資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2025年新九年級數學人教版暑假大講堂
第七講 實際問題與一元二次方程（二）
知識點梳理
知識點1 與圖形有關的問題
與圖形有關的問題通常涉及面積、周長、邊長等幾何量的計算。這類問題可能需要利用一元二次方程來求解。例如，已知矩形的面積和一邊長，求另一邊長；或者知道三角形的兩邊長和第三邊的方程，求三角形的周長等。
要點詮釋：
面積問題應注意三點：
（1）圖形的面積公式是基本的等量關系
（2）利用平移的性質把零散的圖形拼接在一起
（3）取舍根時注意圖形中邊長的限制。
知識點2 動態幾何問題
動態幾何問題涉及圖形在運動或變化過程中的性質。這類問題可能需要通過一元二次方程來描述圖形的運動軌跡或變化規律。例如，一個點在一個圓上運動，其到圓心的距離與運動時間的關系可能符合一元二次方程。
要點詮釋：
（1）明確動點的運動方向、速度及終止條件（如到達終點停止），將運動過程分段處理。分階段計算。
（2）注意時間變量的取值范圍
知識點3 圖形圖表信息問題
一元二次方程實際問題中圖表信息問題的解題要點主要包括以下幾個步驟 ：
分析題意，找到題中未知數和題給條件的相等關系 ：首先，需要仔細閱讀題目，理解題目中的條件和要求，明確需要求解的未知數。然后，找出題目中給出的條件與未知數之間的關系，通常這種關系可以通過等式來表示。
設未知數，并用所設的未知數的代數式表示其余的未知數 ：根據找到的相等關系，設定一個或多個未知數。然后，用這些未知數表示題目中給出的其他數值或條件。
找出相等關系，并用它列出方程 ：根據設定的未知數和找到的相等關系，列出包含這些未知數的等式。這個等式就是一元二次方程。
解方程求出題中未知數的值 ：使用代數方法解這個一元二次方程，求出未知數的值。這一步可能需要使用配方法、公式法等方法。
檢驗所求的答案是否符合題意 ：最后，將求得的答案代入原問題中進行檢驗，確保答案符合題目的所有條件。
題型1 圖形面積問題
【例1】．如圖，某校課外生物小組的試驗園地是長32米 寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為578平方米，則小道的寬為多少米
針對訓練1
1．某園林公司舉行盆景展覽，如圖所示是用這兩種盆景擺成的圖案，黑色圓點為六月雪盆景，黑色正方形為九里香盆景．圖1中六月雪盆景數量為4，九里香盆景數量為2；圖2中六月雪盆景數量為6，九里香盆景數量為6；圖3中六月雪盆景數量為8，九里香盆景數量為12；…
按照以上規律，解決下列問題：
(1)圖5中，六月雪盆景數量為_______，九里香盆景數量為_______；
(2)若園林公司用這兩種盆景共132盆按如上規律擺成一個圖案，請求出該圖案中六月雪和九里香這兩種盆景分別多少盆？
2．某社區計劃將一個長12米、寬8米的長方形花壇擴建為公共休息區．擴建方案是在花壇四面修建一條寬度相同的小道，使擴建后的長方形公共休息區的總面積為192平方米．
(1)求這條小道的寬度；
(2)如果用籬笆圍住擴建后的休息區，需要多少米籬笆？
3．綜合與實踐．
項目主題：制作新學期的開學手冊封面
素材一：小華設計的開學手冊的封面是尺寸為長，寬的長方形，正中央有一個長方形邊框，其四周是邊襯．上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，且上下邊襯的寬度是左右邊襯寬度的一半．小華設計的邊襯面積為172．
素材二：封面邊框內需要張貼一張長方形的校園照片．為了使排版規范，照片的長寬比例等于邊框的長寬比例．小華設計照片到邊框下方的下距為，到邊框左右的左距與右距，以及到邊框上方的上距都為．
【任務一】設上邊襯的寬度為，用含x的代數式表示邊框的長和寬．
【任務二】求邊框的長和寬．
【任務三】通過計算說明，小華的設計是否規范．
4．根據以下素材，探索完成任務．
探索設計停車場
背景 社區利用一塊長方形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示，空地四周圍墻，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角．已知，．按照中小車型停車位劃線標準，停車位的寬度都相同，且停車位的寬度不小于．
方案 如圖，設計四列陰影部分為停車位，且停車位的寬度相同，即，其余部分是等寬的通道．
任務1 若停車位總面積為，請計算停車位的寬度是否符合標準．
任務2 若通道的寬度要求不小于，當停車位寬度取多少時，停車位總面積最大，并求出最大停車位總面積．
5．綜合實踐——用矩形硬紙片制作無蓋紙盒．
如圖1，有一張長，寬的長方形硬紙片，裁去角上同樣大小的四個小正方形之后，折成圖2所示的無蓋紙盒．（硬紙片厚度忽略不計）
(1)若紙盒的底面積為，請計算剪去的正方形的邊長；
(2)如圖3，小明先在原矩形硬紙片的兩個角各剪去一個同樣大小的正方形（陰影部分），經過思考他發現，再剪去兩個同樣大小的矩形后，可將剩余部分折成一個有蓋紙盒．若折成的有蓋長方體紙盒的表面積為，請計算剪去的正方形的邊長．
題型2 動態幾何問題
【例2】．如圖，在中，，，，動點 P從點 A 出發沿邊向點B以的速度移動，同時動點Q從點 B 出發沿邊向點 C 以的速度移動，當 P 運動到 B 點時 P、Q 兩點同時停止運動，設運動時間為．
(1) ； ；（用t的代數式表示）
(2)D是的中點，連接、，t為何值時的面積為？
針對訓練2
1．如圖所示，在四邊形中，，，，動點從點出發沿AD方向向點以的速度運動，動點從點開始沿著方向向點以的速度運動．點分別從點和點同時出發，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止運動．
(1)當運動秒時，線段__________（用含有t的代數式表示）
(2)經過多長時間，四邊形是矩形？
(3)經過多長時間，PQ的長為？
2．如圖，在矩形中，，，點從點開始以的速度沿邊向移動，點從點開始以的速度沿邊向點移動．如果、分別從、同時出發，設移動的時間為t． 求：
(1)當t為多少時，的面積等于？
(2)當t為多少時，是以為斜邊的直角三角形？
3．如圖，在中，，動點從點出發，沿向點以的速度勻速運動，另一動點從點出發，沿向點以的速度勻速運動，點同時出發，當有一點到達終點時，另一點也同時停止運動，設運動時間為，那么經過多長時間，的面積為？
4．綜合與實踐
如圖1，在矩形中，，動點P，Q分別以的速度從點A，B同時出發，點P沿著運動到點B時停止，點Q沿著運動到點A時停止．設運動時間為．
(1)當點P在上運動時， ________， ________；（用含t的代數式表示）
(2)在（1）的條件下，當時，求t的值；
(3)如圖2、圖3，點P沿著運動到點B的過程中、當的面積為時，求t的值．
5．如圖，菱形中， 交于點 O， ，動點 M 從 A 點出發沿方向以勻速直線運動到 C 點，動點 N 從 B 點出發沿方向以勻速直線運動到 D 點．若 M，N 同時出發，設運動時間為 t 秒：

(1)當時， ， ．（用 t 表示）
(2)當秒時， 的面積為多少？
(3)點 M 到達點 C 后立即原路返回，速度保持不變，直到點 N 到達 D 后同時停止運動，那么在整個移 動過程中，是否存在某一時刻，使得的面積為？若存在，求出運動時間；若不存在，請說 明理由．
題型3 圖表信息問題
【例3】．某商店購進800個旅游紀念品，進價為每個50元，第一周以每個80元的價格售出200個，第二周若按每個80元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品以及清倉處理，以每個40元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利9000元．
（1）填表（結果需化簡）
時間 第一周 第二周 清倉時
單價（元） 80 40
銷售量（件） 200
（2）求第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？
針對訓練3
1．烏克蘭危機發生之后，外交戰線按照黨中央的部署緊急行動，在戰火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數據，（注：票房是指截止發布日期的所有售票累計收入）
影片《萬里歸途》的部分統計數據
發布日期 10月8日 10月11日 10月12日
發布次數 第1次 第2次 第3次
票房 10億元 12.1億元
(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？
(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票
2．請閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：
人類對一元二次方程的研究經歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀，阿拉伯數學家花拉子米在他的代表作《代數學》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進行了證明．我國古代三國時期的數學家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程即得方法.首先構造了如圖1所示得圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據此易得．
　 　　　　
任務：
（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請在下面三個構圖中選擇能夠說明方程的正確構圖是 （從序號①②③中選擇）．
（2）請你通過上述問題的學習，在圖2的網格中設計正確的構圖，用幾何法求解方程（寫出必要的思考過程）．
3．小王某月手機話費中的各項費用統計情況見下列圖所示，其中月功能費為5元，請你根據統計圖的信息完成下列各題：
（1）該月小王手機話費共有________元．
（2）扇形統計圖中，表示短信費的扇形的圓心角______度．
（3）請將條形統計圖補充完整．
（4）電信公司為讓利給用戶，從下月起每月將對長途話費進行打折優惠，如果小王每月長途電話的通話時間不變，那么兩個月后，月長途花費將降至28.8元，那么長途話費的月平均折扣為多少？
4．已知：p為實數.
p k q
… … …
3 16×3＋26 2×2×6
4 16×4＋26 2×3×7
5 16×5＋26 2×4×8
6 16×6＋26 2×5×9
7 16×7＋26 2×6×10
… … …
根據上表中的規律，回答下列問題：
(1)當p為何值時，k＝38
(2)當p為何值時，k與q的值相等？
5．某旅行社一則旅游消息如下：
旅游人數 收費標準
不超過人 人均收費元
超過人 每增加一人，人均收費減少元，但人均收費不低于元
(1)甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．
(2)乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？
能力提升 創新拓展
1．在數學綜合與實踐課上，李老師讓同學們以“正方形折疊”為主題開展數學活動．
【具體操作】如圖1，在正方形中，將沿過點的直線翻折，點落在正方形內部的點處，得到，折痕為；再將沿過點的直線翻折，使與重合，得到，折痕為．由以上操作，不難發現，，三點在同一條直線上．
【問題解決】
（1）請直接寫出 ；
（2）若，，求正方形的邊長；
【深入探究】
（3）如圖2，再將沿所在直線折疊，點恰好落在線段的點處，得到，線段與相交于點，請寫出，，三條線段的數量關系，并說明理由．
2．在日歷上，我們可以發現其中某些數滿足一定的規律，如圖是2019年1月份的日歷．我們任意選擇其中所示的菱形框部分，將每個菱形框部分中去掉中間位置的數之后，相對的兩對數分別相乘，再相減，例如：，．不難發現，結果都是48．
（1）請證明發現的規律；
（2）若用一個如圖所示菱形框，再框出5個數字，其中最小數與最大數的積為435，求出這5個數中的最大數；

（3）嘉琪說：她用一個如圖所示菱形框，框出5個數字，其中最小數與最大數的積是95，直接判斷他的說法是否正確（不必敘述理由）．
3．如圖，在矩形中，，，點從點出發沿以的速度向點移動；同時，點從點出發沿以的速度向點移動，當其中一點到達終點運動即停止．設運動時間為秒．
(1)在運動過程中，的長度能否為？若能，求出的值，若不能，請說明理由；
(2)在運動過程中，的面積能否為？若能，求出的值，若不能，請說明理由；
(3)取的中點，運動過程中，當時，求的值．
2025年新九年級數學人教版暑假大講堂
第七講 實際問題與一元二次方程（二）（解析版）
知識點梳理
知識點1 與圖形有關的問題
與圖形有關的問題通常涉及面積、周長、邊長等幾何量的計算。這類問題可能需要利用一元二次方程來求解。例如，已知矩形的面積和一邊長，求另一邊長；或者知道三角形的兩邊長和第三邊的方程，求三角形的周長等。
要點詮釋：
面積問題應注意三點：
（1）圖形的面積公式是基本的等量關系
（2）利用平移的性質把零散的圖形拼接在一起
（3）取舍根時注意圖形中邊長的限制。
知識點2 動態幾何問題
動態幾何問題涉及圖形在運動或變化過程中的性質。這類問題可能需要通過一元二次方程來描述圖形的運動軌跡或變化規律。例如，一個點在一個圓上運動，其到圓心的距離與運動時間的關系可能符合一元二次方程。
要點詮釋：
（1）明確動點的運動方向、速度及終止條件（如到達終點停止），將運動過程分段處理。分階段計算。
（2）注意時間變量的取值范圍
知識點3 圖形圖表信息問題
一元二次方程實際問題中圖表信息問題的解題要點主要包括以下幾個步驟 ：
分析題意，找到題中未知數和題給條件的相等關系 ：首先，需要仔細閱讀題目，理解題目中的條件和要求，明確需要求解的未知數。然后，找出題目中給出的條件與未知數之間的關系，通常這種關系可以通過等式來表示。
設未知數，并用所設的未知數的代數式表示其余的未知數 ：根據找到的相等關系，設定一個或多個未知數。然后，用這些未知數表示題目中給出的其他數值或條件。
找出相等關系，并用它列出方程 ：根據設定的未知數和找到的相等關系，列出包含這些未知數的等式。這個等式就是一元二次方程。
解方程求出題中未知數的值 ：使用代數方法解這個一元二次方程，求出未知數的值。這一步可能需要使用配方法、公式法等方法。
檢驗所求的答案是否符合題意 ：最后，將求得的答案代入原問題中進行檢驗，確保答案符合題目的所有條件。
題型1 圖形面積問題
【例1】．如圖，某校課外生物小組的試驗園地是長32米 寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為578平方米，則小道的寬為多少米
【答案】米．
【分析】本題考查了一元二次方程的應用面積問題，解題的關鍵是巧妙的運用等積代換．
設小道的寬為米，則長、寬分別為米、米，根據矩形的面積公式就可以列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設該小道的寬為米，依題意得
，
解得，．
因為，不合題意，舍去．
所以．
答：小道寬米．
針對訓練1
1．某園林公司舉行盆景展覽，如圖所示是用這兩種盆景擺成的圖案，黑色圓點為六月雪盆景，黑色正方形為九里香盆景．圖1中六月雪盆景數量為4，九里香盆景數量為2；圖2中六月雪盆景數量為6，九里香盆景數量為6；圖3中六月雪盆景數量為8，九里香盆景數量為12；…
按照以上規律，解決下列問題：
(1)圖5中，六月雪盆景數量為_______，九里香盆景數量為_______；
(2)若園林公司用這兩種盆景共132盆按如上規律擺成一個圖案，請求出該圖案中六月雪和九里香這兩種盆景分別多少盆？
【答案】(1)12；30
(2)六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆
【分析】本題考查了圖形規律探索、一元二次方程的應用，觀察圖形的變化找到隱含的規律是解題的關鍵．
（1）觀察圖形，得出第個圖中六月雪盆景數量為，九里香盆景數量為，再代入即可求解；
（2）設該圖案為如上規律的第個圖，根據題意列出方程，解出的值，即可解答．
【詳解】（1）解：圖1中六月雪盆景數量為，九里香盆景數量為，
圖2中六月雪盆景數量為，九里香盆景數量為，
圖3中六月雪盆景數量為，九里香盆景數量為，
圖4中六月雪盆景數量為，九里香盆景數量為，
…
第個圖中六月雪盆景數量為，九里香盆景數量為，
當時，，，
圖5中，六月雪盆景數量為12，九里香盆景數量為30．
故答案為：12；30．
（2）解：設該圖案為如上規律的第個圖，
由題意得，，
解得：，（不符合題意，舍去），
此時六月雪盆景數量為盆，九里香盆景數量為盆，
答：六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆．
2．某社區計劃將一個長12米、寬8米的長方形花壇擴建為公共休息區．擴建方案是在花壇四面修建一條寬度相同的小道，使擴建后的長方形公共休息區的總面積為192平方米．
(1)求這條小道的寬度；
(2)如果用籬笆圍住擴建后的休息區，需要多少米籬笆？
【答案】(1)這條小道的寬度為2米
(2)需要56米籬笆
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．
（1）設這條小道的寬度為米，根據擴建后的長方形公共休息區的總面積為192平方米建立方程，解方程即可得；
（2）根據（1）的結果求出擴建后的長方形公共休息區的長與寬，再利用長方形的周長公式計算即可得．
【詳解】（1）解：設這條小道的寬度為米，
由題意得：，
解得或（不符合題意，舍去），
答：這條小道的寬度為2米．
（2）解：由（1）可知，擴建后的長方形公共休息區的長為（米），寬為（米），
則（米），
答：如果用籬笆圍住擴建后的休息區，需要56米籬笆．
3．綜合與實踐．
項目主題：制作新學期的開學手冊封面
素材一：小華設計的開學手冊的封面是尺寸為長，寬的長方形，正中央有一個長方形邊框，其四周是邊襯．上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，且上下邊襯的寬度是左右邊襯寬度的一半．小華設計的邊襯面積為172．
素材二：封面邊框內需要張貼一張長方形的校園照片．為了使排版規范，照片的長寬比例等于邊框的長寬比例．小華設計照片到邊框下方的下距為，到邊框左右的左距與右距，以及到邊框上方的上距都為．
【任務一】設上邊襯的寬度為，用含x的代數式表示邊框的長和寬．
【任務二】求邊框的長和寬．
【任務三】通過計算說明，小華的設計是否規范．
【答案】任務一：邊框的長和寬為，；任務二：長和寬為與；任務三：設計符合規范，見解析
【分析】本題考查了一元二次方程的應用、列代數式以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：根據各邊之間的關系，用含的代數式表示出邊框的長和寬；找準等量關系，正確列出一元二次方程；驗證照片的長寬比例是否等于邊框的長寬比例．
[任務一]設上邊襯的寬度為，則下邊襯的寬度為，左、右邊襯的寬度為，利用邊框的長上邊襯的寬度下邊襯的寬度及邊框的寬左邊襯的寬度又邊襯的寬度，即可用含的代數式表示出邊框的長和寬；
[任務二]根據小華設計的邊襯面積為，可列出關于的一元二次方程，解之可得出的值，再將其符合題意的值代入及中，即可求出結論；
[任務三]求出照片的長、寬，結合照片的長寬比例等于邊框的長寬比例，即可得出結論．
【詳解】解：[任務一]設上邊襯的寬度為，則下邊襯的寬度為，左、右邊襯的寬度為，
邊框的長為，寬為；
[任務二]根據題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
，
．
答：邊框的長為，寬為；
[任務三]小華的設計規范，理由如下：
照片的長為，
照片的寬為，
邊框的長為，寬為，且，
小華的設計規范．
4．根據以下素材，探索完成任務．
探索設計停車場
背景 社區利用一塊長方形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示，空地四周圍墻，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角．已知，．按照中小車型停車位劃線標準，停車位的寬度都相同，且停車位的寬度不小于．
方案 如圖，設計四列陰影部分為停車位，且停車位的寬度相同，即，其余部分是等寬的通道．
任務1 若停車位總面積為，請計算停車位的寬度是否符合標準．
任務2 若通道的寬度要求不小于，當停車位寬度取多少時，停車位總面積最大，并求出最大停車位總面積．
【答案】任務1：停車位的寬度符合標準；任務2：當停車位的寬度為時，停車位的總面積最大為
【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，配方法的應用，讀懂題意，正確的列出方程，是解題的關鍵：
任務1：設停車位的寬度為，通道的寬度為，根據圖形可知：，進而得到，根據停車位總面積為，列出方程進行求解后，結合停車位的寬度不小于進行判斷即可；
任務2：設停車位的總面積為，面積公式表示出，配方法求最值即可．
【詳解】解：任務1：設停車位的寬度為，通道的寬度為，由圖和題意可知：，
∴，
∵停車位總面積為，
∴，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∵，
∴停車位的寬度符合標準．
任務2：設停車位的總面積為，由任務1可知：，
∴
，
，
∵且，
∴，
∴當時，最大，
答：當停車位的寬度為時，停車位的總面積最大為．
5．綜合實踐——用矩形硬紙片制作無蓋紙盒．
如圖1，有一張長，寬的長方形硬紙片，裁去角上同樣大小的四個小正方形之后，折成圖2所示的無蓋紙盒．（硬紙片厚度忽略不計）
(1)若紙盒的底面積為，請計算剪去的正方形的邊長；
(2)如圖3，小明先在原矩形硬紙片的兩個角各剪去一個同樣大小的正方形（陰影部分），經過思考他發現，再剪去兩個同樣大小的矩形后，可將剩余部分折成一個有蓋紙盒．若折成的有蓋長方體紙盒的表面積為，請計算剪去的正方形的邊長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意，正確列出一元二次方程是解此題的關鍵．
（1）設減去的正方形的邊長為，則紙盒底面長方形的長為，寬為，根據題意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）設剪去的正方形的邊長為，根據題意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【詳解】（1）解：設減去的正方形的邊長為，則紙盒底面長方形的長為，寬為，
由題意得：，
解得：或（舍去），
∴剪去正方形的邊長為；
（2）解：設剪去的正方形的邊長為，
由題意得：，
解得：或（不符合題意，舍去），
∴剪去的正方形的邊長為．
題型2 動態幾何問題
【例2】．如圖，在中，，，，動點 P從點 A 出發沿邊向點B以的速度移動，同時動點Q從點 B 出發沿邊向點 C 以的速度移動，當 P 運動到 B 點時 P、Q 兩點同時停止運動，設運動時間為．
(1) ； ；（用t的代數式表示）
(2)D是的中點，連接、，t為何值時的面積為？
【答案】(1)，
(2)或4
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，列出等量關系．
（1）根據速度時間路程，列出代數式即可；
（2）過點D作于H，利用三角形中位線定理求得的長度；然后根據題意和三角形的面積列出方程，求出方程的解即可．
【詳解】（1）根據題意得： ，，
，
故答案為：，．
（2）如圖，過點D作于H，
∵，即，
∴，
又∵D是的中點，
∴，是的中位線，
∴，
根據題意，得，
整理，得，
解得：，，
當或4時，的面積是．
針對訓練2
1．如圖所示，在四邊形中，，，，動點從點出發沿AD方向向點以的速度運動，動點從點開始沿著方向向點以的速度運動．點分別從點和點同時出發，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止運動．
(1)當運動秒時，線段__________（用含有t的代數式表示）
(2)經過多長時間，四邊形是矩形？
(3)經過多長時間，PQ的長為？
【答案】(1)t，
(2)
(3)經過5秒或9秒，的長為
【分析】此題主要考查一元二次方程的應用，矩形的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟知矩形的判定和性質是解題的關鍵
（1）根據路程=速度乘以時間列式即可；
（2）四邊形為矩形，根據，列方程求解即可；
（3）根據勾股定理，根據，列方程求解即可．
【詳解】（1）由題意，得線段，
故答案為：t，；
（2）解：∵四邊形為矩形，
則，即，
解得：；
（3）解：過點作于點
在中，根據勾股定理，
已知，
，
則可得方程，
即，
移項可得，
兩邊同時開平方得；
當時，
移項可得，
解得；
當時，
移項可得，
解得；
所以，經過秒或秒，的長為．
2．如圖，在矩形中，，，點從點開始以的速度沿邊向移動，點從點開始以的速度沿邊向點移動．如果、分別從、同時出發，設移動的時間為t． 求：
(1)當t為多少時，的面積等于？
(2)當t為多少時，是以為斜邊的直角三角形？
【答案】(1)不存在某一時刻使得的面積等于
(2)當為秒或6秒時，是以為斜邊的直角三角形
【分析】本題考查了三角形的面積公式，勾股定理，一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．
（1）根據三角形的面積公式列出方程可得出答案．
（2）用含的代數式分別表示圖中各線段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，聯合起來，得到關于的一元二次方程，解即可，然后根據實際意義確定的值．
【詳解】（1）解：不存在．
設出發秒時的面積等于．
，
，
，
，
原方程無實數根，
即不存在某一時刻使得的面積等于．
（2）解：，
，，，
是以為斜邊的直角三角形，
，即，
整理得，
解之得，，
即當為秒或6秒時，是以為斜邊的直角三角形．
3．如圖，在中，，動點從點出發，沿向點以的速度勻速運動，另一動點從點出發，沿向點以的速度勻速運動，點同時出發，當有一點到達終點時，另一點也同時停止運動，設運動時間為，那么經過多長時間，的面積為？
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據的面積為列方程求解即可．
【詳解】解：由題意，得，
，
，
整理，得
解得，
，則，
，
經過，的面積為．
4．綜合與實踐
如圖1，在矩形中，，動點P，Q分別以的速度從點A，B同時出發，點P沿著運動到點B時停止，點Q沿著運動到點A時停止．設運動時間為．
(1)當點P在上運動時， ________， ________；（用含t的代數式表示）
(2)在（1）的條件下，當時，求t的值；
(3)如圖2、圖3，點P沿著運動到點B的過程中、當的面積為時，求t的值．
【答案】(1)；
(2)1
(3)7
【分析】本題主要考查了列代數式，矩形的性質，一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是熟練運用矩形的性質解決問題．
（1）根據路程等于速度乘以時間得到則；
（2）根據矩形的性質得到，再根據直角三角形面積計算公式建立方程求解即可；
（3）分點P在和點P在上兩種情況，根據三角形面積計算公式列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，
∴
故答案為：；
（2）解：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
（3）解：當點P在上運動時，，
∵的面積為，
∴，
解得，
由矩形的性質可得
∴點P運動到點C的時間為秒，
∴此種情況不存在；
當點P在上運動時，，
∵的面積為，
∴，
解得或（舍去）；
綜上所述，．
5．如圖，菱形中， 交于點 O， ，動點 M 從 A 點出發沿方向以勻速直線運動到 C 點，動點 N 從 B 點出發沿方向以勻速直線運動到 D 點．若 M，N 同時出發，設運動時間為 t 秒：

(1)當時， ， ．（用 t 表示）
(2)當秒時， 的面積為多少？
(3)點 M 到達點 C 后立即原路返回，速度保持不變，直到點 N 到達 D 后同時停止運動，那么在整個移 動過程中，是否存在某一時刻，使得的面積為？若存在，求出運動時間；若不存在，請說 明理由．
【答案】(1)
(2)8
(3)或或
【分析】本題主要考查了菱形的性質，動點問題，一元二次方程的應用，
對于（1），先根據菱形的性質求出，可確定時，兩個點的位置，即可得出答案；
對于（2），先分別求出，再根據面積公式求出答案；
對于（3），分，，，四種情況，分別表示，再根據面積等于列出方程，求出解即可．
【詳解】（1）∵四邊形時菱形，
∴．
根據題意可知，
當時，
點M在上，點N在上，
∴，．
故答案為：，；
（2）當時，，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
當時，
根據題意得，
∴，
∴，
解得或（舍）；
當時，
根據題意得，
∴，
∴，
無解；
當時，
根據題意得，
∴，
∴，
解得或（舍）；
當時，
根據題意得，
∴，
∴，
解得或（舍）．
所以或或．
題型3 圖表信息問題
【例3】．某商店購進800個旅游紀念品，進價為每個50元，第一周以每個80元的價格售出200個，第二周若按每個80元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品以及清倉處理，以每個40元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利9000元．
（1）填表（結果需化簡）
時間 第一周 第二周 清倉時
單價（元） 80 40
銷售量（件） 200
（2）求第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？
【答案】（1）填表見解析；（2）第二周每個旅游紀念品的銷售價格為70元．
【分析】（1）第二周的單價=第一周的單價-降低的價格，銷售量=200+10×降低的單價；清倉時的銷售量為：800-第一周的銷售量-第二周的銷售量；
（2）等量關系為：總售價-總進價=9000．把相關數值代入計算即可．
【詳解】解：（1）填表（結果需化簡）
時間 第一周 第二周 清倉時
單價（元） 80 80-x 40
銷售量（件） 200 200+10x 400-10x
故答案為：80-x，200+10x，400-10x；
（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，
x2-20x+100=0，
解得：x1=x2=10，
當x=10時，80-x=70．
答：第二周每個旅游紀念品的銷售價格為70元．
【點睛】本題主要考查了列代數式以及一元二次方程的應用，找出相等關系列一元二次方程求解是解題的關鍵．
針對訓練3
1．烏克蘭危機發生之后，外交戰線按照黨中央的部署緊急行動，在戰火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數據，（注：票房是指截止發布日期的所有售票累計收入）
影片《萬里歸途》的部分統計數據
發布日期 10月8日 10月11日 10月12日
發布次數 第1次 第2次 第3次
票房 10億元 12.1億元
(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？
(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票
【答案】(1)10%
(2)2500000張
【分析】（1）設平均每次累計票房增長的百分率是，利用第3次累計票房=第1次累計票房（1+平均每次累計票房增長的百分率），即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）利用數量=總結單價，即可求出結論；
【詳解】（1）解：設平均每次累計票房增長的百分率是，
依題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去）．
答：平均每次累計票房增長的百分率是10%．
（2）解：
（張）．
答：10月11日賣出2500000張電影票．
（或（張）．）
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及統計表，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
2．請閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：
人類對一元二次方程的研究經歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀，阿拉伯數學家花拉子米在他的代表作《代數學》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進行了證明．我國古代三國時期的數學家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程即得方法.首先構造了如圖1所示得圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據此易得．
　 　　　　
任務：
（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請在下面三個構圖中選擇能夠說明方程的正確構圖是 （從序號①②③中選擇）．
（2）請你通過上述問題的學習，在圖2的網格中設計正確的構圖，用幾何法求解方程（寫出必要的思考過程）．
【答案】（1）②；（2）．
【分析】（1）仿照案例構造圖形，即可判斷正確構圖；
（2）仿照案例構造圖形即可求得x的值．
【詳解】解：（1）應構造面積是的大正方形，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形的面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進一步可知大正方形的邊長為8，所以，得．故正確構圖的是②．
故答案為：②；
（2）首先構造了如圖2所示的圖形．
圖中的大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進一步可知大正方形的邊長為8，所以，得．
【點睛】本題是材料閱讀題，考查了構造圖形解一元二次方程，關鍵是讀懂材料中提供的構圖方法，并能正確構圖解一元二次方程．體現了數形結合的思想．
3．小王某月手機話費中的各項費用統計情況見下列圖所示，其中月功能費為5元，請你根據統計圖的信息完成下列各題：
（1）該月小王手機話費共有________元．
（2）扇形統計圖中，表示短信費的扇形的圓心角______度．
（3）請將條形統計圖補充完整．
（4）電信公司為讓利給用戶，從下月起每月將對長途話費進行打折優惠，如果小王每月長途電話的通話時間不變，那么兩個月后，月長途花費將降至28.8元，那么長途話費的月平均折扣為多少？
【答案】（1）125元；（2）72°；（3）見解析；（4）長途話費的月平均折扣為八折
【分析】（1）根據月功能費在扇形統計圖中所占比例計算即可.
（2）用短信費所占比例乘以即可.
（3）用第（1）問中求出的總話費，分別乘以基本話費和長途話費所占比例，求出兩者具體金額后填圖.
（4）可設長途話費的月平均減少率為，根據題意“兩個月后，月長途花費將降至28.8元”可得，解一元二次方程即可.
【詳解】（1）元
（2）.
（3）如圖，
（4）解：設平均減少率為，據題意得

解得
答：長途話費的月平均折扣為八折.
【點睛】本題綜合考查了條形統計圖與扇形統計圖中的數據關系，和一元二次方程解決問題中的增長率問題，熟練掌握相關知識點，找到其中的數量關系并列式計算是解答關鍵.
4．已知：p為實數.
p k q
… … …
3 16×3＋26 2×2×6
4 16×4＋26 2×3×7
5 16×5＋26 2×4×8
6 16×6＋26 2×5×9
7 16×7＋26 2×6×10
… … …
根據上表中的規律，回答下列問題：
(1)當p為何值時，k＝38
(2)當p為何值時，k與q的值相等？
【答案】(1) p＝；(2)當p＝8或p＝－2時，k＝q.
【分析】（1）首先根據表格總結出k、p之間的關系，然后將38代入求得p值即可；
（2）根據表格中有關數字的規律找到q與p之間的關系，與上題中的關系式聯立組成有關p的一元二次方程求解即可．
【詳解】（1）由題意得：k=16p+26．
當k=38時，38=16p+26，
則p=．
答：當p=時，k=38．
（2）根據題意，得 ：q=2（p﹣1）（p+3）．
當k=q時，則有16p+26=2（p﹣1）（p+3）．
整理，得：p2﹣6p﹣16=0．
解方程，得：p1=8，p2=﹣2．
答：當p=8或p=﹣2時，k=q．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用及數字的變化類問題，解題的關鍵是通過觀察題目中的表格總結出各個未知數之間的關系．
5．某旅行社一則旅游消息如下：
旅游人數 收費標準
不超過人 人均收費元
超過人 每增加一人，人均收費減少元，但人均收費不低于元
(1)甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．
(2)乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？
【答案】(1)15；
(2)乙公司人．
【分析】（1）設甲公司員工有x人，根據第一次、第二次支付的費用和人均收費標準，判斷出兩次都不超過10人，直接用總費用除以人均收費，即可得出答案；
（2）設乙公司員工人，根據支付的費用先判斷出公司去的人數超過了10人，再根據每增加一人，人均收費減少60元，列出方程，求出的值，再根據人均收費不低于1500元，即可得出乙公司去的人數．
【詳解】（1）解：設甲公司有人，
，
，
（人）．
故答案為：
（2）設乙公司人，
，
，，
若，每人費用：，不符舍去，
若，每人費用：，符合，
答：乙公司人．
【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關鍵．
能力提升 創新拓展
1．在數學綜合與實踐課上，李老師讓同學們以“正方形折疊”為主題開展數學活動．
【具體操作】如圖1，在正方形中，將沿過點的直線翻折，點落在正方形內部的點處，得到，折痕為；再將沿過點的直線翻折，使與重合，得到，折痕為．由以上操作，不難發現，，三點在同一條直線上．
【問題解決】
（1）請直接寫出 ；
（2）若，，求正方形的邊長；
【深入探究】
（3）如圖2，再將沿所在直線折疊，點恰好落在線段的點處，得到，線段與相交于點，請寫出，，三條線段的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）；（2）正方形的邊長為6；（3），見解析
【分析】（1）由正方形的性質可得，由折疊的性質可得，，再由計算即可得解；
（2）由折疊可知，，，設正方形邊長為，則，，再由勾股定理計算即可得解；
（3）由正方形的性質可得，由折疊的性質可知，，，，證明，得出，從而得出，再求出，由直角三角形的性質可得，即可得解．
【詳解】（1）∵四邊形為正方形，
∴，
由折疊的性質可得：，，
∴；
（2）由折疊可知，，
所以，
設正方形邊長為，則，，
因為在中，，
所以，
整理得，，
解得，或（舍去），
所以正方形的邊長為6；
（3），
∵四邊形是正方形，
∴，
由折疊的性質可知，，，，
∴，
又∵，
∴，
由（1）得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折疊的性質可知，
∵點，，共線，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
【點睛】本題考查了正方形的性質、折疊的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
2．在日歷上，我們可以發現其中某些數滿足一定的規律，如圖是2019年1月份的日歷．我們任意選擇其中所示的菱形框部分，將每個菱形框部分中去掉中間位置的數之后，相對的兩對數分別相乘，再相減，例如：，．不難發現，結果都是48．
（1）請證明發現的規律；
（2）若用一個如圖所示菱形框，再框出5個數字，其中最小數與最大數的積為435，求出這5個數中的最大數；

（3）嘉琪說：她用一個如圖所示菱形框，框出5個數字，其中最小數與最大數的積是95，直接判斷他的說法是否正確（不必敘述理由）．
【答案】（1）證明見解析；（2）這5個數中最大數為29．（3）嘉琪的說法不正確．
【分析】（1）、根據題目數據，設中間的數為a，則另外4個數可以用a的式子表示出來，即可列出算式進行證明；
（2）、設最大數為x，列出方程組解答即可；
（3）參考（2）問題思路，解出最大數，然后根據最大數所在位置即可判定．
【詳解】（1）證明：設中間的數為a，則另外4個數分別為（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），
∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），
=a2﹣1﹣（a2﹣49），
=48．
（2）解：設這5個數中最大數為x，則最小數為（x﹣14），
依題意，得：x（x﹣14）＝435，
解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合題意，舍去）．
答：設這5個數中最大數為29．
（3）嘉琪的說法不正確．
設這5個數中最大數為y，則最小數為（y﹣14），依題意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合題意，舍去）．∵19在日歷的最后一列，∴不符合題意，∴嘉琪的說法不正確．
【點睛】本題考查方程的應用問題，解題關鍵是準確的設未知數，然后列出方程解答．
3．如圖，在矩形中，，，點從點出發沿以的速度向點移動；同時，點從點出發沿以的速度向點移動，當其中一點到達終點運動即停止．設運動時間為秒．
(1)在運動過程中，的長度能否為？若能，求出的值，若不能，請說明理由；
(2)在運動過程中，的面積能否為？若能，求出的值，若不能，請說明理由；
(3)取的中點，運動過程中，當時，求的值．
【答案】(1)當時的長度能為，理由見解析
(2)的面積能為，理由見解析
(3)，
【分析】（1）由題意可知：，，，根據勾股定理及一元二次方程根的判別式，即可判定；
（2）設運動秒后的面積為，則，，，，利用分割圖形求面積法結合的面積為，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論；
（3）以為坐標原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設，，則，取的中點，連接，則，根據直角三角形的性質可得，再根據兩點間的距離公式，可得，解方程即可求得．
【詳解】（1）解：的長度能為，理由如下：
根據題意可知：，，，
四邊形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
當時的長度能為；
（2）解：不能，理由如下：
設運動秒后的面積為，則，，，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
方程無實數根，
的面積不能為；
（3）解：如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，
設，，
的中點為
，
又，，
取的中點，連接，則，
，
，
，
解得：，．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，勾股定理，矩形的性質，坐標與圖形，一元二次方程根的判別式，兩點間的距離公式，解答本題的關鍵是熟練掌握所涉及到的知識點并靈活運用．
典例精講 1
典例精講2
典例精講3
典例精講 1
典例精講2
典例精講3
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