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2024-2025學年河南省駐馬店市高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.復數的實部為( )
A. B. C. D. 不存在
3.如圖，平行四邊形的對角線相交于點，則與共線的向量是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，則等于( )
A. B. C. D.
5.直線平面，，那么過點且平行于的直線( )
A. 只有一條，不在平面內 B. 有無數條，不一定在平面內
C. 只有一條，且在平面內 D. 有無數條，一定在平面內
6.將函數的圖象沿軸向右平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則實數的值為( )
A. B. C. D.
7.已知為平行六面體，為棱的中點，則
過點有且只有一條直線與直線和都相交；
過點有且只有一個平面與直線和都平行；
過點有無數條直線與直線和都垂直；
過點與直線和的夾角均為的直線至少有兩條．
其中正確的命題個數為( )
A. B. C. D.
8.已知向量，，滿足，，，則的最大值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.中，若，則( )
A. B. C. D.
10.正三棱臺中，，為棱的中點，則( )
A. B. 直線與夾角的余弦值為
C. 到平面的距離為 D. 棱臺的體積為
11.已知實數，，，滿足：，，，則( )
A. 的最小值是
B.
C. 的取值范圍是
D. 存在實數，，，，使得
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復數，為的共軛復數，則 ______．
13.九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬已知在陽馬中，側棱底面，，則三棱錐的外接球的表面積為______．
14.中，角，，的對邊分別為，，，且，則的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在平面直角坐標系中，已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，且．
求實數及相應的值；
當時，化簡并求值．
16.本小題分
平面直角坐標系中軸、軸正方向上的單位向量分別記為，，已知向量，．
若，求實數的值；
若為銳角，求實數的取值范圍；
當時，求在方向上的投影向量的坐標．
17.本小題分
已知，，分別為三個內角，，的對邊，且．
求；
若，且的面積為，求的外接圓半徑．
18.本小題分
如圖，菱形所在的平面與矩形所在的平面相互垂直．
證明：直線平面；
若平面平面，求的值；
在條件下，求平面與平面夾角的余弦值．
19.本小題分
已知函數的圖象上兩點，及部分圖象如下．
求函數的解析式；
若，，且，求的值；
將的圖象沿軸向左平移個單位，再沿軸向下平移個單位得到的圖象試討論關于的方程在區間上解的個數．
參考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.因為在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，，
解得或，
當時，，，
當時，；
由可知，此時，，
可得．
16.由已知得，，
因為，所以，即，
解得或；
由為銳角，則且，
即且與不同向共線，即，
解得且，故取值范圍為；
當時，，，
則，，
從而可得，
因此在方向上的投影向量為．
17.根據正弦定理，
那么可化為，
又由于，
那么，
也即，
所以，；
根據及，可得，
根據余弦定理，可得，
又根據正弦定理，
那么．
18.解：證明：四邊形為矩形，，
平面，且平面，
平面，
又四邊形為菱形，，
平面，且平面，
平面，
又，且，平面，
平面平面，
平面，
平面．
因為菱形所在的平面與矩形所在的平面相互垂直，
且平面平面，，，，平面，
面，面，
，平面，
，，
則，，
又，，．
同理可得．
取中點為，記，則且，
，，
為二面角的平面角，
平面平面，
，且，，
．
記平面平面，
，平面，平面，
且平面，，則，
，，，，
即為平面與平面所成的角，
在條件下，，
為等腰直角三角形，
，
可得，
平面與平面夾角的余弦值為．
19.由圖可知，，
因此，，
由，點在圖象上，
則，由圖解得，
可得，則，
所以，，
因為，得，
綜上；
令，解得，
由，，且，
則，且，
因此，
從而；
根據題意得，
所以，
從而原方程可整理為
不妨記，，
則在上單調，
且得到，
因此原方程等價于即在內解的情況．
也即，解的情況．
因為，當且僅當時等號成立，結合圖像
因此：當，即時，原方程無解；
當時，，時，原方程有唯一解；
當時，，時，原方程有兩個不等實根，
當時，，時，原方程只有一個不等實根，
綜上所述：當或時，原方程只有一個不等實根；
當，原方程有兩個不等實根；當時，原方程無解．
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