資源簡介

2024-2025學(xué)年湖南省常德市漢壽一中高二（下）期末
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B.
C. D.
2.下列說法不正確的是( )
A. 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則
B. 一組數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的第百分位數(shù)為
C. 若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)
D. 對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，且線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是
3.已知，則( )
A. B. C. D.
4.已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系是( )
A. 相交 B. 外離 C. 外切 D. 內(nèi)含
5.已知平面及直線，，則下列說法錯誤的個數(shù)是( )
若直線，與平面所成角都是，則這兩條直線平行；
若直線，與平面所成角都是，則這兩條直線不可能垂直；
若直線，垂直，則這兩條直線與平面不可能都垂直；
若直線，平行，則這兩條直線中至少有一條與平面平行．
A. B. C. D.
6.根據(jù)馬伯庸的小說長安十二時辰同名改編的電視劇中，靖安司通過長安城內(nèi)的望樓傳遞信息．望樓傳遞信息的方式如下：如圖所示，在九宮格中，每個小方格可以在白色和紫色此處以陰影代表紫色之間變換，從而一共可以有種不同的顏色組合，即代表種不同的信息．現(xiàn)要求最多出現(xiàn)個紫色格子，那么一共可以傳遞的不同的信息有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
7.已知從橢圓：的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線交的另一個焦點，，為橢圓的長軸端點，，為橢圓的短軸端點，，分別為橢圓的左右焦點，動點滿足，若的面積的最大值為，則面積的最小值為( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，將圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若對任意，都有成立，則的值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設(shè)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是( )
A. “”的充要條件是“”
B. 若，則的虛部為
C. 若，，則
D. 方程在復(fù)數(shù)集中有個解
10.下列四個結(jié)論中，正確的結(jié)論為( )
A. 函數(shù)與函數(shù)相等
B. 若函數(shù)且的圖象沒有經(jīng)過第二象限，則
C. 當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
D. 若函數(shù)的最大值為，最小值為，則
11.非零實數(shù)，，不全相等下列說法正確的是( )
A. 若，，成等差數(shù)列，則，，可以構(gòu)成等差數(shù)列
B. 若，，成等比數(shù)列，則，，必定構(gòu)成等比數(shù)列
C. 若，，則
D. 若，且，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若，，求 ______．
13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線的左、右焦點，點
在雙曲線上，且，則 ______．
14.若函數(shù)，且的圖象與直線沒有交點，則的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知公差不等于零的等差數(shù)列的前項和為，且滿足，，，成等比數(shù)列．
Ⅰ求數(shù)列的通項公式；
Ⅱ求數(shù)列的前項和．
16.本小題分
如圖，在四棱錐中，平面，，．
求證：平面平面；
若，，，，求直線與平面所成角的正弦值．
17.本小題分
已知函數(shù)．
討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
當(dāng)時，證明：．
18.本小題分
我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章卷五“田域類”有一個題目：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步欲知為田幾何？”其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積”這就是秦九韶推出的“三斜求積”公式若的內(nèi)角，，的對應(yīng)邊分別為，，，面積為，則“三斜求積”公式為．
用“三斜求積”公式證明；
若，且，求面積的最大值；
定義：四面體中，若異面棱長相等的四面體為等腰四面體設(shè)等腰四面體的外接球表面積為，的外接圓面積為已知，，且，，，試用，，表示，并求的取值范圍．
19.本小題分
新能源汽車的春天來了年月日上午，李克強(qiáng)總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年，自年月日至年月日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅．某人計劃于年月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當(dāng)?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到近五個月實際銷量如表：
月份
月份編號
銷量萬輛
經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌噷嶋H銷量萬輛與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系．請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測年月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；
年月日，中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠(yuǎn)里程對購車補(bǔ)貼進(jìn)行新一輪調(diào)整．已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調(diào)研機(jī)構(gòu)對其中的名消費者的購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：
補(bǔ)貼金額預(yù)期值區(qū)間萬元
頻數(shù)
求這位擬購買新能源汽車的消費者對補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的樣本方差及中位數(shù)的估計值同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點值代替；估計值精確到；
將頻率視為概率，現(xiàn)用隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機(jī)抽取人，記被抽取人中對補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值不低于萬元的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考公式及數(shù)據(jù)：回歸方程，其中，；．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.Ⅰ設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項和為，滿足，，，成等比數(shù)列，
所以，整理得，
所以，，
故．
Ⅱ由于，
所以．
16.證明：平面，平面，，
，，又，，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
過點作交于點，連接，
則與平面所成角即為與平面所成角，
平面，為在平面上的射影，
為直線與平面所成角，
，，
四邊形為平行四邊形，
，，
，，
在中，，
在中，，
直線與平面所成角的正弦值為．
17.解：函數(shù)的定義域為，，
令，可得，
當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞．
證明：當(dāng)時，不等式可化為，
不等式兩邊同除以后整理為，
令，
有，
令可得；令可得；
故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
可得，
故不等式成立．
18.證明：由余弦定理得，所以，
所以
，
所以得證．
解：法一：因為，
由余弦定理得，，
因為，代入上式化簡得，所以，
所以
，
所以當(dāng)時，面積的最大值為．
法二：因為，所以，，
因為，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以
，
所以當(dāng)時，面積的最大值為．
解：由題意，等腰四面體可補(bǔ)形成與其共外接球的長方體，設(shè)，則，
設(shè)等腰四面體的外接球半徑為，所以，
所以，
法一：
在中，由余弦定理得，
，
所以，
設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因為，
所以，
所以，
因為，，，
所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
又，所以，
所以，即，
所以，所以的取值范圍為．
法二：
因為，
設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，
因為，所以，代入，
，
所以，
下同法一．
19.解：由題意知，，
，
，
，
關(guān)于的線性回歸方程為．
當(dāng)時，，即年月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量約為萬輛．
根據(jù)題意，這位擬購買新能源汽車的消費者對補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期的平均值為：
，
樣本方差為：．
中位數(shù)的估計值為：．
根據(jù)給定的頻數(shù)表知：
任意抽取名擬購買新能源汽車的消費者，
對補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期不低于萬元的頻率為，
由題意得，
，
，
，
，
的分布列為：


所以．
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