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2024-2025學(xué)年吉林省友好學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若復(fù)數(shù)滿足其中是虛數(shù)單位，則( )
A. 的實(shí)部是 B. 的虛部是 C. D.
3.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是，則該正四棱錐的表面積為( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，則( )
A. B. C. D.
5.已知，，，則( )
A. B. C. D.
6.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定，，，表示命中，表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A. B. C. D.
7.如圖，在四邊形中，，，設(shè)，，則等于( )
A. B. C. D.
8.演講比賽共有位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從個(gè)原始評(píng)分中去掉個(gè)最高分、個(gè)最低分，得到個(gè)有效評(píng)分個(gè)有效評(píng)分與個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是( )
A. 中位數(shù) B. 平均數(shù) C. 方差 D. 極差
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.近年來(lái)，我國(guó)人口老齡化持續(xù)加劇，為改善人口結(jié)構(gòu)，保障國(guó)民經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展，國(guó)家出臺(tái)了一系列政策，如年起實(shí)施全面兩孩生育政策，年起實(shí)施三孩生育政策等根據(jù)下方的統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論正確的是( )
A. 至年每年新生兒數(shù)量的平均數(shù)高于萬(wàn)
B. 至年每年新生兒數(shù)量的第一四分位數(shù)低于萬(wàn)
C. 至年每年新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后下降的變化趨勢(shì)
D. 至年每年新生兒數(shù)量的方差大于至年每年新生兒數(shù)量的方差
10.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是( )
A.
B. 與所成的角為
C. 與是異面直線
D. 平面
11.下列選項(xiàng)中，正確是( )
A. 如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)任取兩條直線，兩直線平行
B. 如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行
C. 如果一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行
D. 如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.從甲、乙等名同學(xué)中隨機(jī)選名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為______．
13.已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為，則其外接球體積為______．
14.已知向量滿足，，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．
求的大小；
若，且頂點(diǎn)到邊的距離等于，求和的長(zhǎng)．
16.本小題分
如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，為的中點(diǎn)．
求證：平面；
若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證：平面．
17.本小題分
隨機(jī)抽取名學(xué)生，測(cè)得他們的身高單位：，按照區(qū)間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示．
求頻率分布直方圖中的值及身高在及以上的學(xué)生人數(shù)；
估計(jì)該校名學(xué)生身高的分位數(shù)．
18.本小題分
本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算有甲、乙兩人分別來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游各租一車一次，設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間互不影響且都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．
求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；
求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為元的概率．
19.本小題分
如圖，在正方體中，
求異面直線與所成的角的大小；
求二面角的大小．
參考答案
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4.
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8.
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10.
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14.
15.解：由正弦定理，，
即．
因?yàn)椋?br/>所以．
由可知．
又因?yàn)椋裕?br/>聯(lián)立解得，或，．
16.證明：因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
又因?yàn)榈酌媸橇庑危瑒t，，，平面，
所以平面．
連接，，如圖所示：
因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，
則且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
17.解：由頻率分布直方圖可知：
，
解得，
人，
即身高在及以上的學(xué)生人數(shù)為人；
的人數(shù)占比為，的人數(shù)占比為，
該校名生學(xué)身高的分位數(shù)落在，
設(shè)該校名生學(xué)身高的分位數(shù)為，
則，解得，
故該校名生學(xué)身高的分位數(shù)為．
18.解：甲、乙兩人租車時(shí)間超過(guò)三小時(shí)不超過(guò)四小時(shí)的概率分別為，；
租車費(fèi)用相同可以分為租車費(fèi)用都為元、元、元三種情況，
都付費(fèi)元的概率為；
都付費(fèi)元的概率為；
都付費(fèi)元的概率為．
所以甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為；
設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為，
則表示兩人的租車費(fèi)用之和為元，
其可能的情況是甲、乙的租車費(fèi)用分別為：
元，元；
元，元；
元，元．
故．
19.解：在正方體中，連接，，
，是異面直線與所成的角，
三角形是等邊三角形，，
異面直線與所成的角的大小為．
在正方體中，，，
是二面角的平面角，
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，
二面角的大小為．
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