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2024-2025學年河南省焦作市高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.在等比數列中，，則( )
A. B. C. D.
3.已知函數的最小正周期為，則( )
A. B. C. D.
4.某火箭發射離開發射架后，距離地面的高度單位：與時間單位：的函數關系式是，設其在時的瞬時速度為，則當其瞬時速度為時，( )
A. B. C. D.
5.過點且與曲線相切的直線方程為( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.已知數列，的通項公式分別為，，由，的公共項從小到大排列得到的數列為，則( )
A. B. C. D.
7.已知函數及其導函數滿足，且，則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
8.若，，，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，則( )
A. 的實部為 B. 在復平面內對應的點位于第四象限
C. D. 是方程的復數根
10.如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是棱，，，的中點，則( )
A. ，，，四點共面
B.
C. 平面
D. 三棱錐的體積為
11.已知數列中，，，則( )
A. 是遞增數列 B. ，
C. ， D. 數列的前項和為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.的展開式中常數項為______．
13.某農場種植了一批梨樹，從中隨機抽取棵，單株產量單位：千克分別為：，，，，，，，，，，，，，，若規定單株產量小于等于分位數的梨樹需重點養護，則估計需重點養護的梨樹單株產量的最大值為______千克．
14.在數列中，，且，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，內角，，的對邊分別為，，，已知．
求；
若，證明：是直角三角形．
16.本小題分
已知函數，．
若，求曲線在點處的切線方程；
若在上單調遞減，求的取值范圍．
17.本小題分
已知曲線，直線與交于，兩點．
若從，，，，，中任選一個數作為，求是橢圓的概率；
已知是上與，均不重合的點，設直線，的斜率分別為，，若，求的方程．
18.本小題分
已知，，都是正項數列，且滿足，，的前項和．
若是等比數列，求的公比；
若是等差數列，求的通項公式；
在的條件下，若，證明是等比數列，并求．
19.本小題分
設，是不同的正數，我們稱為，的對數平均值，且，該不等式稱為“對數平均不等式”．
任意選擇“對數平均不等式”的一邊給出證明注：如果兩邊都給出證明，按第一個證明計分
已知函數有兩個極值點，，且．
求的取值范圍；
利用“對數平均不等式”證明：．
參考答案
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13.
14.
15.因為，
所以由正弦定理得：，
即，得，
又因為，所以，所以，解得，
又因為，所以．
證明：因為，所以由正弦定理得，
由余弦定理得：，
即，
化簡得，所以，
因此，
所以是直角三角形．
16.若，則，，
所以，又，
所以所求切線方程為即．
因為在上單調遞減，所以當時，，
即，亦即．
令，，則，故在上單調遞增，
所以．
要使，只需，故的取值范圍是．
17.當時，是是圓，當或時，是橢圓，
當時，是雙曲線，
綜上，從，，，，，中任選一個數作為，是橢圓的概率為；
設，那么，記為，
設，那么，記為，
得，因此，
那么，
因此，解得，那么：．
18.，，都是正項數列，且滿足，，的前項和，
，
設的公比為，則上式等價于，
整理得，解得舍去．
，，
，即，，
的公差，
．
證明：由得，
，兩式作差得，
整理得，
，即，，
是首項為，公比為的等比數列．
，則，
．
19.證明左邊不等式：．
證明：不妨設，要證上式成立，即證成立，即證成立．
令，，即證．
設，則，所以在上單調遞減，
所以當時，，即成立，故原不等式成立．
證明右邊不等式：．
證明：設，要證上式成立，即證成立，即證明成立．
令，，即證．
設，則，所以在上單調遞增．
所以當時，，即成立，故原不等式成立．
的定義域為，，
因為有兩個極值點，所以有兩個異號零點．
令，則，．
若，則在上單調遞增，此時即不可能有兩個零點，不符合題意．
若，令，得，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．
所以，
且當時，，當時，，
要使有兩個零點，只需，得，經檢驗符合題意，
因此，的取值范圍是．
證明：由知，是的兩個根，所以，
從而．
由對數平均不等式可得，
故，且，即，
所以．
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