【知識點】實數的運算
【解析】【分析】先利用有理數的乘方，二次根式、立方根和絕對值的性質化簡，再計算加減即可.
18．【答案】解：
解①得：，
解②得：，
∴原不等式組的解集是：．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別解出兩個不等式的解集，再取解集的公共部分即可.
19．【答案】（1）
（2）解：（人），
∴（人），
補全頻數分布直方圖如圖，
（3）
（4）解：，
∴估計該校成績不低于分的學生有人．
【知識點】頻數與頻率；頻數（率）分布直方圖；扇形統計圖；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：，
故答案為：；
（3）解：，
故答案為：.
【分析】（1）根據頻率統計表中的數據列出算式求解即可；
（2）先求出m的值，再作出條形統計圖即可；
（3）先求出“”的百分比，再乘以360°即可；
（4）先求出“成績不低于分”的百分比，再乘以800可得答案.
（1）解：，
故答案為：；
（2）解：（人），
∴（人），
補全頻數分布直方圖如圖，
（3）解：，
故答案為：；
（4）解：，
∴估計該校成績不低于分的學生有人．
20．【答案】（1）解：∵，
∴可得，
解得：；
（2）解：，得：，
解得：，
把代入①得：
解得：
∵方程組的解也是方程的一個解，
∴
解得：，
∴
【知識點】二元一次方程的解；解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，靈活運用加減消元法是解題的關鍵．
（1）根據x=y得出0=2a+1，然后可求出a的值；
（2）先解方程組得出y=a-2，x=3a-1，根據方程組的解也是方程x-5y=3的一個解，把y=a-2，x=3a-1，代入x-5y=3 ，求出a=3，然后再把a=3代入計算即可．
21．【答案】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE=DF，DE=4，
∴DF=4，
∵AC=16，
∴△ADC的面積是×AC×DF=×16×4=32．
【知識點】三角形的面積；直角三角形全等的判定-HL；角平分線的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”證出Rt△BED≌Rt△CFD，再利用全等三角形的性質可得DE=DF，結合DE⊥AB，DF⊥AC，即可證出AD平分∠BAC；
（2）先求出DF=4，再結合AC=16，利用三角形的面積公式求解即可.
22．【答案】（1）解：設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，
根據題意得：，
解得：．
答：甲種書的單價是35元，乙種書的單價是30元.
（2）解：設該校購買甲種書m本，則購買乙種書本，
根據題意得：，
解得：，且為整數，
m的最大值為20，
答：該校最多可以購買甲種書20本．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，根據“ 購買4本甲種書和2本乙種書共需200元；購買6本甲種書和4本乙種書共需330元 ”列出方程組，再求解即可；
（2）設該校購買甲種書m本，則購買乙種書本，根據“ 購買以上兩種書的總費用不超過3103元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，
根據題意得：，
解得：．
答：甲種書的單價是35元，乙種書的單價是30元；
（2）設該校購買甲種書m本，則購買乙種書本，
根據題意得：，
解得：，且為整數，
m的最大值為20，
答：該校最多可以購買甲種書20本．
23．【答案】（1）證明：∵，即，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，且，則，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為32.
（3）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴的度數為．
【知識點】三角形的面積；三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的運算和等量代換可得，再利用“SAS”證出即可；
（2）先證出，再利用三角形的面積公式求出，從而得解；
（3）先利用全等三角形的性質可得，再利用角的運算和等量代換可得的度數為．
（1）證明：∵，即，
∴，且，
∴；
（2）解：∵，且，
則，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為32；
（3）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴的度數為．
24．【答案】（1）
（2）解：根據題意，的”變更方程”為，
∴聯立方程組得，，
解得：，
∵，則，
∴，即，
∵是二元一次方程的一個解，
∴，則，
∴
.
（3）解：是關于的二元一次方程的“變更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，則，
∵是整數，
∴．
【知識點】二元一次方程的解；二元一次方程組的解；解一元一次不等式組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】（1）解：與它的“變更方程”為，
∴聯立方程組為，
解得，，
故答案為：.
【分析】（1）利用“變更方程”的定義可得，再求解即可；
（2）先聯立方程組求出方程組的解，再根據“是二元一次方程的一個解”可得，則，最后將其代入計算即可；
（3）先聯立方程組求出方程組的解，再結合“”可得，求出，再結合，求解即可.
（1）解：與它的“變更方程”為，
∴聯立方程組為，
解得，，
故答案為：；
（2）解：根據題意，的”變更方程”為，
∴聯立方程組得，，
解得，，
∵，則，
∴，即，
∵是二元一次方程的一個解，
∴，則，
∴
；
（3）解：是關于的二元一次方程的“變更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，則，
∵是整數，
∴．
25．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴.
（2）解：如圖所示，過點作于點，作于點，
∴，且，
∴四邊形是矩形，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是角平分線，
∴，
∴當點在軸正半軸上運動時，的大小不會發生變化，即.
（3）解：解：已知，
∴，，且，
∴在中，，
∴，
由（1）的證明可得，，
∴，
∴，
∴，
如圖所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點是每秒1個單位，點是每秒4個單位，
∴，，則點從的時間為：，
第一種情況，當在上時，，則，
∴，且，
∴，
解得，；
第二種情況，當在的延長線上時，如圖所示，
∵，且，即，
∴，
∴不存在；
綜上所述，當與全等時，．
【知識點】坐標與圖形性質；三角形全等及其性質；三角形全等的判定；一元一次方程的實際應用-幾何問題；三角形-動點問題
【解析】【分析】（1）先利用角的運算和等量代換可得，再利用“ASA”證出，利用全等三角形的性質可得，再結合OE=2，從而可得點C的坐標；
（2）過點作于點，作于點，先利用“AAS”證出，可得，再利用“HL”證出，可得，最后利用角平分線的定義可得，從而得解；
（3）先求出點F的坐標，再分類討論：①當在上時，，②當在的延長線上時，先分別畫出圖形再利用方程求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
（2）解：如圖所示，過點作于點，作于點，
∴，且，
∴四邊形是矩形，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是角平分線，
∴，
∴當點在軸正半軸上運動時，的大小不會發生變化，即；
（3）解：已知，
∴，，且，
∴在中，，
∴，
由（1）的證明可得，，
∴，則，
∴，
如圖所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點是每秒1個單位，點是每秒4個單位，
∴，，則點從的時間為：，
第一種情況，當在上時，，則，
∴，且，
∴，
解得，；
第二中情況，當在的延長線上時，如圖所示，
∵，且，即，
∴，
∴不存在；
綜上所述，當與全等時，．
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