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2024-2025學年廣東省揭陽市高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知全集，，，則( )
A. B. C. D.
2.若，，則“”的一個充分不必要條件可以是( )
A. B. C. D.
3.有下列一組數據：，，，，，，，，，則這組數據的上四分位數是( )
A. B. C. D.
4.已知偶函數在區間上單調遞增，則滿足的的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱柱的棱長均為為的中點，則四面體的體積為( )
A. B. C. D.
6.已知函數的零點分別為，，，則，，的大小關系為( )
A. B. C. D.
7.已知命題：，為真命題，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. 或 D.
8.在揭陽馬拉松比賽活動中，四位志愿者，，，被隨機分配到四個物資發放點站點，每人原屬站點分別為，，，規定每人不能分配到原屬站點，則志愿者被分配到站點的概率是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.如圖，在平行四邊形中，，分別是邊上的兩個三等分點，則下列選項正確的有( )
A.
B.
C.
D.
10.設函數，則下列結論正確的是( )
A. 是的一個周期 B. 的圖象關于直線對稱
C. 的一個零點為 D. 在區間上單調遞減
11.已知函數是定義在上的奇函數，是偶函數，當時，，則下列說法中正確的有( )
A. 是的一個周期 B. 的圖象關于直線對稱
C. D. 方程恰有不同的實數根
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知隨機事件，，，和互斥，和對立，且，，則______．
13.已知函數若只有一個零點，則的取值范圍是______．
14.已知，，，四點都在體積為的球的表面上，若是球的直徑，且，，則三棱錐體積的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知的內角、、的對邊分別為、、，有余弦定理：
，
，
．
在上面三個等式中，任選一個等式進行證明；
若，，，求的面積．
16.本小題分
潮汕英歌舞以其動作剛勁有力，節奏感強的特色，備受人們喜愛某校組織英歌隊進行訓練并作了匯報表演，為了解訓練成果，做了一次問卷調查，問卷所涉及的問題均量化成對應的分數滿分分，從所有答卷中隨機抽取份的分數作為樣本，將樣本的分數成績均為不低于分的整數且在組內均勻分布分成五段：，，，，得到如下所示的頻數分布表．
樣本分數段
頻數
頻率
求頻數分布表中和的值，并估計樣本成績的平均數；
經計算，樣本中分數在區間內的平均數為，方差為；在區間內的平均數為，方差為，求兩組成績的總平均數和總方差．
17.本小題分
如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于，的動點，，是圓柱的兩條母線．
求證：平面平面；
若，，圓柱的母線長為，求平面與平面夾角的余弦值．
18.本小題分
已知函數的最大值為．
求常數的值；
求函數的單調遞減區間；
設，為函數的兩個相異零點，求的最小值．
19.本小題分
通過平面直角坐標系，我們可以用有序實數對表示向量類似的，我們可以把有序復數對看作一個向量，記，稱為復向量類比平面向量的相關運算法則，對于，，我們有如下運算法則：，；；；．
設，求和；
類比平面向量數量積滿足的運算律，得出復向量的一個相關結論：，判斷上述結論是否正確，并說明理由；
設，集合，求的最小值，并證明當取最小值時，對于任意的．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.證明：設，，，
所以，
，
即．
同理可得，．
由，
由正弦定理得，
因為，，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以．
16.由，
解得，則，
，
綜上所述平均數的估計值為；
由表可知，內的頻數為，內的頻數為，
故兩組成績的總平均數，
兩組成績的總方差．
所以兩組成績的總平均數是，總方差是．
17.證明：因為是底面圓的一條直徑，是下底面圓周上異于，的動點，
所以，
又因為是圓柱的一條母線，所以底面，
因為底面，所以，
因為平面，平面，且，
所以平面，
又因為平面，
所以平面平面．
如圖所示，過點作圓柱的母線，連接，．
因為底面底面，所以即求平面與平面的夾角．
因為，在底面的射影為，，且為下底面圓的直徑，
所以為上底面圓的直徑，
因為是圓柱的母線，所以平面，
因為平面，所以．
又因為為上底面圓的直徑，所以，
因為，平面，，
所以平面，
因為平面，所以，又因為平面平面，
所以為平面與平面的夾角，
又因為在底面的射影為，所以，，
所以，又因為母線長為，所以，
又因為平面，平面，
所以，
所以，
所以，
即平面與平面夾角的余弦值為．
18.由題意得．
根據的最大值為，解得．
由知，令，
解得，可知的單調遞減區間為．
令，得，
因為，為的兩個相異零點，所以，
可能有如下兩種情況：
，
，解得；
，且，
或，且，此時．
綜上所述，，即的最小值為．
19.由，
得，
．
．
設，
，
，
因為，
所以，因此正確．
證明：不妨令，則，
則
，
當時，取得最小值，
此時，
設滿足條件的，
則，
．
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