資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2025年新九年級數學人教版暑假大講堂
第八講 實際問題與一元二次方程（三）
知識點梳理
知識點1 營銷問題
營銷問題涉及商品的銷售、定價、利潤等。這類問題可能需要利用一元二次方程來找出最優的定價策略或預測銷售趨勢。例如，某商品降價銷售，降價后的售價為原價的某個百分比，通過銷售量和降價幅度的關系，可以建立一元二次方程來求解。
要點詮釋：
混淆成本與售價：在營銷問題中，學生容易混淆產品的成本和售價，導致利潤計算錯誤。
未考慮折扣和優惠：如果問題中涉及折扣或優惠活動，學生可能未正確考慮這些因素對最終售價和利潤的影響。
知識點2 工程問題
工程問題涉及工程項目的進度、成本、效率等。這類問題可能需要利用一元二次方程來建模，以求解最優的工程進度安排或成本控制策略。例如，某工程隊需要完成一段道路建設，每天完成的工程量與天數的關系可能符合一元二次方程。
要點詮釋：工程問題主要出現如下錯誤
工作量與效率關系不清：在工程問題中，學生可能未正確理解工作量、工作時間和工作效率之間的關系，導致方程設置錯誤。
忽視多階段工程：如果工程問題涉及多個階段或多種工種協作，學生可能未充分考慮這些因素對總工作量和時間的影響。
知識點3 行程問題
行程問題涉及物體的運動速度、時間、距離等。這類問題通常需要利用速度、時間和距離的關系來建立一元二次方程。例如，一輛汽車從甲地開往乙地，先以一定速度行駛一段時間后減速行駛，通過總時間和總距離的關系可以建立一元二次方程來求解。
要點詮釋：行程問題易出現如下錯誤
速度、時間和距離關系混淆：行程問題中速度、時間和距離之間的關系是解題的關鍵，學生容易混淆這些概念或錯誤地應用它們。
忽視相對運動：在涉及相對運動的行程問題中（如兩車相向而行、同向而行等），學生可能未正確考慮相對速度對行程時間的影響。
知識點4 其他問題
除了上述幾類問題外，還有一些其他問題也可能涉及一元二次方程的實際應用。例如，物理學中的某些問題（如拋體運動）、經濟學中的某些模型（如供需關系）等都可能通過一元二次方程來描述和求解。
要點詮釋：其他問題易出現如下錯誤
方程設立不準確：在將實際問題轉化為數學問題時，學生可能未準確設立方程或設立的方程不符合題意。
解方程方法不當：在解方程時，學生可能未根據方程的特點選擇合適的解法（如直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等），導致計算過程復雜或結果錯誤。
未進行驗證：在得出解后，學生應驗證解是否符合原問題的實際情況和約束條件，但部分學生可能忽視了這一步。
題型1 營銷問題
【例1】．2025年春節聯歡晚會吉祥物“巳（sì）升升”，設計靈感來源于中華傳統文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調，外形憨態可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，在市場上一度走紅．
(1)某商店銷售A，B兩款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的單價比B款吉祥物的單價高20元，若顧客花800元購買A款吉祥物的數量與花600元購買B款吉祥物的數量相同，則A，B兩款吉祥物的單價分別是多少元？
(2)若A款吉祥物的進價為每件60元，經市場調查發現，當售價定為每件100元，則每天能銷售A款吉祥物20件，而售價每降價1元，每天可多售出A款吉祥物2件，為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使每天銷售后獲利1200元，則A款吉祥物售價應降低多少元？
針對訓練1
1．某超市銷售的葡萄，根據市場調查以后發現，每箱售價（單位：元）與每天銷量（單位：箱）之間滿足如圖所示的函數關系．
(1)求與之間的函數關系式．（不必寫出自變量的取值范圍）
(2)葡萄的進價是30元/箱，若該超市每天銷售葡萄盈利800元，盡量要使顧客獲得實惠，則超市每箱葡萄定的售價是多少元？
2．當今社會，“直播帶貨”已經成為商家的一種新型的促銷手段．小亮在直播間銷售一種進價為每件元的日用商品，經調查發現，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）滿足一次函數關系，它們的關系如下表：
銷售單價（元）
銷售量（件）
(1)求與之間的函數關系式；
(2)該商家每天想獲得元的利潤，應將銷售單價定為多少元？
3．商場某種商品每件進價是40元，在試銷期間發現，當每件商品售價50元時，每天可銷售500件；當每件商品售價高于50元時，每漲價1元，日銷售量就減少10件，據此規律請回答：
(1)當每件商品售價定為55元時，商場獲得的日盈利是多少？
(2)在上述條件不變，商品銷售正常的情況下，讓顧客能得到實惠，每件商品的銷售定價為多少元時，商場日盈利可達到8000元？
4．“當你背單詞的時候，阿拉斯加的鱘魚正躍出水面；當你算數學的時候，南太平洋的海鷗掠過海岸；當你晚自習的時候，地球的極圈正五彩斑斕．但少年，夢要你親自實現，那些你覺得看不到的人，和遇不到的風景，都終將在生命里出現……”這是某直播平臺推銷某本書時的臺詞，所推銷書的成本為每套20元，當售價為每套40元時，每天可銷售100套．為了吸引更多的顧客，平臺采取降價措施，據市場調查反映：銷售單價每降1元，則每天多銷售10套．設每套輔導書的售價為x元，每天的銷售量為y套．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)不忘公益初心，熱心教育事業，公司決定從每天利潤中捐出200元幫助云南貧困山區的學生，為了保證捐款后每天利潤達到1800元，且要最大限度讓利消費者，求此時每套書的售價為多少元？
5．某水果專賣店銷售櫻桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低1元，則平均每天的銷售可增加10千克．
(1)若該專賣店銷售這種櫻桃要想平均每天獲利2240元，請回答：
①每千克櫻桃應降價多少元？
②在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？
(2)在降價情況下，該專賣店銷售這種櫻桃平均每天獲利可以達到2400元嗎？如果可以，請求出應降價多少元；如果不可以，請說明理由．
題型2 工程問題
【例2】．某公司主營鐵路建設施工．
(1)原計劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計劃完成，且橋梁施工的里程數正好是原計劃的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10，總成本為254億元，預計二季度平地施工里程會減少7a千米，隧道施工里程會減少2a千米，橋梁施工里程會增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會增加a億元，若二季度總成本與一季度相同，求a的值．
針對訓練2
1．某花木園，計劃在園中栽96棵桂花樹，開工后每天比原計劃多栽2棵，結果提前4天完成任務．問原計劃每天栽多少棵？
2．問題：“某工程隊準備修建一條長3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務，求原計劃每天修建下水管道的長度？”
條件：（1）實際每天修建的長度比原計劃多；
（2）原計劃每天修建的長度比實際少75米．
在上述的2個條件中選擇1個________________（僅填序號）補充在問題的橫線上，并完成解答．
3．某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．
(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；
(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．
4．為加強防汛工作，市工程隊準備對蘇州河一段長為2240米的河堤進行加固，由于采用新的加固模式，現在計劃每天加固的長度比原計劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數將比原計劃縮短2天，為進一步縮短該段加固工程的時間，如果要求每天加固224米，那么在現在計劃的基礎上，每天加固的長度還要再增加多少米？
5．某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．
(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；
(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．
題型3 行程問題
【例3】．如圖，已知數軸上A，B，C三個點表示的數分別是a，b，c，且，若點A沿數軸向右移動個單位長度后到達點B，且點A，B表示的數互為相反數．

(1)a的值為 ，c的值為 ；
(2)動點 P，Q分別同時從點A，C 出發，點P以每秒3個單位長度的速度向終點C移動，點Q以每秒m個單位長度的速度向終點A 移動，點P表示的數為x．
①若點P，Q在點B處相遇，求m的值；
②若點Q的運動速度是點P的2倍，當點P，Q之間的距離為2時，求此時x 的值．
針對訓練3
1．如圖，鋼球從斜面A頂端M由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加．
(1)設（單位：）是滾動時間t（單位：s）時的速度，t和數量關系見下表：
t（秒） 0 1 2 3 …
（米/秒） 0 2 a b …
由題意可知：______，______；
(2)若斜面A的坡面長為，此鋼球由靜止開始從頂端M滾到底端N，
①求鋼球在此運動中滾動的時間；
②當此鋼球滾動到N處時，由于慣性作用，又沿斜面B向上滾動，速度每秒減少．若斜面B的坡面足夠長，此鋼球最多離N處多遠就會返回往下滾？（友情提示：路程，，是開始時速度，是t秒時的速度）
2．一輛汽車以30米/秒的速度行駛，司機發現前方路面有情況，緊急剎車后汽車又滑行30米后停車．
(1)則在這段時間內的平均車速為多少？從剎車到停車用了多長時間？
(2)從剎車到停車平均每秒車速減少多少？
(3)汽車滑行20米時用了多長時間？
3．今年年初一美麗的白鵝潭江而進行了以“活力灣區，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當晚該公園附近路段實施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場后，再步行2千米到達目的地，共花了1小時．此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？
(2)乙是騎車前往與他家相距8千米的目的地，若乙騎車的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小時（），乙騎車時間比甲開車時間多a小時，求a的值．
4．運動創造美好生活！一天小美和小麗相約一起去沿河步道跑步．若兩人同時從A地出發，勻速跑向距離9000米處的B地，小美的跑步速度是小麗跑步速度的1.2倍，那么小美比小麗早5分鐘到達B地．
(1)求小美每分鐘跑多少米？
(2)若從A地到達B地后，小美以跑步形式繼續前進到C地．從小美跑步開始，前20分鐘內，平均每分鐘消耗熱量15卡，超過20分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡，在整個鍛煉過程中，小美共消耗1650卡的熱量，小美從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．
5．小明設計了點做圓周運動的一個動畫游戲，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程與時間滿足關系：，乙以的速度勻速運動，半圓的長度為．
(1)甲運動后的路程是多少？
(2)甲、乙從開始運動到第三次相遇時，它們運動了多少時間？
題型4 其他問題
【例4】．我校為了讓學生體驗化學實驗的樂趣，決定從市場購買氯化鈉溶液和硫酸銅溶液供實驗使用．已知每瓶硫酸銅溶液的售價比氯化鈉溶液的售價多2.5元，花100元用于購買的氯化鈉溶液比花400元購買硫酸銅溶液少40瓶．
(1)求每瓶氯化鈉溶液與硫酸銅溶液的售價分別為多少元？
(2)為了加大培養學生對化學的興趣，學校決定再次購買這兩種溶液，調查發現每瓶硫酸銅溶液的成本是元，每瓶氯化鈉溶液的成本是元，已知第二次購買硫酸銅的數量比第一次購買的數量少瓶，購買的氯化鈉溶液的數量是第一次的2倍，商家獲利330元，求的值．
針對訓練4
1．某購物商場的地面停車場為矩形，其面積為，共設計了如圖所示的56個停車位，每個停車位的尺寸都一樣，且長比寬多，通車道的寬度都相等，求停車位的寬．
2．足球被稱為“世界第一運動”，精彩賽事讓許多球迷回味不已．
(1)若球賽以小組為單位進行單循環制，組共比賽了場，則組有多少支球隊？
(2)在（1）的條件下，若球賽以積分形式決定球隊是否晉級，勝一場積分，平一場積分，負一場積分．某球隊在組目標是積分，則該球隊勝、平、負的場數分別可以是多少？請列舉說明．
3．某果園原計劃種100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，現準備多種一些桃樹以提高產量，試驗發現，每多種1棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，但多種的桃樹不能超過100棵．
(1)如果多種棵桃樹，那么每棵桃樹的產量會減少______個；此時果園的總產量為______個；
(2)如果要使總產量增加，那么應多種多少棵桃樹？
4．其工廠采購藍莓并加工成藍莓蜜餞進行銷售，該工廠一年最多能生產200噸，已知藍莓的采購成本價（萬元/噸）與藍莓的采購量（噸）成一次函數關系，其中的幾組數據如表2所示．每噸原材料（藍莓）的加工費為1萬元，減重率為，藍莓蜜餞銷售價格會隨季節、市場供需等波動，從一年中隨機抽取若干單交易作為樣本進行統計，并繪制了條形統計圖（如圖）．
表2
（噸）
（萬元/噸）
(1)求與的函數解析式（不寫定義域）；
(2)求樣本中藍莓蜜餞的平均銷售價；
(3)根據樣本中藍莓蜜餞的平均銷售價，該工廠一年能否恰好獲得780萬元的利潤：如果能，求需要采購藍莓的重量；如果不能，請說明理由．
（備注：藍莓從新鮮狀態制成藍莓蜜餞后重量減輕，衡量這一變化的指標通常叫做“減重率”，其計算公式：減重率）
5．為了豐富市民的文化生活，我市某濕地自然保護區特推出了如下門票收費標準：
標準一：如果人數不超過20人，門票價格70元/人；
標準二：如果人數超過20人，每超過1人，門票價格降低2元，但門票價格不低于55元/人．
(1)若我校組織28名師生去該濕地自然保護區旅游，購買門票共需費用多少元？
(2)若我校共支付該濕地自然保護區門票費用共計1500元，試求我校這次共有多少名師生去該濕地自然保護區旅游？
能力提升 創新拓展
1．閱讀下面材料，并解決相關問題：
如圖是一個三角點陣，從上向下數有無數行，其中第一行有1個點，第二行有2個點，第n行有n個點．容易發現，三角點陣中前5行的點數之和為15．
(1)三角點陣中前7行的點數之和為________，前n行的點數之和為________；（用含n的代數式表示）
(2)三角點陣中前n行的，點數之和________（填“能”或“不能”）為520；
(3)某人民廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用630盆同樣規格的花，按照第一排擺3盆，第二排擺6盆，第三排擺9盆，…第n排擺盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？
2．小明在平整的草地上練習帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達到6m/s后保持勻速運動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時間的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球．（提示：當速度均勻變化時，平均速度，距離）
(1)當時，求關于t的函數關系式；
(2)求圖中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運動方向不變，當小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數共有____次，并簡要說明理由．
3．如圖①，窗簾的褶皺是指按照窗戶的實際寬度將窗簾布料以一定比例加寬的做法，褶皺之后的窗簾更能彰顯其飄逸、靈動的效果．其中，窗寬度的1.5倍為平褶皺，窗寬度的2倍為波浪褶皺．如圖②，小莉房間的窗戶呈長方形，窗戶的寬度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某種窗簾的價格為120元/m2．如果以波浪褶皺的方式制作該種窗簾比以平褶皺的方式費用多180元，求小莉房間窗戶的寬度與高度．
2025年新九年級數學人教版暑假大講堂
第八講 實際問題與一元二次方程（三）（解析版）
知識點梳理
知識點1 營銷問題
營銷問題涉及商品的銷售、定價、利潤等。這類問題可能需要利用一元二次方程來找出最優的定價策略或預測銷售趨勢。例如，某商品降價銷售，降價后的售價為原價的某個百分比，通過銷售量和降價幅度的關系，可以建立一元二次方程來求解。
要點詮釋：
混淆成本與售價：在營銷問題中，學生容易混淆產品的成本和售價，導致利潤計算錯誤。
未考慮折扣和優惠：如果問題中涉及折扣或優惠活動，學生可能未正確考慮這些因素對最終售價和利潤的影響。
知識點2 工程問題
工程問題涉及工程項目的進度、成本、效率等。這類問題可能需要利用一元二次方程來建模，以求解最優的工程進度安排或成本控制策略。例如，某工程隊需要完成一段道路建設，每天完成的工程量與天數的關系可能符合一元二次方程。
要點詮釋：工程問題主要出現如下錯誤
工作量與效率關系不清：在工程問題中，學生可能未正確理解工作量、工作時間和工作效率之間的關系，導致方程設置錯誤。
忽視多階段工程：如果工程問題涉及多個階段或多種工種協作，學生可能未充分考慮這些因素對總工作量和時間的影響。
知識點3 行程問題
行程問題涉及物體的運動速度、時間、距離等。這類問題通常需要利用速度、時間和距離的關系來建立一元二次方程。例如，一輛汽車從甲地開往乙地，先以一定速度行駛一段時間后減速行駛，通過總時間和總距離的關系可以建立一元二次方程來求解。
要點詮釋：行程問題易出現如下錯誤
速度、時間和距離關系混淆：行程問題中速度、時間和距離之間的關系是解題的關鍵，學生容易混淆這些概念或錯誤地應用它們。
忽視相對運動：在涉及相對運動的行程問題中（如兩車相向而行、同向而行等），學生可能未正確考慮相對速度對行程時間的影響。
知識點4 其他問題
除了上述幾類問題外，還有一些其他問題也可能涉及一元二次方程的實際應用。例如，物理學中的某些問題（如拋體運動）、經濟學中的某些模型（如供需關系）等都可能通過一元二次方程來描述和求解。
要點詮釋：其他問題易出現如下錯誤
方程設立不準確：在將實際問題轉化為數學問題時，學生可能未準確設立方程或設立的方程不符合題意。
解方程方法不當：在解方程時，學生可能未根據方程的特點選擇合適的解法（如直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等），導致計算過程復雜或結果錯誤。
未進行驗證：在得出解后，學生應驗證解是否符合原問題的實際情況和約束條件，但部分學生可能忽視了這一步。
題型1 營銷問題
【例1】．2025年春節聯歡晚會吉祥物“巳（sì）升升”，設計靈感來源于中華傳統文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調，外形憨態可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，在市場上一度走紅．
(1)某商店銷售A，B兩款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的單價比B款吉祥物的單價高20元，若顧客花800元購買A款吉祥物的數量與花600元購買B款吉祥物的數量相同，則A，B兩款吉祥物的單價分別是多少元？
(2)若A款吉祥物的進價為每件60元，經市場調查發現，當售價定為每件100元，則每天能銷售A款吉祥物20件，而售價每降價1元，每天可多售出A款吉祥物2件，為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使每天銷售后獲利1200元，則A款吉祥物售價應降低多少元？
【答案】(1)款吉祥物的單價為80元，款吉祥物的單價為60元；
(2)售價應降低20元．
【分析】本題考查了分式方程及一元二次方程實際應用問題，根據題意找到相等關系是解題的關鍵．
（1）設一個B款吉祥物的售價為x元，則一個A款吉祥物的售價為元，根據顧客花800元購買A款吉祥物的數量與花600元購買B款吉祥物的數量相同，即可列出等量關系求解．
（2）設售價應降低y元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷售量為件，根據題意即可列出等量關系求解．
【詳解】（1）解：設款吉祥物的單價為元，則款吉祥物的單價為元，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
，
答：款吉祥物的單價為80元，款吉祥物的單價為60元.
（2）解：設售價應降低y元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷售量為件，
根據題意得：，
整理得：，
解得：，，
又要盡量減少庫存，
.
答：售價應降低20元.
針對訓練1
1．某超市銷售的葡萄，根據市場調查以后發現，每箱售價（單位：元）與每天銷量（單位：箱）之間滿足如圖所示的函數關系．
(1)求與之間的函數關系式．（不必寫出自變量的取值范圍）
(2)葡萄的進價是30元/箱，若該超市每天銷售葡萄盈利800元，盡量要使顧客獲得實惠，則超市每箱葡萄定的售價是多少元？
【答案】(1)
(2)盡量要使顧客獲得實惠，則超市每箱葡萄定的售價是38元
【分析】題目主要考查一次函數與一元二次方程的應用，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵．
（1）直接運用待定系數法求解即可；
（2）直接根據題意列一元二次方程求解，并取最小解即可．
【詳解】（1）解：設與之間的函數關系是，
根據題意，可得，解得：
故與之間的函數關系式是．
（2）解：由題意得：．
解得：，．
∵盡量要使顧客要得到實惠，售價低，
∴．
答：盡量要使顧客獲得實惠，則超市每箱葡萄定的售價是38元．
2．當今社會，“直播帶貨”已經成為商家的一種新型的促銷手段．小亮在直播間銷售一種進價為每件元的日用商品，經調查發現，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）滿足一次函數關系，它們的關系如下表：
銷售單價（元）
銷售量（件）
(1)求與之間的函數關系式；
(2)該商家每天想獲得元的利潤，應將銷售單價定為多少元？
【答案】(1)
(2)或元
【分析】本題主要考查了利用待定系數法求一次函數的解析式，一次函數的應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟練根據題意列出相關式子．
（1）根據給出，的值，利用待定系數法求一次函數解析式即可；
（2）設銷售單價定為元，則單件利潤為元，銷售量為件，利用“每天想獲得元的利潤”列式求解即可．
【詳解】（1）解：設與之間的函數關系式為，
將，；，代入，
得：，
解得：，
∴一次函數的解析式為；
（2）解：設銷售單價定為元，則每天銷售量為件，
根據題意得：，
解得：，，
所以，應將銷售單價定為或元．
3．商場某種商品每件進價是40元，在試銷期間發現，當每件商品售價50元時，每天可銷售500件；當每件商品售價高于50元時，每漲價1元，日銷售量就減少10件，據此規律請回答：
(1)當每件商品售價定為55元時，商場獲得的日盈利是多少？
(2)在上述條件不變，商品銷售正常的情況下，讓顧客能得到實惠，每件商品的銷售定價為多少元時，商場日盈利可達到8000元？
【答案】(1)6750元；
(2)每件商品售價為60元時，商場日盈利達到8000元．
【分析】此題考查了一元二次方程和有理數四則混合運算的應用，根據題意正確列出方程是關鍵．
（1）首先求出每天可銷售商品數量，然后可求出日盈利；
（2）設商場日盈利達到8000元時，每件商品售價為x元，根據每件商品的盈利×銷售的件數=商場的日盈利，列方程求解即可．
【詳解】（1）解：當每件商品售價為55元時，比每件商品售價50元高出5元，
即（元），
則每天可銷售商品450件，即（件），
商場可獲日盈利為（元）．
答：每件商品售價定為55元時，商場獲得的日盈利是6750元；
（2）設商場日盈利達到8000元時，每件商品售價為x元．
則每件商品比50元高出元，每件可盈利元，
每日銷售商品為（件）．
依題意得方程，
整理，得，
解得，．
∵讓顧客能得到實惠，
∴
答：每件商品售價為60元時，商場日盈利達到8000元．
4．“當你背單詞的時候，阿拉斯加的鱘魚正躍出水面；當你算數學的時候，南太平洋的海鷗掠過海岸；當你晚自習的時候，地球的極圈正五彩斑斕．但少年，夢要你親自實現，那些你覺得看不到的人，和遇不到的風景，都終將在生命里出現……”這是某直播平臺推銷某本書時的臺詞，所推銷書的成本為每套20元，當售價為每套40元時，每天可銷售100套．為了吸引更多的顧客，平臺采取降價措施，據市場調查反映：銷售單價每降1元，則每天多銷售10套．設每套輔導書的售價為x元，每天的銷售量為y套．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)不忘公益初心，熱心教育事業，公司決定從每天利潤中捐出200元幫助云南貧困山區的學生，為了保證捐款后每天利潤達到1800元，且要最大限度讓利消費者，求此時每套書的售價為多少元？
【答案】(1)
(2)此時每套輔導書的售價為30元
【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用，一元二次方程的實際應用．
（1）根據題意列出y關于x的一次函數即可．
（2）根據總利潤為列出關于x的一元二次方程，求解即可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
與之間的函數關系式為：；
（2）由題意可得：
整理得：，
解得：，，
要最大限度讓利消費者，
，
答：此時每套輔導書的售價為30元．
5．某水果專賣店銷售櫻桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低1元，則平均每天的銷售可增加10千克．
(1)若該專賣店銷售這種櫻桃要想平均每天獲利2240元，請回答：
①每千克櫻桃應降價多少元？
②在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？
(2)在降價情況下，該專賣店銷售這種櫻桃平均每天獲利可以達到2400元嗎？如果可以，請求出應降價多少元；如果不可以，請說明理由．
【答案】(1)①每千克櫻桃應降價4元或6元；②該店應按原售價的9折出售
(2)不可以達到，理由見解析
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．
（1）①設每千克櫻桃應降價x元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程求解即可；
②為了讓利于顧客因此應下降6元，求出此時的銷售單價即可確定幾折．
（2）設每千克櫻桃應降價y元，利用銷售量×每件利潤=2400元列出方程，化簡為一元二次方程一般式，利用根的判別式即可判斷．
【詳解】（1）①解：設每千克櫻桃應降價x元，根據題意，得：
，
解得 ，，
答：每千克櫻桃應降價4元或6元；
②由（1）可知每千克櫻桃可降價4元或6元．因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克櫻桃應降價6元． 此時，售價為（元），
∴．
故答案是：9．
（2）設每千克櫻桃應降價y元，根據題意，得：
，
即，
∵，
∴原方程沒有實根．
答：該專賣店銷售這種櫻桃平均每天獲利不可以達到2400元．
題型2 工程問題
【例2】．某公司主營鐵路建設施工．
(1)原計劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計劃完成，且橋梁施工的里程數正好是原計劃的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10，總成本為254億元，預計二季度平地施工里程會減少7a千米，隧道施工里程會減少2a千米，橋梁施工里程會增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會增加a億元，若二季度總成本與一季度相同，求a的值．
【答案】(1)4；
(2)2．
【分析】（1）設橋梁施工最多是m千米，則隧道施工為千米，利用隧道施工至少是橋梁施工的9倍，列不等式求解即可；
（2）求出一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工的里程數，設一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為x，3x，10x，利用總成本為254億元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和橋梁施工的里程數及每千米的成本，利用二季度總成本與一季度相同，列方程求解即可．
【詳解】（1）解：設橋梁施工最多是m千米，則隧道施工為千米，
∵隧道施工至少是橋梁施工的9倍，
∴，
解之得：，
∴橋梁施工最多是4千米．
（2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工分別為106千米，36千米和4千米，
設一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為x，3x，10x，
∵總成本為254億元，
∴，
解之得：，
由題意可知：二季度平地施工里程為千米，隧道施工里程為千米，橋梁施工里程為千米；平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為：1，3，
∵二季度總成本與一季度相同，
∴，
即，
解之得：（舍去）或，
故．
【點睛】本題考查一元一次不等式的應用，一元一次方程的應用和一元二次方程的應用．（1）的關鍵是根據各數量之間的關系，列出不等式求解即可；（2）的關鍵找出等量關系列出一元一次方程和一元二次方程求解．
針對訓練2
1．某花木園，計劃在園中栽96棵桂花樹，開工后每天比原計劃多栽2棵，結果提前4天完成任務．問原計劃每天栽多少棵？
【答案】6
【分析】本題主要考查了可化為一元二次方程的分式方程的應用，正確的找出等量關系列出方程是解題的關鍵．利用分式方程解應用題時，一般題目中會有兩個相等關系，在本題中“開工后每天比原計劃多栽2棵”和“提前4天完成任務”，就是兩個相等關系．根據題目所要解決的問題，選擇第二個相等關系作為列方程的依據，而另一個則用來設未知數．
【詳解】解：設原計劃每天栽x棵，那么原計劃完成任務所需的天數為，實際每天栽棵樹棵，實際完成任務所需的天數為，
依題意列方程得：
，
整理得：
解方程得：（舍去）
故原計劃每天栽6棵桂花樹．
2．問題：“某工程隊準備修建一條長3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務，求原計劃每天修建下水管道的長度？”
條件：（1）實際每天修建的長度比原計劃多；
（2）原計劃每天修建的長度比實際少75米．
在上述的2個條件中選擇1個________________（僅填序號）補充在問題的橫線上，并完成解答．
【答案】選（1）或（2）；選（1）原計劃每天修建下水管道的長度為米；選（2）原計劃每天修建下水管道的長度為米
【分析】選擇（1）時，設原計劃每天修建米，則實際每天修建米，根據提前2天完成這一任務，即可得出關于的分式方程，解之經檢驗即可得出結論；
選擇（2）時，設原計劃每天修建盲道米，則實際每天修建米，根據提前2天完成這一任務，即可得出關于y的分式方程，解之經檢驗即可得出結論；
【詳解】選（1）或（2）
（1）解：設原計劃每天修建下水管道的長度為米
經檢驗：是所列方程的解
答：原計劃每天修建下水管道的長度為米．
（2）解：設原計劃每天修建下水管道的長度為米
（舍）
經檢驗：是所列方程的解．
答：原計劃每天修建下水管道的長度為米．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
3．某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．
(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；
(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．
【答案】(1)型設備每小時鋪設的路面長度為90米
(2)的值為10
【分析】（1）設型設備每小時鋪設路面米，則型設備每小時鋪設路面米，根據題意列出方程求解即可；
（2）根據“型設備鋪設的路面長度型設備鋪設的路面長度”列出方程，求解即可．
【詳解】（1）解：設型設備每小時鋪設路面米，則型設備每小時鋪設路面米，
根據題意得，
，
解得：，
則，
答：型設備每小時鋪設的路面長度為90米；
（2）根據題意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值為10．
【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應用，解題關鍵是讀懂題意，找準等量關系并列出方程．
4．為加強防汛工作，市工程隊準備對蘇州河一段長為2240米的河堤進行加固，由于采用新的加固模式，現在計劃每天加固的長度比原計劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數將比原計劃縮短2天，為進一步縮短該段加固工程的時間，如果要求每天加固224米，那么在現在計劃的基礎上，每天加固的長度還要再增加多少米？
【答案】每天加固的長度還要再增加64米
【分析】設現在計劃每天加固的長度為x米，則原計劃每天加固的長度為米，根據“現計劃比原計劃所需天數縮短2天”列分式方程，即可求解．
【詳解】解：設現在計劃每天加固的長度為x米，
由題意知：，
整理可得：，
解得，（舍），
經檢驗，是所列分式方程的解，
即現在計劃每天加固的長度為160米，
（米），
因此每天加固的長度還要再增加64米．
【點睛】本題考查分式方程的實際應用、解一元二次方程，解題的關鍵是根據所給等量關系列出分式方程，求出解后注意檢驗．
5．某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．
(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；
(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．
【答案】(1)A型設備每小時鋪設的路面110米
(2)18
【分析】（1）設B型設備每小時鋪設的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；
（2）根據A型設備鋪的路+B型設備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．
【詳解】（1）設B型設備每小時鋪設的路面x米，則A型設備每小時鋪設路面米，由題意得
，
解得，
米，
所以A型設備每小時鋪設的路面110米；
（2）根據題意得：，
解得，（舍去），
答：m的值是18．
【點睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列出方程．
題型3 行程問題
【例3】．如圖，已知數軸上A，B，C三個點表示的數分別是a，b，c，且，若點A沿數軸向右移動個單位長度后到達點B，且點A，B表示的數互為相反數．

(1)a的值為 ，c的值為 ；
(2)動點 P，Q分別同時從點A，C 出發，點P以每秒3個單位長度的速度向終點C移動，點Q以每秒m個單位長度的速度向終點A 移動，點P表示的數為x．
①若點P，Q在點B處相遇，求m的值；
②若點Q的運動速度是點P的2倍，當點P，Q之間的距離為2時，求此時x 的值．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根據點A沿數軸向右移動個單位長度后到達點B，得出，根據相反數的定義得出，即可求出a的值；根據絕對值的非負性，即可求出c的值；
（2）解：①先得出點B表示的數為6，求出點P 從點A 運動到點B 所用時間為（秒），再求出．即可求解；②設運動時間為t秒，t秒后點P 表示的數為，點Q 表示的數為，根據兩點之間距離的求法得出，求出或2；即可求出x的值．
【詳解】（1）解：∵點A沿數軸向右移動個單位長度后到達點B，
∴，
∵點A，B表示的數互為相反數，
∴，則，
解得：，
∵，
∴，解得：，
故答案為：，10；
（2）解：①∵，點A，B表示的數互為相反數，
∴，即點B表示的數為6，
∵點P 的速度是每秒3個單位長度，點P，Q在點B處相遇，，
∴點P 從點A 運動到點B 所用時間為（秒），
∵，
∴；
②設運動時間為t秒，t秒后點P 表示的數為，點Q 表示的數為，
，
則或，
解得：或2；
∴或，
綜上：x的值為或0．
【點睛】本題考查了數軸，一元一次方程的應用，以及相反數．關鍵是掌握數軸上兩點之間距離的表示方法，能根據題意列出算式或方程．
針對訓練3
1．如圖，鋼球從斜面A頂端M由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加．
(1)設（單位：）是滾動時間t（單位：s）時的速度，t和數量關系見下表：
t（秒） 0 1 2 3 …
（米/秒） 0 2 a b …
由題意可知：______，______；
(2)若斜面A的坡面長為，此鋼球由靜止開始從頂端M滾到底端N，
①求鋼球在此運動中滾動的時間；
②當此鋼球滾動到N處時，由于慣性作用，又沿斜面B向上滾動，速度每秒減少．若斜面B的坡面足夠長，此鋼球最多離N處多遠就會返回往下滾？（友情提示：路程，，是開始時速度，是t秒時的速度）
【答案】(1)4；6
(2)①4秒；②20米
【分析】本題主要查了一元二次方程的應用：
（1）根據速度每秒增加，完成表格，即可求解；
（2）①設此鋼球由靜止開始從頂端M滾到底端N需經過t秒，則到N處時鋼球速度為米/秒，據題意列方程，即可求解；②設鋼球滾動x秒就會返回往下滾，則往回滾時速度為0米/秒，由題意可知鋼球到N處時速度為8米/秒，列出方程，即可求解．
【詳解】（1）解：；
故答案為：4；6
（2）解：①設此鋼球由靜止開始從頂端M滾到底端N需經過t秒，
則到N處時鋼球速度為米/秒，據題意列方程為：
，解得：，
∵，
∴，
答：設此鋼球由靜止開始從頂端M滾到底端N需經過4秒；
②設鋼球滾動x秒就會返回往下滾，則往回滾時速度為0米/秒，
由題意可知鋼球到N處時速度為8米/秒，
∴，
解得：，
則（米）
答：鋼球最多離N處20米就會返回往下滾．
2．一輛汽車以30米/秒的速度行駛，司機發現前方路面有情況，緊急剎車后汽車又滑行30米后停車．
(1)則在這段時間內的平均車速為多少？從剎車到停車用了多長時間？
(2)從剎車到停車平均每秒車速減少多少？
(3)汽車滑行20米時用了多長時間？
【答案】(1)15米/秒；2秒
(2)15米/秒
(3)秒
【分析】本題考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意正確列出式子．
（1）由題意可得從剎車到停車所滑行了30米，根據題意可求出平均車速，繼而可求得時間；
（2）汽車從剎車到停車，車速從30米/秒減少到0，由（1）可得車速減少共用了2秒，平均每秒車速減少量總共減少的車速時間，由此可求得答案；
（3）設剎車后汽車滑行到20米時約用了秒，這時車速為米/秒，，繼而可表示出這段路程內的平均車速，根據“路程平均速度時間”列方程并求解，即可獲得答案．
【詳解】（1）解：根據題意，該輛汽車以30米/秒的速度行駛，從剎車到停車所滑行了30米，
則在這段時間內的平均車速為米/秒；
從剎車到停車所用的時間是秒；
（2）從剎車到停車車速的減少值是，
從剎車到停車每秒平均車速減少值是米/秒；
（3）設剎車后汽車滑行到20米時約用了秒，這時車速為米/秒，
則這段路程內的平均車速為米/秒，
所以，
整理，得，
解得，（不合題意，舍去），
答：剎車后汽車行駛到20米時用了秒．
3．今年年初一美麗的白鵝潭江而進行了以“活力灣區，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當晚該公園附近路段實施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場后，再步行2千米到達目的地，共花了1小時．此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？
(2)乙是騎車前往與他家相距8千米的目的地，若乙騎車的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小時（），乙騎車時間比甲開車時間多a小時，求a的值．
【答案】(1)甲開車的平均速度是40千米/小時，步行的平均速度是4千米/小時
(2)的值為
【分析】本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的應用．
（1）設甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，利用時間路程速度，結合甲到達目的地共花了1小時，可列出關于的分式方程，解之經檢驗后，可得出甲步行的平均速度，再將其代入中，即可求出甲開車的平均速度；
（2）利用路程速度時間，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．
【詳解】（1）設甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
（千米小時）．
答：甲開車的平均速度是40千米小時，甲步行的平均速度是4千米小時；
（2）根據題意得：，
即，
解得：，（不符合題意，舍去）．
答：的值為．
4．運動創造美好生活！一天小美和小麗相約一起去沿河步道跑步．若兩人同時從A地出發，勻速跑向距離9000米處的B地，小美的跑步速度是小麗跑步速度的1.2倍，那么小美比小麗早5分鐘到達B地．
(1)求小美每分鐘跑多少米？
(2)若從A地到達B地后，小美以跑步形式繼續前進到C地．從小美跑步開始，前20分鐘內，平均每分鐘消耗熱量15卡，超過20分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡，在整個鍛煉過程中，小美共消耗1650卡的熱量，小美從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．
【答案】(1)小美每分鐘跑360米
(2)小美從A地到C地鍛煉共用50分鐘
【分析】本題考查了分式方程的應用和一元二次方程的應用，找出等量關系列方程是解題的關鍵．
（1）設小麗每分鐘跑x米，則小美每分鐘跑米，根據“小紅的跑步時間-小明的跑步時間=5”列分式方程求解即可；
（2）設小美從A地到C地鍛煉共用y分鐘，根據“在整個鍛煉過程中，小美共消耗1650卡的熱量”列出關于y的一元二次方程，求解取其符合題意的值即可．
【詳解】（1）解：設小麗每分鐘跑x米，則小美每分鐘跑米，
根據題意，得，
解得：，
經檢驗，既是所列分式方程的解，也符合題意，
則，
答：小美每分鐘跑360米．
（2）設小美從A地到C地鍛煉共用y分鐘，
根據題意，得，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：小美從A地到C地鍛煉共用50分鐘．
5．小明設計了點做圓周運動的一個動畫游戲，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程與時間滿足關系：，乙以的速度勻速運動，半圓的長度為．
(1)甲運動后的路程是多少？
(2)甲、乙從開始運動到第三次相遇時，它們運動了多少時間？
【答案】(1)
(2)它們運動了秒
【分析】本題考查了一元二次方程的應用．根據等量關系，正確的列一元二次方程是解題的關鍵．
（1）將代入，計算求解即可；
（2）由題意知，甲、乙從開始運動到第三次相遇總路程為5個半圓，則，計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】（1）解：當時，，
答：甲運動后的路程是；
（2）解：由題意知，甲、乙從開始運動到第三次相遇總路程為5個半圓，
∴，整理得，，
∴，
解得，或（舍去）．
答：它們運動了秒．
題型4 其他問題
【例4】．我校為了讓學生體驗化學實驗的樂趣，決定從市場購買氯化鈉溶液和硫酸銅溶液供實驗使用．已知每瓶硫酸銅溶液的售價比氯化鈉溶液的售價多2.5元，花100元用于購買的氯化鈉溶液比花400元購買硫酸銅溶液少40瓶．
(1)求每瓶氯化鈉溶液與硫酸銅溶液的售價分別為多少元？
(2)為了加大培養學生對化學的興趣，學校決定再次購買這兩種溶液，調查發現每瓶硫酸銅溶液的成本是元，每瓶氯化鈉溶液的成本是元，已知第二次購買硫酸銅的數量比第一次購買的數量少瓶，購買的氯化鈉溶液的數量是第一次的2倍，商家獲利330元，求的值．
【答案】(1)每瓶氯化鈉溶液與硫酸銅溶液的售價分別為元、元
(2)的值為
【分析】本題考查了分式方程的應用、一元二次方程的應用，根據題意正確列出方程是解題的關鍵．
（1）設每瓶氯化鈉溶液的售價為元，則每瓶硫酸銅溶液的售價為元，根據題意列方程得，解方程即可得到答案；
（2）根據題意得，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：設每瓶氯化鈉溶液的售價為元，則每瓶硫酸銅溶液的售價為元，
根據題意列方程得，
解得：，
經檢驗是原方程的解，
，
答：每瓶氯化鈉溶液與硫酸銅溶液的售價分別為元、元；
（2）解：根據題意得
解得：或
，
不符合題意，舍去，
的值為．
針對訓練4
1．某購物商場的地面停車場為矩形，其面積為，共設計了如圖所示的56個停車位，每個停車位的尺寸都一樣，且長比寬多，通車道的寬度都相等，求停車位的寬．
【答案】停車位的寬為
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意正確列出方程是解題的關鍵．
設停車位的寬為，則停車位的長為，車道寬為，根據題意得，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設停車位的寬為，則停車位的長為，車道寬為，
根據題意得，，
解得或（舍去），
答：停車位的寬為．
2．足球被稱為“世界第一運動”，精彩賽事讓許多球迷回味不已．
(1)若球賽以小組為單位進行單循環制，組共比賽了場，則組有多少支球隊？
(2)在（1）的條件下，若球賽以積分形式決定球隊是否晉級，勝一場積分，平一場積分，負一場積分．某球隊在組目標是積分，則該球隊勝、平、負的場數分別可以是多少？請列舉說明．
【答案】(1)支
(2)該球隊勝、平、負的場數可以有種情況：勝場、平場、負場；勝場、平場、負場
【分析】本題考查了一元二次方程和二元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，并正確找出等量關系．
（1）設組有支球隊，根據題意列方程即可求解；
（2）由（1）知組共有支球隊，則每支隊伍比賽場．設該球隊勝了場，平了場，則負了場，根據題意列方程即可求解．
【詳解】（1）解：設組有支球隊，
依題意得：，
解得：，（舍去）．
答：組有支球隊；
（2）由（1）知組共有支球隊，則每支隊伍比賽場．
設該球隊勝了場，平了場，則負了場．
依題意得：，
化簡得：，
當時，，此時；
當時，，此時．
答：該球隊勝、平、負的場數可以有種情況：勝場、平場、負場；勝場、平場、負場．
3．某果園原計劃種100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，現準備多種一些桃樹以提高產量，試驗發現，每多種1棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，但多種的桃樹不能超過100棵．
(1)如果多種棵桃樹，那么每棵桃樹的產量會減少______個；此時果園的總產量為______個；
(2)如果要使總產量增加，那么應多種多少棵桃樹？
【答案】(1)；
(2)應多種20棵桃樹
【分析】本題主要考查了列代數式和一元二次方程的實際應用，正確理解題意列出代數式和方程是解題的關鍵．
（1）根據每多種1棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個可得第一空答案，根據總產量等于桃樹數量乘以每棵桃樹平均結的果子數量可得第二空答案；
（2）根據總產量增加建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，如果多種棵桃樹，那么每棵桃樹的產量會減少個，此時果園的總產量為個，
故答案為：，；
（2）解：由題意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：應多種20棵桃樹．
4．其工廠采購藍莓并加工成藍莓蜜餞進行銷售，該工廠一年最多能生產200噸，已知藍莓的采購成本價（萬元/噸）與藍莓的采購量（噸）成一次函數關系，其中的幾組數據如表2所示．每噸原材料（藍莓）的加工費為1萬元，減重率為，藍莓蜜餞銷售價格會隨季節、市場供需等波動，從一年中隨機抽取若干單交易作為樣本進行統計，并繪制了條形統計圖（如圖）．
表2
（噸）
（萬元/噸）
(1)求與的函數解析式（不寫定義域）；
(2)求樣本中藍莓蜜餞的平均銷售價；
(3)根據樣本中藍莓蜜餞的平均銷售價，該工廠一年能否恰好獲得780萬元的利潤：如果能，求需要采購藍莓的重量；如果不能，請說明理由．
（備注：藍莓從新鮮狀態制成藍莓蜜餞后重量減輕，衡量這一變化的指標通常叫做“減重率”，其計算公式：減重率）
【答案】(1)
(2)萬元/噸
(3)需要采購藍莓的重量為噸
【分析】本題考查了一次函數的應用，一元二次方程的應用，求平均數，理解題意是解題的關鍵；
（1）設與的函數解析式為，待定系數法求解析式，即可求解；
（2）根據條形統計圖，根據加權平均數求得平均數，即可求解．
（3）根據題意列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：設與的函數解析式為
代入，
∴
解得：
∴
（2）解：依題意，平均銷售價為（萬元/噸）
（3）解：依題意，
原方程組整理得，
解得：（舍去）
答：需要采購藍莓的重量為噸
5．為了豐富市民的文化生活，我市某濕地自然保護區特推出了如下門票收費標準：
標準一：如果人數不超過20人，門票價格70元/人；
標準二：如果人數超過20人，每超過1人，門票價格降低2元，但門票價格不低于55元/人．
(1)若我校組織28名師生去該濕地自然保護區旅游，購買門票共需費用多少元？
(2)若我校共支付該濕地自然保護區門票費用共計1500元，試求我校這次共有多少名師生去該濕地自然保護區旅游？
【答案】(1)購買門票共需費用1540元
(2)共有25名師生去該濕地自然保護區旅游
【分析】本題主要考查了有理數四則混合計算的實際應用，一元二次方程的實際應用，正確理解題意列出算式和方程是解題的關鍵．
（1）先計算出按照標準2每張門票的費用，若小于54，則每張門票價格為55元，若不小于55，則每張門票的費用為計算的結果，據此求出總費用即可；
（2）設我校這次共有x名師生去該濕地自然保護區旅游，可求出，據此根據標準后表示出每張門票的費用，進而根據總費用為1500元建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴每張門票的價格為55元，
∴總費用為元，
答：購買門票共需費用1540元；
（2）解：設我校這次共有x名師生去該濕地自然保護區旅游，
∵，
∴，
依題意，得：，
整理，得：，
解得：（不合題意，舍去）．
答：共有25名師生去該濕地自然保護區旅游．
能力提升 創新拓展
1．閱讀下面材料，并解決相關問題：
如圖是一個三角點陣，從上向下數有無數行，其中第一行有1個點，第二行有2個點，第n行有n個點．容易發現，三角點陣中前5行的點數之和為15．
(1)三角點陣中前7行的點數之和為________，前n行的點數之和為________；（用含n的代數式表示）
(2)三角點陣中前n行的，點數之和________（填“能”或“不能”）為520；
(3)某人民廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用630盆同樣規格的花，按照第一排擺3盆，第二排擺6盆，第三排擺9盆，…第n排擺盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？
【答案】(1)28；；
(2)不能
(3)一共能擺放20排
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，圖形規律探索，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）根據圖形，總結規律，列式計算即可求解；
（2）根據前n行的點數和是520，即可得出關于n的一元二次方程，解之即可判斷；
（3）先得到前n行的點數和是，再根據題意得出關于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【詳解】（1）解：三角點陣中前7行的點數之和為：
，
前行的點數之和為：
；
（2）解：不能，理由如下：
由題意得，
得，
，
∴此方程無正整數解，
∴三角點陣中前n行的點數和不能是520；
（3）解：同理，前排的盆景之和為：
，
由題意得：，
整理得，
即，
解得或（舍去），
∴一共能擺放20排．
2．小明在平整的草地上練習帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達到6m/s后保持勻速運動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時間的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球．（提示：當速度均勻變化時，平均速度，距離）
(1)當時，求關于t的函數關系式；
(2)求圖中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運動方向不變，當小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數共有____次，并簡要說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)7，理由見解析
【分析】（1）設關于t的函數關系式為，根據經過點利用待定系數法即可得到答案；
（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根據題意找到速度、時間、路程的變化規律，即可得到答案．
【詳解】（1）解：設關于t的函數關系式為，把點代入得，
，
解得，
∴關于t的函數關系式為；
（2）解：對于球來說，，
小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，
由小明在4s時第一次追上球可得，，
解得，
即圖中a的值為；
（3）小明第一次踢球已經帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設每次踢球t從0開始計算，因為球在草地上滾動時，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規律為，
，，則，
，
第二次踢后，則，（舍去），，此時又經過了米，
，
第三次踢后，變化規律為，
，，則，
，
第三次追上，則，（舍去），，此時又經過了米，
，
又開始下一個循環，
故第四次踢球所需時間為，經過24米，
故第五次踢球所需時間為，經過48米，
故第六次踢球所需時間為，經過24米，
故第七次踢球所需時間為，經過48米，
∵，，
∴帶球走過200米，在第七次踢球時實現，故小明小明踢球次數共有七次，
故答案為：7
【點睛】此題考查了一元二次方程的應用、一次函數的應用、一元一次方程的應用，讀懂題意，準確計算是解題的關鍵．
3．如圖①，窗簾的褶皺是指按照窗戶的實際寬度將窗簾布料以一定比例加寬的做法，褶皺之后的窗簾更能彰顯其飄逸、靈動的效果．其中，窗寬度的1.5倍為平褶皺，窗寬度的2倍為波浪褶皺．如圖②，小莉房間的窗戶呈長方形，窗戶的寬度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某種窗簾的價格為120元/m2．如果以波浪褶皺的方式制作該種窗簾比以平褶皺的方式費用多180元，求小莉房間窗戶的寬度與高度．
【答案】小莉房間窗戶的寬度為1.5m，則高度為2m．
【詳解】分析：設小莉房間窗戶的寬度為xm，則高度為（x+0.5）m．根據“以波浪褶皺的方式制作該種窗簾比以平褶皺的方式費用多180元”列出方程，求解即可．
詳解：設小莉房間窗戶的寬度為xm，則高度為（x+0.5）m．
根據題意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180，
解得 x1=-2，x2=1.5．
所以x=1.5，x+0.5=2．
答：小莉房間窗戶的寬度為1.5m，則高度為2m．
點睛：本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．
典例精講 1
典例精講2
典例精講3
典例精講4
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典例精講2
典例精講3
典例精講4
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